30 Bài Toán Bất Đẳng ThứcK2PI

30 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN K2PI.NET ĐỀ BÀI Bài Cho x, y, z > thỏa mãn x y + xz = Tìm Min : P= 3y z 4zx 5x y + + x y z Bài Cho a, b, c số thực dương có tích Tìm GTNN biểu thức P = a2b + b2c + c a + a3 + b3 + c Bài Cho a, b, c > t/m: 9(a + b + c ) − 25(a + b + c ) + 48 = tìm GTNN b2 c2 a2 + + F= b + 2c c + 2a a + 2b Bài Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 3] x + y +2z = 6.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P = x + y + 5z Bài Cho x, y ≥ thoả 3(x + y) = 4x y Tìm min, max P : P = x3 + y + 1 + 2 x y Bài Cho số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : T= x2 x2 + x y + y Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y = x + y Tìm GTNN biểu thức: P = x+ y + y+ x Bài Cho x, y, z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn của: x2 + y + z2 Bài Cho x, y, z ≥ x +y +z =1 Tìm max: S = x2 y + y 2z + z2x Bài 10 Cho x, y thỏa mãn: x − y + y − x = 1.Chứng minh rằng: x2 + y = Bài 11 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: P = a+ Bài 12 Cho x, y, z > thoả mãn a xy + T= + b+ b + c+ c ≥ 33 + y z + zx = Tìm GTNN x2 y2 z2 + + x +y y +z z +x Bài 13 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: 4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng: 25 64 + + ≥ 49 a b c Bài 14 Với x, y, z > Chứng minh: x2 + x y + y + y + y z + z2 + z + zx + x ≥ 3(x + y + z) Bài 15 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: a3 b3 c + + ≥ ab + bc + c a b c a Bài 16 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥5 + + a b c 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 1 1 1 + + = 10 + + + 2011 Tìm giá trị lớn a b c ab bc c a Bài 17 Cho a, b, c > thỏa mãn 15 P= 5a + 2ab + 2b + 5b + 2bc + 2c + 5c + 2ac + 2a Bài 18 Cho số thực x, y, z thoả mãn: x + 2y + 3z = Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = 3x + 2y + z Bài 19 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng: 1+ a 1+ b 1+ ≥ 64 c Bài 20 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + c a = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a6 + b6 + + b6 + c + + c + a6 + Bài 21 Cho số thực x, y lớn Chứng minh rằng: 4a 5b + ≥ 36 a −1 b −1 Bài 22 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a5 b5 c5 + + ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b Bài 23 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a +b +c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a + 2b + b + 2c + c + 2a Bài 24 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Bài 25 Cho a; b; c > Chứng minh a b c + + < a +b b +c c +a a + b +c b + c +a c a +b Bài 26 Cho x; y; z > x + y + z = x y z Tìm GTNN P= y −2 z −2 x −2 + + x2 y z Bài 27 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a2 b2 c d 1 1 + 5+ 5+ 5≥ 3+ 3+ 3+ b c d a a b c d Bài 28 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ − a − b − c a + b2 + c Bài 29 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: P= 1 + + a (c + a) b (a + b) c (b + c) Bài 30 