BĐT-CT Lượng Giác -Nguyễn Minh Đức

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Viết Tốn Học Bất Đẳng Thức & Cực Trò Lượng Giác Duc_Huyen1604 NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Lời Mở: Trong q trình tìm hiểu phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác” tơi xin viết nên viết nhỏ này! Trong viết số tốn lời giải tham khảo Trong q trình viết khơng thể khơng gặp sai sót Mong bạn đọc cho ý kiến đóng góp! My Facebook: www.facebook.com/gaulovemiu1604 Gmail: lovemiu1604@gmail.com A B sin 2 Bài Tốn 1: Cho ABC , tìm GTLN P  1 1 C sin sin Giải: Áp dụng BĐT BCS ta có:  1     1  C 3  sin   sin C 5   C 3 C sin sin 2     5 4    1  C  3 C sin sin     C   sin 5 1 1 C sin         1 Suy ra: P  AB C C  C C  sin  sin   cos   sin  sin 10  2 10  2 2 NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có :  C C   sin  sin 2   C  C    sin    sin  2   C  sin    C C C   sin   sin  sin  2 2    27 27 3 P Từ ta suy ra:  10 3 45  C  sin   A  B  AB  Dấu « = » xảy cos 1   C  sin   C C 1  sin  sin  2  Vậy Max P  45 Bài Tốn 2: Cho A, B,C ba góc tam giác.Chứng minh : A B C cos A  cos B  cosC   sin  sin  sin 2   Giải : Áp dụng BĐT AM-GM ta có: A B sin A B 2 sin B cos B 2 sin A cos A tan sin B  tan sin A  2 A 2 B 2 cos cos 2 A B A B  tan sin B  tan sin A  sin sin (1) 2 2 sin Tương tự ta có: B C B C sin C  tan sin B  sin sin 2 2 C A C A tan sin A  tan sin C  sin sin 2 2 tan (2) (3) NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta suy : A B C sin B  sinC  tan sinC  sin A  tan sin A  sin B 2  A B B C C A   sin sin  sin sin  sin sin  2 2 2  tan       (*) Ta có biến đổi sau: tan A sin B  sin C    B C 2 cos A cos B  C  cos B  cosC A 2 cos cos Tương tự : B sin C  sinA  cosC cosA C tan sin A  sin B  cos A  cos B tan     Do từ (*) ta có :  A B B C C A cos A  cos B  cosC   sin sin  sin sin  sin sin  2 2 2  A B C  A B C  cos2  cos2  cos2   sin  sin  sin  2  2 2  A B C  cos A  cos B  cosC    sin  sin  sin  2 2  1 A B C  cos A  cos B  cosC    sin  sin  sin   3 2 2   Ta chứng minh : 1 A B C A B C  sin  sin  sin    sin  sin  sin 3 2 2 2 2    A B C  2  sin  sin  sin     (ln đúng) 2 2    Dấu « = » xảy A  B  C  ABC Vậy ta có điều phải chứng minh NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Tốn 3: Cho ABC khơng có góc tù góc khơng nhỏ    P  cot A  cot B  cotC  cot A cotBcosC   Chứng minh : Giải :   Giả sử Min A, B,C  A    A Ta có:   P  cot A  cot B  cotC  cotA cot A cot B  cot B cotC  cotC cotA cot A cot B  cotC     cot A  cot B  cotC  cotA 1  cot A cot B  cotC     cotA  cot A cot B  cotC        Vì A  nên  cot A   cot      3  3  2  Vì ABC khơng có góc tù nên: B,C  Đặt tan  A   t  t    1;  3    cot B  cotC  cot B C A  tan 2   A      Do 6  Kết hợp với đánh giá suy được:    t2    t2   A 3t  6t    P  cot A   cot A tan        t   2t   2t  2t      Xét hàm số : f (t )    3t  6t  1  với t    1;  , ta có: 2t   f '(t )     3t  2t 2     t    1;  3    Vậy suy f (t ) ln nghịch biến   1;  3      Do : f (t )  f (  1)   Hay suy P   Dấu “=” xảy A   ,B  C  3 Vậy ta có điều phải chứng minh! NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Tốn 4: Cho số ngun dương n số thực x Chứng minh rằng: cos x  cos 2x   cos 2n x  n (*) Giải: -Khi n  : * Nếu cos x  1 cos x  cos 2x  2 * Nếu cos x    cos x  cos 2x  cos x  cos2 x   cos x   cos2 x   cos x  cos x   Vậy (*) với n  Giả sử (*) với n  k  Khi đó: cos x  cos 2x   cos 2k x  k Ta chứng minh (*) với n  k  Hay chứng minh: cos x  cos 2x   cos 2k x  cos 2k 1 x  k 1 Thật vậy, áp dụng giả thiết quy nạp ta có: *Nếu cos x  1 k k 1 cos x  cos 2x   