Một số phương pháp làm mạnh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG HÀ NỘI - NĂM 2013 Mưc lưc L˝IC MÌN L˝I NI U MáTSăCHVI TT T V C CK HI UTRONGLU NV N MáTSăKI NTHCCèB N 1.1 C¡c ki‚n thøc cì b£n 1.1.1 nh nghắa v tnh chĐt cỡ bÊn ca bĐt flng thøc 1.1.2 Mºt sŁ h‹ng flng thøc th÷íng sß dưng 1.1.3 B§t flng thøc AM GM 10 1.1.4 B§t flng thøc ho¡n 10 1.1.5 B§t flng thøc Schur tŒng qu¡t 11 1.2 Mºt sŁ kÿ nông chứng minh bĐt flng thức cỡ bÊn 12 1.2.1 K nông 1: Sò dửng tham sŁ bi‚n Œi 12 1.2.2 K nông 2: Sò dửng bĐt flng thøc Cauchy Schwarz 15 1.2.3 K nông 3: K thut thảm h⁄ng tß 19 1.2.4 K nông 4: Sò dửng bĐt flng thøc phö 24 1.2.5 Kÿ n«ng 5: Chuy”n mºt bi‚n trð th nh tham sŁ 25 1.2.6 Kÿ n«ng 6: Chån chiu ỡn giÊn t bĐt flng thức dng phƠn thức 27 1.2.7 K nông 7: Sò dửng hng flng thøc th‰ch hæp 28 MáT Să PHìèNG PH P L M M NH B T NG THC 2.1 XƠy dỹng bĐt flng thức xoay vặng t bĐt flng thức 1 n 32 : 32 0;0: 37 ; a; b; c > 0: 44 2.4 XƠy dỹng bĐt flng thức t flng thức ca h m sŁ y = a:x + b c:x + d 2.5 XƠy dỹng bĐt flng thức l m mnh nhớ sò dửng bĐt flng thức Cauchy 54 + x1 + + x2 +:::+ 1+ + xn p x 1:x :::x n n 2.2 XƠy dỹng bĐt flng thức t dng l m mnh (a b) 2.3 XƠy dỹng bĐt flng thức t d⁄ng l m m⁄nh (c a) = 1 (c a) a+b c+b (a + b) (c + b) Schwarz MáTSăNH NX TV B T NGTHCD NGPH NTHC 56 63 K TLU N 72 T ILI UTHAMKH O 73 L˝IC MèN Sau hai nôm hồc v nghiản cứu ti trữớng i hồc khoa hồc tỹ nhiản i n th nh håc quŁc gia H Nºi, t¡c gi£ ¢ ho khõa lun vợi t i Mt phữỡng phĂp l m m⁄nh b§t flng thøc ” ho n th nh ữổc lun vôn n y, u tiản tĂc giÊ xin ữổc gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi PGS.TS Nguyn Vụ Lữỡng, thy  d nh thới gian hữợng dÔn, ch bÊo tn tnh giúp ù quĂ trnh xƠy dỹng t i, giúp tĂc giÊ giÊi quyt c¡c vƒn • n£y sinh qu¡ tr…nh l m lu“n v«n v ho n th nh lu“n v«n óng nh hữợng ban u TĂc giÊ cụng xin ữổc gòi lới cÊm ỡn tợi Ban giĂm hiằu, phặng Sau i håc, Khoa To¡n Cì Tin tr÷íng ⁄i håc khoa håc tỹ nhiản  to iu kiằn thun lổi sut quĂ trnh hồc ti trữớng Qua Ơy tĂc giÊ cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi cĂc thy cổ T ToĂn Tin trữớng THPT Ngổ Sắ Li¶n, TP B›c Giang, T B›c Giang, còng c¡c b⁄n hồc viản lợp Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp khõa 11 13  ồc, kim tra v cho nhng ỵ kin quỵ bĂu lun vôn ữổc ho n thiằn v phong phó hìn CuŁi còng l sü bi‚t ìn tỵi gia nh, lới cÊm ỡn tợi bn b  thổng c£m, ºng vi¶n gióp ï t¡c gi£ qu¡ tr…nh ho n th nh