Một số phương pháp làm mạnh bất đẳng thức

Mục lục LỜI CẢM ƠN 5 LỜI NÓI ĐẦU 6 MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN 7 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 1.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Một số hằng đẳng thức thường sử dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Bất đẳng thức AM – GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Bất đẳng thức hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Bất đẳng thức Schur tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Một số kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Kỹ năng 1: Sử dụng tham số khi biến đổi. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Kỹ năng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. . . . . . . . . . 15 1.2.3 Kỹ năng 3: Kỹ thuật thêm hạng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Kỹ năng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 Kỹ năng 5: Chuyển một biến trở thành tham số. . . . . . . . . . . . . 25 1.2.6 Kỹ năng 6: Chọn chiều đơn giản từ bất đẳng thức dạng phân thức. . . 27 1.2.7 Kỹ năng 7: Sử dụng hằng đẳng thức thích hợp. . . . . . . . . . . . . . 28 3 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC 32 2.1 Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 1 + x 1 + 1 1 + x 2 + + 1 1 + x n ≥ n 1 + n √ x 1 .x 2 x n . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh α(a − b) 2 ≥ 0, α ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh (c − a)  1 a + b − 1 c + b  = (c − a) 2 (a + b) (c + b) , a, b, c > 0. . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Xây dựng bất đẳng thức từ đẳng thức của hàm số y = a.x + b c.x + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Xây dựng bất đẳng thức làm mạnh nhờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC 63 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 LỜI CẢM ƠN Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại trường Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài “ Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức”. Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vần đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ – Tin trường Đại học khoa học tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Qua đây tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Tổ Toán – Tin trường THPT Ngô Sĩ Liên, TP. Bắc Giang, T. Bắc Giang, cùng các bạn học viên lớp Phương pháp toán sơ cấp khóa 11 – 13 đã đọc, kiểm tra và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện và phong phú hơn. Cuối cùng là sự biết ơn tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Xin chân chân thành cảm ơn!. 5 LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của toán học. Sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức có sức hút mạnh mẽ với những người yêu và đam mê toán học, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả ở những bí ẩn nó luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất đẳng thức còn có rất nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong cả thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kỳ thi quốc gia, quốc tế. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày một phương pháp mới tiếp cận bất đẳng thức đó là “Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức”. Từ các bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với một số bất đẳng thức cơ bản ta có thể xây dựng các bất đẳng thức mạnh hơn. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều các bất đẳng thức mới và lạ. Luận văn gồm 2 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản (Bài toán và phương pháp giải) Chương 2. Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức. Trong chương 2, tác giả đã chia thành 5 bài. Bài 1. Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 1 + x 1 + 1 1 + x 2 + + 1 1 + x n ≥ n 1 + n √ x 1 .x 2 x n . Bài 2. Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh α(a − b) 2 ≥ 0, α ≥ 0. Bài 3. Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh (c − a)  1 a + b − 1 c + b  = (c − a) 2 (a + b) (c + b) , a, b, c > 0. Bài 4. Xây dựng bất đẳng thức từ đẳng thức của hàm số y = a.x + b c.x + d . Bài 5. Xây dựng bất đẳng thức làm mạnh nhờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi hạn chế, kính mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn VŨ THỊ DUNG 6 MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN I. Một số chữ viết tắt. AM - GM – Arithmetic mean - Geometric mean. MO – Olympic Toán quốc gia. IMO – Olympic Toán quốc tế. IMO Shortlish – Danh sách ngắn các bài đề nghị của các quốc gia trong IMO. APMO – Olympic châu Á Thái Bình Dương. VMEO – Kỳ thi giải toán trên mạng của trang www.diendantoanhoc.net. TST – Đề dự tuyển thi toán quốc tế. Đpcm – Điều phải chứng minh. II. Các ký hiệu tổng và tích thông dụng. n  k=1 a k = a 1 + a 2 + + a n . n  k=1 a k = a 1 .a 2 a n .  1≤i<j≤n a i a j = a 1 a 2 + a 1 a 3 + + a 1 a n + a 2 a 3 + + a 2 a n + + a n−1 a n . 7 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN (BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI) 1.1 Các kiến thức cơ bản 1.1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1. Định nghĩa bất đẳng thức A > B ⇔ A − B > 0. A < B ⇔ A − B < 0. Như vậy từ định nghĩa của bất đẳng thức, ta có ngay một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức: Để chứng minh A > B, ta chỉ cần chứng minh A − B > 0 và muốn chứng minh A < B ta chỉ cần chứng minh A −B < 0. 2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1) Tính chất bắc cầu Nếu a > b, b > c thì a > c. 2) Nếu a > b thì ma > mb khi m > 0 ma < mb khi m < 0. 3) Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d. 4) Nếu a > b, c < d thì a − c > b − d. 5) Nếu a > b > 0; c > d > 0 thì ac > bd. 8 6) Nếu a > b > 0; d > c > 0 thì a c > b d . 7) Nếu a > b > 0 thì a > b ⇔ a 2 > b 2 . 8) a > b ⇔ a 3 > b 3 . 1.1.2 Một số hằng đẳng thức thường sử dụng. 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 =  a 2 + b 2  + 2ab. 2) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 =  a 2 + b 2  − 2ab. 3) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b) . 4) (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . (a − b) 3 = a 3 − b 3 − 3ab (a − b) . 5) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b) . 6) a 3 − b 3 = (a − b)  a 2 + ab + b 2  . a 3 − b 3 = (a − b) 3 + 3ab (a − b) . 7) a 3 + b 3 = (a + b)  a 2 − ab + b 2  . a 3 + b 3 = (a + b) 3 − 3ab (a + b) . 8) a n − b n = (a − b)  a n−1 + a n−2 b + + ab n−2 + b n−1  , n ∈ N ∗ . 9) a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)  a 2n − a 2n−1 b + − ab 2n−1 + b 2n  , n ∈ N. 2. Các đẳng thức mở rộng 1) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca) . 2) (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3ab (a + b) + 3bc (b + c) + 3ca (c + a) + 6abc. (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a). 3) (a + b) (b + c) (c + a) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 2abc. 4) (a + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (ab + bc + ca) − abc. 5) (a + b + c) (ab + bc + ca) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 3abc. 6) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 2 . 7) a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c) 2  (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2  . 8) a 2 b + b 2 c + c 2 a − ab 2 − bc 2 − ca 2 = (a − b) 3 + (b − c) 3 + (c − a) 3 3 . 9) a 3 + b 3 + c 3 − a 2 b − b 2 c − c 2 a = (2a+b)(a−b) 2 +(2b+c)(b−c) 2 +(2c+a)(c−a) 2 3 . 10) a 3 b + b 3 c + c 3 a − ab 3 − bc 3 − ca 3 = (a + b + c) 3  (b − a) 3 + (c − b) 3 + (a − c) 3  . 9 1.1.3 Bất đẳng thức AM – GM Cho a 1 , a 2 , , a n là các số thực không âm, ta có a 1 + a 2 + + a n n ≥ n √ a 1 a 2 a n . Đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = = a n ≥ 0. Hệ quả 1.1.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình điều hòa. Cho a 1 , a 2 , , a n là các số thực dương, ta có a 1 + a 2 + + a n n ≥ n 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n . Đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = = a n . 