Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện ra những bài toán mới từ những bài [r]
(1)SÁNG TẠO BÀI TỐN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN CƠ BẢN
A- MỞ ĐẦU:
1 Lý chọn đề tài:
Trong chương trình Tốn phổ thơng ,Tích phân phần quan trọng mơn Giải tích lớp 12 Các tốn tích phân đa dạng phong phú, thường có mặt kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng Đây tập gây cho học sinh khơng khó khăn dẫn đến tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả
Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 Bộ trưởng Bộ GD&ĐT nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác ; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh”
Trong trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả phát tốn từ tốn có; cần khơi dậy phát triển tiềm sáng tạo tiềm ẩn học sinh
Bài viết xin đưa biện pháp áp dụng dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 “sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, nhằm giúp em học sinh có kiến thức sâu , rộng tích phân; có thêm nhiều tập để rèn luyện kỹ , giúp học sinh phát triển tư sáng tạo
Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung
- Kiến thức Nguyên hàm Tích phân; Kỹ tìm Ngun hàm tính Tích phân
-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân
Phạm vi đề tài:
Đề tài nghiên cứu, thử nghiệm phạm vi lớp 12A trường THPT Quang Trung,vào tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân
4 Phương pháp nghiên cứu:
(2)Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12
- Tài liệu tham khảo b) Điều tra:
- Thực dạy kết kiểm tra:
Trong trình nghiên cứu đề tài, tiến hành thực dạy lớp 12: +Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng
+Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm
- Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải tốn tích phân học sinh cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn
+ Trao đổi với em học sinh tốn tích phân để biết cách tìm hướng giải tốn em, từ có cách dạy tốt
c)Giả thuyết khoa học:
Nếu học sinh tìm tốn em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , kết kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm cao
B-NỘI DUNG :
1.Cơ sở lí luận:
Có nhiều tập tích phân ví dụ SGK giải xong học sinh chưa hiểu lại giải vậy, tốn vận dụng phương pháp giải Và gặp tốn có số điểm tương tự với tốn giải học sinh vận dụng mà khơng phát nhầm lẫn Nhiều giáo viên đưa nhiều phương pháp giải vấn đề có hiệu như: Phân dạng tập theo phương pháp giải giải nhiều tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp đơi học sinh cảm thấy sợ phải ghi nhớ q nhiều; chí có học sinh tưởng biết tất phương pháp giải dẫn đến khơng cịn hứng thú giải tốn tích phân
2 Cơ sở thực tiễn:
(3)Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ nhỏ lẻ khai thác tốn tương tự, tìm giải tốn tổng quát
b) Thực trạng việc học học sinh:
Đa số học sinh biết giải tập tích phân tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp tốn tích phân Nhiều học sinh khơng có chút suy nghỉ tìm lời giải gặp tốn tích phân
Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009:
Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
Số lượng % Số lượng %
12A 50 17 34 33 66
c)Sự cần thiết đề tài:
Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu dạy tích phân cho học sinh lớp 12
3 Nội dung vấn đề:
a)Vấn đề đặt ra:
Hiện cách dạy phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt ,và hiệu giảng dạy cao
b)Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm:
Để hồn thành đề tài, tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài
c)Các bước sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản:
Trước tiên ta tốn tích phân hàm số thường gặp mà khơng có bảng nguyên hàm hàm số thường gặp sách giáo khoa Giải tích 12 :
Bài tốn 1: Tính tích phân :
ln
e
(4)Đặt
1 ln
u x du dx
x dv dx
v x
, ta có : 1
( ln ) ( ln )
e
e e
I x x dx x x x
1.1)Tìm số tích phân dạng
ln ( )
b
a
u x dx
( với u x( )là hàm số thường gặp), ví dụ:
a)
1
ln(3 1)
I x dx
;
1
ln( 2)
I x x dx
; b)
1
ln( 1)
I x dx
;
1
ln( 1)
I x x dx
;
2
ln( 1)
I x dx ;
c)
2
4
ln(sin ) cot
I x x x dx
; d)
4
ln(cos ) tan
I x x x dx
; e)
1
ln( 1)
1
x
x
x
I e dx
e
; g)
1 ln(ln )
ln
e
e
I x dx
x
;
h)
3
6
ln(tan ) tan
tan
x
I x x x dx
x
;
4
ln(1 tan )
I x dx
; i)
1
ln(1 )
I x dx
;
4
2
ln( 9)
I x x dx ;
5
2
ln( 1)
I x x dx ;
1.2) Tìm số tích phân dạng
( ).ln
b
a
f x xdx
( với f x( )là hàm số thường gặp), ví dụ:
a)
.ln ( 1)
e
I x xdx
;
(2 1).ln
e
I x xdx ;
2
(3 5).ln
e
I x x xdx ; b)
1 ln
e
I xdx
x
;
1
( ).ln
e
I x xdx
x
;
c)
2
1
(ln )
x
I e x dx
x
; d)
2
6
sin
cos ln x
I x x dx
x
(5)e)
2
3
cos
sin ln x
I x x dx
x
; g)
3
ln tan
cos
x x
I dx
x x
;
h)
2
ln cot
sin
x x
I dx
x x
; k)
3
6
ln(cos )
tan ln x
I x x dx
x
;
l)
3
6
ln(sin )
cot ln x
I x x dx
x
; m)
2
ln
e
I xdx
1.3)Tìm số tích phân dạng u x'( ) ln ( )u x dx ( với u x( )là hàm số thường gặp), ví dụ:
a)
1
ln( 1)
I x x dx
; b )
2
6
cos ln(sin )
I x x dx
; c)
3
sin ln(cos )
I x x dx
; d)
1
ln( 1)
x x
I e e dx ;
e)
ln(ln )
e
e
x
I dx
x
; g)
3
ln(tan ) cos
x
I dx
x
;
h)
3
ln(cot ) sin
x
I dx
x
; i)
3
2
ln(1 1)
I x x dx
1.4)Tìm số tích phân dạng
(ln )
b
a
f x dx x
( với f x( )là hàm số thường gặp), ví dụ:
a)
ln
( 1)
e
e
x
I dx
x
; b)
1 ln
e
e
I dx
x x
; (
2
1 ln
ln
e
e
x x
I dx
x x
);
2ln
(ln 4)
e x
I dx
x x
;
1
(ln 4)
e
I dx
x x
; c)
1 3ln
1
e
x
I e dx
x
;
d)
1
(1 ln )
e
I dx
x x
;
2
1 ln
e
x
I dx
x
(6)e)
1 ln
e
I dx
x x
;
2
1 ln
e
x
I dx
x
; g)
ln(1 ln )
e
x
I dx
x
;
2
ln(ln ln )
e
x x
I dx
x
; h)
2
2
ln
(ln 1)
e
e
x
I dx
x x
;
2
2
ln
(ln 1)
e
e
x
I dx
x x
;
2
4
1
(ln 1)
e
e
I dx
x x
1.5)Tìm tích phân dạng
loga xdx
,
logau x dx( )
,
( ).loga
f x xdx
,
'( ) loga ( )
u x u x dx
(loga )
f x
dx x
(với u x( ), f x( ) hàm số thường gặp), ví dụ:
a)
2
log
I xdx
;
1
log (3 1)
I x dx ;
1
2
log ( 1)
I x dx
;
1
2
log ( 2)
I x x dx ; b)
2
2
log ( 1)
I x xdx
;
2
2
(3 5) log
I x x xdx ;
c)
1
2
log ( 1)
I x x dx
;
2
2
cos log (sin )
I x x dx
;
2
2
sin log (cos )
I x x dx
;
3
2
log (tan ) cos
x
I dx
x
;
3
2
log (cot ) sin
x
I dx
x
;
2
log (ln )
e
e
x
I dx
x
d)
4
2
2
log
(1 log 1)
x
I dx
x x
;
16
2
1
4log
(2 2log 1)
x
I dx
x x
;
42 3
2
1
2
log
( log 2)
x
I dx
x x
(7)Do học sinh không làm quen với cách đặt x a cost x a sint
trong tốn giải phương trinh vơ tỉ có chứa biểu thức a x , a x và 2
a x nên cịn khó hiểu giải tốn sau đây:
Bài tốn 2.Tính tích phân sau: (Bài tập SGK) a) I=0
1
√1− x2dx
; b)
2
2
1
a
I dx
a x
( với a0).