lun vôn Tuy  cõ nhiu c gng thới gian v trnh cặn hn ch nản cĂc vĐn khõa lun vÔn chữa ữổc trnh b y sƠu sc v khổng trĂnh khäi thi‚u sât, k‰nh mong nh“n ÷ỉc sü ch¿ b£o cıa thƒy cỉ v c¡c b⁄n Xin ch¥n ch¥n th nh c£m ìn! L˝I M— U B§t flng thøc l mºt nºi dung l¥u íi v quan trång cıa to¡n håc Sü íi v ph¡t tri”n cıa b§t flng thức cõ sức hút mnh m vợi nhng ngữới y¶u v am m¶ to¡n håc, khỉng ch¿ ð v· µp h…nh thøc m c£ ð nhœng b‰ 'n nâ luổn thổi thúc ngữới l m toĂn phÊi tm tặi, sĂng to BĐt flng thức cặn cõ rĐt nhiu ứng dưng c¡c mỉn khoa håc kh¡c v c£ thỹc t Ng y nay, bĐt flng thức vÔn luổn chim mt vai trặ quan trồng v vÔn thữớng xuĐt hi»n c¡c ký thi quŁc gia, quŁc t‚ Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ xin tr…nh b y mt phữỡng phĂp mợi tip cn bĐt flng thức õ l Mt phữỡng phĂp l m mnh bĐt flng thức Tł c¡c b§t flng thøc quen thuºc, k‚t hỉp vợi mt s bĐt flng thức cỡ bÊn ta cõ th xƠy dỹng cĂc bĐt flng thức mnh hỡn T õ, ta s xƠy dỹng ữổc rĐt nhiu cĂc bĐt flng thức mợi v l Lun vôn gỗm chữỡng Ch÷ìng 1: Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n (B i to¡n v ph÷ìng ph¡p gi£i) Ch÷ìng Mºt ph÷ìng ph¡p l m mnh bĐt Trong chữỡng 2, tĂc giÊ flng thøc ¢ chia th nh b i B i XƠy dỹng bĐt flng thức xoay vặng t bĐt flng thøc 1 n + x1 + + x2 +:::+ + xn x 1:x :::x n n B i XƠy dỹng bĐt flng thøc tł d⁄ng l m m⁄nh (a B i XƠy dỹng bĐt flng thức t dng l m mnh 1 (c a) = : +p b) 0;0: (c a) a+b c+b (a + b) (c + b) B i XƠy dỹng bĐt flng thức tł flng thøc cıa h m sŁ y = ; a; b; c > 0: a:x + b : c:x + d B i XƠy dỹng bĐt flng thức l m mnh nhớ sò dửng bĐt flng thức Cauchy Schwarz Tuy  cõ nhiu c gng thới gian v trnh cặn hn ch nản cĂc vĐn khõa lun vÔn chữa ữổc trnh b y s¥u s›c v khỉng tr¡nh khäi h⁄n ch‚, k‰nh mong nhn ữổc sỹ ch bÊo, õng gõp ỵ kin ca c¡c thƒy cæ v c¡c b⁄n H Nºi, th¡ng 11 n«m 2013 T¡c gi£ lu“n v«n VƠ THÀ DUNG MáTSăCHVI TT T V C CK HI UTRONGLU NV N I Mºt sŁ chœ vi‚t t›t AM - GM Arithmetic mean - Geometric mean MO Olympic To¡n quŁc gia IMO Olympic To¡n quŁc t‚ IMO Shortlish Danh s¡ch ng›n c¡c b i • nghà cıa c¡c quŁc gia IMO APMO Olympic chƠu VMEO Ký thi giÊi toĂn trản mng cıa trang www.diendantoanhoc.net TST pcm • dü tuy”n thi to¡n quc t iu phÊi chứng minh II CĂc kỵ hiằu tŒng v P Th¡i B…nh D÷ìng t‰ch thỉng dưng n k=1 ak = a1 + a2 + ::: + an n Q k=1 ak = a1:a2:::an P iB,A B>0: A v muŁn chøng minh A < B ta ch¿ cƒn chøng minh A B < C¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa b§t flng thøc 1) T‰nh ch§t b›c cƒu N‚u a > b; b > c th… a > c: 2) N‚u a > b th… ma > mb m>0 ma < mb m < 0: 3) N‚u a > b; c > d th… a + c > b + d 4) N‚u a > b; c < d th… a c > b d 5) N‚u a > b > 0; c > d > th… ac > bd a b 6) N‚u a > b > 0; d > c > th… c > d 2 7) N‚u a > b > th… a > b , a > b 3 8) a > b , a > b 1.1.2 Mt s hng flng thức thữớng sò dửng C¡c h‹ng flng thøc ¡ng nhỵ 2 2 1) (a + b) = a + 2ab + b = a + b 2) (a b)2 = a2 2ab + b2 = + 2ab a2 + b2 3 2 2ab 3) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b : 3 (a + b) = a + b + 3ab (a + b) : 3 3 4) (a b) = a (a b) = a 5) a a3 6) a3 3 2n+1 b = (a b) a + ab + b : b3 = (a b)3 + 3ab (a b) : ab + b 7) a + b = (a + b) 8) an 9) a b = (a b) (a + b) : a + b = (a + b) a 3a b + 3ab b : 3ab (a b) : b n b = (a + b 2n+1 b) a : 3ab (a + b) : n1 n +a = (a + b) a 2n b + ::: + ab a 2n n b + ::: + bn ab 2n + b2n ; n2N : ; n N: C¡c flng thøc mð rºng 2 2 3 3 1) (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ca) : 2) (a + b + c) = a + b + c + 3ab (a + b) + 3bc (b + c) + 3ca (c + a) + 3 3 6abc (a + b + c) = a + b + c + (a + b) (b + c) (c + a) 3) (a + b) (b + c) (c + a) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 2abc: 4) (a + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (ab + bc + ca) abc: 5) (a + b + c) (ab + bc + ca) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 3abc: 2 2 2 ab bc ca = (a b) + (b c) + (c a) 6) a + b + c (a + b + c) h 3 2+ (b c)2 + (c a)2 7) a + b + c 3abc = (a b) i3 (a b) + (b c) + (c a) : 2 2 2 8) a b + b c + c a ab bc ca = 2 (2a+b)(a b) +(2b+c)(b c) +(2c+a)(c a) 3 2 : 9) a + b + c a b bc c a= 3 3 3 3 3 10) a b + b c + c a ab bc ca = (a + b + c) h a) + (c b) + (a c) i (b : 1.1.3 B§t flng thøc AM GM Cho a1; a2; :::; an l c¡c sŁ thüc khỉng ¥m, ta câ a1 + a2 + ::: + an n flng thøc x£y , a1 = a2 = ::: = an p a 1a2:::an: n 0: H» qu£ 1.1.1 B§t flng thøc giœa trung b…nh cºng v trung b…nh iu hặa Cho a1; a2; :::; an l cĂc s thüc d÷ìng, ta câ n a1 + a2 + ::: + an n : + +:::+ a1 an a2 flng thøc x£y , a1 = a2 = ::: = an: 1.1.4 B§t flng thøc ho¡n Cho hai dÂy s thỹc hu hn ữổc sp thứ tỹ chiu chflng hn l hai dÂy ỡn i»u t«ng > a1 a2 > b1 b2 < : ::: an ::: bn Gåi (t1; t2; :::; tn) l mt hoĂn v tũy ỵ ca (b1; b2; :::; bn) Khi â ta câ a1b1 + a2b2 + ::: + anbn a1t1 + a2t2 + ::: + antn: D§u flng thøc x£y , a1 = a2 = ::: = an ho°c b1 = b2 = ::: = bn H» qu£ 1.1.2 B§t flng thøc Cauchy Schwarz