Muốn sáng tạo BĐT thì trước tiên ta phải quan sát, tư duy với các dạng BĐT khác để ta lồng ghép và đôi khi cần thêm giả thiết để không bị lộ ý tưởng ban đầu của mình.. Nhưng nếu ta dùng [r]
(1)SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT
ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC
Nguyễn Đăng Khoa, Lê Trung Hiếu
Ngày tháng năm 2018
1
Một bất đẳng thức hay gặp
Trong trình làm tốn đặc biệt bất đẳng thức ta gặp nhiều loại bất đẳng thức khác nhau, nhiều bổ đề khác sau bất đẳng thức quen thuộc nhiều bạn: Cho số khơng âm a, b, c ta có bất đẳng thức
a2
a2+ 2bc +
b2
b2+ 2ac +
c2
c2+ 2ab ≥1
Và bất đẳng thức biết đến lời giải đơn giản Cauchy - Schwarz sau:
a2 a2 + 2bc +
b2 b2+ 2ac +
c2 c2+ 2ab ≥
(a+b+c)2
a2+ 2bc+b2+ 2ac+c2+ 2ab =
(a+b+c)2 (a+b+c)2 =
Một dạng tương đương BĐT là:
bc a2+ 2bc+
ca b2+ 2ac+
ab
c2+ 2ab ≤1
(2)2
Sáng tạo bất đẳng thức
2.1
Làm để sáng tạo bất đẳng thức?
Câu hỏi phổ biến nhiều bạn học bất đẳng thức đặt người viết sách lại sáng tác nhiều tốn hay Câu trả lời họ xuất phát từ toán ban đầu tư duy, kinh nghiệm vốn có sáng tạo nhiều BĐT khác lạ so với bạn đầu Muốn sáng tạo BĐT trước tiên ta phải quan sát, tư với dạng BĐT khác để ta lồng ghép cần thêm giả thiết để khơng bị lộ ý tưởng ban đầu Sau vài ý tưởng cho BĐT
2.2
Sáng tạo bất đẳng thức
Trước hết ta biến đổi BĐT ban đầu
a2 a2+ 2bc +
b2 b2+ 2ac +
c2
c2+ 2ab ≥1⇔
a3 a3+ 2abc +
b3 b3+ 2abc +
c3
c3+ 2abc ≥1
Ta thấy tất mẫu có2abc nên ta nảy ý tưởng cho thêm giả thiết abc= ta có BĐT
Ví dụ 1: Cho số dươngabc= Chứng minh bất đẳng thức
a3
a3+ 2 +
b3
b3 + 2 +
c3
c3+ 2 ≥1
Từ bất đẳng thức với giả thiết ta biến đổi dạng đẹp
1 a3+ 2 +
1 b3 + 2 +
1
c3+ 2 ≤1
Ví dụ 2Cho số dương a, b, cthỏa mãn a2+b2+c2 = 1 Chứng minh bất đẳng thức sau
a a2+ 2bc
2 +
b b2+ 2ca
2 +
c c2+ 2ab
2
≥1
(3)a a2+ 2bc
2 +
b b2+ 2ca
2 +
c c2 + 2ab
2
≥
a a2+ 2bc +
b b2+ 2ca +
c c2+ 2ab
2
3
Đến bạn đọc hồn tồn kiểm tra máy tính BĐT cuối bị ngược dấu Vậy để sử dụng giả thiếta2+b2+c2 = 1 mà không bị ngược dấu Chúng ta xét lời giải
sau:
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
"
a a2+ 2bc
2 +
b b2+ 2ca
2 +
c c2 + 2ab
2#
(a2+b2 +c2)≥
a2
a2+ 2bc +
b2
b2+ 2ac +
c2
c2+ 2ab
2
≥1
Kết hợp giả thiết ta thu điều phải chứng minh
Với ý tưởng ta sáng tạo BĐT khác giả thiết a2+b2+c2 = 1:
a2