1.1.4 Bất đẳng thức hoán vị Cho hai dãy số thực hữu hạn được sắp thứ tự cùng chiều nhau chẳng hạn là hai dãy đơn điệu tăng      a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n b 1 ≤ b 2 ≤ ≤ b n . Gọi (t 1 , t 2 , , t n ) là một hoán vị tùy ý của (b 1 , b 2 , , b n ). Khi đó ta có a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ≥ a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a n t n . Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = = a n hoặc b 1 = b 2 = = b n . Hệ quả 1.1.2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho hai bộ số thực a 1 , a 2 , , a n ; b 1 , b 2 , , b n , khi đó ta có  a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n  b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n  ≥ (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 . Đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n . Hệ quả 1.1.3. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel Cho hai bộ số a i ∈ R, x i ∈ R ∗  i = 1, n  , khi đó n  i=1 a 2 i x i ≥ (a 1 + a 2 + + a n ) 2 x 1 + x 2 + + x n . 10 Đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 x 1 = a 2 x 2 = = a n x n . Hệ quả 1.1.4. Bất đẳng thức Nesbit. Với a, b, c > 0, ta có a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Hệ quả 1.1.5. Bất đẳng thức Tchebyshev Cho hai bộ số thực a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ; b 1 ≤ b 2 ≤ ≤ b n , ta có a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n n ≥ a 1 + a 2 + + a n n . b 1 + b 2 + + b n n . Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = = a n hoặc b 1 = b 2 = = b n . 1.1.5 Bất đẳng thức Schur tổng quát Định lý. Với a, b, c > 0 và k là số thực bất kỳ ta luôn có a k (a − b) (a − c) + b k (b − c) (b − a) + c k (c − a) (c − b) ≥ 0. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c ta có V T = c k (a − b) (b − c) + (a − b)  a k (a − c) − b k (b − c)  ≥ 0. Điều này hiển nhiên đúng. Bất đẳng thức Schur được chứng minh. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị. Đặc biệt khi k = 1 và k = 2: a 3 + b 3 + c 3 + 3abc ≥ ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) a 4 + b 4 + c 3 + abc (a + b + c) ≥ ab  a 2 + b 2  + bc  b 2 + c 2  + ca  a 2 + c 2  11 1.2 Một số kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cơ bản 1.2.1 Kỹ năng 1: Sử dụng tham số khi biến đổi. Bài toán 1.1 Với các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a 2 + 4b 2 + c 2 . (1.1) Lời giải. Ta thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = αc (α > 0) . Thay vào biểu thức ban đầu ta thấy α thỏa mãn α 2 c 2 + 2αc 2 = 1. Vậy suy ra c 2 = 1 α 2 + 2α . Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có c 2 2 + a 2 2α 2 ≥ ca α . c 2 2 + b 2 2α 2 ≥ cb α . 1 2α  a 2 + b 2  ≥ ab α . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được  1 2α + 1 2α 2   a 2 + b 2  + c 2 ≥ 1 α (ab + bc + ca) . Hay  1 2α + 1 2α 2   a 2 + b 2  + c 2 ≥ 1 α . 12 [...]... đpcm 31 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 1 1 n + + + ≥ √ 1 + x1 1 + x2 1 + xn 1 + n x1 x2 xn Xuất phát từ các bất đẳng thức cơ bản ta có thể xây dựng được các bài toán chứng minh bất đẳng thức khá thú vị mà cách làm hết sức đơn giản Từ bất đẳng thức ban đầu (x − y)2 ≥ 0 ∀x, y Ta có thể xây đựng các bất đẳng thức đưa về dạng... Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Bài toán 1.5 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 3, chứng minh rằng b2 c2 3 a2 √ + √ + √ ≥ 2 a + bc b + ac c + ab (1.5) Phân tích Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái của bất đẳng thức có tử số của mỗi 15 số hạng có dạng bình phương của một số từ đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel để đưa về bất đẳng thức đơn... ta có được bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 1.7 Cho ba số thực dương a, b, c, chứng minh rằng a3 b3 c3 a+b+c + 2 + 2 ≥ 2 + ab + b2 2 2 a b + bc + c c + ca + a 3 (1.7) Phân tích Từ yêu cầu của bài toán ta thấy VT của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, từ đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel Để sử dụng được bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì tử số của mỗi số hạng phải... 1.6.