Giải:
a)Đặt xsint, với t [0; ]2
, ta có : dxcostdt với x0 t0, với x1 t
Ta được:
2 2 2
2
0
0 0
1 1
1 sin cos cos (1 cos ) ( sin )
2 2
I t tdt tdt t dt t t
b)Đặt x a sint, với t [0; ]6
, ta có : dx a costdt với x0 t0, với
a x
t
.Ta được:
6
6
0
1
.cos
6 sin
I tdt dt t
t
Sau giảng giải cho học sinh hiểu cách tường minh toán lại chọn cách đặt mà khơng lựa chọn cách đặt khác Thì ta bắt đầu với toán sau :
2.1)Qua toán ta thấy xuất biểu thức lượng giác sint cost thay vị trí biến x a2 x2 ; tốn tích phân hàm số vơ tỉ
chuyển thành tốn tích phân hàm số lượng giác Chính mà ta nghĩ đến việc thay biểu thức sint cost tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản biến x a2 x2 để tốn tích
phân ,ví dụ : 1) a) I=0
1 1+√1− x2
dx
; b)
1
2
1
1
I dx
x
;
2) a) I=0
1
x+√1− x2dx ; b)
2
1
I dx
x x
;
c) 2
1
a
I dx
x a x
( a0); d)
2
2
1
a
I dx
x a x
(8)3) a)
1
2
2
x
I dx
x x
; b)
1
2
0
x
I dx
x x
; c)
2
2
a
x
I dx
x a x
( a0)
4)a)
1
2
x
I dx
x
; b)
2011
2012
2012
0
1
x
I dx
x x
; c)Cho
1
2012 2012
0
I x x dx
Lập hệ thức I2012 I2014
5) Cho
2
2012
2012 2013
2
x
I dx
x
Lập hệ thức I2012 I2014
6) a)
1
3
1
I x x dx
; b)
1
4
I x x dx ; c)
1
5
0
16 20
I x x x dx
Lưu ý: Nếu đặt x a sint thay vào tốn tích phân có chứa biểu thức a2 x2 ta chọn giá trị cận tương ứng
bảng
t 0
6
4
3
2
x 0
2
a 2
2
a
2
a a
Theo cách ta đưa loạt tập tương tự với toán cho (bài tốn 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm tốn ẩn chứa tốn 2) sau:
2.2)Vì hàm số f x( ) a2 x2 hàm số chẵn nên ta nghĩ đến toán
−α α
f(x)
ax
+1dx=0 α
f(x)dx (với a>0,α>0 f(x) hàm số chẵn đoạn [
;
] )
(Chứng minh xem toán 5), chọn số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức a2 x2 để tạo tích phân :
a)
2
1
a x a
a x
I dx
a
(với a0) ; b)
2
2
4
2x
x
I dx
(9)c) 2 e e x e e x I dx e
; d)
2 a x x a
a a x
J dx a
(với a0) ; e)
1
2
2 x x x J dx
; f)
2 e x e x e
e e x
J dx e
2.3)Kết hợp với toán: −α α
f(x)ln(ex+1)dx=
0 α
xf(x)dx (với α>0 , f(x)
là hàm số lẻ đoạn [ ; ])(Chứng minh xem toán 5.7), ta chọn số
hàm số lẻ đơn giản có chứa biểu thức a2 x2 , ta tích phân :
a)
2 ln( 1) a
x a
I x a x e dx
(với a0);
1
2
1
1 ln( x 1)
I x x e dx
; 2 2
4 ln( x 1)
I x x e dx
; b) 2 2 ln( 1) a x a x e J dx a x
( với a0);
1 2 ln( 1) x x e J dx x ; 2 2 ln( 1) e x e e x e J dx e x
2.4)Nếu thay biểu thức a2 x2 cặp biểu thức a x a x ta có các
tích phân , ví dụ : a) a a x I dx a x
( với a0);
1 1 x I dx x ; 2 x I dx x ; b) a a x J dx a x
( với a0);
1 1 x J dx x ; 2 x J dx x ; c)
1
a
I dx
a x a x
( với a0);
1 1 1 I dx x x ; 2 2 I dx x x ; d)
1
a
a
J dx
a x a x
( với a0);
(10)2 1 2 J dx x x ;
2.5)Từ tốn tích phân 2.4) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức a x , a x giải theo phương pháp đặt
t a x ( t a x ) , để ghép vào :
a)
2 a
x a x
I dx a x
( với a0);
1 1 x x I dx x ; 2 x x I dx x ; b) a
