Đang tải... (xem toàn văn)
rằng trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của một số còn lại... Tính giá trị của biểu thức P=.[r]
(1)Chứng minh đẳng thức có điều kiện và tính giá trị biểu thức biết điều kiện buộc cho trước chủa biến I/ Chứng minh các đẳng thức Chứng minh các đẳng thức sau: 2 1)( a+ b) = (a – b) + 4ab 2)(a – b)2 = (a + b)2 - 4ab 3)2(a2 + b2 ) = (a+b)2 + (a – b)2 4)(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + by)2 5)a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 6)a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) 7)a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) 8)(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 9)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a +b) + 3bc(b +c) + 3ca (c +a) +6abc 10)(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) – (ax + by + cz)2 = (ay – bx)2 + (az- cx)2 + (bz- cy)2 11)an – bn = ( a – b)(an-1 + an-2b + … + a1bn-2 + bn ) (Từ câu 11, ta có n lẻ thì an – bn chia hết cho a = b) 12) Giới thiệuTam giác PASCAN 13)Với n lẻ ta có: an + bn = (a+b)(an-1 – an-2b1 + an-3b2 - ….- abn-1 + bn-1) II/ Bài tập và phương pháp 1)Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh : (5a – 3b + 8c) (5a – 3b – 8c) = (3a- 5b)2 a b ( với x, y ) x y a b c 3)Cho (a2 + b2 + c2)x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác thì x y z 2)Chứng minh (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2thì 4) Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh a = b 5)Chứng minh a = b= c có các điều kiện sau : a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2) c)(a + b + c)2 = 3(ab +bc + ca) 6)Cho a + b + c = Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc 7)Cho a + b + c = Chứng minh : a3 + b3 + a2c + b2c – abc = 8)Chứng minh ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau, tồn hai số nhau: a2(b –c) + b2(c –a) + c2(a – b) = 9)Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b,c là các số dương thì a = b = c 10)Chứng minh a4 + b4 + c4 + d = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d 11)Chứng minh m = a + b +c thì (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 12)Cho x + y + z = Chứng minh : 2(x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 13) Chứng minh 1 1 1 và a + b + c = abc thì a b c a b c 14)Cho a + c = 2b Chứng minh : a2 + 8bc = (2b +c)2 15)Cho a + b = ab Chứng minh : (a3 + b3 – a2b2)3 + 27a6b6 = 16)Cho a + b + c = 2x Chứng minh : x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 = a2 + b2 +c2 Lop8.net (2) 17)Cho 2b = + ab và a 1, b Chứng minh rằng: a 1 b 1 a 1 b 1 1 ab ac Chứng minh rằng: a b c ab ac 1 1 19)Cho xyz = Chứng minh : x xy y yz z xz ac ba cb ab bc ca Chứng minh 4 20)Cho bc ac ab bc ca ab 18)Cho 21)Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: 1 2 2 b c a c a b a b2 c2 22)Cho a b, c là các số khác thoả mãn điều kiện 1 Chứng minh : a b c ab bc ca 3 c2 a2 b2 23)Cho a, b, c, x, y, z là các số thoả mãn : a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; x y z Chứng a b c minh : xy + yz + zx = x y z Chứng minh rằng: xa2 + yb2 + cz2 = a b c x2 y2 z2 a b c x y z 25)Cho và Chứng minh : a b c x y z a b c 24)Cho a + b + c = 0; x + y + z = 0; 26)Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, a3 + b3 + c3 = 1.Chứng minh : a97 + b97 + c97= 27)Cho a, b, c là các số đôi khác thoả mãn : : a b c b a c c a b 2 a b c Chứng minh bc ca ab 28)Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b 0; b + c 0; c + a thoả mãn : a2 b2 c2 a b c Chứng minh : bc ca ab bc ca ab 29)Cho ab =1 Chứng minh : a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3) – (a + b) 30)Cho ba số a, b, c là các số khác không và đôi khác thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a)a3 + b3 + c3 + a2b + ab2 + b2c + cb2 + c2a + ca2 = a b b c c a c a b 9 a b a b b c c a c b) 31) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn điều kiện (a + b+ c)2 = a2 + b2 + c2 Rút gọn biểu thức sau: P = a2 b2 c2 a 2bc b 2ca c 2ab 32)Chứng minh x2(y +z) + y2(x +z) + z2(x +y) + 2xyz = Thì x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 33)Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Thì a = b = c a + b + c = Lop8.net (3) a b c 34)Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức : A = 1 1 1 b c a 1 x6 y6 z6 Rút gọn biểu thức M = x y z x y3 z3 1 abc 36) Cho a + b + c = 2p Chứng minh : p a p b p c pp a p b p c 1 1 1 1 37)Cho Chứng minh : n n n n x y z x yz x y z x yn zn 1 38) Cho x > thoả mãn x2 + Chứng minh x5 + là số nguyên x x 35)Cho x + y + z = và 39)Cho x + y + z = và xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức T = (x – 1)1997 + y1998 + (x +1)1999 40) Cho a, b, c là các số khác thoả mãn a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Tính giá trị các a b b c c a biểu thức sau: P = (1 + )(1 )(1 ) 41)Cho a + b + c + d = Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3(c +d)(ab- cd) 42)Cho a > b > thoả mãn: 3a2 + 3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức sau: P = ab ab 43)Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2= 1, ac + bd = Chứng minh : ab + cd = 44)Cho a, b,c đôi khác thoả mãn ab + bc + ca = Tính giá trị biểu thức 2 a b b c c a a) A = 2 1 a 1 b 1 c b) B = a 2bc b 2ac c 2ab a b b c c a 2 x y ; x2 + y2 = Chứng minh : a b ab x 2000 y 2000 2 a)bx = ay b) 1000 2000 a b a b 1000 45)Cho 46)Chứng minh rằng, a, b,c lầ ba số thoả mãn : a + b + c =2000 và 1 1 a b c 2000 Thì ba số a, b, c phải có số 2000 47)Chứng minh rằng, x = ab bc ca ;y ;z thì ab bc ca (1 +x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) 48)Cho a, b,c là ba số hữu tỉ đối khác và khác thoả mãn : 1 b c Chứng minh abc = abc = - b c a a b c b2 c2 a2 49)Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn : abc = và Chứng minh a b c b c a a+ ba số a, b, c phải có số bình phương số còn lại 50)Cho x, y, z thoả mãn xyz =1; x + y + z = 1 Tính giá trị biểu thức x y z Lop8.net (4) P = (x19- 1)(y5 – 1)(z1890- 1) 51)Cho a, b, c là ba số thoả mãn : abc = 2000 Tính giá trị biểu thức P= 2000a b c ab 2000a 2000 bc b 2000 ac c 52) 2004a 2005b 2006b a 2003a 2006 b 2006 3a b 3b 2a b)Cho 2a- b = 2006 Tính B = a 2006 2b 2006 53) Cho ba số a, b, c thoả mãn : b c ; a + b c và c2 + 2(ab – ca – bc) = Chứng minh a a c ac : bc b b c 1 54)Cho ba số a, b, c khác thoả mãn: a + b + c = 2006 và Tính giá trị a b c a) Cho a – 2005b = 2006 Tính A = S = a2 + b2 + c2 55) Cho a2 b2 c2 a b c Tính giá trị biểu thức A = bc ca ab bc cs ab 56)Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh với n nguyên dương thì xn + yn = an + bn 57)Cho ax + by + cz = và a + b + c = Chứng minh : 2006 ax by cz 2006 bc( y z ) ac( x z ) ab( x y ) Lop8.net (5)