Bài Toán Tìm Điểm Trên Đồ Thị Hàm SốLTĐH

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 03 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng Kiến thức bản: − 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = − đến đường thẳng ∆: 2) Khoảng cách từ điểm Đặc biệt: + + Nếu ∆: = ∆ = − + Nếu ∆: = ∆ = − + + = : + + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: −( = 3) Diện tích tam giác ABC: S = 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I ⇔ +  ⇔ =  + = + + ) + + = = 5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔  ⊥ ∆ (I trung điểm AB)  ∈∆   + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  Đặc biệt:   + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔   = =− = =− 6) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M ∈ ∆ điểm N ∈ (C) gọi có toạ độ nguyên số nguyên 7) Điểm Ví dụ 1: Cho hàm số = − + + (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) Hướng dẫn giải: Gọi ( ) , điểm đối xứng với A qua điểm − ⇒ ( − − − ) ∈  ⇔  =−  − ⇔ =− + + =− − − + − (− − + + ) + Vậy điểm cần tìm là: − Ví dụ 2: Cho hàm số − − (− + )+ − ⇔ + + = ⇔ =− ⇒ = − =− + + − Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Hướng dẫn giải: ∈ Hai điểm  ⇔  −  =− +  đối xứng qua Oy ⇔   ≠ +  − =− + + − ⇔   =  =−  Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn =− = ≠ =− = facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ    Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là:     −     Ví dụ 3: Cho hàm số = − + + (C) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: − + = Hướng dẫn giải: Gọi ( thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d ) ( ) +  I trung điểm AB nên  + Ta có ⇒ −( = ) + ( − - Xét + ⇒ (− + ⇒( )− ( = − ) + (− + ( ⊥   , ta có   + Mặt khác: + )+ ( + ) − )( + )= + )= ( + +( − )= + =± ⇒ + ) ∈ + + − +  +  − )⇒ = + = = + ⇒ + = =∓  + =  ⇔ ⇒ vô nghiệm + + =  =    Vậy điểm cần tìm là:  − +  −       - Xét    + = = Ví dụ 4: Cho hàm số + − +     Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vuông Hướng dẫn giải: + PT hoành độ giao điểm (C) với trục hoành: ⇒ −  = +  ⇒ ⊥ ′= + ⇔ ⇔ + Đặt    Gọi = − − + = ⇔ + + + ⇔ + + +  + ∈  −  + ,  − = − +  = −  − − + +  = = ⇔  =− ≠ +  +   − + + − − = + = + = , có tập xác định D = R ; ′= có nghiệm thực ≈− ⇒ ≈− Dựa vào BBT ta suy (*) có nghiệm khác –5 Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vuông + Ví dụ 5: Cho hàm số = − Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Điểm cực đại (C) PT đường thẳng PQ có dạng: = ≥ = nên = Khi hoành độ điểm P, Q nghiệm phương trình: Vì − Vậy: − = ⇔ − =± − − − (Cm) Ví dụ 6: Cho hàm số = + Chứng minh m thay đổi (Cm) luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vuông góc với Hướng dẫn giải: + Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: ′ = Các tiếp tuyến A B vuông góc với ⇔ ′ = Ví dụ 7: Cho hàm số ′ − =− ⇔ + = ⇔ =− =− + − Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) Hướng dẫn giải: PT đường trung trực đọan AB: = Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm PT: + = − ⇔ − − =  −   − − = =     − Hai điểm cần tìm là:  Ví dụ 8: Cho hàm số − ⇔ = +  +        + (C) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận Hướng dẫn giải: ∈ (C) cách tiệm cận x = y = Gọi Ta có: − = − ⇔ − − − − = ⇔ − = ⇔ − − =± −  = ⇔  = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Ví dụ 9: Cho hàm số + + = (C) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi ∈ (C), ( = ≠ − ) + = − + + = Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: + ⇒ MA + MB nhỏ ≥ = + =  ⇔ +  + + + = − = + = = =− Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Ví dụ 10: Cho hàm số = − + Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) cho khoảng cách từ điểm − tới tiếp tuyến (C) M lớn Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng    Giả sử − + +  ∈ +  − = Khoảng cách từ PTTT ∆ (C) M là: ⇔ − + − − tới tiếp tuyến ∆ là: − Theo BĐT Cô–si: + + + ≥ Khoảng cách d lớn + + + ) − − − − − = = (− Vậy có hai điểm cần tìm là: + − +( + ≤ = + ⇔ (− + + = + + + − + = ) + ⇒ = = ⇔ =− ± + ) + − + = Ví dụ 11: Cho hàm số Chuyên đề HÀM SỐ Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) Hướng dẫn giải: = − ⇒ Phương trình MN: + + = Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: = + Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): − = + ⇔ + + + + = ≠− (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = − − > (2) Khi + + với nghiệm (1) +      (theo định lý Vi-et) ≡ −     A, B đối xứng qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ = −  = − = ⇔ ⇒ A(0; –4), B(2; 0) Suy (1) ⇔  = Trung điểm AB  = Ví dụ 12: Cho hàm số + − + Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) Hướng dẫn giải: = + Ta có Gọi −    +   −     +   với −  Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox Ta có: = = ⇒ + = = và: = = ⇒∆   − = + − Hay:   + = − −  Vậy − Ví dụ 13: Cho hàm số ⇔ =∆ ⇒ { =− = = − + { + < < ⇒ = = = C B H A K Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng − Tiệm cận đứng Tập xác định D = Giả sử =  − −   +   +    +  =   + AB nhỏ ⇔ Khi đó: (− −  − +  >   +   ≥   =  ⇔ =  = ) (− + = Ví dụ 14: Cho hàm số =−  −  (với  + Chuyên đề HÀM SỐ > ) điểm thuộc nhánh (C)   +   =  + ≥  = ⇔ ⇔ = =  = + ) − − + − Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng = Hướng dẫn giải: PT đường thẳng AB có dạng: = − + PT hoành độ giao điểm (C) AB: − + =− + − ⇔ = − + + + = ≠ ∆ > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác ⇔  ≠   + − + > ⇔∀ − + + + ≠   + = + Ta có:  Mặt khác =− = +  ⇔ Do đó: AB = ⇔ + − − − + − − − − − + =− ⇔ = − + − − =  = + + = ⇔  = − − = − , thay vào (1) ta được: + Với ⇒ + = , thay vào (1) ta được: + Với ⇒ − + +  = + − = ⇔  = − − − + Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn ⇔  = −  ⇒ ⇒ = =− = − ⇒ =− − ⇒ =− + + − − facebook: LyHung95