cos 2k x  cos 2k 1 x    2 2 *Nếu cos x  cos x  cos 2x   cos 2k x  cos 2k 1 x      cos x  cos 2x  cos 4x   cos 2k 1 x   k 1 k 1  2 Vậy (*) với n  k  Hay suy (*) với số ngun dương n NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Tốn 5: Cho ABC , tìm GTNN biểu thức: A B C  tan5  tan5 2 P  A B C tan3  tan3  tan3 2 tan5 Giải: Ta ln có: tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: A A  tan5  tan5 2 A A tan5  tan5  tan5 2 A A tan5  tan5  tan5 2 tan5 A A B A B  tan5  tan5  tan4 tan 2 2 A A C A C  tan5  tan5  tan4 tan 2 2 A B C A B C  tan5  tan5  tan3 tan tan 2 2 2 (1) (2) (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được:  A B C A A B B C C A   tan5  tan5   tan3  tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 2 2 2   A B C A  11 tan5   tan5  tan5   tan3 (4) 2 2   11 tan5 Tương tự:  B C A B   tan5  tan5   tan3 2 2   C A B C 11 tan5   tan5  tan5   tan 2 2  11 tan5 (5) (6) Cộng vế theo vế (4), (5) (6) suy được:   A B C A B C 15  tan5  tan5  tan5    tan  tan  tan  2 2 2 2   A B C tan5  tan5  tan5 2   A B C tan  tan  tan 2 NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Dấu “=” xảy tan Vậy MinP  A B C  tan  tan  A  B  C 2   Bài Tốn 6: Chứng minh rằng,   3,  x   0;   2   sin x     cos x x   Giải:   sin x  Ta có:  x   0;   sin x  x   x  2   sin x   sin x    Do đó:    3,     , x   0;   x   x   2 Như ta cần chứng minh:  sin x     cos x  x  sin x  x cos x sin x  x  cos x Xét hàm số f (x )     x , với x  0;  Ta có : cos x  2 sin x f '(x )  cos3 x  cos x cos x  cos x cos x Xét g(cos x )  cos3 x  cos x cos x  với cos x  (0;1] ta có:     Vậy suy g  cos x  nghịch biến  g  cos x   g 1  g' cos x  cos x  cos x   cos x  (0;1]   Do suy : f '(x )   hàm f (x ) đồng biến x  0;   2   sin x Suy f x  x   0;   x  cos x  2   Vậy ta có điều phải chứng minh! NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Tốn 7: Cho ABC , chứng minh rằng: P B C CA A B cos cos   6 A B C sin sin sin 2 cos Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  33 B C C A AB cos cos sin A  sin B sin B  sinC sinC  sin A  33 A B C sin A sin B sinC sin sin sin 2  cos    (1) Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có:  sin A  sin B  sin B  sinC  sinC  sin A  sin A sin B sinC sin A sin B sin B sinC sinC sin A  (2) sin A sin B sinC Từ (1) (2) suy ra: P  33  Dấu = xảy A  B  C Vậy ta có điều phải chứng minh! Bài Tốn 8: Cho x, y góc nhọn.Tìm GTLN biểu thức: 1  P  tan x tan y  cot x  cot y Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P   tan x tan y cot x cot y    tan x tan y  tan x tan y Theo BĐT AM-GM ta lại có:  tan x tan y  tan x tan y   NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)    tan x tan y  tan x tan y  tan x tan y 2   tan x tan y   tan x tan y   tan x tan y Từ ta suy ra: P  27   27 27  cot x  cot y Dấu « = » xảy   tan x  tan y  tan x tan y   tan x tan y   Vậy : Max p  27 Bài Tốn 9: Cho A, B,C ba góc tam giác.Chứng minh rằng: P  sin A  sin B  cosC  2 Giải : Ta có: AB AB cos  cos C 2  C 2 2C  cos   1  cos 2   P  sin Ta chứng minh : cos  C 2 2C   1   cos 2   (*) Thật vây : (*)  cos2 C C  2 cos   2   C   cos      (ln đúng)  AB 1 cos  ABC vng cân C Dấu « = » xảy  C cos   Vậy ta có điều phải chứng minh 10 NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Tốn 10: Cho ABC có góc thỏa mãn A  B  C   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  cos 4C  cos2C  cos2A  cos2B Giải: Vì A  B  C     C     cosC  Vì  cosC   cos A cos B  cos A  B cos A  B  2 cosC cos A  B  2 cosC  cos A  B    Ta suy ra:               P  2 cos2 C   1  cos2 C   cos C    