Cho hai bº sŁ thüc a1; a2; :::; an; b1; b2; :::; bn, 2 â ta câ a + a + ::: + a n 2 + ::: + anbn) : a1 a2 an = =:::= : b1 b2 bn H» qu£ 1.1.3 B§t flng thøc Cauchy Schwarz d⁄ng Engel i= , â Cho hai bº sŁ R; xi R 1; n flng thøc x£y , n P i =1 b + b + ::: + b n (a1 + a2 + ::: + an) x x1 + x2 + ::: + xn i 10 : (a1b1 + a2b2 b2 a c2 2b a2 +2 b +2 c +3 2c + a 4(a b) c + 2 2: a +b +c 2a 4(b c) + b 2a (2.35) B i to¡n mỵi 2.36 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng b 2 a 2 c +2 b 2b a +2 c +3 2c + a + b (2.36) + 2 2: a +b +c c B i to¡n mỵi 2.37 Vỵi a; b; c > 0, chứng minh rng b 2 a Hữợng bi‚n 2b c +2 b a +2 c +3 2c + a 2a + b 4(c a) + 2 2: a +b +c c + b2 + c2 + c2 + a2 bc ca 2 = (a b)2 ab (a b) = p dưng b§t + ab + (b c)2 bc (c b) bc + + (c a)2 ca (a c) ca flng thøc Cauchy Schwarz, ta câ (a b) ab + (c b)2 bc + (a c)2 ca 4(a b) ab + bc + ca â ta cõ ữổc bĐt flng thức dng mnh l 2 a +b b2 + ab Tł â ta câ a +b ab Tł (2.37) Œi Ta câ = 2 (a b) a +b ab ab 2 (b c) = b + c2 bc bc (c a)2 = c2 + a2 ca ca Tł +c 2 + bc c +a ca + 4(a b)2 ab + bc + ca â ta câ ÷ỉc c¡c b i to¡n sau B i to¡n mỵi 2.38 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng a +b ab 2 b +c + bc 2 + c +a 6+ ca 59 4(a b) ab + bc + ca : (2.38) B i to¡n mỵi 2.39 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng a +b 2 b +c + ab 2 + bc c +a 4(b c) 6+ ca (2.39) ab + bc + ca : B i to¡n mỵi 2.40 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng a +b 2 b +c + ab Hữợng bin i Ta cõ 2 + bc 2 c +a 6+ ca (a (2.40) 4(c a) 2b) = a ab + bc + ca : 4b + 4b2 a a = b 4c + 2c) 4c b b (c 2a)2 = c 4a + 4a2 c c (b Tł â ta câ 2 4a + 4b +4c c a (a 2b) = (a 2b) = b a (a + b + c) + (b 2c) + b (2c b) (c 2a) c (2a c) + + a b M°t kh¡c sß dưng b§t flng thøc Cauchy Schwarz, ta câ (a 2b) (2c b) + a b T õ ta ữổc bĐt flng thøc d⁄ng m⁄nh 4a 4b + c 2 (2a c) + c + b c (3a 3b + c) a+b+c 4c a (3a 3b + c) (a + b + c) + a+b+c V“y ta câ ÷ỉc b i to¡n sau B i to¡n mỵi 2.41 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng 4a c + 4b a + 4c b (a + b + c) + 60 (3a 3b + c) a+b+c : (2.41) B i to¡n mỵi 2.42 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng 4a + c 4b 4c + a (a + 3b 3c) (a + b + c) + b a+b+c : (2.42) : (2.43) B i to¡n mỵi 2.43 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng 4a + c 4b a 4c + (3a + b 3c) (a + b + c) + b a+b+c Hữợng bin Œi Ta câ th” l m m⁄nh b§t flng thức bc cao hỡn nhữ sau p dửng bĐt flng