Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 1.911 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
1.911
Dung lượng
36,57 MB
Nội dung
CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY A KIẾN THỨC CƠ BẢN http://megabook.vn/ http://megabook.vn/ B CÁC BÀI TỐN BÀI TỐN 1: BÀI TỐN TÌM ðIỂM ðể hiểu rõ cho hướng tư tương ứng với TH Bài toán 1: “Bài Tốn Tìm ðiểm” thầy dùng thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho 11 ; đường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm A 2 CN = 2ND Giả sử M 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng 3) (B – 2012:CB) Cho đường tròn (C1 ) : x + y = , (C2 ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vng góc với d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M (− ;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://megabook.vn/ 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho 11 ; đường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm A 2 CN = 2ND Giả sử M Cách Phân tích: : +) Ta có { A} = AN ∩ AM nên Theo hướng tư (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM +) Biết M chưa biết A (chính đáp số ta cần tìm) nên ta phải tìm thêm vtpt vtcp +) Bài tốn khơng có yếu tố song song, vng góc để tìm vtpt vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng ( uuuur uuur +) Yếu tố ñịnh lượng: cos ∠MAN = cos nAM , nAN uuuur ) ⇒n AM ⇒ phương trình AM → tọa độ điểm A Giải: ðặt AB = a ⇒ ND = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = AM + AN − MN 2 = AM AN uuuur uuur uuuur uuur Gọi nAM = (a; b) vtpt AM ta có nAN = (2; −1) ⇒ cos ∠MAN = cos nAM , nAN Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = ( ) 2a − b 3a = −b = ⇔ 2(2a − b) = 5(a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = ⇔ (3a + b)(a − 3b) = ⇔ 2 2 a + b +1 a = 3b uuuur 11 1 +) Với 3a = −b chọn a = 1; b = −3 ⇒ nAM = (1; −3) ⇒ phương trình AM : x − − y − = 2 2 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(1; −1) hay AM : x − y − = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ: x − y − = y = −1 uuuur 11 1 +) Với a = 3b chọn a = 3; b = ⇒ nAM = (3;1) ⇒ phương trình AM : x − + y − = 2 2 ⇔ 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(4;5) 3x + y − 17 = y = hay AM : x + y − 17 = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ: Vậy A(1; −1) A(4;5) http://megabook.vn/ Cách 2: Phân tích: A ∈ AN nên Theo hướng tư (TH2) ta gọi A(t ) ∈ AN ta cần thiết lập phương trình f (t ) = A 11 ; trung ñiểm BC ta chưa sử dụng – giúp ta làm ñiều này) → t = ? → 2 (còn kiện M Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 +1 2 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = +) Gọi A(t ; 2t − 3) ∈ AN AM = 10 (*) = 2 45 (theo (*)) t = A(1; −1) 45 11 ⇔ t − 5t + = ⇔ ⇒ ⇔ t − + 2t − = 2 2 t = A(4;5) Vậy A(1; −1) A(4;5) 2 Cách 3: 11 ; cố ñịnh Nếu AM = h = const ( ta tìm cách tính AM ) 2 Phân tích: A ∈ AN M Nên Theo hướng tư (TH3) : { A} = AN ∩ (C ) với (C ) đường tròn tâm M bán kính R = h http://megabook.vn/ 2 Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = = +1 2 a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = 10 = 2 Vậy AM = 11 − −3 10 45 11 ⇒ A nằm đường tròn có phương trình: x − + y − = 2 2 2 11 2 45 x = x = x− + y− = Mà A ∈ AN : x − y − = Nên ta xét hệ : 2 2 ⇔ y = −1 y = 2 x − y − = Vậy A(1; −1) A(4;5) Cách 4: (Các em tham