x a x
I dx a x
( với a0);
1 1 x x I dx x ; 2 x x I dx x ; c) a a x
e a x
I dx a x
(với a0);
1 1 x e x I dx x ; 2 2 x e x I dx x ; d)
2 ln( 1)
2 x x I dx x
2.6)Từ toán tích phân ta thấy cặp biểu thức a x a x
quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức , ví dụ thay t a x
( với a0) vào tích phân 2.4) ta có tích phân :
a) 2 a a x I dx a x
( với a0);
1 1 2 x I dx x ; 2 x I dx x ; b)
2 a a a x I dx x
( với a0);
1 1 2 x I dx x ; 2 x I dx x ; c)
1
a
I dx
a x x
( với a0);
1 1 I dx x x ; 2 I dx x x ; d) 2 a J dx
a x x
( với a0);
1 1 J dx x x ; J dx x x ;
2.7) Từ tích phân 2.4) 2.6) ta đưa tích phân có chứa cặp biểu thức a x b x dạng
(11)đặt
a b a x t
2 sin
a b a b a x u
hay 2 sin
a b a b
x u
, v ta có th ch n m t giá tr c a c n tể ọ ộ ị ủ ậ ương ng b ng ứ ả
u 0 x
b a
4
b a 2( )
4
a b a b
3( )
4
a b a b
b
ví dụ : a) 2 x I dx x ; 2 x J dx x ; 3 x I dx x ; x J dx x ; b) 2 x x I dx x ; 2 x x J dx x ; 3 x x I dx x ; x x J dx x ; c) 3 x e x I dx x ;
5 ln( 1)
3 x x I dx x ; d) 34
1
b
b a
J dx
a x b x
; 1 J dx x x ; 3 J dx x x ; e)
1
b
b a
J dx
a x b x
; 1 J dx x x ; 1 J dx x x ;
2.8)Hoặc dạng
(a x b x dx)( )
, ví dụ :
a)
3 2
1
1
I x x dx
; b)
3 2
2
1
I x x dx ;
c)
5 2
4
3
I x x dx
2.9)Ta xét thêm tích phân :
2
2
b b
ax bx cdx a x x dx
a a
(với a0, b2 4ac0) cách đặt 2
b x t a a sin
2 2
b
x u
a a a
hay 2 sin
b
x u
a a
, v ta có th ch n m t ể ọ ộ
giá tr c a c n tị ủ ậ ương ng b ng ứ ả
u x b a b a
2
4
b a
(12)ví dụ : a)
1
2
2
I x x dx
; b)
1
2
3
I x x dx
; c)
1
2
( 1)
I x x x dx
; d)
1
2
1
I dx
x x
; e)
1
2
1
I dx
x x x
; g)
1
2
2
1
x
I dx
x x x
2.10) Thay xlnt vào tích phân 2.9) ta có tích phân: a)
2
2ln ln
e x x
I dx
x
; b)
2
3 2ln ln
e x x
I dx
x
;
c)
1
3 2ln ln
e
I dx
x x x
2.11)Thay x 2t
x3t vào tích phân 2.9) ta có tích phân:
a)
0 1
2x 4x
I dx
; b)
1
3 x 6.3x
I dx
2.12)Từ việc quen thuộc với cách giải tốn tích phân có chứa biểu thức a2 x2 nên ta đưa tốn tích phân có chứa biểu
thức a2 x2 giải theo phương pháp đổi biến khác (đặt t a2 x2 )
để so sánh, ví dụ như: a)
1
3
0
1
I x x dx
; b)
2
1
x
I xe dx
; c)
1
2
ln(1 )
I x x dx
Ta khai thác tốn tích phân có chứa biểu thức a2 x2
nên tìm đến tốn tích phân có chứa biểu thức x2a2 , x2 a2
để so sánh :
Bài toán 3: Tính tích phân sau: a) I=0
a
√x2+a2dx,(a>0)
; (
5
2 2
,( 0)
a
a
J x a dx a
)
b) I=0 a
1
√x2
+a2
dx,(a>0)
; (
5
2 2
1
,( 0)
a
a
J dx a
x a
)
3.1)Tính tích phân: a) I=0
a
√x2+a2
dx,(a>0)
; b)
5
2 2
1
,( 0)
a
a
J dx a
x a
(13)Giải: a)Tính I=
0 a
√x2+a2dx,(a>0)
Cách 1: Đặt x a tant với t [0; ]4
, ta có :
2
1
(1 tan ) cos
dx dt t dt
t
, với x0 t0, với x a t
Ta được:
4 4
2
2
0 0
1
.(1 tan ) tan ln(1 2)
cos tan
I t dt tdt dt
t t
Cách 2:
Đặt t=x+√x2+a2 ta có dt=(1+ x √x2+a2
)dx=√x
2
+a2+x √x2+a2 dx
2
dt dx
t x a
; với
0
x t a , với x=a⇒t=(1+√2)a .
