Cực trị hàm số bậc 3 (có lời giải chi tiết)

[r]

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tt nht!

Cực trị hàm bậc ba I,Tóm tắt lý thuyết:

1.Hàm số y f(x)ax3 bx2 cxd(a0) 2.Đạo hàm : y' f'(x)3ax2 2bxc

3.Điều kiện tồn cực trị

Hàm số y f(x) có cực trị  y f(x) có cực đại cực tiểu  f'(x)0có hai

nghiệm phân biệt 'b2 3ac0

4.Kỹ tÝnh nhanh cùc trÞ:

B-íc1:Thùc hiƯn phÐp chia f(x) cho f' x( ) ta cã:



  

      

   

 

  

a bc d x a b c x

f a b x x

f

9

3 ) ( ' ) (

Tøc lµ: f(x)q(x).f'(x)r(x)

B-íc 2:Do

  

 

0 ) ( '

0 ) ( '

x f

x f

nªn

     

  

 



  

 



) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

a bc d x a b c x

r x f y

a bc d x a b c x

r x f y

.Hệ quả:Đ-ờng thẳng qua CĐ,CT có ph-ơng trình là:

Y r(x) hay )

9 ( ) (

a bc d a b c

y   

II.Các dạng tập:

Dạng 1:Sự tồn vị trí điểm cực trị: Bµi tËp:

Bài 1:Tìm m để hàm số : ( 6) (2 1)

1     

 x mx m x m

y có cực đại cực tiểu

Giải:Hàm số có cực đại cực tiểu ph-ơng trình y'(x)0 có hai nghiệm phân biệt 2 ( 6)0

m mx

x

cã hai nghiÖm ph©nbiƯt'  60( 2)( 3) m m

m

m

Bài 2:Tìm m để hàm số ( 2) 33  5 mx x x m

y có cực đại cực tiểu

Gi¶i:

Hàm số có cực đại cực tiểu ph-ơng trình y'(x)0 có hai nghiệm phân biệt

0

) (

3 m x2  xm cã hai nghiƯm ph©n biƯt

1

0 2

9 '

0

2

2    

  

  

   

 

     

 

 m

m m

m m

m m

Bài 3:Tìm m để hàm số ( 2) (5 4) ( 1)

1      

 x m x m x m

y đạt cực trị x1,x2 tha

điều kiện x1<-1<x2

Giải: yêu cầu toány'(x)x2 2(m2)x(5m4)0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 tháa

m·n ®iỊu kiƯn x1<-1<x21.y'(1)3m90m3

Bài 4:Tìm m để hàm số ( 3) 4( 3) ( )

1 2

m m x m x

m x

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Giải: yêu cầu toány'(x)x2 2(m3)x4(m3)0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa

mÃn điều kiện -1<x1<x2

2 )

3 (

0

0

2

0 ) ( '

0

'

     

   

   

 

    

     

 

   

 m

m m

m m

S f

Bài 5: Tìm m để hàm số ( 2) (3 1) ( 5)

1       

 x m m x m x m

y đạt cực tiểu x=2

Giải:

*Điều kiện cần:

Gi s hm số đạt cực tiểu x=-2 suy f'(2)0 ta có f'(x)x2 2(m2 m2)x3m2 1 suy m2 4m30m1;m3

*Điều kiện đủ:

NÕu m=3 th× f''(x)2x16 f''(2)120xCT 2

Nếu m=1 f''(x)2x4 f''(2)0 nh-ng lúc ta cú f'(x)(x2)2 0x

Hàm số cực trị *KÕt luËn:m=3

Dạng 2:ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua cực đại cực tiểu

Bài 1:Tìm cực trị viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua cực đại,cực tiểu hàm số

8 )

(x x3  x2  x f

Gi¶i:

.Ta cã f'(x)3(x2 2x2)

   

 

       



3

3 1

2 )

( ) (

'

x x x

x x g x

f

suy hàm số y f(x)đạt cực trị x1,x2

.Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho g(x) ta cã f(x)g(x)(x1)6(x1)   

 

0 ) (

0 ) (

x g

x g

nªn

   

     

    

3 ) ( ) (

3 ) 1 ( ) (

x x

f y

x x

f y

   

  

 

 

  

 

   

 

3 ) (

3 ) (

3 ) ( ' '

0 ) ( ' ' ) ( ) ( ' '

x f f

x f f x

f x f x

x f

cd ct

.Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua CĐ,CT lµ y6(x1)

Bài 2:Tìm m để hàm số f(x)2x3 3(m1)x2 6(m2)x1 có đ-ờng thẳngđi qua CĐ,CT song song vi -ng thng yaxb

Giải:

.Đạo hàm f'(x)6(x2 (m1)xm2)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

hµm sè cã CĐ,CT f'(x)0hayg(x)0 có hai nghiệm phân biệtg (m3)2 0m3

.Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho g(x) ta cã ) 3 ( ) ( )] ( )[ ( )