thøc Cauchy Schwarz, ta câ Z X44 +Y a + b 2 X +Y +Z c 2 a+b+c M°t kh¡c ta l⁄i câ 2 X +Y +Z 3(X+Y +Z) Tł â ta câ ÷ỉc b§t flng thøc X Y + a Tł b Z + (X+Y +Z) c : a+b+c â ta câ ÷ỉc c¡c b i to¡n sau B i to¡n mỵi 2.44 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng (a b) + a (b c) 4 + b (c a) c 16 (a b) : a+b+c : (2.44) B i to¡n mỵi 2.45 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng (a b) a + (b c) b 4 + (c a) c B i to¡n mỵi 2.46 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng 61 16 (b c) : a+b+c : (2.45) (a b) a + (b c) 4 + b (c a) c 16 (c a) : : a+b+c (2.46) B i to¡n mỵi 2.47 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng (a b) (b c) + a b 4 (c a) + 16 (a b) (2.47) : : a2 + b2 + c2 c2 B i to¡n mỵi 2.48 Vỵi a; b; c > 0, chøng minh r‹ng (a b) ab (b c) + bc 4 16 (c a) + (a b) : : ab + bc + ca ca 62 (2.48) MáTSăNH NX TV BT Tł c¡c b i to¡n tr¶n ta th§y NGTHÙCD NGPH NTHÙC ” l m c¡c b i toĂn v bĐt flng thức dng phƠn thức ta thữớng sß dưng c¡c kÿ thu“t sau: Sß dưng bŒ • X Y + Z (X+Y +Z) + a b c Sò dửng bĐt flng thức Schur a (a Sò dửng bĐt flng thức dng ; 8a; b; c R : a+b+c b) (a c) + b (b a2 b2 b+c b2 c + c) (b a) + c (c a) (c b) 0: c2 + c+a a2 a+b 0: Sß dửng lữổng giĂc Sò dửng mt s bin i 1 +) a + b + c = abc ) ab + bc + ca = 1: +) x + y + z + = xyz ) + + = 1: 1+x 1+y 1+z Mºt sŁ b i to¡n i”n h…nh B i to¡n 2.49 Vợi a; b; c > thọa mÂn a + b + c = abc Chøng minh r‹ng 2 4: 1 +2 (2.49) b c + a a2 + 2 b c + a +1 Líi gi£i Tł gi£ thi‚t a + b + c = abc ) + b +1 c +1 1 + + = 1: ab bc ca A B C Tł â suy 9A; B; C l gâc cıa mºt tam gi¡c cho a = tan ; b = tan ; c = tan T õ ta cõ iu phÊi chứng minh tữỡng ữỡng vợi bĐt flng thức 1 + cos A + cos B + cos C + + + cos A + cos B + cos C 2 + sin A cos B C , cos A + + cos A + sin A cos B C 2 , cos A + A + cos A + sin cos K‰ hi»u x = cos B B C 2 + 4cos 2B cos 2C C suy < x 63 2 + sin A cos B C 2 + +C B C B cos + cos 2 7 2 A sin = C = x suy B + C B C A = (A; B; C) 60 suy < = sin Ta câ = cos B+C B cos 2 2 Ta cƒn ph£i chøng minh 2+2x + x + 2 f (x) = + vỵi < x 2 ( + x) Th“t v“y, ta câ ( + x) (2 ) (2 + x) (x + ) f (x) = + ,C>0: 1;0< , f0 (x) = + , f0 (x) = " ( + x) (1 + x) ( + x) (x + ) ( + x) 3+ # ( + x) (x + ) (1 + x) # ( + x) " , f0 (x) = (x + )3 + Ta câ ( 3 x) v… (x > ) ( + x) x 2 2= 27 16 27 2 0: (ab + bc + ca) Suy M Hay M 9 (a + b + c) (ab + bc + ca) : D§u "=" x£y v ch¿ x = y = z = 2: Suy 67 i•u ph£i chøng minh + B