khảo thêm cách giải Bộ Giáo Dục cách giải theo thầy khơng “tự nhiên” nên thầy khơng trình bày đây) 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có ñộ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vng Phân tích: x2 y +) (E) có độ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = + = ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH4) ta gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) : A ∈ (C ) ⇒ x + y = kiện (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng giúp ta thiết lập thêm phương trình: y = x (4 ñỉnh nằm hai ñường phân giác thuộc góc phần tư thứ thứ hai – ta chọn điểm +) Phương trình ( E ) : A( x; y ) ( x > ) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa ñộ ñiểm A Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) có dạng: +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ b → phương trình (E) x2 y + =1 a b2 +) (E) có độ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = +) Gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) Ta có: A ∈ (C ) ⇒ x + y = (1) Mặt khác: (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vng ⇒ y = x (2) Từ (1) (2) ⇒ x = ⇒ x = (vì x > ) ⇒ y = ⇒ A(2; 2) +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ 22 22 16 x2 y2 Vậy phương trình tắc elip (E) là: + = ⇒ b = + =1 42 b 16 16 http://megabook.vn/ 3) (B – 2012:CB) Cho đường tròn (C1 ) : x + y = , (C ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vng góc với d Phân tích: Muốn viết phương trình đường tròn ta cần: +) Xác định tâm I (dùng Thuật Tốn Tìm ðiểm) Khi theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) ∈ II1 (Trước ta lập phương trình II1 qua I1 vng góc với AB (tính chất ñường nối tâm) hay song song với d ) Và kiện I ∈ (C2 ) giúp ta thiết lập ñược phương trình : f (t ) = → t = ? → tọa ñộ ñiểm I ( Ta làm theo Hướng tư (TH3) với { I } = II1 ∩ (C2 ) → tọa ñộ I - cách trình bày khác TH2) +) Xác định bán kính: R nhờ R = d ( I , d ) Giải: Gọi I tâm ñường tròn (C ) cần viết phương trình Ta có (C1 ) : x + y = ⇒ tâm (C1 ) I1 (0;0) II1 ⊥ AB ⇒ II1 // d ⇒ phương trình II1 : x − y = AB ⊥ d Vì Gọi I (t ; t ) ∈ II1 mà I ∈ (C2 ) ⇒ t + t − 12t + 18 = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = ⇒ I (3;3) Mà (C ) tiếp xúc với d ⇒ R = d ( I , d ) = 3−3+ +1 2 = 2 Vậy phương trình (C ) là: ( x − 3) + ( y − 3) = 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox x2 y + = (a > b > 0) ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH2) (E) qua ñỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên gọi A( a; 0) ∈ Ox B (0; b) ∈ Oy Phân tích: +) Phương trình ( E ) : +) Khai thác kiện: AC = 2BD → f1 (a, b) = (1) +) Khai thác kiện: đường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi → f ( a, b) = (2) Từ (1) (2) → a = ? b = ? → phương trình (E) http://megabook.vn/ Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) : x2 y2 + = ( với a > b > ) a b2 Vì (E) qua ñỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên khơng tính tổng qt giả sử: A( a; 0) B (0; b) Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2OA = 4OB ⇔ OA = 2OB ⇔ a = 2b (vì a > b > ) hay A(2b;0) , B (0; b) Gọi H hình chiếu O lên AB ⇒ OH = R = ( đường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi) 1 1 1 Xét tam giác OAB ta có: = + hay = + ⇔ b = ⇒ a = 4b = 20 2 OH OA OB 4b b x y2 Vậy phương