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN của: P= a4 a3 + + b4 b3 + + c4 c3 + LỜI GIẢI Bài Cho x, y, z > thỏa mãn x y + xz = Tìm Min : P= 3y z 4zx 5x y + + x y z Lời giải x y y z zx zx x y x y y z zx Ta có : P = + + + +2 + + + ≥4 z x y y z z x y xz + x y = Bài Cho a, b, c số thực dương có tích Tìm GTNN biểu thức P = a2b + b2c + c a + a3 + b3 + c Lời giải a b c Đặt x = ; y = ; z = c a b Lúc : P = x +y +z + x2 y + y 2z + z2x Tiếp đến CM bất đẳng thức phụ : x2 y + y 2z + z2x ≤ (x + y + z)3 − x y z 27 Đặt x + y + z = t , t ≥ KSHS Bài Cho a, b, c > t/m: 9(a + b + c ) − 25(a + b + c ) + 48 = tìm GTNN F= b2 c2 a2 + + b + 2c c + 2a a + 2b Lời giải Ta có: a + b + c ≥ (a + b + c ) Kết hợp với giả thiết ta suy 3(a + b + c )2 − 25(a + b + c ) + 48 ≤ Suy ≤ a2 + b2 + c ≤ 16 Sử dụng BĐT C auch y − Schw ar z ta có F= Ta lại có a2 b2 c2 (a + b + c )2 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b (a b + b c + c a) + 2(ab + bc + c a ) (a b + b c + c a)2 ≤ (a + b + c )(a b + b c + c a ) ≤ (a + b + c )3 Do a2b + b2c + c a ≤ ab + bc + c a ≤ (a + b + c ) a2 + b2 + c (a + b + c ) a2 + b2 + c Tương tự ta có Từ ta suy F≥ (a + b + c )2 3(a + b + c ) a + b + c = a2 + b2 + c ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy Mi nF = a = b = c = Bài Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 3] x + y + 2z = 6.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P = x + y + 5z Lời giải Ta có : ≤ xy ≤ (x + y)2 = (3 − z)2 Đặt x y = t ⇒ ≤ t ≤ (3 − z)2 Lại có : P = x + y +5z = (x + y)3 −3x y(x + y)+5z = (6−2z)3 −3x y(6−2z)+5z = −6t (3− z)+(6−2z)3 +5z Xét hàm số : f (t ) = −6t (3 − z) + (6 − 2z)3 + 5z , có : f (t ) = −6(3 − z) ≤ 0, ∀z ∈ [1; 3] Vậy nên : f ((3 − z)2 ) ≤ f (t ) ≤ f (1) Bài Cho x, y ≥ thoả 3(x + y) = 4x y Tìm min, max P : P = x3 + y + 1 + 2 x y Lời giải Dự đoán dấu x = y = Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: P+ 27 ≥ xy + xy Đặt t = x y Từ giả thiết 4x y = x + y ≥ x y ⇒ x y ≥ 94 t Xét hàm số: f (t ) = t + , với t ≥ Suy ra, GTNN P 93 Đạt x = y = 12 Bài Cho số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : T= x2 x2 + x y + y y Ta có: x, y ∈ [1; 2] ⇒ ∈ x Lời giải 2;2 Biến đổi T= 1+ y y + x x y x Đến đây, xét hàm số: f (t ) = t + t + 1, với t = 1 ≤T ≤ f (2) f 12 Từ đó, Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y = x + y Tìm GTNN biểu thức: P = x+ y + y+ x Lời giải 2(x + y) Từ giả thiết ta suy x + y ≤ , biến đổi vế trái ( tức thay x + y = ) ta được: 3 x+ y + y+ x = 2(x + y) 4(x + y) 2(x + y) + + 3x y 3x y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay: 16 32 2(x + y) 4(x + y) 2(x + y) 2(x + y) + + + + ≥ 2 3x y 3x y 3(x + y) 3(x + y)3 2n + 16n + 32 ), ta quay xét hàm: f (x) = 3n 2(n − 12)(n + 4) Hàm có f (n) = 0; ∀x ≥ 0) Áp dụng bất đẳng thức Karamata ta có x2 + y + z2 ≤ + Dấu "=" xảy x = 1; y = ; z = +0 = 4 Bài Cho x, y, z ≥ 0, x + y + z = Tìm max: S = x2 y + y 2z + z2x Lời giải Thay z = − x − y vào ta được: S = x y + y (1 − x − y) + x(1 − z − y)2 Coi y biến, x tham số ta có S (y) = −3y + 2y + 3x − 2x; S (y) = ⇔⇔ y =x y = 2−3x Có S(x) = 3x − 3x + x, S( x − 3x ) = −x + x − + , 3 27 S(1) = x + x − x, S(0) = x + 2x − x Sử dụng bảng biến thiên khảo sát hàm số ta xét trường hợp TH1: x < − 3x ⇐⇒ x < 3 Qua bảng biến thiên ta thấy max S = S(0) max S = S( 2−3x ) Khảo sát hàm S(0) S 2−3x với < x < 3 xảy với S(0) S 2−3x 27 1 Dấu bằngxảy x = ; y = 0; z = hoán vị 3 − 3x TH2: x > ⇐⇒ x > 3 ta max S = Tương tự ta kết Bài 10 Cho x, y thỏa mãn: x − y + y − x = 1.Chứng minh rằng: x2 + y = Lời giải Áp dụng BĐT Bunhia cho giả thiết: − y2 + y 1= x ⇒ x2 + y 2 − x2 ≤ x2 + y 2 − x2 + y − x2 + y + ≤ ⇒ x2 + y − ≤ ⇒ x2 + y = Thế sao: Xét x = y Theo bunhia: − y2 + y x − x2 ⇒x ≤ x2 + − x2 y + − y = 1 − y2 + y − x2 ≤ Dấu " = ” xảy x − y2 = y − x2 ⇒ x − x = y − y ⇔ x − y x + y − = ⇒ fflpcm Tất nhiên, xét x = y ta có x + y = Bài 11 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: P = a+ a + b+ b + c+ c ≥ 33 + Lời giải Dùng BĐT Bunhia: 1 +b + +c + a b c a+ VT ≥ 1+ = 1 + + a b c Do đó, ta cần chứng minh: 1 + + ≥9 a b c Lại dùng Bunhia: 9= a Bài 12 Cho x, y, z > thoả mãn a + b xy + b + c ≤ (a + b + c) c 1 + + a b c y z + zx = Tìm GTNN T= y2 z2 x2 + + x +y y +z z +x Lời giải1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki ta có: x+y x + x+y y +z y + z +x y +z z z +x ≤ (x + y + y + z + z + x) y2 z2 x2 + + x +y y +z z +x Suy ra: T= x2 y2 z2 x +y +z + + ≥ x +y y +z z +x Mặt khác từ giả thiết ta có: x +y +z ≥ xy + y z + zx = 1 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức T x = y = z = Do đó: T ≥ Dấu "=" xảy x = y = z = Lời giải2 Sử dụng bất đẳng thức C − S dạng phân thức ta được: T≥ Mà x + y + z ≥ x y + y z + zx = nên P ≥ (x + y + z) 2 Bài 13 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: 4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng: 25 64 + + ≥ 49 a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức C − S ta có : (4a + 9b + 16c) 25 64 + + ≥ (2 + 3.5 + 4.8)2 = 492 a b c Suy điều phải chứng minh Do 4a + 9b + 16c = 49 Bài 14 Với x, y, z > Chứng minh: x2 + x y + y + y + y z + z2 + z + zx + x ≥ 3(x + y + z) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức (x + y)2 x2 + y ≥ Ta có x2 + x y + y = 2(x + y)2 + 2(x + y ) ≥ Bài 15 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 2(x + y)2 + (x + y)2 = 3(x + y) a3 b3 c + + ≥ ab + bc + c a b c a Lời giải1 VT ≥ a +b +c 2 ≥ ab + bc + c a (ab + bc + c a) = ab + bc + c a ab + bc + c a Lời giải2 Ta có: a3 b3 c a4 b4 c + + = + + b c a ab bc ac Mặt khác ta được: a b c (a + b + c )2 (ab + bc + c a)2 + + ≥ ≥ = ab + bc + c a ab bc ac ab + bc + ac ab + bc + c a Vậy toán chứng minh.