Cách 2:(THCS) Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell Cho tam giác ABC.. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác.[r]
(1)CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Chứng minh
trong A, B, C ba góc tam giác
Chứng minh: ( Theo thứ tự chương trình học Phổ thông )
Cách (THCS) Dùng tỉ số Diện Tích Kẻ đường cao AD, BE, CF Đặt
;
;
Tương tự
Cộng (1), (2), (3) ta có
(đpcm) Đẳng thức xảy tam giác ABC
Cách 2:(THCS) Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Đặt
và lần lượt khoảng cách từ M đến BC, CA, AB tương ứng Khi ta có bất đẳng thức
Vận dụng giải trên:
Gọi O , R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA
(2)Do : Tương tự Do
( đpcm).(Erdos-Mordell) Đẳng thức xảy tam giác ABC
Cách 3:(THPT) Sử dụng BĐT Trêbưsep.
Gọi a, b, c ba cạnh tam giác, sử dụng cơng thức hình chiếu ta có: ,
, , Cộng ba biểu thức ta có:
Khơng tính tổng qt giả sử: , ta có:
Do :
( Trêbưsep) (đpcm)
Đẳng thức xảy tam giác ABC
Cách Phuong pháp vectơ.
Gọi I r tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, và M, N, P tiếp điểm đường trịn
với cạnh AB, AC, BC ,ta có
(*) Ta nhận thấy
( Vì và góc A bù nhau)
Tương tự : ,
(3)Cách 5: Phuong pháp vectơ
Lấy A, B, C ba gốc ba véctơ đơn vị sau
, ,
Ta có :
Cách 6: Quan hệ bất đẳng thức Schur
( Schur)
Cách :Sử dụng tam thức bậc hai. Xét
Đặt
Xét tam thức
Có ,
và hệ số ,Nên với x
Hay
Cách 8: Sử dụng hàm số. Ta có
Đặt ,
(4)Cách 9: Tổng bình phương. Xét
(Đúng) Đẳng thức xảy A=B=C
Cách 10: BĐT lượng giác bản Ta có :
( đẳng thức xảy A=B)
( đẳng thức xảy Vậy :
Đẳng thức xảy tam giác ABC
Cách 11: Đánh Giá BĐT
-Tam giác ABC không nhọn, Giả sử góc
Ta có :
(1)
(2)
Cộng (1) (2) vế theo vế ta có:
(3) Suy
Nếu A nhọn, (1), (2), (3) thỏa mãn
Cách 12 :Hàm lồi
(5)Xét hàm số f(x) = cosx
Ta có f'(x) = -sinx , f''(x)=-cosx <0 với
Do hàm f(x) = cosx lồi Do