(a2+ 2bc)3 +
b2
(b2+ 2ac)3 +
c2
(c2+ 2ab)3 ≥1
Bài bất đẳng thức ta sử dụng BĐT Holder sau:
a2
(a2+ 2bc)3 +
b2
(b2+ 2ac)3 +
c2
(c2+ 2ab)3
(a2+b2+c2)(a2+b2+c2)≥
a2
a2+ 2bc +
b2
b2+ 2ac +
c2
c2+ 2ab
3
≥
1
Suy a
2
(a2 + 2bc)3 +
b2
(b2+ 2ac)3 +
c2
(c2+ 2ab)3 ≥1
Qua hai dạng ta phải đưa dạng tổng quát cho toán:
Cho số dương a,b,c choa2+b2 +c2 = 1 và số thực dương k ≥1 Chứng minh rằng:
a2
(a2+ 2bc)k +
b2
(b2+ 2ca)k +
c2
(c2+ 2ab)k ≥1
Lời giải
Ta có: a2+ 2bc≤a2+b2+c2 = 1 ⇒(a2 + 2bc)k≤a2+ 2bc⇒P a
2
(a2+ 2bc)k ≥
P a
2
a2 + 2bc ≥1
Hoàn tất chứng minh ta qua ví dụ
(4)1 2a+ +
1 2b+ +
1
2c+ ≥1
Lời giải
Vìabc= nên tồn số dương x, y, z = yz x2;b=
xz y2;c=
xy
z2 Ta viết lại bất đẳng
thức:
1 2a+ +
1 2b+ +
1 2c+ =
P 2yz
x2 +
= x
2
x2+ 2yz +
y2 y2+ 2zx +
z2
z2 + 2xy ≥1
Và BĐT ban đầu nên ta có đpcm Ngồi cách đổi biến sáng tạo ta cịn có cách quy đồng biến đổi sử dụng giả thiết
Bất đẳng thức viết lại dạng:
a 2a+ +
b 2b+ +
c
2c+ ≤1
Ví dụ 4: Cho số dươnga, b, c cho abc= Chứng minh rằng:
1 a+ +
1 b+ +
1 c+ ≤1
Nếu ví dụ ta chọn cách đặt ví dụ ta lại phải đặt ngược lại để sử dụng BĐT ban đầu
Lời giải
Đặt:a= x
2
yz;b= y2
xz;c= z2
xy Ta viết lại bất đẳng thức:
a+ + b+ +
1 c+ =
P x2 yz +
=P yz
x2+ 2yz ≤1
Đây kết ban đầu nên ta có điều phải chứng minh Tương tự ví dụ ta chứng minh cách khác quy đồng bất đẳng thức tương đương với:
a a+ +
b b+ +
c c+ ≥1
Kết hợp ví dụ ví dụ ta có tốn
(5)a a+ +
b b+ +
c c+ ≥
a 2a+ +
b 2b+ +
c 2c+
và số bất đẳng thức khác có số làm trung gian
Ví dụ 6: Cho số dương a, b, c tổng Chứng minh rằng:
a 3bc+a +
b 3ca+b +
c 3ab+c ≥
3
Trước hết ta thấy giả thiết a, b, c có tổng mẫu phân thức có chứa biến a, b, c nên ta có ý tưởng nhân thêm Nhưng sau nhân thêm lại vào bí nên cần tinh tế trình biến đổi Ta xét lời giải sau
Lời giải
Ta viết lại bất đẳng thức dạng:
bc 3bc+a +
ca 3ca+b +
ab 3ab+c ≤
1
Và ta hồn tồn sử dụng giả thiếta+b+c= Sử dụng Cauchy - Schwarz ta có:
bc 3bc+a =
bc
3bc+a(a+b+c) =
bc
(a2+ 2bc) + (ab+bc+ca) ≤
1
bc a2+ 2bc +
bc ab+bc+ca
Thiết lập BĐT lại cộng vào ta có:
bc 3bc+a +
ca 3ca+b +
ab 3ab+c ≤
1
P ab 2ab+c2 +
P ab ab+bc+ca
≤
2
Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức khia=b =c=
Ví dụ 6: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c số thực dương
bc
2a2 + (b+c)2 +
ca
2b2+ (c+a)2 +
ab
2c2 + (a+b)2 ≤
1
