LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số là dạng bài toán rất phong phú và đa dạng về phương pháp như: phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số, [r]
(1)DÙNG ĐẠO HÀM - KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số là dạng bài toán phong phú và đa dạng phương pháp như: phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số, phương pháp dùng miền giá trị hàm, phương pháp bất đẳng thức, phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn, phương pháp hàm lồi, phương pháp vận dụng định luật dấu tam thức bậc hai, phương pháp tọa độ, phương pháp lượng giác,… Do có nhiều phương pháp nên đã gây không ít khó khăn cho người học Sau đây tôi xin trình bày phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN hàm số B CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] gồm các bước: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x) Bước 3: Tìm nghiệm phương trình f’(x)=0 trên đoạn [a, b] Bước 4: Xét dấu y’ trên đoạn [a, b] Bước 5: Lập bảng biến thiên, từ đó suy Max(f) (hoặc Min(f)) trên [a, b] Cách làm tương tự trên khoảng (a, b) C MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: 1) f(x) = x (1 x )4 2) g(x) = x n (a x )n với a 0, n Z Giải: 1) Xét hàm số f(x) = x (1 x )4 với xR Ta có f’(x) = x (1 x )3 = 4(2 x 1)( x x 1) ; f’(x)=0 x , y Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) + Trang Lop12.net (2) f(x) x R Dấu “=” xảy x Vậy Min(f(x))= 1 đạt x= x R , a>0 và n Z 2) Xét hàm số g(x) = x n (a x )n với nx n 1 n( a x ) n 1 n[x n 1 ( a x ) n 1 ] Ta có g’(x) = =n(2x-a)[x n 2 +x n 3 (a-x)+ +(a-x)n 2 ] g'(x)=0 x= a a g ( x ) 2( ) n 2 Bảng biến thiên: a x g’(x) g(x) + a 2( ) n a g(x) 2( )n x R Dấu “=” xảy x a Vậy Min(g(x))= 2( )n đạt x= a a Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số y= sin x sin x Giải: Đặt t=sinx, với t [-1,1] ta có y t t y ' 3t 6t 3t (1 2t ) t y' t Bảng biến thiên: t -1 y’ + + y -2 Vậy Max(y)= t= 1 sin x 2 Trang Lop12.net (3) x k 2 , k Z ,s in x k 2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số f ( x ) x 6mx m trên đoạn [-2, 1] Giải: Xét hàm số f ( x ) x 6mx m trên đoạn [-2, 1] Ta có f '( x ) x 12mx x ( x 3m) Ta xét các khả năng: a) Nếu m : f ' ( x) x [ 2;1] Bảng biến thiên: x 2 f’(x) f(x) m 24m 16 + m 6m m2 Miny=m2 x=0 Maxy=Max{ m 24m 16 , m 6m }= m 24m 16 b) Nếu m : f ' ( x) x 3m Trường hợp 1: 3m m 3m 1 2 Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) 3m -2 - + m 24m 16 -8m2 m 24m 16 -( m 6m )=-18m+15=18(m- )>0 Vậy Maxf(x)= m 24m 16 x=-2 x= 3m Trang Lop12.net 3m - + m 6m -8m2 Ta có m 24m 16 -m2=-24m+16=-24(m- )>0 Minf(x)=-8m2 0 m2 (4) Trường hợp 2: 3m m m 3 3m m Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) 3m -2 - 0 m2 + m 24m 16 3m - m 6m -8m2 m 24m 16 nÕu <m t¹i x=-2 Suy Maxf(x)=Max{f(-2), f(0)}= m nÕu <m t¹i x=0 3 Và m 6m -(-8m2)= 9m 6m (3m 1)2 nên m 6m 8m Vậy Minf ( x) =-8m2 x= 3m [ 2; 1] Trường hợp 3: m Ta có 3m>4 3m 3m 2 3m Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) -2 + 0 m2 m 24m 16 - m 6m Max f(x) =m2 x=0 Min f(x) = Min{f(-2), f(1)}= m 