Một số phương pháp làm mạnh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG HÀ NỘI - NĂM 2013 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 1.2 Các kiến thức 1.1.1 Định nghĩa tính chất bất đẳng thức 1.1.2 Một số đẳng thức thường sử dụng 1.1.3 Bất đẳng thức AM – GM 10 1.1.4 Bất đẳng thức hoán vị 10 1.1.5 Bất đẳng thức Schur tổng quát 11 Một số kỹ chứng minh bất đẳng thức 12 1.2.1 Kỹ 1: Sử dụng tham số biến đổi 12 1.2.2 Kỹ 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 15 1.2.3 Kỹ 3: Kỹ thuật thêm hạng tử 19 1.2.4 Kỹ 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ 24 1.2.5 Kỹ 5: Chuyển biến trở thành tham số 25 1.2.6 Kỹ 6: Chọn chiều đơn giản từ bất đẳng thức dạng phân thức 27 1.2.7 Kỹ 7: Sử dụng đẳng thức thích hợp 28 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 2.2 Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 n + + + ≥ √ + x1 + x2 + xn + n x1 x2 xn 2.4 2.5 32 Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh α(a − b)2 ≥ 0, α ≥ 2.3 32 Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh (c − a)2 (c − a) = − , a, b, c > a+b c+b (a + b) (c + b) Xây dựng bất đẳng thức từ đẳng thức hàm số a.x + b y= c.x + d 37 44 54 Xây dựng bất đẳng thức làm mạnh nhờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC 56 63 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 LỜI CẢM ƠN Sau hai năm học tập nghiên cứu trường Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, tác giả hồn thành khóa luận với đề tài “ Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức” Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy dành thời gian hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải vần đề nảy sinh q trình làm luận văn hồn thành luận văn định hướng ban đầu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ – Tin trường Đại học khoa học tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Tổ Tốn – Tin trường THPT Ngô Sĩ Liên, TP Bắc Giang, T Bắc Giang, bạn học viên lớp Phương pháp tốn sơ cấp khóa 11 – 13 đọc, kiểm tra cho ý kiến quý báu để luận văn hoàn thiện phong phú Cuối biết ơn tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè thông cảm, động viên giúp đỡ tác giả q trình hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận bảo thầy cô bạn Xin chân chân thành cảm ơn! LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng toán học Sự đời phát triển bất đẳng thức có sức hút mạnh mẽ với người u đam mê tốn học, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng môn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức chiếm vai trò quan trọng thường xuất kỳ thi quốc gia, quốc tế Trong luận văn này, tác giả xin trình bày phương pháp tiếp cận bất đẳng thức “Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức” Từ bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với số bất đẳng thức ta xây dựng bất đẳng thức mạnh Từ đó, ta xây dựng nhiều bất đẳng thức lạ Luận văn gồm chương Chương 1: Một số kiến thức (Bài toán phương pháp giải) Chương Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức Trong chương 2, tác giả chia thành Bài Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 n + + + ≥ √ + x1 + x2 + xn + n x1 x2 xn Bài Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh α(a − b)2 ≥ 0, α ≥ Bài Xây dựng bất đẳng thức từ dạng làm mạnh (c − a)2 − = , a, b, c > (c − a) a+b c+b (a + b) (c + b) a.x + b Bài Xây dựng bất đẳng thức từ đẳng thức hàm số y = c.x + d Bài Xây dựng bất đẳng thức làm mạnh nhờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi hạn chế, kính mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn VŨ THỊ DUNG MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN I Một số chữ viết tắt AM - GM – Arithmetic mean - Geometric mean MO – Olympic Toán quốc gia IMO – Olympic Toán quốc tế IMO Shortlish – Danh sách ngắn đề nghị quốc gia IMO APMO – Olympic châu Á Thái Bình Dương VMEO – Kỳ thi giải tốn mạng trang www.diendantoanhoc.net TST – Đề dự tuyển thi toán quốc tế Đpcm – Điều phải chứng minh II Các ký hiệu tổng tích thơng dụng n ak = a1 + a2 + + an k=1 n ak = a1 a2 an k=1 aj = a1 a2 + a1 a3 + + a1 an + a2 a3 + + a2 an + + an−1 an 1≤i B ⇔ A − B > A < B ⇔ A − B < Như từ định nghĩa bất đẳng thức, ta có phương pháp để chứng minh bất đẳng thức: Để chứng minh A > B, ta cần chứng minh A − B > muốn chứng minh A < B ta cần chứng minh A − B < Các tính chất bất đẳng thức 1) Tính chất bắc cầu Nếu a > b, b > c a > c 2) Nếu a > b ma > mb m>0 ma < mb m < 3) Nếu a > b, c > d a + c > b + d 4) Nếu a > b, c < d a − c > b − d 5) Nếu a > b > 0; c > d > ac > bd a b > c d 7) Nếu a > b > a > b ⇔ a2 > b2 6) Nếu a > b > 0; d > c > 8) a > b ⇔ a3 > b3 1.1.2 Một số đẳng thức thường sử dụng Các đẳng thức đáng nhớ 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2 + 2ab 2) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 = a2 + b2 − 2ab 3) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) 4) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab (a − b) 5) a2 − b2 = (a − b) (a + b) 6) a3 − b3 = (a − b) a2 + ab + b2 a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab (a − b) 7) a3 + b3 = (a + b) a2 − ab + b2 a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab (a + b) 8) an − bn = (a − b) an−1 + an−2 b + + abn−2 + bn−1 , n ∈ N∗ 9) a2n+1 + b2n+1 = (a + b) a2n − a2n−1 b + − ab2n−1 + b2n , n ∈ N Các đẳng thức mở rộng 1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca) 2) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab (a + b) + 3bc (b + c) + 3ca (c + a) + 6abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b) (b + c) (c + a) 3) (a + b) (b + c) (c + a) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 2abc 4) (a + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (ab + bc + ca) − abc 5) (a + b + c) (ab + bc + ca) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 3abc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 6) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a + b + c) 7) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 8) a2 b + b2 c + c2 a − ab2 − bc2 − ca2 = 2 (2a+b)(a−b) +(2b+c)(b−c) +(2c+a)(c−a) 9) a3 + b3 + c3 − a2 b − b2 c − c2 a = (a + b + c) 10) a3 b + b3 c + c3 a − ab3 − bc3 − ca3 = (b − a)3 + (c − b)3 + (a − c)3 1.1.3 Bất đẳng thức AM – GM Cho a1 , a2 , , an số thực khơng âm, ta có a1 + a2 + + an √ ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = = an ≥ Hệ 1.1.1 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hịa Cho a1 , a2 , , an số thực dương, ta có a1 + a2 + + an n ≥ 1 n + + + a1 a2 an Đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = = an 1.1.4 Bất đẳng thức hoán vị Cho hai dãy số thực hữu hạn thứ tự chiều chẳng hạn hai dãy đơn điệu tăng    a1 ≤ a2 ≤ ≤ an   b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn Gọi (t1 , t2 , , tn ) hoán vị tùy ý (b1 , b2 , , bn ) Khi ta có a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≥ a1 t1 + a2 t2 + + an tn Dấu đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = = an b1 = b2 = = bn Hệ 1.1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho hai số thực a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn , ta có a21 + a22 + + a2n b21 + b22 + + b2n ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 a2 an a1 = = = b1 b2 bn Hệ 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel Đẳng thức xảy ⇔ Cho hai số ∈ R, xi ∈ R∗ i = 1, n , a2i (a1 + a2 + + an )2 ≥ x1 + x2 + + xn i=1 xi n 10 MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC Từ toán ta thấy để làm toán bất đẳng thức dạng phân thức ta thường sử dụng kỹ thuật sau: Sử dụng bổ đề (X + Y + Z)2 X2 Y Z2 + + ≥ , ∀a, b, c ∈ R∗ a b c a+b+c Sử dụng bất đẳng thức Schur a (a − b) (a − c) + b (b − c) (b − a) + c (c − a) (c − b) ≥ Sử dụng bất đẳng thức dạng a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 + + ≥ b+c c+a a+b Sử dụng lượng giác Sử dụng số biến đổi +) a + b + c = abc ⇒ 1 + + = ab bc ca +) x + y + z + = xyz ⇒ 1 + + = 1+x 1+y 1+z Một số tốn điển hình Bài toán 2.49 Với a, b, c > thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh 1 + + +2 a b c a2 − b2 − c2 − + + a2 + b2 + c2 + ≥ (2.49) Lời giải 1 + + = ab bc ca A B C Từ suy ∃A, B, C góc tam giác cho = tan , = tan , = tan a b c Từ ta có điều phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức 1 + + + cos A + cos B + cos C ≥ + cos A + cos B + cos C Từ giả thiết a + b + c = abc ⇒ A B−C + sin cos A B−C 2 ⇔ cos A + + sin cos + ≥ B C + cos A 2 4cos2 cos2 2 A B−C + sin cos A B−C 2 ⇔ cos A + + sin cos + ≥ + cos A 2 B−C B+C cos + cos 2 Kí hiệu x = cos B−C suy < x ≤ 63 A = (A, B, C) ≤ 600 suy < α = sin A π ≤ sin = B+C B−C B+C B−C ≤ cos = x suy ≥ ⇔ C > 2 2 Ta cần phải chứng minh + 2αx ≥ với < x ≤ 1, < α ≤ + 2αx + f (x) = − 2α2 + 2 − 2α 2 (α + x) Thật vậy, ta có (α + x)2 (2α) − (2 + 2αx) (x + α) f (x) = 2α + (α + x)4 Ta có α = cos ⇔ f (x) = 2α + (1 + αx) 2α − (α + x) (α + x)3 ⇔ f (x) = α(x + α)3 + α (x + α) − (1 + αx) (α + x)3 ⇔ f (x) = α(x + α)3 + α2 − αx − (α + x)3 27 Suy f (x) < f (x) nghịch biến (0; 1] Ta có α (α − x) ≤ (x > α) α(α + x)3 − ≤ −2= 27 −2 (ab + bc + ca) (a + b + c) (ab + bc + ca) 9 Hay M ≤ Dấu "=" xảy x = y = z = Suy điều phải chứng minh 67 Bài toán 2.52 Với ∀a, b, c ∈ R+ Chứng minh P = a2 + bc a(b + c) + b2 + ca b(c + a) + c2 + ab c(a + b) 3 ≥ (2.52) Lời giải Ta có P = = ≥ a2 + bc a(b + c)3 a2 + bc b+c a (b + c) + + b2 + ca b(c + a)3 b2 + ca c+a b (c + a) + c2 + ab c(a + b)3 + a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + b+c c+a a+b (ab + bc + ca) c2 + ab a+b c (a + b) 2 Ta chứng minh a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + ≥a+b+c b+c c+a a+b (∗) Thật b2 + ca a2 + bc −b + −c + b+c c+a a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 ⇔Q= + + ≥0 b+c b+c c+a (∗) ⇔ c2 + ab −a a+b Do tính chất đối xứng ta giả sử a ≥ b ≥ c mà không giảm tổng quát Khi ta có b + c ≤ c + a từ suy Vì c2 − a2 < 0, a + b ≥ c + a suy a2 − b2 a2 − b2 ≥ b+c c+a c2 − a2 c2 − a2 ≥ a+b c+a a2 − b2 + b2 − c2 + c2 − a2 c+a Hay Q ≥ Vậy Q ≥ Dấu"="xảy a = b = c Bài tốn 2.52 viết dạng Bài tốn 2.52* Với ∀a, b, c ∈ R+ Chứng minh 68 ≥0 a b+c + b c+a + c a+b 1 + + a(b + c) b(c + a) c(a + b)3 + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ Bài toán 2.53 Với ∀a, b, c ∈ R+ Chứng minh P = b3 c3 a2 + b2 + c2 a3 + + ≥ 32 (ab + bc + ca)3 (b + c)5 (c + a)5 (a + b)5 (2.53) Lời giải Ta có 4 a b c b+c c+a a+b P = + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) a b+c + b c+a c a+b + 2 (ab + bc + ca) Ta chứng minh S= a b+c + b c+a + c a+b a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Thật S= a2 + b2 + c2 a4 b4 c4 + + ≥ [a (b + c)]2 [b (c + a)]2 [c (a + b)]2 [a (b + c)]2 + [b (c + a)]2 + [c (a + b)]2 Ta chứng minh a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca [a (b + c)]2 + [b (c + a)]2 + [c (a + b)]2 (∗) Thật (∗) ⇔ a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc (a + b + c) ⇔ 4a3 (b + c) + 4b3 (c + a) + 4c3 (a + b) + 4abc (a + b + c) ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 6abc (a + b + c) ⇔ a3 b + ab3 + a3 c + ac3 + c3 b + cb3 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc (a + b + c) Mặt khác, ta có a3 b + ab3 + a3 c + ac3 + c3 b + cb3 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 69 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc (a + b + c) (Đpcm) Vậy suy a2 + b2 + c2 16 (ab + bc + ca)2 P ≥ (ab + bc + ca) Hay P ≥ a2 + b2 + c2 32(ab + bc + ca)3 Dấu "=" xảy a = b = c Bài toán 2.54 Với ∀a, b, c ∈ R+ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a (b + c) b (c + a) c (a + b) 27 + + ≤ (1 + bc) (a + bc) (1 + ca) (b + ca) (1 + ab) (c + ab) 20 (2.54) Lời giải Ta có a (a − 1) b (b − 1) c (c − 1) 27 + + ≥− (1 + bc) (a + bc) (1 + ca) (b + ca) (1 + ab) (c + ab) 20 1 1 1 27 ⇔a − +b − +c − ≥− + bc a + bc + ca b + ca + ab c + ab 20 (2.54) ⇔ Mặt khác ta có a b c + + ≤ a + bc b + ca c + ab Suy − a b c + + a + bc b + ca c + ab ≥− Ta chứng minh P = a b c + + ≥ + bc + ca + ab 10 Thật P = a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ a + abc b + abc c + abc a + b + c + abc 70 Hay P ≥ 1 + 3abc Mặt khác abc ≤ a+b+c 3 = 27 10 Vậy từ suy Suy P ≥ 1 1 +b +c ≥ − − − − + bc a + bc + ca b + ca + ab c + ab 10 1 1 1 27 ⇔a − − − +b +c ≥− + bc a + bc + ca b + ca + ab c + ab 20 a Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy ta có đpcm 71 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Luận văn trình bày số toán phương pháp giải bất đẳng thức số bất đẳng thức đề thi toán quốc tế sử dụng bất đẳng thức Luận văn đưa số phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ việc làm mạnh bất đẳng thức Luận văn giới thiệu số bất đẳng thức đề thi học quốc gia quốc tế, cách suy luận mở rộng bất đẳng thức Luận văn tổng kết số phương pháp thường sử dụng chứng minh bất đẳng thức dạng phân thức Từ kết luận văn này, ta thấy từ suy luận đơn giản, loogic ta xây đựng lớp bất đẳng thức hay lạ Tác giả hy vọng với ý tưởng giúp cho độc giả xây dựng nhiều bất đẳng thức khác làm phong phú thêm toán bất đẳng thức vốn đa dạng Tác giả mong nhận góp ý kiến thầy đồng nghiệp để đề tài tiếp tục hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 72 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kim Hùng (2006), “ Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Thống kê Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2001), “ 10 000 toán sơ cấp” , NXB Hà Nội, Hà Nội [3] Phan Huy Khải (2009),“ Bất đẳng thức ứng dụng” , NXB Giáo Dục Việt Nam, Hà Nội [4] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), “Các giảng bất đẳng thức Cauchy” , NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopsi , NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [6] Trần Phương (2011),“Những đường khám phá lời giải bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [7] Trần Phương (2012),“Những viên kim cương bất đẳng thức toán học”, NXB Tri thức, Hà Nội [8] Tủ sách toán học tuổi trẻ (2007), “Các thi Olympic Toán” , NXB Giáo dục, Hà Nội [9] Tài liệu từ Internet 73 ... phương pháp tiếp cận bất đẳng thức ? ?Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức” Từ bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với số bất đẳng thức ta xây dựng bất đẳng thức mạnh Từ đó, ta xây dựng nhiều bất. .. 28 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM MẠNH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 2.2 Xây dựng bất đẳng thức xoay vòng từ bất đẳng thức 1 n + + + ≥ √ + x1 + x2 + xn + n x1 x2 xn 2.4 2.5 32 Xây dựng bất đẳng. .. bất đẳng thức lạ Luận văn gồm chương Chương 1: Một số kiến thức (Bài toán phương pháp giải) Chương Một phương pháp làm mạnh bất đẳng thức Trong chương 2, tác giả chia thành Bài Xây dựng bất đẳng