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
bc
2a2+ (b+c)2 =
bc
2a2+b2+ 2bc+c2 =
bc
a2+ 2bc+ (a2+b2 +c2) ≤
1
bc a2+ 2bc +
bc a2+b2+c2
(6)
P bc
2a2+ (b+c)2 ≤
1
bc a2+ 2bc +
ca b2+ 2ca +
ab c2+ 2ab +
ab+bc+ca a2+b2+c2
≤
2
Vậy ta có điều phải chứng minh Biến đổi bất đẳng thức dạng:
2a2+b2+c2
2a2+ (b+c)2 +
2b2+a2+c2
2b2+ (b+c)2 +
2c2+a2+b2
2c2+ (a+b)2 ≥2
Ta có thêm giả thiếta2+b2+c2 = ta có bất đẳng thức mới: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2 = 1 Chứng minh rằng:
a2+ a2 + 2bc+ 1 +
b2+ b2+ 2ca+ 1 +
c2+
c2+ 2ab+ 1 ≥2
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c:
a2 +bc a2+ 2bc+
b2+ac b2+ 2ac+
c2+ab c2+ 2ab ≥2
Lời giải
Ta có bất đẳng thức tương đương với:
2(a2+bc)
a2+ 2bc +
2(b2+ac)
b2+ 2ac +
2(c2+ab)
c2+ 2ab ≥4
⇔ 2(a
2+bc)
a2+ 2bc −1 +
2(b2+ac)
b2+ 2ac −1 +
2(c2+ab)
c2+ 2ab −1≥1
⇔ a
2
a2 + 2bc +
b2 b2+ 2ca +
c2
c2+ 2ab ≥1
Vậy bất đẳng thức chứng minh
2.3
Một dạng khác bất đẳng thức ban đầu
Ta có : bc
a2+ 2bc +
ca b2+ 2ac +
ab
c2+ 2ab ≤1
Bây ta thaya, b, c→
a, b,
1
c ta có bất đẳng thức tương đương: a2
2a2+bc +
b2 2b2+ca+
c2
2c2+ab ≤1(*)
hay bc
2a2+bc+
ca 2b2+ca+
ab
(7)Ngoài cách đổi biến dựa vào BĐT ban đầu ta chứng minh (**) theo Cauchy - Schwarz:
bc 2a2+bc +
ca 2b2+ca +
ab 2c2+ab =
b2c2
2a2bc+b2c2 +
c2a2
2b2ca+c2a2 +
a2b2
2c2ab+a2b2 ≥
(ab+bc+ca)2
(ab+bc+ca)2 =
Bất đẳng thức (*)(**) có nhiều ứng dụng BĐT sở ban đầu Bây ta qua vài ví dụ áp dụng BĐT
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c số dương:
a2 +bc 2a2+bc+
b2+ca 2b2+ca+
c2+ab 2c2+ab ≥2
Lời giải
Ta có bất đẳng thức tương đương: 2a
2+ 2bc
2a2+bc +
2b2+ 2ca
2b2+ca +
2c2+ 2ab
2c2+ab ≥4
⇔ 2a
2+ 2bc
2a2+bc −1 +
2b2+ 2ca 2b2+ca −1 +
2c2 + 2ab
2c2+ab −1≥1
⇔ bc
2a2+bc +
ca 2b2 +ca +
ab
2c2 +ab ≥1
Đây BĐT(**) nên ta có đpcm
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c
a2
8a2 + (b+c)2 +
b2
8b2+ (c+a)2 +
c2
8c2 + (a+b)2 ≤
1
Lời giải
Theo AM-GM ta có:
a2
8a2+ (b+c)2+
b2
8b2+ (c+a)2+
c2
8c2+ (a+b)2 ≤
a2
8a2+ 4bc+
b2
8b2+ 4ca+
c2
8c2+ 4ab =
1
P a
2
2a2+bc ≤
1
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Ví dụ 3(Vasile Cirtoaje): Cho số không âm a, b, c thỏa mãnab+bc+ca= Chứng minh rằng:
1 a2 + 1 +
1 b2+ 1 +
1 c2+ 1 ≥
3
(8)Do
a2+ 1 = 1−
a2
a2+ 1 nên bất đẳng thức viết lại là:
a2
a2+ 1 +
b2
b2+ 1 +
c2
c2+ 1 ≤
3 ⇔
a2
3a2+ 3 +