trình tắc elip ( E ) là: + =1 20 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( − ;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 1: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A +) Theo Hướng tư (TH2) : D ∈ AD , B ∈ AB nên ta gọi D (t1 ), B(t2 ) (trước ta lập pt AB ) +) Gọi { I } = AC ∩ BD ( I trung ñiểm AC BD ) ⇒ I (t1 , t2 ) mà I ∈ AC ⇒ f1 (t1 , t2 ) = (1) uuur uuuur Vì MB, MD phương ⇒ f (t1 , t2 ) = (2) t1 = ? ⇒ tọa ñộ B, D, I C t2 = ? +) Từ (1) (2) ⇒ x + 3y = x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ: x + y −1 = ⇔ x+ y+2=0 −1 t +t t −t +2 Gọi B (t1 ; −t1 − 2) ∈ AB D (t2 ; t2 + 4) ∈ AD ( t1 ; t2 ≠ −3 ) ⇒ I ; : trung ñiểm BD AB ñi qua A vng góc với AD nên AB có phương trình: t2 + t1 t −t + + = ⇔ 2t2 − t1 + = ⇔ t1 = 2t2 + (*) 2 uuur uuuur 10 Có: MB = t1 + ; −t1 − = 2t2 + ; −2t2 − (theo (*)) MD = t2 + ; t2 + 3 uuur uuuur 6t + 10 −2t2 − Mặt khác B, D , M thẳng hàng ⇒ MB , MD phương ⇒ = = −2 ⇔ t2 = −1 ⇒ t1 = 3t2 + t2 + Mà I ∈ AC ⇒ ⇒ B (1; −3), D(−1;3) I (0;0) ⇒ C (3; −1) ( I trung điểm AC ) http://megabook.vn/ 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( − ;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 2: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa độ điểm A +) Do tốn có nhiều tính chất đối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm điểm phụ liên quan Cụ thể: +) Ta tìm ñiểm N ñối xứng với M qua ñường trung trực d AD cách viết pt d ' ñi qua M song song với AD { N } = d '∩ AC ⇒ pt trung trực d AD ⇒ tọa ñộ trung ñiểm I , J AC AD ⇒ tọa ñộ C , D, B x + 3y = x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ: − ( y − 1) = ⇔ 3x − y + = x = −1 x + 3y = 1 Gọi { N } = d '∩ AC nên ta xét hệ: ⇔ ⇒ N −1; 3 3 x − y + = y = Gọi d ñường trung trực AD cắt MN , AC , AD H , I , J Phương trình d ' qua M song song AD có dạng: x + 5 5 5 ⇒ H , I , J trung ñiểm MN , AC , AD ⇒ H − ; ⇒ pt d : x + + y − = ⇔ x + y = 4 4 4 x + y = x = Ta có: { I } = d ∩ AC nên ta xét hệ: ⇔ ⇒ I ( 0;0 ) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñiểm AC ) x + 3y = y = x + y = x = −2 { J } = d ∩ AD nên ta xét hệ: ⇔ ⇒ J ( −2; ) ⇒ D( −1;3) ( J trung ñiểm AD ) x − y + = y = ⇒ B (1; −3) ( I trung ñiểm BD ) 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://megabook.vn/ 10 Phân tích: Muốn viết phương trình đường tròn ta cần: +) Xác định tâm I (dùng Thuật Tốn Tìm ðiểm) Khi theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) ∈ d Và kiện AB = CD giúp ta thiết lập phương trình : f (t ) = → t = ? → tọa ñộ ñiểm I +) Xác định bán kính: R nhờ R = IA2 = IH + HA2 với IH = d ( I , Ox) HA = AB =1 Giải: +) Gọi I tâm đường tròn cần lập gọi I (t ; 2t + 3) ∈ d 2t + = t t = −3 I (−3; −3) ⇔ ⇒ 2t + = −t t = −1 I (−1;1) +) Ta có AB = CD ⇔ d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) ⇔ 2t + = t ⇔ +) Với I ( −3; −3) ⇒ IH = d ( I , Ox) = −3 = ta có: AH = AB = = ⇒ R = IA2 = IH + HA2 = 10 2 Vậy phương trình đường tròn: ( x + 3) + ( y + 3) = 10 +) Với I ( −1;1) ⇒ IH = d ( I , Ox) = = ta có: AH = AB = = ⇒ R = IA2 = IH + HA2 = 2 Vậy phương trình đường tròn: ( x + 1) + ( y − 1) = CHÚ Ý: Trước vào phần BÀI TỐN có số quy ước sau: +) M (t ) ∈ ∆ : ta ràng buộc ñiểm M theo ẩn t +) M (t1 , t2 ) : điểm M có tọa độ phụ thuộc vào hai ẩn t1 t xM = t1 yM = t +) M (t1 ; t2 ) : điểm M có tọa độ : BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN BÀI TỐN Dạng 1: Các tốn tam giác, tứ giác Loại 1: Các toán ðịnh Tính Loại 1.1: Các tốn đường trung tuyến, ñường cao, trung trực Bài 1: Biết ñỉnh A tam giác ABC trung tuyến BM, CN Viết phương trình cạnh ∆ABC Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài để giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) phương trình hai đường trung tuyến BM: 8x – y – = 0, CN: 14x – 13y – = Tìm tọa độ đỉnh B, C (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5)) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) phương trình hai ñường trung tuyến BM CN (ðs: S∆ABC = 16 (ñvdt)) x – 6y + = 5x – 6y – = Tính diện tích tam giác ABC http://megabook.vn/ 11 Bài 1.4.1 Viết phương trình đư ờng tròn (C) qua hai điểm A 2;1 , B 4; có tâm thuộc đường thẳng : x y Bài 1.4.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 0; , B 2; Viết phương trình đư ờng tròn qua hai điểm A, B có bán kính R 10 Bài 1.4.3 Viết phương trình đư ờng tròn qua hai điểm A 1; , B 2; tiếp xúc với đường thẳng d:xy0 Bài 1.4.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y 2x 2y đường thẳng d : x y Viết phương trình đư ờng tròn (C’) có tâm M nằm d, bán kính lần bán kính đường tròn (C) (C’) tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) Bài 1.4.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y điểm A 1;1 Viết phương trình đư ờng tròn (C) qua A,O tiếp xúc với d Bài 1.4.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y Đường tròn (C’) tâm I 2; cắt (C) hai điểm A, B cho AB Viết phương trình đư ờng thẳng AB Bài 1.4.7 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2; 3) Viết phương trình đường tròn (C) qua M tiếp xúc với hai trục tọa độ hai đường thẳng 1 : x y 0, : x 7y Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1); biết Bài 1.4.8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C) Bài 1.4.9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vng góc Oxy, cho hai đường tròn: C1 :x2 y2 10x C2 :x y 4x 2y 20 Viết phương trình đư ờng tròn (C) qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm đường thẳng : x 6y Bài 1.4.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình : x y 2x 6y điểm M( 3;1) Gọi T1 ,T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đư ờng thẳng qua T1 ,T2 Bài 1.4.11 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : mx (m 1)y m d : (2m 2)x 2my Chứng minh d1 d2 cắt điểm nằm đường tròn cố định Bài 1.4.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y 2x 4y đường thẳng d : x y Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d, biết từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) ( A, B tiếp điểm) khoảng cách từ điểm N 1; 1 đến AB Nguyễn Tất Thu 51 Bài 1.4.13 Cho elip E : x2 y2 Viết phương trình đư ờng thẳng d qua M 1;1 cắt E hai điểm A, B cho M trung điểm AB Bài 1.4.14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm C(2; 0) elip (E) : x2 y2 Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E) Biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC tam giác Bài 1.4.15 Cho elip E : x2 y2 Viết phương trình tiếp tuyến d E biết d cắt hai trục 64 tọa độ Ox,Oy A, B cho OA 2OB Bài 1.4.16 Trong mặt phẳng Oxy , cho elip E : x2 y2 đường thẳng : x 2y Giả sử cắt E B,C Tìm điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Bài 1.4.17 