i to¡n 2.52 Vỵi 8a; b; c R : Chøng minh r‹ng P= a + bc b + ca + a(b + c)3 2 + b(c + a)3 c + ab : c(a + b)3 (2.52) Líi gi£i Ta câ a + bc P= a(b + c)3 = + bc 2 + b + b (c + a)3 2 + b+c a (b + c) c + ab c + ab c+a + b (c + a) 2 a + bc + b + ca + c + ab c(a + b)3 b + ca a 2 + ca a+b c (a + b) b + cc + aa + b (ab + bc + ca) Ta chøng minh r‹ng 2 a + bc + b + ca + c + ab a + b + c b+c c+a a+b () Th“t v“y + bc a (), b+c a b 2 b + b + ,Q= c + a Khi â ta câ b + c c + a tł â suy c V… c V“y Q b a 2 b +b 2 c +c 2 a b c+a c2 a2 c+a a c+a Hay Q 0: D§u"="x£y v a+b c+a khæng gi£m tŒng qu¡t a < 0; a + b c + a suy a + b a + c + ab b+c c2 a2 c c+a b+c b+c Do t‰nh ch§t Łi xøng ta gi£ sß a b c m 2 b + ca ch¿ a = b = c: B i toĂn 2.52 cõ th vit dữợi dng + B i to¡n 2.52* Vỵi 8a; b; c R : Chøng minh r‹ng 68 a0 b+c a c+a b + a+b c + + a(b + c)3 b(c + a) + a2 b + b 2c + c 2a + c(a + b)3 : + B i to¡n 2.53 Vỵi 8a; b; c R : Chøng minh r‹ng a P= b (b + c) + c (c + a) + (a + b) a2 + b2 + c2 : 32 : (ab + bc + ca)3 (2.53) Líi gi£i Ta câ a a+b b b+c P= c+a c + b (c + a) a (b + c) 2+ "b + c c+a a a+b b 2# c + + c (a + b) (ab + bc + ca) Ta chøng minh a S= + b+c b + c+a c a+b 2 2 3a +b +c : ab + bc + ca Th“t v“y 4 S= [a (b + c)]2 + a [b (c + a)] b + [c (a + b)]2 c 2 [a (b + c)] + [b (c + a)]2 a +b + [c (a + b)] +c Ta chøng minh 2 2 2 [a (b + c)]2 + [b (c + a)] : + [c (a + b)] a+b+c ab + bc + ca () 3a+b+c Th“t v“y 2 (),4a +b +c 2 (ab + bc + ca) 2 2 32a b +b c +c a + 2abc (a + b + c) 2 2 2 , 4a (b + c) + 4b (c + a) + 4c (a + b) + 4abc (a + b + c) a b + b c + c a , a b + ab 3 + a c + ac 3 2 + c b + cb 2 2 6a b +b c +c a + 2abc (a + b + c) M°t kh¡c, ta câ 3 a b + ab + a c + ac 3 + c b + cb 69 2 + 6abc (a + b + c) 2 2 8a b +b c +c a 2 2 2 6a b +b c +c a + 2abc (a + b + c) ( pcm) V“y suy 16 : 2 a 22 +b +c (ab + bc + ca)2 P (ab + bc + ca) Hay 9a +b 2 P +c 32(ab + bc + ca) D§u "=" x£y v ch¿ a = b = c: B i to¡n 2.54 Vỵi 8a; b; c R a (b + c) (1 + bc) (a + bc) + thäa m¢n a + b + c = 1: Chøng minh r‹ng b (c + a) + (1 + ca) (b + ca) + c (a + b) 27 (1 + ab) (c + ab) 20 : (2.54) Líi gi£i Ta câ (2:54) , ,a a (a 1) b (b 1) c (c 1) 27 (1 + bc) (a + bc) + (1 + ca) (b + ca) + (1 + ab) (c + ab) + bc 1 a + bc +b + ca b + ca +c 1 + ab 1 M°t kh¡c ta câ a b + c + ab + a + bc a + bc Suy c b + ca + b + ca a + c + ab b c Ta chøng minh a P= c + ab 10 b + bc + + ca + Th“t v“y 2 a P= a + abc b + b + abc + c (a + b + c) c + abc a + b + c + abc 20 c + ab20 27 Hay P + 3abc M°t kh¡c abc a+b+c =1 27 Suy P 10 V“y tł â suy + ca b + ca a + bc a + bc , a + bc +b + ab c + ab +c 1 a + bc + b + ca 1 1 b + ca + c + ab 1 c + ab 10 9 27 20 D§u "=" x£y v ch¿ a = b = c = V“y ta câ 71 pcm KTLUN Lun vôn  t ữổc mt s kt qu£ sau: Lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ b i toĂn v phữỡng phĂp giÊi bĐt flng thức cì b£n v mºt sŁ b§t flng thøc c¡c thi toĂn quc t sò dửng cĂc bĐt flng thức trản Lun vôn  ữa mt s phữỡng phĂp xƠy dỹng bĐt flng thức t viằc l m m⁄nh c¡c b§t flng thøc cì b£n Lu“n vôn giợi thiằu mt s bĐt flng thức cĂc • thi håc quŁc gia v quŁc t‚, v c¡ch suy lun m rng cĂc bĐt flng thức trản Lun vôn tng kt mt s phữỡng phĂp thữớng sò dửng chứng minh bĐt flng thức dng phƠn thức T kt quÊ ca lun vôn n y, ta thĐy r‹ng tł c¡c suy lu“n ìn gi£n, loogic ta câ th xƠy ỹng ữổc mt lợp cĂc bĐt flng thức hay v l TĂc giÊ hy vồng vợi ỵ tững trản s giúp cho c giÊ xƠy dỹng ữổc nhiu bĐt flng thức khĂc l m phong phú thảm cĂc b i toĂn bĐt flng thức  rĐt a dng TĂc giÊ rĐt mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ ki‚n cıa c¡c thƒy cæ v c¡c t i n y ti‚p tưc ÷ỉc ho n thi»n T¡c gi£ xin chƠn th nh cÊm ỡn! 72 ỗng nghiằp T i li»u tham kh£o [1] Ph⁄m Kim Hòng (2006), SĂng to bĐt flng thức , NXB Thng kả H Nºi [2] Phan Huy Kh£i (2001), 10 000 b i to¡n c§p , NXB H Nºi, H Nºi [3] Phan Huy Kh£i (2009), B§t flng thøc v øng döng , NXB Gi¡o Döc Vi»t Nam, H Nºi [4] Nguyn Vụ Lữỡng (ch biản), Phm Vôn Hũng, Nguyn Ngồc Thng (2008), CĂc b i giÊng v bĐt flng thức Cauchy , NXB ⁄i håc quŁc gia H Nºi, H Ni [5] Nguyn Vụ Lữỡng (ch biản), Nguyn Ngồc Thng (2009), CĂc b i giÊng v bĐt flng thức Bunhiacopsi , NXB ⁄i håc quŁc gia H Nºi, H Nºi [6] Trƒn Ph÷ìng (2011), Nhœng ÷íng kh¡m ph¡ líi giÊi bĐt flng thức , NXB i hồc Sữ phm, H Ni [7] Trn Phữỡng (2012), Nhng viản kim cữỡng bĐt flng thức toĂn hồc , NXB Tri thøc, H Nºi [8] Tı s¡ch to¡n håc v tuŒi tr· (2007), C¡c b i thi Olympic To¡n , NXB Gi¡o döc, H Nºi [9] T i li»u tł Internet 73 ... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng... b i B i XƠy dỹng bĐt flng thức xoay vặng t bĐt flng thức 1 n + x1 + + x2 +:::+ + xn x 1:x :::x n n B i XƠy dỹng bĐt flng thức t dng l m mnh (a B i XƠy dỹng bĐt flng thức t d⁄ng l m m⁄nh 1 (c... T NG THÙC 2.1 X¥y düng bĐt flng thức xoay vặng t bĐt flng thức 1 n 32 : 32 0;0: 37 ; a; b; c > 0: 44 2.4 XƠy dỹng bĐt flng thức t flng thøc cıa h m sŁ y =