b2
3b2+ 3 +
c2
3c2+ 3 ≤
1
⇔ 4a
2
3a2+ab+bc+ca+
4b2
3b2+ab+bc+ca+
4c2
3c2+ab+bc+ca ≤2
Theo Cauchy - Schwarz ta có:
4a2
3a2+ab+bc+ca =
(a+a)2
a(a+b+c) + 2a2+bc ≤
a2
a(a+b+c)+ a2
2a2+bc
Thiết lập bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh Dấu xảy khia=b=choặc a =b;c= hốn vị
Ví dụ 4(Tigran Sloyan): Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:
a2
(2a+b)(2a+c)+
b2
(2b+c)(2b+a)+
c2
(2c+a)(2c+b) ≤
Lời giải:
Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:
9a2
(2a+b)(2a+c) =
(2a+a)2
2a(a+b+c) + (2a2+bc) ≥
2a a+b+c+
a2
2a2 +bc
Thiết lập BĐT tương tự ta có:
9P a
2
(2a+b)(2a+c) ≤
P 2a a+b+c+
P a
2
2a2+bc ≤3
Suy đpcm
Ví dụ 5(Võ Quốc Bá Cẩn):Cho số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2
5a2 + (b+c)2 +
b2
5b2+ (a+c)2 +
c2
5c2 + (a+b)2 ≥
1
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy - SChwarz ta có:
9a2
5a2+ (b+c)2 =
(2a+a)2
(a2+b2+c2) + (2(2a2+bc) ≥
a2
a2 +b2+c2 +
2a2 2a2+bc
Thiết lập BĐT tương tự ta có:
9P a
2
5a2+ (b+c)2 ≤
P a
2
a2+b2+c2 +
P a
2
2a2+bc ≤3
(9)Ví dụ 6(Nguyễn Đăng Khoa): Cho số không âm a, b, c có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2
4a2 + +bc+
b2
4b2+ +ca +
c2
4c2 + +ab ≤
1
Lời giải
Ta viết BĐT lại thành:P 9a
2
8a2+ + 2bc ≤
3 ⇔
P 9a
2
8a2+ (a+b+c)2+ 2bc ≤
3
Ta ý đánh giá tinh tế sau: (a+b+c)2 ≥4a(b+c)
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
9a2
8a2+ (a+b+c)2+ 2bc ≤
9a2
8a2+ 4a(b+c) + 2bc =
(2a+a)2
4a(a+b+c) + 2(2a2+bc) ≤
a a+b+c+
a2
2(a2+ 2bc)
Thiết lập BĐT tương tự cộng vào ta có đpcm Dấu b=c=1,a=0 hoán vị
Nhận xét:Nhiều bạn thắc mắc chỗ đánh giá(a+b+c)2 ≥4a(b+c)sao mà đảm bảo dấu Đương
nhiên BĐT khơng có dấu phân số có tử a=0 9a
2
8a2+ (a+b+c)2+ 2bc =
9a2
8a2+ 4a(b+c) + 2bc nên đảm bảo dấu toán bạn đọc cần xét thêm trường
hợp có số để mẫu phân thức khác không
2.4
Bài tập rèn luyện
Bài Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh
(a+ 1)2
a+ +
(b+ 1)2
b+ +
(c+ 1)2
c+ ≤
3(a+b+c)
Bài Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau:
ab
3ab+ 2b+c+
bc
3bc+ 2c+a +
ca
3ca+ 2a+b ≤
Bài Cho số thực không âm a, b, cthỏa mãn a+b+c= Chứng minh bất đẳng thức:
1 6a2+ 1 +
1 6b2+ 1 +
1 6c2+ 1 ≥
(10)3
Tài liệu tham khảo
[1] www.mathlinks.ro
[2] www.diendantoanhoc.net
[3] Sáng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng Nxb Hà Nội