(Séc và Slovakia, 1999) Cho ba số thực dương a, b, c, chứng minh rằng a b c + + ≥ 1 b + 2c c + 2a a + 2b (1.6) Phân tích Từ yêu cầu của bài toán ta thấy VT của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, từ đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel Để sử dụng được bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì tử số của mỗi số hạng phải là bình phương của một số Từ đó ta có thể giải quyết bài... x x x 1 + x1 1 2 3 n n 2 3 (2.5) Lời giải Ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp Từ bài toán 2.1 ta có được bất đẳng thức 1 1 2 + ≥ 2 2 1+x 1+y 1 + xy Vậy với n = 2 bất đẳng thức đúng Giả sử với n = k (k ≥ 2) bất đẳng thức đúng, nghĩa là 1 1 1 + + + ≥ k k 1 + x1 1 + x2 1 + xk k 1+ k k (∗) xk xk xk 1 2 k Ta chứng minh với n = k + 1 bất đẳng thức trên luôn đúng, nghĩa là phải chứng minh 1 1 1 k+1... + c = 1 Chứng minh rằng a2 b2 c2 1 + + ≥ a+b b+c c+a 2 Bài 23 Cho x1 , x2 , , xn là các số thực dương thỏa mãn x1 + x2 + + xn = 1 Chứng minh rằng x2 x2 x2 1 n 1 2 + + + ≥ x1 + x2 x2 + x3 xn + x1 2 23 1.2.4 Kỹ năng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ Trong chứng minh bất đẳng thức ta thường sử dụng một số bất đẳng thức phụ sau: 1 1 4 + Với mọi x, y > 0 ta có + ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y x y... (n − 1) n x1 x2 xn S − xn S − x1 S − x2 + + + ≥ √ 1 + x1 1 + x2 1 + xn 1 + n x1 x2 xn 2.2 (2.8) Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh α(a − b)2 ≥ 0, α ≥ 0 Hướng biến đổi 1 Nếu x, y > 0 thì α = xy + 1 > 0, Khi đó ta có bất đẳng thức 37 (xy + 1) (x − y)2 ≥ 0 vi∀x, y > 0 Xuất phát từ bất đẳng thức trên ta có bài toán Bài toán 2.9 Cho x, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 1 2 + 2 ≥ 1 + xy (1 + x) (1 + y) (2.9)... xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn (x1 , x2 , , xn ≥ 1) Xây dựng bài toán mới Từ bài toán 2.1 ta có bất đẳng thức 1 1 2 + ≥ (∀x, y ≥ 1) √ 1+x 1+y 1 + xy Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương x, y ta có √ x + y ≥ 2 xy Hay 36 √ 1 + x + y ≥ 1 + 2 xy Từ đó ta có được bất đẳng thức sau 2 1 1 √ ≥ (1 + 2 xy) + √ 1+x 1+y 1 + xy √ 2 xy x y + 1+ ≥2+ ⇔ 1+ √ 1+x 1+y 1 + xy √ 2 xy x y... rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ta tìm cách thêm cho hạng tử a = b = c, từ đó ta nhận được α = 4 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được a2 a+b + ≥ a a+b 4 b2 b+c + ≥ b b+c 4 c2 c+d + ≥ c c+d 4 d2 d+a + ≥ d d+a 4 Cộng vế với vế của bốn bất đẳng thức trên ta được đpcm Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 a=b=c= 4 Từ bài toán trên ta xây dựng được các bài toán tương tự Bài 22 Cho a, b, c là các số thực... các bất đẳng thức trên ta được 6 a3 + b3 + c3 + 16 ≥ 6 (a + b + c + abc) Hay 6a3 + 6b3 + c3 ≥ 20 đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1, c = 2 Bài toán 1.3 Cho x, y, z > 0, x + y + xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y 3 13 (1.3) Lời giải Dự đoán A đạt được giá trị nhỏ nhất khi x = y, thay vào điều kiện ban đầu ta được √ √ x = y = −1 + 2 Đặt α = −1 + 2 Áp dụng bất đẳng thức . làm mạnh bất đẳng thức . Từ các bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với một số bất đẳng thức cơ bản ta có thể xây dựng các bất đẳng thức mạnh hơn. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều các bất đẳng. phân thức. . . 27 1.2.7 Kỹ năng 7: Sử dụng hằng đẳng thức thích hợp. . . . . . . . . . . . . . 28 3 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC 32 2.1 Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng. rất nhiều các bất đẳng thức mới và lạ. Luận văn gồm 2 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản (Bài toán và phương pháp giải) Chương 2. Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức. Trong chương 2,