Đẳng thức xảy a = b = c Bài 16 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥5 + + a b c 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Lời giải Ta có 1 1 25 25 25 + + = + + 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 25 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 3 ≤ + + + + + 25 a b b c c a 1 1 = + + a b c Bài 17 1 1 1 + + = 10 + + + 2011 Tìm giá trị lớn a b c ab bc c a Cho a, b, c > thỏa mãn 15 P= 5a + 2ab + 2b + + 5b + 2bc + 2c 5c + 2ac + 2a Lời giải 1 Đặt x = ; y = ; z = a b c ⇒ 15 x + y + z = 10 x y + y z + zx + 2011 ≤ 10 x + y + z + 2011 ⇒ x + y + z ≤ Mặt khác x +y +z Ta có 5a + 2ab + b ≤ Tương tự ta có 2 ≤ x2 + y + z2 ⇒ x + y + z 4a + 2ab + b + 2ab P≤ = 1 x +y +z ≤ 3 ≤ 2011 2011 1 1 ≤ + = 2x + y 2a + b a b 2011 Bài 18 Cho số thực x, y, z thoả mãn: x + 2y + 3z = Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = 3x + 2y + z Lời giải P ≤ x + 2y + 3z + + Ta có ⇒ |P | ≤ 68 Bài 19 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng: 1+ a 1+ b 1+ ≥ 64 c Lời giải1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau bổ đề: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc)3 Chứng minh Khai triển ta được: + abc + ab + bc + c a + a + b + c ≥ + ⇐⇒ ab + bc + c a + a + b + c ≥ 3 3 (abc)2 + abc + abc (abc)2 + abc Đúng theo AM −G M Áp dụng bổ đề ta có : 1+ Với abc ≤ a 1+ b 1+ (1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 + abc)3 = ≥ ≥ 64 c abc abc ta : 27 (1 + abc)3 = abc 10 abc +1 ≥ 64 Vậy a = b = c = Lời giải2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Ta có 1 = (a + b + c + a) ≥ a bc a a a 4 a bc bc =⇒ + ≥ =4 a a a a2 1+ Tương tự ta có: 1+ =⇒ + a ca ab ≥ 4 ;1+ ≥ b b c c2 1+ b 1+ c a ab bc ≥4 44 24 = 64 c a b c2 Dấu ’=’ xảy ⇐⇒ a = b = c = 13 Bài 20 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + c a = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a6 + b6 + + b6 + c + + c + a6 + Lời giải Ta có : a6 + b6 + ≥ VT ≥ 2(a + b + c ) + 3 ≥ (a + b + 1)2 3ab + 3bc + 3c a =3 Bài 21 Cho số thực x, y lớn Chứng minh rằng: 5b 4a + ≥ 36 a −1 b −1 Lời giải Áp dụng AM −G M ta có: 1+x −1 x − = 1.(x − 1) ≤ Nên = x2 x2 =⇒ ≥4 x −1 4a 5b + ≥ ∗ + ∗ = 36 a −1 b −1 Dấu = xảy a = b = Bài 22 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a5 b5 c5 + + ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b Lời giải 11 Trước hết, nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c = Do đó, a5 = 2 b +c Đánh giá số hạng VT để hạ bậc chúng Theo AM −G M , ta có: a5 b + c a 3a + + ≥ b2 + c 2 Thiết lập BĐT tương tự cộng lại, suy ra: V T ≥ a2 + b2 + c − Vấn đề lại chứng minh: a + b + c ≥ Ở đây, ta tiếp tục dùng AM −G M sau: a + ≥ 2a Do đó, a + b + c + ≥ (a + b + c) Từ đó, ta thu điều phải chứng minh Bài 23 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + 2b + P= b + 2c + c + 2a Lời giải1 Ta có a + 2b ≥ a+ 3− b ⇔ (a − b)2 ≥ Tương tự b + 2c ≥ c + 2a ≥ 3 b+ 3− c+ 3− 3 c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a + 2b + b + 2c + Vậy P = a = b = c = Ta có : a + 2b ≥ a + 2b c + 2b ≥ (a + b + c) + 3− (a + b + c) = Lời giải2 Do (a + 2b)2 a2 + b2 + b2 ≥ Tương tự cho bất đẳng thức lại cộng vế theo vế suy Mi nP = 5 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 24 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a +a +b +c ≥ 12 a bc > 1 1 + + + ≥4 >0 a a b c a bc Nhân vế theo vế: (2a + b + c) 1 + + ≥ 16 a b c Suy ra: 16 1 + + ≥ a b c 2a + b + c Tương tự: 16 + + ≥ a b c a + 2b + c 16 1 + + ≥ a b c a + b + 