π n et BẤT ĐẲNG THỨC 2014 Bài Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: √ q q q 2 2 2 a + (1 − b) + b + (1 − c) + c + (1 − a) ≥ k2 Lời giải Áp dụng BĐT Mincopski,ta có: q q 2 V T ≥ (a + b + c) + [3 − (a + b + c)] = 2(a + b + c)2 − 6(a + b + c) + √ q Ta chứng minh: 2(a + b + c) − 6(a + b + c) + ≥ ⇐⇒ 2(a + b + c) − 6(a + b + c) + ≥ ⇐⇒ [2(a + b + c) − 3]2 ≥ 2 Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Bài toán chứng minh → − − − → − *: Ngoài việc dùng BĐT Mincopski ta dùng BĐT Vectơ :|→ a | + b ≥ → a + b Lời giải Vì a, b, c ∈ (0; 1) nên: ww Tuy nhiên hai BĐT chất với nhau! Bài Cho a, b, c ∈ (0; 1) Chứng minh rằng: p √ abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < √ abc < abc p p (1 − a)(1 − b)(1 − c) < (1 − a)(1 − b)(1 − c) //w √ htt p: p p √ √ Suy ra: abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) (1) Mà theo BĐT AM-GM ta có: √ a+b+c abc ≤ p − (a + b + c) (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ Nên từ (1),ta suy ra: p √ (a + b + c) + − (a + b + c) abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < p √ ⇔ abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < Bài toán chứng minh Bài Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: √ √ b+c c+a a+b √ √ + √ + √ ≥ a+ b+ c+3 a c b Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có: √ √ b √ + a ≥ b √ √ √ b+c a √ ⇒ ≥ 2( b + c − a) √ √ c a √ + a ≥ c a (1) √ √ √ c+a √ ≥ 2( c + a − b) b √ √ √ a+b √ ≥2 a+ b− c c √ √ √ Cộng vế theo vế (1) ; (2) (3) ta được:V T ≥ 2( a + b + c) Mà: π n et Tương tự ta có: (2) (3) q √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ abc = a + b + c + 2( a + b + c) = a + b + c + a + b + c ≥ a + b + c + Suy ra: VT ≥ √ √ a+ b+ √ c+3 Lời giải k2 Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Bài toán chứng minh Bài Nếu phương trình x4 + ax3 + 2x2 + bx + = có nghiệm thực, a2 + b2 ≥ x4 + ax3 + 2x2 + bx + = ww Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình (1), suy : x 6= Khi đó: (1) ⇐⇒ x2 + ax + + (1) b + =0 x x (∗) Xem (∗) phương trình bậc hai ẩn x ta có: " b + x 2 b + ∆ ≥ ⇐⇒ a + b − ≥ x 2 b ∆=a −4 2+ + x x =a −8−4 //w b2 − # b =a +b −8−4 + x 2 2 Mà (1) có nghiệm thực nên: Dấu ‘=’ xảy x = −2 b ≥ =⇒ a2 + b2 ≥ Bài toán chứng minh Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện : x2 + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P = x3 + y + z − 3xyz htt p: Lời giải Sử dụng đẳng thức,ta có: P = (x + y + z)(x2 + y + z − xy − yz − zx) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P = (x2 + y + z + 2xy + 2yz + 2zx)(x2 + y + z − xy − yz − zx)(x2 + y + z − xy − yz − zx) 3 3(x2 + y + z ) ≤ =1 ⇒ P ≤ Vậy M axP = π n et Bài Cho a, b, c, x, y, z số thực dương,thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: p ax + by + cz + (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c Lời giải Áp dụng BĐT BCS, ta có: ax + by + cz ≤ p (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) p p ⇐⇒ V T ≤ (a2 + b2 + c2 ).(x2 + y + z ) + (xy + yz + zx).(ab + bc + ca) p p p (a2 + b2 + c2 ) (x2 + y + z ) + 2(xy + yz + zx).2(ab + bc + ca) (1) k2 Áp dụng BĐT BCS ta lại có: p p p (a2 + b2 + c2 ) (x2 + y + z ) + 2(xy + yz + zx).2(ab + bc + ca) ≤ (a + b+c)(x +y + z) = a +b +c (2) Từ (1) (2) ta suy ra: V T ≤ a + b + c = V P Dấu ‘ =0 xảy a = b = c = Bài toán chứng minh ww Bài Choa, b, clà số thực dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 4(a + b + c) (b + c) (c + a) (a + b) Lời giải Áp dụng BĐT BCS , ta có: 2 a b c b c a (a + b + c) + + + + ≥ b+c c+a a+b (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 Mà : //w a b c + + ≥ b+c c+a a+b (Theo BĐT Nesbit) Nên từ (1) ta suy ra: a b c (a + b + c) + + ≥ (b + c) (c + a) (a + b) a b c ⇔ + + ≥ 4(a + b + c) (b + c) (c + a) (a + b) htt p: Dấu ‘=’ xảy a = b = c Bài toán chứng minh Bài Cho a, b, c ≥ 0.Chứng minh rằng: √ √ √ √ √ √ a4 + a2 b2 + b4 + c4 + b2 c2 + c4 c4 + c2 a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab Lời giải Ta có: p a4 + a2 b2 + b4 = r √ 3 2 2 (a − b ) + (a + b ) ≥ (a + b2 ) 4 Tương tự ta có: √ (b + c2 ) √ p 2 c +c a +a ≥ (c + a2 ) p b4 + b2 c2 + c4 ≥ √ 3(a + b2 + c2 ) (1) Áp dụng BĐT BCS ta có: π n et ⇒VT ≥ p p p p V P = a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab ≤ (a2 + b2 + c2 )(2a2 + 2b2 + 2c2 + ab + bc + ca) Ta lại có BĐT quen thuộc ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 Từ (∗) (∗∗) ta suy ra: VP ≤ √ (∗) (∗∗) 3(a2 + b2 + c2 ) (2) k2 Từ (1) (2) ta có diều phải chứng minh Dấu ‘ =0 xảy a = b = c Chứng minh hoàn tất Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: √ √ √ a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b Lời giải Áp dụng BĐT BCS ta có: 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 (1) ww (a2 + b2 + c2 ) ≤ (a + b + c)(a3 + b3 + c3 ) Từ (1) (2) ta (2) (a2 + b2 + c2 )(a + b + c) (a2 + b2 + c2 )(b + c + c + a + a + b) = √ √ 2 √ a b+c+b c+a+c a+b (3) ≥ //w a3 + b3 + c3 ≥ Theo BĐT AM-GM ta có: q q p √ √ √ 3 a b + c + b c + a + c a + b ≥ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ abc 8abc = √ √ √ √ √ √ √ ⇒ (a b + c + b c + a + c a + b) ≥ 6(a b + c + b c + a + c a + b) (4) √ Từ (3) (4) ta suy điều phải chứng minh Dấu ‘ =0 xảy a = b = c = htt p: Bài 10 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: xyz ≤ (1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có: r x x + 3x = + ≥ (1) 26 r 6 4y x.4 y x + 8y = x + ≥7 (2) 36 r 6 3z y.3 z y + 9z = y + ≥7 (3) 26 √ z + = z + 6.1 ≥ 7 z (4) π n et Nhân vế theo vế (1), (2), (3) (4) ta được: htt p: //w ww k2 (1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) ≥ 74 xyz xyz ⇔ ≤ (1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) Dấu ‘=’ xảy (x; y; z) = 2; ; Bài toán chứng minh