(x g x x m  m 2x m2  m f

Với m3 g(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 hàm số đạt cực trị x1,x2

  

 

0 ) (

0 ) (

x g

x g

nªn

   

   

  

   

  

) 3 ( ) ( ) (

) 3 ( ) ( ) (

2

2

m m x m

x f y

m m x m

x f y

suy đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():y(m3)2x(m2 3m3)

ta có () song song víi ®-êng

  

     

 

      

 

  

   

 

  

   

a m

a a m

a a m

a m a m

m b ax y

3

0 )

3 (

0 , )

3 (

3

2

vậy a0 không tồn m;nếu a<0 m3 a

Bi 3: Tỡm m để hàm số f(x)2x3 3(m1)x2 6m(12m)x có cực đại cực tiểu nằm đ-ờng thẳng y4x

Giải:

.Đạo hàm f'(x)6(x2 (m1)xm(12m))

f'(x)0g(x)x2 (m1)xm(12m)0

hàm số có CĐ,CT f'(x)0hayg(x)0 có hai nghiệm ph©n biƯt

3

) ( ) ( )

(        

 

 g m m m m m

.Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho g(x) ta cã

) )( ( )

1 ( )] ( )[ ( )

(x g x x m m 2x m m m

f        

Víi

3 

m g(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 hàm số đạt cực trị x1,x2

  

 

0 ) (

0 ) (

x g

x g

nªn

   

  

   

  

   

) )( ( ) ( ) (

) )( ( ) ( ) (

2

m m

m x m x

f y

m m

m x m x

f y

suy đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():y(3m1)2xm(m1)(12m)

Ta có CĐ,CT nằm đ-ờng thẳng

1

1 ; ;

2 ) )( (

4 ) ( )

4 ( ) (

2

  

   

      

  

  

  

          

 m

m m m

m m

m x

y x

y

Bài 4: Tìm m để hàm số ( )  7 3 x mx x x

f có đ-ờng thẳng qua cực đại cực tiểu vng góc với đ-ờng thẳng y3x7

Giải:

Hàm số có CĐ,CT f'(x)0 có hai nghiƯm ph©n biƯt'  210  21

m m

g

.Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho f' x( ) ta cã

9 ] 21 [ ] )[ ( ' )

(x f x x m m2 x m

f      

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

do

  

 

0 ) ( '

0 ) ( '

x f

x f

nªn

     

  

 

  

 

9 ) 21 ( ) (

9 ) 21 ( ) (

2

m x

m x

f y

m x

m x

f y

suy đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():

9 ) 21 (

2 m

x m

y   

ta cã () vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng y3x7     

  

 

1 ) 21 (

21

m m

Dạng 3:sử dụng định lý viét cho điểm cực trị bài 1:Cho (cos 3sin ) 8(1 cos2 )

3 )

(x  x3  a a x2   a x f

1.CMR:hàm số ln có cực đại cực tiểu

2.Giả sử hàm số đạt cực trị x1,x2.CMR:x12+x22 18

Giải:

1.Xét ph-ơng trình: f'(x)2x32(cosa3sina)x8(1cos2a)0

Ta cã '(cosa3sina)2 16(1cos2a)

'(cosa3sina)2 32cos2a0a

NÕu '0 th×

  

  

  

 



0 sin

0 cos

sin cos

0 cos

a a a

a a

    



0 cos2a sin2a 1 v«lý

Từ suy '0a f'(x)0 có nghiệm phân biệt x1,x2 hàm số đạt cực trị x1,x2

2.Theo định lý Viét ta có

  

  

 



) cos (

cos sin

3

a x

x

a a

x x

Suy x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=

a a

a a

a a

a cos )2 8(1 cos2 ) 9sin2 6sin cos 17cos2 sin

3

(      

Khi BĐT:x12

+x22       

) cos (sin

18 cos

17 cos sin sin

9

18 a a a a a a 0(3sinacosa)2

ln

Bµi 2: Cho f x x (m 1)x (m 4m 2)x

2 )

(      

1.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu

2.Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm >1

3.Gọi điểm cực trị x1,x2.tìm max A= x1x22(x1x2)

Giải:

Đạo hàm '( )2 2( 1)  4 3 m m

x m x

x f

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2.hàm số đạt cực trị điểm >1 f'(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa

m·n ( 5; 2)

3

) ( ) (

1

) , (

2

0 ) ( '

0 '

0 ) ( '

2 1

2 1

     

   

 

    

 

      

   

     

      

 

      

   



 

 

 

 

m m

m m

m m

S f f

x x

x x

3.Theo định lý viét ta có

   

  

   

) (

2

) (

2

m m

x x

m x

x

Khi A=

2 9 ] ) ( [ ) ( 2

3 )

2 ( 2

1

2

          

 x x m m m m

x x

Víi m=-4(5;1) th× Max A=