2c Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều ta được: 4 16 16 16 + + ≥ + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ⇔ 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Dấu "=" xảy a = b = c Bài 25 Cho a; b; c > Chứng minh b c a + + < a +b b +c c +a a + b +c b + c +a c a +b Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy: a = b +c a a(b + c) ≥ 2a a +b +c Tương tự ta có bất đẳng thức tương tự ⇒ Mà a + b +c b + c +a c ≥2 a +b a +c a < a +b a +b +c (I ) (1) a a +c < ⇔ (a + c)(a + b) > a(a + b + c) a +b a +b +c ⇔ a(a + b) + c(a + b) > a(a + b) + ac ⇔ c(a + b) > ac ⇔ a + b > a (luôn đúng) Vì Tương tự ta có: a +b b > (2) a +b +c b +c c c +a > (3) a + b + c +C Ta có (1) + (2) + (3) ⇒ Từ (I ) (I I ) ⇒ a b c + + x + y + z = x y z Tìm GTNN P= y −2 z −2 x −2 + + x2 y z Lời giải Từ giả thiết: x + y + z = xyz ⇒ y x 1 + + =1 x y y z zx z Do đó, đặt a = ; b = ; c = Ta thu được: < a, b, c < ab + bc + c a = Khi đó: 1 − + b2 − + c −2 b c a P = a2 P = a2 1 1 1 − + − + b2 − + − + c − + − − (a + b + c) b a c b a c Áp dụng AM −G M : 1 − a2 + b2 ≥ − 2ab = 2a − 2ab b b a + b ≥ 2ab ⇒ Làm tương tự: V T ≥ (a + b + c) − (ab + bc + c a) = (a + b + c) − Cái công việc lại nhẹ nhàng rồi: Tìm GT N N a + b + c với < a < ab + bc + c a = Lại dùng AM −G M : a + b ≥ 2ab Tương tự thu được: a + b + c ≥ ab + bc + c a ⇒ (a + b + c)2 ≥ (ab + bc + c a) = Tóm lại: Mi nP = − x = y = z = Bài 27 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a2 b2 c d 1 1 + 5+ 5+ 5≥ 3+ 3+ 3+ b c d a a b c d Lời giải Ta có a2 5 + ≥5 = 15 b a b b b2 5 + ≥ = c b3 c 15 c 3 c2 5 + ≥5 = 15 d c d d d2 5 + ≥5 = 15 a d a a Cộng theo vế bất đẳng thức, điều cần chứng minh 14 Bài 28 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ − a − b − c a + b2 + c Lời giải 1 27 ≥ VT = + + ≥ = b + c a + c a + b 2(a + b + c) 2(a + b + c)2 2(a + b + c ) Bài 29 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: P= a (c + a) + b (a + b) + c (b + c) Lời giải Ta có = a + b + c ≥ abc ⇒ abc ≥3 1 1 1 + + 2 a b c abc Do P = a + b + c ≥ ≥ a +c b +a b +c 2(a + b + c) ≥ 81 Bài 30 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN của: a4 P= a3 + + b4 b3 + + c4 c3 + Lời giải Ta có a4 Hơn nữa, a3 + 4a = 8.8.(a + 7) ≥ 4a a + 23 = 12a a + 23 31 23 12a (a − 1)2 (161a + 345a + 529) − a − = ≥0 a + 23 16 16 16(a + 23) Suy a4 a3 + ≥ 31 12a 23 ≥ a− a + 23 16 16 Tương tự b4 b3 + c4 c3 + ≥ 23 31 b− 16 16 ≥ 31 23 c− 16 16 Cộng theo vế bất đẳng thức, a4 Vậy P = a3 + + b4 b3 + + c4 c3 + a = b = c = 15 ≥ 31 23 (a + b + c) − = 16 16 [...]... theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 4 4 4 16 16 16 + + ≥ + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ⇔ 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Dấu "=" xảy ra khi a = b = c Bài 25 Cho a; b; c > 0 Chứng minh b c a + + < a +b b +c c +a a + b +c b + c +a c a +b Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy: a = b +c a a(b + c) ≥ 2a a +b +c Tương tự ta cũng có được những bất đẳng thức... = c = Ta có : a 2 + 2b 2 ≥ a + 2b 3 5 3 c 2 + 