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip E : x2 y2 Viết phương trình hypebol H có hai 12 đường tiệm cận y 2x có hai tiêu điểm hai tiêu điểm E Bài 1.4.18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip E có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm thuộc đường tròn Hãy lập phương trình tắc E Bài 14.19 Cho Elip E : x2 y2 có hai tiêu điểm F1 F2 Tìm tọa độ điểm M E 100 25 cho F 1MF2 120 Bài 1.4.20 Lập phương trình tắc Hypebol (H), biết (H) qua M( trùng với tiêu điểm Elip (E) : 10 ;1) có tiêu điểm x2 y2 1 36 11 Bài 1.4.21 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình : y x 2x x2 y Chứng minh (P) giao (E) điểm phân biệt nằm đường tròn Viết phương trình đư ờng tròn qua ểm elip (E) : Bài 1.4.22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x 5y , Parabol (P) : x 10y Nguyễn Tất Thu 52 Hãy viết phương trình đư ờng tròn có tâm thuộc đường thẳng ( ) : x 3y , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox cát tuyến chung Elip (E) với Parabol (P) Bài 1.4.23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y Viết phương trình tắc elip (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng Bài 1.4.24 Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường thẳng d m : (4 m )x 6my 3(4 m ) Chứng minh m thay đổi họ đường thẳng d m tiếp xúc với đường cônic cố định Vấn đề NHĨM CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TAM GIÁC Các tốn thuộc nhóm gặp nhiều tốn có tính chất tổng hợp Các toán chủ yêu xoay quanh vấn đề xác định tọa độ đỉnh tam giác, tức toán xác định tọa độ điểm Ví dụ 1.5.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1) phương trình hai đường trung tuyến BB1 : 8x y 0,CC1 : 14x 13y Tính tọa độ điểm B, C Lời giải A C1 B1 B C b4 Vì B BB1 nên B(b; 8b 3) , C1 trung điểm AB nên ta có C1 ; 4b Mặt khác: C1 CC1 nên suy 7(b 4) 13(4b 2) b 1 B( 1; 11) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy tọa độ G nghiệm hệ x 8x y 1 1 G ; 3 3 14x 13y y x 3xG x A x B 2 C( 2;11) Suy C yC 3yG y A y B 11 Nguyễn Tất Thu 53 Ví dụ 1.5.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1) phương trình hai đường phân giác BE : x 0,CF : x y Tính tọa độ điểm B, C Lời giải Gọi M điểm đối xứng với A qua BE , suy M BC Vì AM BE nên AM : y Do AM BE I(1; 1) , M đối xứng với A qua I nên suy M( 2; 1) Tương tự, gọi N điểm đối xứng với A qua CF , suy N BC N(0; 3) Suy MN (2; 4) phương trình BC : 2x y x x B(1; 5) Vì B BE BC B : 2x y y x y x 4 C CF BC C : C( 4; 5) 2x y y 5 A I M E F B N C Ví dụ 1.5.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C( 4; 5) phương trình đư ờng cao AD : x 2y , đường trung tuyến BB1 : 8x y Tìm tọa độ điểm A, B Lời giải A B1 B D C Vì BC AD nên phương trình BC : 2x y Nguyễn Tất Thu 54 8x y x B BC BB1 B : B(1; 5) 2x y y a5 Do A AD , suy A(2 2a; a) Do B1 a 1; Mà B BB1 nên ta có: 8( a 1) a5 a 1 A(4; 1) Ví dụ 1.54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 5) phương trình đư ờng cao AD : x 2y , đường phân giác CC1 : x y Tính tọa độ điểm A, C Lời giải A N C1 I B D C Ta có phương trình BC : 2x y 2x y x 4 C( 4; 5) Vì C CC1 BC C : x y y 5 Gọi N điểm đối xứng với B qua CC1 , ta có N AC N(6; 0) NC (10; 5) , phương trình AC : x 2y x 2y x A(4; 1) Tọa độ A nghiệm hệ x 2y y 1 Ví dụ 1.5.5 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao AD : 2x y 0, BE : x y , C thuộc đường thẳng d : x y