Suy
(1 )
(1 )
(ln ) ln(1 2)
a
a a a
dt
I t
t
b)Tính
5
2 2
1
,( 0)
a
a
J dx a
x a
Đặt t x x2 a2 ta có
2
2 2
(1 x ) x a x
dt dx dx
x a x a
2
dt dx
t x a
;với
2 (1 2)
x a t a, với x 5a t(2 5)a.
Suy
(2 )
(2 ) (1 ) (1 )
2
(ln ) ln
1
a
a a a
dt
J t
t
3.2)Tính tích phân: : a)
2
,( 0)
a
I x a dx a
; b)
5
2 2
,( 0)
a
a
J x a dx a
Giải: a)Tính
2
,( 0)
a
I x a dx a
Cách 1: Đặt x a tant với t [0; ]4
, ta có :
2
1
(1 tan ) cos
dx dt t dt
t
, với x0
thì t0, với x a t
Ta được:
2
4
2 2
2
0
1
1 tan ( ln(1 2))
cos cos
a
I a t dt a dt
t t
(14)
Đặt
2
2
x
du dx
u x a
x a
dv dx v x
Suy ra
2
2 2 2
2 2
0 0 0 0
( ) ( )
a a a
a x a a
I x x a dx x x a x a dx dx
x a x a
2 2
2 0
2 ( )
a
a a
I x x a dx
x a
2 2 2
0
2I (x x a )a a ln(x x a )a
Vậy
2
2 2
0
( ) ln( ) ( ln(1 2))
2 2
a a
x a a
I x a x x a
b)Tính
5
2 2
,( 0)
a
a
J x a dx a
Đặt
2
2
x
du dx
u x a
x a
dv dx v x
Suy ra
5 5
5
2 2 2
2 2
2
2 2
( ) ( )
a a a
a a
a a
a a a
x a
J x x a dx x x a x a dx dx
x a x a
5
5 2
2 2
2
2 ( )
a a a
a
a
J x x a dx
x a
5
2 2 2
2
2 ( ) a ln( ) a
a
J x x a a x x a
Vậy
5 2 5 2 2
2 2
2
2
( ) ln( ) (2 2) ln
2 2 2
a a
a a
x a a a
J x a x x a
.
3.3)Thay giá trị a vào toán 3.1) 3.2) ta số tích phân
mới ví dụ: a)
1
1 2
0
1
I dx
x
;
2
2 2
0
1
I dx
x
;
5
1 2
2
1
J dx
x
; b)
3
0
1
I x dx
;
5 2
0
4
I x dx
;
5 2
1
J x dx ; c)
3
1 2
0
1
I dx
x x
;
5
2 2
0
1
I dx
x x
;
5
1 2
2
1
J dx
x x
3.4)Từ toán 3.1), 3.2) 3.3) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức x2a2 x2 a2 giải theo phương pháp
(15)a)
3
1 2
0
x
I dx
x
;
5
2 2
0
x
I dx
x
;
5
1 2
2
x
J dx
x
; b)
3
0
1
I x x dx
;
5 2
0
4
I x x dx
;
5 2
1
J x x dx ; c)
3
2
ln( 1)
I x x dx
3.5)Kết hợp toán 3.3) toán 3.4) ta có tích phân mới: a)
3
1 2
0
1
x
I dx
x
; b)
5
2 2
0
x x
I dx
x
; c)
5
1 2
2
1
x
J dx
x
;(
5
2
1
x
J dx
x
); d)
5
2
2
( 1)
J x x dx ; e) I=
0
(2x+1)√x2+9 dx ; g) I=
0
x
x −√x2+9dx 3.6)Từ công thức :
a b
udv=(u.v)¿ab−
a b
vdu , ta xem tích phân tốn 3.1) 3.2) biểu thức
a b
vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức
a b
udv , ta có tích phân sau:
a)
2
ln( ) , ( 0)
a
I x x x a dx a
; b)
1
2
0
ln( 1)
I x x x dx
Bài tốn : Tính tích phân sau: a) I=
0
1
1+x2dx (ví dụ SGK ); b) I=√3 5
1
9+25x2dx ( Bài tập
SGK ) Giải:
a)Đặt xtant,với t [0; ]4
, ta có :
2
1
(1 tan ) cos
dx dt t dt
t
, với x0 t0
, với x1 t
Ta được:
4
2 4
2
0
1
.(1 tan )
1 tan
I t dt dt t
t
b) Đặt
3 tan
x t
,với t [ ; ]6
, ta có :
2
3
3
5 (1 tan )
cos
dx dt t dt
t
, với
3
x
thì t
, với
3
x
t
(16)4 4
2
6
6
1 1
(1 tan )
9 tan 15 15 180
I t dt dt t
t
4.1)Đặt x vào vị trí tant tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản ta có tích phân sau:
a) I=
0
1+x
1+x2dx ; b) I=0
2+x+x2
1+x2 dx ;
c)
1 01
x
I dx
x
; d)
3
2
1 x
I dx
x
; e) Cho
1 01
n n
x
I dx
x
(với n *) Lập hệ thức In In2
4.2)Thay xlnt vào tích phân ta có:
a)
1
(1 ln )
e
I dx
x x
; b)
4
ln
(1 ln )
e x
I dx
x x
4.3)Từ công thức :
a b
udv=(u.v)¿ab−
a b
vdu , ta xem tích phân toán 4) biểu thức
a b
vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức
a b
udv , ta có tích phân :
a)
1
2
ln(1 )
I x dx
; b)
1
2 2
2
ln
(1 )
x x
I dx
x
4.4)Qua hai ví dụ tốn 4) khiến ta khơng thể khơng xét toán quát : 2
1
a
I dx
a x
( với a0).
Giải:
Đặt x a tant, với t [0; ]4
, ta có:
2
2 (1 tan )
cos
a
dx dt a t dt
t
, với x0 t 0, với x a t
Ta được:
4
2 4
2
0
1
.(1 tan )
1 tan
I t dt dt t
t
4.5)Và toán tổng quát:
2
2 2
2
1
2
dx dx
ax bx c a b
x
a a
(17)(với a0, b2 4ac0) cách đặt 2.tan
b
x t
a a
, v ta có th ch n ể ọ
m t giá tr c a c n tộ ị ủ ậ ương ng b ng ứ ả
t
6
4
3
x
2
b a
2
12
b
a a
2
4
b
a a
32
4
b
a a
ví dụ : a) I=1
2
1 x2−2x
+2dx ; b)
2
3
2
x
I dx
x x
; c)
1 2
3
2
x x
I dx
x x
; d) I=0
4x −2
(x+2)(x2+1)dx
Bài toán 5: Cho f(x) hàm số chẵn đoạn [ ; ] Chứng minh :
−α α
f(x)
ax
+1dx=0 α
f(x)dx (với a>0,α>0 )
Hướng dẫn:
Đặt t=− x⇒dt=−dx , ta có:
−α α
f(x)
ax
+1dx=− α α
axf
(x)
ax
+1 dx=− α α
f(x)dx−
− α α
f(x)
ax
+1dx
⇔2 −α α
f(x)
ax+1dx=− α α
f(x)dx ⇔2
−α α
f(x)
ax+1dx=20 α
f(x)dx ⇔
− α α
f(x)
ax+1dx=0 α