P  16 cos4 C  cos2 C  cosC  Mặt khác ta lại có : 16 cos4 C  cos2 C  cosC   16 cos4 C  cos2 C    cosC       cos2 C    cos C   4  (Do cos C  )  cos A  B    Từ suy : P  4 Dấu = xảy   A  B C  cosC   Vậy MinP  4 Bài Tốn 11: Cho A, B,C ba góc tam giác Chứng minh : sin A  sin B  sinC  cos A B C  cos  cos 2 Giải: Ta có:   sin A  sin B  sin A  sin B  sin AB AB C cos  cos 2 Tương tự ta có: sin B  sinC  cos 11 A (2) (1) NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) sinC  sinA  cos B (3) Cộng vế theo (1), (2) (3) ta được:  A B C sin A  sin B  sinC   cos  cos  cos  2  A B C  sin A  sin B  sinC  cos  cos  cos 2 2   Vậy tốn chứng minh.Dấu  xảy A  B  C       Bài Tốn 12: Cho ABC nhọn Chứng minh rằng:  cos A cos B cosC  sin A B C sin sin 2 Giải: Ta có: sin2 A  sin2 B  sin2 C   cos A cos B cosC sin A  sin B  sinC  cos A B C cos cos 2 Suy ra: 1  cos A cos B cosC   sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sinC   2 A B C cos cos cos 2 (*) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:  sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sinC  2  3 sin2 A sin2 B sin2 C 3 sin A sin B sinC  sin A sin B sinC Từ (*) (**) ta suy ra:  cos A cos B cosC  12 sin A sin B sinC A B C cos cos cos 2 (**) NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)   cos A cos B cosC  sin A B C sin sin 2 Vậy tốn chứng minh Dấu = xảy A  B  C   Bài Viết Có Tham Khảo: : Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng Tốn Học 11 ( Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm) 13 [...]... A  B C  1 3 cosC  2  Vậy MinP  4 Bài Toán 11: Cho A, B,C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng : sin A  sin B  sinC  cos A B C  cos  cos 2 2 2 Giải: Ta có:   sin A  sin B  2 sin A  sin B  4 sin AB AB C cos  2 cos 2 2 2 Tương tự ta có: sin B  sinC  2 cos 11 A 2 (2) (1) NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) sinC  sinA  2 cos B 2 (3) Cộng vế theo về (1), (2) và (3)... sin A sin B sinC  9 sin A sin B sinC Từ (*) và (**) ta suy ra: 1  cos A cos B cosC  12 9 sin A sin B sinC A B C 8 cos cos cos 2 2 2 (**) NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)  1  cos A cos B cosC  9 sin A B C sin sin 2 2 2 Vậy bài toán được chứng minh Dấu = xảy ra khi A  B  C   3 Bài Viết Có Tham Khảo: 1 : Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4 Toán Học 11 ( Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm)... và (3) ta được:  A B C sin A  sin B  sinC  2  cos  cos  cos  2 2 2  A B C  sin A  sin B  sinC  cos  cos  cos 2 2 2 2   Vậy bài toán được chứng minh. Dấu  xảy ra khi A  B  C   3     Bài Toán 12: Cho ABC nhọn Chứng minh rằng: 1  cos A cos B cosC  9 sin A B C sin sin 2 2 2 Giải: Ta có: sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2 cos A cos B cosC sin A  sin B  sinC  4 cos A B C cos...NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 10: Cho ABC có các góc thỏa mãn A  B  C   2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2 cos 4C  4 cos2C  cos2A  cos2B Giải: Vì A  B  C   2   3 C ...NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Lời Mở: Trong trình tìm hiểu phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác xin viết nên viết nhỏ này! Trong viết số... ta có điều phải chứng minh NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 3: Cho ABC góc tù góc không nhỏ    P  cot A  cot B  cotC  cot A cotBcosC   Chứng minh : Giải :   Giả... A   ,B  C  3 Vậy ta có điều phải chứng minh! NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 4: Cho số nguyên dương n số thực x Chứng minh rằng: cos x  cos 2x   cos 2n x  n (*)