BC qua M(0; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác Lời giải Gọi H trực tâm tam giác ABC, suy tọa độ H nghiệm hệ Nguyễn Tất Thu 55 x 2x y 1 5 H ; 3 3 x y y Vì C d C(a; a) Do AC BE nên phương trình AC có dạng: x y 2a Tương tự, phương trình BC : x 2y a 12 x 2y a 12 x a B a 8;10 a Suy B : x y y 10 a 2x y x 2a A: A 2a;11 4a x y 2a y 11 4a Suy MC (a; a),MB (a 8; a) Vì B,C,M thẳng hàng nên a8 a7 a6 a a3 Vậy A( 7; 13), B( 2; 4),C(6; 0) A E H B D M C d 4 1 Ví dụ 1.5.6 Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G ; , phương trình 3 đường thẳng BC : x 2y phương trình đư ờng thẳng BG : 7x 4y Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Lời giải x 2y B 0; 2 Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ 7x 4y Vì ABC cân A nên AG đường cao ABC , suy phương trình AG có dạng: 4 1 x y 2x y 3 Nguyễn Tất Thu 56 2x y H 2; 1 Gọi H AG BC tọa độ điểm H nghiệm hệ x 2y x 2xH x B C 4; Vì H trung điểm BC C yC 2yH y B Ta có xG 1 x A x B xC , yG y A y B yC A 0; 3 Vậy A 0; , B 0; 2 ,C 4; A G B H C Ví dụ 1.5.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x 4y , cạnh BC song song với d, phương trình đư ờng cao BH : x y trung điểm cạnh AC M 1;1 Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Lời giải Cạnh AC nằm đường thẳng qua M vng góc với BH Phương trình cạnh AC : x y x 4y 2 x y A( ; ) Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 3 x y 8 Suy tọa độ điểm C( ; ) 3 Cạnh BC qua C song song với đường thẳng d nên có phương trình BC : x 4y x y x 4 B( 4;1) Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ: x 4y y Ví dụ 1.5.8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6) , đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Lời giải Gọi d : x y Vì BC / /d nên phương trình BC có dạng: x y m Nguyễn Tất Thu 57 Lấy I(1; 3) d , ta có: d(I, BC) d(A,d) m m 12, m Vì A I phía so với BC nên ta có m BC : x y Đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình : x y x y P( 2; 2) Tọa độ trung điểm P BC : x y Do B BC B(b; 4 b) P trung điểm BC suy C( 4 b; b) Mặt khác AB CE nên ta có (b 6)(b 4) (b 10)(b 3) b 0, b 6 Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn: B(0; 4), C( 4; 0) B( 6; 2), C(2; 6) Ví dụ 1.5.9 Xác định tọa độ đỉnh B tam giác ABC , biết C 4; đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A có phương trình x 2y 0, 4x 13y 10 Lời giải Gọi C' điểm đối xứng C qua đường phân giác AD Khi C' AB Gọi H AD CC' H 2t; t CH 1 2t; t Mặt khác AD có u 2;1 VTCP CH u nên ta có: CH.u 2 2t t t H 3;1 Do H trung điểm CC' , nên C' 2; 1 Vì A AD AM ( M trung điểm BC) nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình : x 2y x A 9; 2 4x 13y 10 y 2 Khi đường thẳng AB có phương trình x 7y nên B 7t 5; t 13s 10 Vì M AM M ;s 13s 10 14t B 12;1 Lại M trung điểm BC nên 2s t Ví dụ 1.5.10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A( 1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Lời giải Nguyễn Tất Thu 58 Gọi M trung điểm cạnh BC, tam giác ABC cân A nên AM BC Suy phương trình AM : x y x x y 7 1 Tọa độ điểm M nghiệm hệ: M ; AM 2 2 x y y Ta có: S ABC 18 AM.BC AM.BM 18 BM 2 2 AM Mặt khác: B , suy B(b; b 4) nên: 2 7 7 7 11 BM b b b b , b 2 2 Với b 11 11 B ; ,C ; 2 2 2 Với b 11 B ; ,C ; 2 2 2 Ví dụ 1.5.11 Cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2 trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x