2b 2 ≥ 1 3 (a + b + c) + 3− 1 3 (a + b + c) = 5 3 Lời giải2 Do (a + 2b)2 3 a2 + b2 + b2 ≥ Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại cộng vế theo vế suy ra Mi nP = 5 3 5 3 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = Bài 24 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a +a +b +c ≥ 4 12 4... lại: Mi nP = 3 − 2 khi x = y = z = 3 Bài 27 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng: a2 b2 c 2 d 2 1 1 1 1 + 5+ 5+ 5≥ 3+ 3+ 3+ 3 5 b c d a a b c d Lời giải Ta có 3 a2 2 1 5 5 + 3 ≥5 = 3 5 15 b a b b 3 b2 2 1 5 5 + ≥ 5 = c 5 b3 c 15 c 3 3 c2 2 1 5 5 + 3 ≥5 = 3 5 15 d c d d 3 d2 2 1 5 5 + 3 ≥5 = 3 5 15 a d a a Cộng theo vế các bất đẳng thức, được điều cần chứng minh 14 Bài 28 Cho các số thực dương a, b, c...1 3 Vậy a = b = c = Lời giải2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Ta có 1 1 1 4 = (a + b + c + a) ≥ 4 a 2 bc a a a 4 1 4 4 a bc 4 bc =⇒ 1 + ≥ =4 2 a a a a2 1+ Tương tự ta cũng có: 1+ =⇒ 1 + 1 a 1 ca 1 4 ab ≥ 4 4 2 ;1+ ≥ 4 b b c c2 1+ 1 b 1+ 1 c a 4 ab 4 bc ≥4 44 24 = 64 2 c a b c2 Dấu ’=’ xảy ra ⇐⇒ a = b = c = 13 Bài 20 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab +... 3 Bài 21 Cho các số thực x, y lớn hơn 1 Chứng minh rằng: 5b 2 4a 2 + ≥ 36 a −1 b −1 Lời giải Áp dụng AM −G M ta có: 1+x −1 x − 1 = 1.(x − 1) ≤ 2 Nên 2 = x2 x2 =⇒ ≥4 4 x −1 4a 2 5b 2 + ≥ 4 ∗ 4 + 4 ∗ 5 = 36 a −1 b −1 Dấu = xảy ra khi a = b = 2 Bài 22 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a5 b5 c5 3 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 2 Lời giải 11 Trước hết, nhận thấy đẳng. .. ≥ 2 (a + b + c) Từ đó, ta thu được điều phải chứng minh Bài 23 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 2 + 2b 2 + P= b 2 + 2c 2 + c 2 + 2a 2 Lời giải1 Ta có a 2 + 2b 2 ≥ 1 3 a+ 1 3− 3 b ⇔ (a − b)2 ≥ 0 Tương tự b 2 + 2c 2 ≥ c 2 + 2a 2 ≥ 1 3 1 3 b+ 3− c+ 3− 1 3 1 3 c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a 2 + 2b 2 + b 2 + 2c 2 + Vậy min... b 2(a + b + c) 2(a + b + c)2 2(a 2 + b 2 + c 2 ) Bài 29 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 Tìm GTNN của biểu thức: P= 1 a 2 (c + a) + 1 b 2 (a + b) + 1 c 2 (b + c) Lời giải Ta có 1 3 1 = a + b + c ≥ 3 abc ⇒ 3 abc ≥3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 + + 3 2 2 2 a b c abc Do đó P = a + b + c ≥ ≥ a +c b +a b +c 2(a + b + c) 2 ≥ 81 2 Bài 30 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm GTNN... (161a 2 + 345a + 529) − a − = ≥0 a 3 + 23 16 16 16(a 3 + 23) Suy ra a4 3 a3 + 7 ≥ 31 12a 4 23 ≥ a− 3 a + 23 16 16 Tương tự b4 3 b3 + 7 và c4 3 c3 + 7 ≥ 23 31 b− 16 16 ≥ 31 23 c− 16 16 Cộng theo vế các bất đẳng thức, a4 3 Vậy min P = a3 + 7 + b4 3 b3 + 7 + c4 3 c3 + 7 3 khi a = b = c = 1 2 15 ≥ 31 23 3 (a + b + c) − 3 = 16 16 2 ... tự ta cũng có: a +b b > (2) a +b +c b +c c c +a > (3) a + b + c +C Ta có (1) + (2) + (3) ⇒ Từ (I ) và (I I ) ⇒ a b c + + 1 và x + y + z = x y z Tìm GTNN của P= y −2 z −2 x −2 + 2 + 2 x2 y z Lời giải Từ giả thiết: x + y + z = xyz ⇒ 1 y 1 x 1 1 1 + + =1 x y y z zx 1 z Do đó, đặt a = ; b = ; c = Ta thu