24m 16 x=-2 m 24m 16 nÕu m Kết luận:Maxf(x)= m nÕu m> Trang Lop12.net 3m (5) m nÕu m Minf(x)= 8m nÕu < m 3 m 24m 16 nÕu m> Bài 5: Tìm a để trên đoạn [-2; 0] hàm số y= x 4ax a 2a có giá trị nhỏ Giải: Xét hàm số f(x) =y= x 4ax a 2a trên đoạn [-2; 0] Ta có y’=f’(x)=8x-4a; y’=0 x a Ta xét các khả sau: (1): Nếu a 2 a 4 ta có bảng biến thiên sau: a x -2 y’ y - + + a 2a a 6a 16 Trên đoạn [-2;0]: Miny =f(-2)= a 6a 16 Miny=2 a 6a 16 =2 a 6a 14 (vô nghiệm) (2): Nếu 2 a 4 a ta có bảng biến thiên sau: x y’ y a -2 - 0 + a 6a 16 a 2a -2a a Miny =-2a=y( ) Miny=2 -2a=2 a 1 (thỏa mãn) (3): a >0 a ta có bảng biến thiên: Trang Lop12.net (6) x y’ y -2 a - - a 6a 16 a 2a Miny= a 2a =y(0) a (tháa m·n) Miny=2 a 2a =2 a (lo¹i) Kết luận: a=-1 a= x2 y2 y x 3( ); x, y y x x y Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(x,y)= Giải: x y với t 2 t tức là / t / y x f(t) = t 3t f’(t)=2t-3; f’(t)=0 t Đặt t= Bảng biến thiên: t - f’(t) f(t) + -2 - - x y =2 x=y=1 y x a b4 a b2 a b ( 2) 4 b a b a b a với a, b là hai biến số thực Giải: a b + -4 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= Đặt t= + + Minf=-4 t=2 + b với / t / tức t t 2 a Trang Lop12.net (7) Ta có t2= a b2 a b2 +2 =t -2 b2 a b2 a a b4 Và =(t2-2)2-2 = t 4t b a Do đó T= t 4t - t t = t 5t t với / t / Xét hàm số f(t) = t 5t t suy f’(t)= 4t 10t 2t (2t 5) Nếu t 2t Nếu t 2 t Bảng biến thiên: t f’(t) f(t) 2t f '(t ) 2t 2t (2t 5) 12 2t (2t 5) 11 - -2 - + + + -2 f (t ) Minf(t)-2 t=-2 hay MinT=-2 a 1; b 1 a b =-2 b a a 1; b Kết luận: MinT=-2 a=1, b=-1 a=-1, b=1 Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= cos2 x cos x cos2 x cos x Giải: Đặt t=cosx với 1 t Ta có y= y' t 1 t 2t t 4t xác định với t + t2 = (t 1) t 4t (t 2) t 2t t 2t t 4t Vì 1 t nên t 0, t t 2t t 4t Do đó y’<0 (t 2) t 2t (t 1) t 4t (t 2) [(t-1) +4] (t 1) [(t+2) +4] (t 2) (t 1) 1 t 1 Từ đó y’=0 t ( 1;1) Trang Lop12.net (8) y ' t ( ;1) Bảng biến thiên: t -1 y’ y - 2 2 + 13 Do 2 < 13 nên Maxy= 13 t=1 cosx=1 x=k2 ( k Z ) 1 2 Và Miny=5 t= cosx= x= k 2 ( k Z ) 2 Bài tập luyện: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= cos2 x 1 trên khoảng ( cos x cos x cos x , ) 2 1 trên khoảng ( 0, ) sin x sin x cos x Bài 3: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= sin x s inx Bài 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= sin x 1 s inx cos x s inx Bài 5: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= s in x+sinx s inx Bài 6: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= cos x+cosx 2x 4x Bài 7: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= cos cos 1 1 x x2 Bài 8: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= /1 cos x / / 2sin x / Bài 4: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= Bài 9: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= 4cos2 x 2cos x Bài 10: Tìm a để giá trị nhỏ hàm số y=f(x)= x 4ax a 2a trên đoạn [0;2] là D LỜI KẾT Trang Lop12.net (9) Do điều kiện nghiên cứu còn nhiều giới hạn nên chuyên đề này không thể tránh khỏi hạn chế Vì tôi mong nhận thông cảm và góp ý đồng nghiệp Trang Lop12.net (10)