y Hãy tìm tọa độ C , biết diện tích tam giác ABC Lời giải Trung điểm I AB I 1; 3 , G trọng tâm tam giác ABC nên suy 1 S AGB S ABC d G, AB AB d G, AB 2 Vì G d nên suy G(a; 3a 1) Phương trình đường thẳng AB : x y nên d G, AB Do d G, AB 4a 1 a G ; , mà 2 a 1,a 4a 2 xC x A x B xC 3xG 9 Do C ; y A y B yC 3yG 2 y C Tương tự với a 1 ta tìm C 5; Ví dụ 1.5.12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , có đỉnh C( 4;1) , phân giác góc A có phương trình x y Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Nguyễn Tất Thu 59 Lời giải Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng d : x y , ta tìm D(4; 9) Vì A thuộc đường tròn đường kính CD nên A giao điểm đường thẳng d đường tròn đường kính CD, suy tọa độ A nghiệm hệ: x y A(4;1) (vì x A ) 2 x (y 5) 32 Suy AC AB 2S ABC AC D B 6 Vì B thuộc đường thẳng AD : x nên B(4; y) Từ AB (y 1)2 36 y 5, y Vì AB AD hướng nên ta có B(4;7) C A Vậy phương trình BC : 3x 4y 16 Ví dụ 1.5.13 Cho tam giác ABC có M(2; 0), N( 1; 1),P( 2; 3) trung điểm cạnh AB, BC,CA Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Lời giải A P B N M C Do M, N,P trung điểm cạnh nên ta có AP MN hay suy x A 3 x 5 A A( 5; 2) y A 1 y A Từ đó, suy B(1; 4),C(3; 4) Ví dụ 1.5.14 Trog mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có M(1; 0), N(4; 3) trung điểm AB, AC ; D(2; 6) chân đường cao hạ từ A lên BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi A(a; b) , suy DA (a 2; b 6), MN (3; 3) Nguyễn Tất Thu 60 Vì AD MN DA.MN a b a b 4 (1) Lấy đối xứng điểm A qua M, N ta có: B(2 a; b), C(8 a; 6 b) Suy BD (a; b), CD (a 6; b 12) a b 12 a b 6 (2) a b6 Vì B,C, D thẳng hàng nên ta có: Từ (1) (2) ta suy a 5; b 1 Vậy A( 5; 1), B(7;1),C(13; 5) Ví dụ 1.5.15 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có M( 1; 1), N(0; 2) trung điểm AB, AC D(1; 0) chân đường phân giác góc A Tìm tọa độ đỉnh tam giác Lời giải Gọi A(a; b) B( 2 a; 2 b),C( a; b) Suy BD (a 3; b 2),CD (a 1; b 4) a3 b2 3a b b 3a (1) a1 b4 Mặt khác D chân đường phân giác góc A nên AD, AB AD, AC Vì B,C, D thẳng hàng nên AD.AB AD.AC (*) cos AD, AB cos AD, AC AB AC Mà AD (1 a; b), AB ( 2a 2; 2b 2), AC ( 2a; 2b) Nên (*) (a 1)(a 1) b(b 1) (a 1)2 (b 1)2 Thay (1) vào (2) ta có: 2a 9a 11 2a 10a 13 (a 1)a (b 2)b a (b 2)2 a (3a 7)(3a 8) (a 1)2 (3a 8)2 (2) a a (3a 5)(3a 7) a (3a 5)2 2a 7a 2a 6a (2a 9a 11)2 (2a 6a 5) (2a 7a 7)2 (2a 10a 13) a 6a 12a (a 2)(a 4a 4) a 2, b Vậy A( 2;1), B(0; 3),C(2; 3) Ví dụ 1.5.16 Trong mặt phẳng Oxy , xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M(1; 4), N( 1; 3) trung điểm BC,CA H( ; ) trực tâm tam giác ABC 3 Lời giải Nguyễn Tất Thu 61 Gọi C(x; y) B(2 x; y), A( 2 x; y) AH.BC Vì H( ; ) trực tâm tam giác ABC nên (*) 3 CH.MN 23 Mà AH x; y , BC (2x 2; 2y 8) , CH ( x; y), MN ( 2; 1) 3 3 23 ( x)(2x 2) ( y)(2y 8) (1) Nên (*) 2(x ) y (2) 3 (2) 2x y y 1 2x (3) thay vào (1) ta : 26 41 ( x)(2x 2) ( 2x)(10 4x) 15x 86x 123 x 3; x 3 15 x 3 y A(1;1), B(5; 3), C( 3; 5) x 41 67 11 23 71 53 41 76 y A ; , B ; , C ; 15 15 15 15 15 15 15 15 Ví dụ 1.5.17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D(2; 1),E(2; 2),F( 2; 2) chân đường cao hạ từ A, B,C Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi H(a; b) trực tâm tam giác ABC Ta có tứ giác BDHF, CDHE, BCEF tứ giác nội tiếp nên suy HBF; HDE HCE; HBF HCE HDF HDE AH phân giác