Đây là bài viết tổng hợp một số các bài toán nâng cao điển hình về Hình Học Không Gian cho Nguyễn Minh Đức biên soạn. Bài viết phục vụ thiên về luyện thi HSG toán THPT. Các bài toán được tổng hợp từ các đề thi HSG Tỉnh, Thành phố và kèm theo đáp án chi tiết. Mong tài liệu là nguồn kiến thức bổ trợ hiệu quả cho người đọc. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ độc giả.
Bài Viết Toán Học Ôn Luyện Hình Học Không Gian Part Bồi Dưỡng HSG Toán THPT THPT Lê Quảng Chí-Tx Kỳ Anh-T Hà Tĩnh Bài Toán 1: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi a, b, c khoảng cách từ điểm I bên góc tam diện theo thứ tự đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx Oxy Qua I vẽ mặt phẳng P cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Phải chọn mặt phẳng P để thể tích tứ diện OABC nhỏ ? (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Ta có: VIOAB VIOBC VIOCA 1 VOABC VOABC VOABC Do đó: c a b 1 OC OA OB 1 abc abc VOABC OA.OB.OC 6 a b c 6 a b c OA OB OC OA OB OC OA 3a a b c OB 3b Dấu “=” xảy khi: OA OB OC OC 3c abc Như ta cần chọn mặt phẳng P qua I cho OA 3a, OB 3b, OC 3c ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi S điểm cố định tia Oz A, B hai điểm di động tia Ox, Oy cho OA OB OS a Xác định theo a giá trị lớn thể tích khối tứ diện SOAB Nêu cách dựng tâm I mặt cầu ngoại tiếp tự diện SOAB tính theo a bán kính R mặt cầu thể tích khối tứ diện SOAB đạt giá trị lớn Khi A, B di động, chứng minh tổng góc phẳng đỉnh S tứ diện SOAB (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: 1 OS OS OA OB OS a3 Ta có: VSOAB OA.OB.OS OA.OB 6 24 24 a Dấu “=” xảy OA OB a a Vậy MaxVSOAB Đạt OA OB 24 Cách dựng tâm I: Gọi M trung điểm AB Qua M dựng đường thẳng Mt vuông góc với mặt phẳng OAB Trong mặt phẳng Oz, Mt dựng đường thẳng qua trung điểm N SO song song với OM Vậy I giao của đường thẳng Mt với đường thẳng theo cách dựng ta có IA IB IS IO Bán kính R tính bởi: 2 a OS AB OS OA OB R OI MN ON OM 4 2 ÔN LUYỆN 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Ta đặt góc phẳng đỉnh S sau: ASB , OSA , OSB , , 2 Khi ta có: SA2 SB AB SO OA2 SO OB OA2 OB cos 2SA.SB 2SA.SB SO OA OB OA SO SO OB SO sin cos cos sin cos SA.SB SA.SB SA SB SA SB dpcm Bài Toán 3: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , cạnh a Trên cạnh AA ' kéo dài phía A ' lấy điểm M , cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C ' D ' Tìm giá trị nhỏ đoạn MN (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Gọi MN C ' D ' I ', AN CD I AMN CDD ' C ' II ' Vì AMN ABB ' A ' AM II ' AM CDD ' C ' ABB ' A ' Đặt AM x 0, BN y Theo định lý Thales ta có: A ' M MI ' AI BC xa a 1 AM MN AN BN x y x y a Ta có: MN AM AN AM BN AB2 x y a Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có : 1 x y 4a * a x y x y Lại có : x y Do (*) 4a 1 8a x y a 9a x y a 3a 2 Từ (1) (2) suy ra: MN 3a Dấu “=” xảy x y 2a Vậy giá trị nhỏ MN 3a đạt AM BN 2a x y 2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C , D thay đổi Ax By cho: AC BD AB Chứng minh rằng: Mặt phẳng chứa CD song song với AB qua điểm cố định I mặt phẳng chứa Ax song song với By Tìm vị trí C D cho thể tích tứ diện ABCD nhỏ (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Dựng Ay ' song song với By Trên Ay ' lấy D ' cho AD ' BD Khi DCD ' , ACD ' Ta có: AB AB 1 AC BD AB AC AD ' Giữa hai điểm C , D thỏa giả thiết, tồn điểm I thuộc CD ' cho: D'I AB D ' C AC Với điểm I trên, gọi M Ay ', N Ax cho MI Ax, NI Ay ' Khi đó, áp dụng định lý Thales ta có: AN D ' I AB AB AN * AC D ' C AC AM CI D'I AB Do 1 AB AB 1 1 AM ** AD ' CD ' D 'C AC AD ' Từ (*) (**) suy M , N cố định hay I cố định Do qua điểm I cố định Vì ABD DD ' A nên VABCD VC ABD VC DD ' A VD AD 'C Do VABCD nhỏ VD AD 'C nhỏ ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM D By Vì d ( D, ) d D, AD ' C const By Suy ra: VD AD 'C nhỏ diện tích S AD 'C nhỏ 1 Ta có: S AD 'C AC AD 'sin A AC.BD sin A 2 Nhận thấy S AD 'C nhỏ AC.BD nhỏ Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 AC.BD AB AB AC BD AC BD AB AC AB Dấu “=” xảy AB AC BD BD AB AB Vậy VABCD nhỏ hai điểm C , D thỏa mãn AC ; BD 3 Bài Toán 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, có SA a vuông góc với đáy M N điểm di động BC, CD tương ứng cho NAM 450 Xác định vị trí M , N để hình chóp S AMN tích đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài Giải: Đặt MAB ; NAD a b Khi ta có: AM ; AN ; 900 MAN 450 cos cos Ta có: 1 VS AMN SA.S AMN a AM AN sin 450 3 a 2 a2 a3 a3 cos cos cos cos cos cos ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM a3 3cos max cos 0 45 Vì 450 450 0 45 min cos Từ suy ra: 450 ; 00 a3 Đạt max VS AMN 0 ; 45 VS AMN a3 Đạt 22 30' Bài Toán 6: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC 2a Gọi góc mặt bên đáy hình chóp Với giá trị thể tích hình chóp nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài Giải: Gọi M , N trung điểm AD BC Khi ta có: SNM Vì DA BC nên DA SBC d A, SBC d M , SBC 1 Ta có: BC SMN SBC SMN Do kẻ MH SN H SN MH SBC Vậy d M , SBC MH 2 Từ (1) (2) ta suy MH 2a Từ ta có: MH 2a MN a MN SO ON tan tan sin sin cos 1 2a a 4a Vậy VS ABCD S ABCD SO MN SO 3 sin cos 3sin cos ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Từ (*) suy ra, để VS ABCD nhỏ A sin cos phải đạt giá trị lớn Ta có: A sin sin 2sin A2 2 sin sin 2sin 27 27 A 27 Dấu “=” xảy khi: 6 arcsin 6 4a Suy ra: VS ABCD 3a Dấu “=” xảy arcsin Vậy MinVS ABCD 3a3 sin 2sin 3sin sin Bài Toán 7: Hình chóp A.BCD có ACB ADB 900 , AB 2a Đáy BCD tam giác cân B, có CBD 2 CD a Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2010-2011) Bài Giải: AB a Gọi H hình chiếu I BCD , M trung điểm CD , ta có ngay: Gọi I trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy IB IC ID H BM HB HC HD ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Theo định lí hàm sin ta có: BH CD a 2sin CBD 2sin 2 a2 a Suy ra: d I , BCD IH IB BH a 4sin 2 4sin 2 2sin 2 a d A, BCD 2d I , BCD 4sin 2 sin 2 a Từ tam giác BMC vuông M ta có: BM DM tan cot Vậy 2 1 a a a3 4sin 2 VA.BCD d A, BCD S BCD 4sin 2 .cot a 3 sin 2 2 24 sin Bài Toán 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông với AB 2a, tam giác SAB vuông S Mặt phẳng SAB vuông góc với ABCD Biết góc tạo đường thẳng SD SBC với sin Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ C đến SBD theo a Bài Giải: Ta có: BC AB BC SAB SA BC Lại có SA SB ,suy ra: SA SBC Vì góc tạo đường thẳng SD SBC với sin nên ta có: SD SD d D, SBC SD.sin d A, SBC A S Do AD SBC 3 Xét tam giác SAD vuông A (do DA