f(x)dx 5.1) Thay f(x) số hàm số cụ thể chọn a=e ta có tích phân
sau: a) I=
−1
x2
+1
ex
+1dx ; b) J=−1
ex
+e− x
ex
+1 dx ;
c) K=−π π
cosx
ex+1dx ; d)
2
sin
x
x x
H dx
e
;
f) M=
−π π
(x2+1)cosx
ex+1 dx ; đ)
2
1
a x a
a x
N dx
e
(a0);
1
1
1
x
x
N dx
e
; e)
2
1
x
x a
P dx
e
( a>0,α>0 );
1
1
1
x
x
P dx
e
; g)
2
ln( )
1
x
x x a
J dx
e
( a>0,α>0 );
1
1
ln( 1)
1
x
x x
J dx
e
(18)h)
4
4
sin ln( ) ln( )
2
1
x
x x x
Q dx e
; i)
1 1 ln( 1) x x J dx e
5.2)Từ công thức :
a b
udv=(u.v)¿ab−
a b
vdu , ta xem tích phân 5.1) biểu thức
a b
vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức
a b
udv , ta có tích phân :
a) ex
+1¿2 ¿ ¿ (x3+x)ex
¿
I=
−1
¿
; b)
ex+1¿2 ¿ ¿
exsinx
¿
K=
−π π ¿ ; c) 2 ln( ) ( 1) x x
e x x a
J dx e
( a>0,α>0 );
1 2 ln( 1) ( 1) x x
e x x
J dx e ; d)
2 2 ( ) ( 1) a x x a
e a x
N dx x e ;
1
2 (4 ) ( 1) x x e x N dx x e ;
5.3)Thay f(x) số hàm số cụ thể chọn a=1
e ta có tích phân sau:
a) I=
−1
(x2+1)ex
ex
+1 dx ; c) K=
−π π
excosx ex+1 dx ;
d)
2
2
( 1) cos
1
x x
e x x
H dx e ; đ) 2 sin x x
e x x
M dx e ; e) 2 a x x a
e a x
N dx e
(với a0) ;
1 1 1 x x e x N dx e ; f) 2 x x
e x a
P dx e
(với a>0,α>0 );
1 1 1 x x e x P dx e
5.4)Thay f(x) số hàm số cụ thể chọn a2 ta có tích phân sau:
a)
2
2
( cos sin )
2x
x x x x
I dx
; b)
1
1
ln(1 )
2x
x I dx
5.5)Từ toán 5.1) 5.3) ta rút toán sau:
(19)0
( ) ( )
( )
1
x
x x
a f x f x
dx dx f x dx
a a
(với a>0,α>0 )(hoặc:
1
( )
1
x x
a
f x dx a
)
5.6)Từ công thức :
a b
udv=(u.v)¿ab−
a b
vdu , ta xem tích phân 5.3) biểu thức
a b
vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức
a b
udv , ta có tích phân sau:
a) I=
−1
(x3+x)ln(ex+1)dx ; b) K=
−π π
sinxln(ex+1)dx ; c)
I=
−1
ln(x+√x2+1)ln(ex+1)dx ; d) I=
−1
x√1− x2ln(ex+1)dx 5.7)Từ tích phân 5.6) ta có tốn tổng quát :
Cho f(x) hàm số lẻ đoạn [ ; ] Chứng minh :
−α α
f(x)ln(ex+1)dx=
0 α
xf(x)dx (với α>0 )
5.8)Từ tốn 5.7) thay ex
=t , ta có toán sau:
Cho f(x) hàm số lẻ đoạn [1;1].Chứng minh rằng:
1 e e
f(lnx)ln(x+1)dx
x =0
xf(x)dx .