góc EDF HDF A F H E B D C Suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác Tương tự, ta có BH phân giác góc DEF DEF Nguyễn Tất Thu 62 EH.EF EH.ED Ta có : EF ED , giải hệ ta tìm đư ợc a 1, b hay H(1;1) FH.FE FH.FD EF FD Suy HD 1; 2 nên phương trình BC : x 2y HE 1;1 nên phương trình AC : x y HF 3;1 nên phương trình AB : 3x y 3x y x 1 A( 1; 5) Vì A AB AC A : x y y Tương tự, ta tìm B( 4; 4),C(4; 0) Ví dụ 1.5.18 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình 2 : x 1 y 1 10 Điểm M 0; trung điểm cạnh BC diện tích tam giác ABC 12 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1;1) , suy MI (1; 1) Vì BC qua M vng góc với MI nên BC : x y x 2, y (x 1)2 (y 1)2 10 y x Tọa độ B,C nghiệm hệ: x 2, y x y x Suy B(2; 4),C( 2; 0) B( 2; 0),C(2; 4) Gọi A(a; b) , suy (a 1)2 (b 1)2 10 (1) Ta có: d(A, BC) ab2 , BC S ABC a b Nên ta có a b a b 4,a b a b thay vào (1) ta có: (b 3)2 (b 1)2 10 b 2b b 0, b 2 a b thay vào (1) ta có: (b 9)2 (b 1)2 10 vơ nghiệm Vậy A(0; 4) A(2; 2) Ví dụ 1.5.19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7) , trực tâm H(3; 1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I( 2; 0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Lời giải Cách 1: Gọi M(x; y) trung điểm BC , D điểm đối xứng với A qua O Nguyễn Tất Thu 63 Ta có BH / /CD,CH / /BD nên tứ giác BDCH hình bình hành nên M trung điểm HD 0 2( 2 x) x 2 M( 2; 3) Từ suy ra, AH 2MI 6 2( y) y 3 Nên đường thẳng BC qua M có AH 0; vtpt có phương trình : y 2 Gọi C(a; 3) , IA IC 52 7 a 3 a 4a 61 a 2 65 C( 2 65; 3) A H I C B M Cách Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình (x 2)2 y 74 Phương trình AH : x , BC AH BC : y m ( m 7 ) Tọa độ B, C nghiệm phương trình : (x 2)2 m 74 x 4x m 70 (*) Vì (*) có hai nghiệm, có nghiệm dương nên m 70 Khi đó: B( 2 74 m ; m), C( 2 74 m ; m) Vì BH AC AC.BH m 4m 21 m Vậy C( 2 65; 3) Ví dụ 1.5.20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x y d : 3x y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B C cho tam giác ABC vuông Nguyễn Tất Thu 64 B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương Lời giải Vì ABC vng B nên AC đường kính (T) ASB t (góc có cạnh tương ứng vng góc) Gọi ASB d1 , d2 t ta có BAC Giả sử bán kính (T) R ta có : S ABC Mặt khác cos t Suy S ABC R BC.BA AC sin t.AC cos t 2R sin t cos t 2 3 1.( 1) ( 3)2 12 ( 3)2 ( 1)2 t 3 từ có R Do A d1 , C d nên A a; a ,C c; c thêm vector phương d1 u1 (1; 3) có phương vng góc với AC nên: AC.u1 c a 3(c a) c 2a Mặt khác AC 2R (c a)2 ( 3(c a))2 a a nên a Tâm đường tròn trung điểm AC : ac a 3a 3 I ; (c a) ; ; 2 2 3 3 Vậy phương trình c (T) x y 2 Cách 2: Ta có d1 tiếp xúc với (T) có đường kính AC nên AC d1 600 , BOx 1200 AOB 600 ; ACB 30 Từ giả thiết ta có : AOx Nguyễn Tất Thu 65 ... http://megabook.vn/ 2 Giải: +) Gọi H hình chi u M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = = +1 2 a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a... (0; b) Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2OA = 4OB ⇔ OA = 2OB ⇔ a = 2b (vì a > b > ) hay A(2b;0) , B (0; b) Gọi H hình chi u O lên AB ⇒ OH = R = ( đường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi)... AC tam giác (ðs: 8x + 7y – = 0) Ví dụ (B – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C tam giác ABC biết hình chi u vng góc C đường thẳng AB ñiểm H(– 1; – 1), ñường phân