SAB ) ta có: SA2 AD SD SA2 4a 9SA2 SA Áp dụng định lý Py-ta-go ta được: SB AB SA2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a a 14 GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Khi ta có: SH SA.SB SA2 SB a a 14 2 a a 14 a 1 a a3 Vậy VS ABCD SH S ABCD 4a 3 a3 Ta có: VC SBD VS ABCD a 14 3a Tam giác SBD có SB , SD 3SA , BD 2a 2 Dễ thấy SB2 SD2 DB2 nên suy tam giác SBD vuông S a3 3V a 14 3a 3a 2a Do SSBD Suy ra: d C , SBD C BCD 2 2 S BCD 3a Bài Toán 9: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a Gọi M , N trung điểm DB, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, đường thẳng DN lấy điểm Q cho PQ CM Tính độ dài PQ thể tích khối AMNP Bài Giải: Gọi F trung điểm AM , FN CM Vậy P DF AB Trên DPN dựng PQ Q DN song song với FN Gọi E trung điểm PB Khi ME || PF suy PF đường trung bình tam giác AME Ta có: 1 PF ME PD DF PD 4 CM a FN ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM a FN DF 3 a Suy ra: PQ PQ DP PQ V V AP AN 1 Ta có: APMN VAMNP ABCD VABMC AB AC 12 Lại có: VABCD a3 12 1 2 Từ (1) (2) ta suy ra: VAMNP a3 144 Bài Toán 10: Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng SBC ABC vuông góc với Các cạnh AB AC SA SB a Tìm độ dài cạnh SC cho khối a3 chóp S ABC tích V (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013) Bài Giải: Gọi H hình chiểu A BC Ta có tam giác vuông sau AHB AHC AHS (ch-cgv) Từ suy ra: HB HC HS SBC vuông S 3a x BC Đặt SC x Khi đó: BC a x AH AC 2 2 1 3a x ax 3a x ax Vậy VSABC AH SSBC 3 2 12 a3 Ta cần tìm x cho VSABC Hay: 2 ax 3a x a x 3a x 3a 3a x x 12 a Vậy độ dài SC cần tìm ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 0 x a GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong trình gõ viết, tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến từ người để Nguyễn Minh Đức hoàn thành tốt viết phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM [...]... dài SC cần tìm bằng 2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2 0 x a 6 2 GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong quá trình gõ bài viết, không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến từ mọi người để Nguyễn Minh Đức có thể hoàn thành tốt bài viết và phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích... tốt bài viết và phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích sự truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM ... a3 2 144 Bài Toán 10: Cho hình chóp S ABC có các mặt phẳng SBC và ABC vuông góc với nhau Các cạnh AB AC SA SB a Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối a3 chóp S ABC có thể tích V 8 (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013) Bài Giải: Gọi H là hình chiểu của A trên BC Ta có các tam giác vuông sau bằng nhau AHB AHC AHS (ch-cgv) Từ đó suy ra: HB HC HS SBC vuông tại S 3a 2 ... Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM ... BN 2a x y 2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C , D thay đổi Ax By cho: AC BD AB Chứng minh rằng: Mặt... dài SC cần tìm ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 0 x a GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong trình gõ viết, tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến từ người để Nguyễn Minh Đức hoàn thành tốt