5.9) Thay f(x)=x , f (x)=ln(x+√x2+1) vào toán 5.8) ta có tích phân
sau: a) I=
1 e e
lnxln(x+1)dx
x ; b)
I=
1 e e
ln(lnx+√ln2x+1)ln(x+1)dx
x
5.10) Từ toán 5.7) thay x=cost , ta có tốn sau:
Cho f(x) hàm số lẻ đoạn [1;1].Chứng minh rằng:
π
sin xf(cosx)ln(ecosx+1)dx=
0
xf(x)dx
5.11) Thay f(x)=x vào tốn 5.10) ta có tích phân sau:
a) I=
0 π
sin 2xln(ecosx+1)dx ; b) I=
0 π
[x+ln(ecosx+1)]sin xdx 5.12) Từ toán 5.7) thay x=sint , ta có tốn sau:
Cho f(x) hàm số lẻ đoạn [1;1] Chứng minh :
−π2 π
cos xf(sinx)ln(esinx+1)dx=
0
(20)5.13)Thay f(x)=x vào tốn 5.12) ta có tích phân:
I=
−π π
sin 2xln(esinx+1)dx
5.14)Từ tích phân
1
( )
x
f x
I dx
e
1
( )
x x
e f x
J dx
e
( với f(x) hàm số chẵn đoạn [1;1]) toán 5.1) 5.3); thay t ex
ta có tích phân
1
(ln )
( 1)
e
e
f x
I dx
x x
(ln )
e
e
f x
J dx
x
, ví dụ : a)
2
ln
( 1)
e
e
x
I dx
x x
;
2
ln
e
e
x
J dx
x
;
b)
2
1 ln
( 1)
e
e
x
I dx
x x
;
2
1 ln
e
e
x
J dx
x
;
c)
2
1 ln
( 1)
e
e
x
I dx
x x
;
2
1 ln
e
e
x
J dx
x
;
d)
2
ln(ln ln )
( 1)
e
e
x x
I dx
x x
;
2
ln(ln ln )
1
e
e
x x
J dx
x
d) Kết cụ thể:
Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 12A
Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang (đối chứng) với 12A (thực nghiệm)
Còn lớp thực nghiệm, đa số em giải tốn đạt xác cao
Với biện pháp áp dụng, sau thực nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau:
Lớp lượngSố
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
Ghi chú Số
lượng %
Số
lượng %
12A 50 17 34 33 66 Đối chứng
(21)lượng lượngSố % lượngSố %
12A 50 29 58 21 42 Thực nghiệm
Với kết trên, tơi thấy học sinh có tiến qua kiểm tra Nhiều em giải tốn tích phân đạt kết xác cao Tạo điều kiện cho tơi tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau
C- KẾT LUẬN:
Để đạt mục đích đề sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức tích phân, có nhiều tập cho em rèn luyện kỷ phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT Quang Trung, Tơi nghiên cứu tìm hiểu thêm lớp khác, tài liệu chuyên môn khác, sử dụng hình thức so sánh đối chiếu giảng dạy
1 Bài học kinh nghiệm:
Qua thử nghiệm nêu trên, thấy kết thu cao dạy đối chứng Điều chứng tỏ để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo hiệu học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt nhuần nhuyễn biện pháp giảng dạy, phát huy tính sáng tạo giảng dạy; song song cần tích cực nghiên cứu sách trau dồi lực chuyên môn
Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo toán tích phân từ số tốn tích phân bản”, tơi nhận thấy thân trở thành người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm
Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh yếu không nắm nguyên hàm hàm số thường gặp nên chưa tiếp cận cách khai thác tốn tích phân mà tơi đưa Tơi cố gắng tìm biện pháp để nâng cao hiệu năm tới Mong đồng nghiệp bạn giáo viên tổ, trường hỗ trợ nhiều cho tơi phương pháp dạy học “Sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”
Trong viết đề tài này, thân khơng tránh khỏi sai sót, mong Sở Giáo dục anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để rút kinh nghiệm cho năm sau viết tốt
2 Hướng phổ biến áp dụng đề tài:
Đề tài thực có hiệu lớp 12A ; phổ biến khối 12 trường THPT Quang Trung, lớp khối 12 trung học phổ thông
3 Hướng nghiên cứu tiếp đề tài:
(22)sung vào đề tài thực nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT Quang Trung
Quang Trung, ngày 19 tháng 05 năm 2012 Người viết
Đinh Quang Đạo
Nhận xét , đánh giá xếp loại Hội đồng khoa học trường THPT Quang Trung:
Tài liệu tham khảo
1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) tác giả: Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008
2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) tác giả: Giải tích 12 – NXBGD,2008
3 Bộ Giáo dục Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Mơn Tốn - NXBGD,1996 Trần Văn Hạo (Chủ biên) tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002
5 Bộ Giáo dục Đào tạo :Tạp chí Tốn học& Tuổi trẻ-NXBGD
(23)MỤC LỤC
Trang
A- MỞ ĐẦU 01
1- Lý chọn đề tài 01
2- Đối tượng nghiên cứu 01
3- Phạm vi nghiên cứu 01
4- Phương pháp nghiên cứu 02
B- NỘI DUNG 02
1- Cơ sở lý luận 02
2- Cơ sở thực tiễn 03
3- Nội dung vấn đề 03
C- KẾT LUẬN 20
1- Bài học kinh nghiệm 20
2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài 21
3- Hướng nghiên cứu tiếp đề tài 21