SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI các bài TOÁN tìm cực TRỊ TRONG đại số THCS GIÁP bát

Các bài toán cực trịtrong đại số là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT và đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi.. Cùngvới sự tích lũy kinh nghiệm có được

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GIÁP BÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC

Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Hải

Bộ môn : Toán

NĂM HỌC 2013 – 2014

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho cá môn khoa học khác, cóứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống Toán học giữ vai trò quantrọng trong mọi bậc học Làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó làvấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ dàng.Trong toán học, việc lựa chọn cách giải giữ vị trí quan trọng để có thể đạthiệu quả tốt Đó là ta nhanh chóng định hướng được cách giải và tìm đượccách giải nhanh nhất Muốn vậy, phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho họcsinh

Với cương vị là một giáo viên toán, sau nhiều năm giảng dạy môn Toán

ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải toán cực trị được đưa ra ở sáchgiáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giớithiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi Tuy nhiên, nội dungbài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp Các bài toán cực trịtrong đại số là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT

và đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sựtrở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình bậc cao Cùngvới sự tích lũy kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạytôi xin đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số và cácbài tập min họa trong chương trình toán THCS

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đềnày, tự phân loại được một số dạng toán tìm cực trị trong đại số, nêu lên một

số phương pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễdàng hơn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong đại số Việc rèn luyện kỹnăng giải bài toán loại này sẽ giúp cho học sinh phát triển tư duy, trí tuệ, tạođiều kiện đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi, trang bị những kiến thức

cần thiết để các em có thể vững vàng; tự tin trong việc tiếp cận những kiếnthức toán học ở cấp học cao hơn.

Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải bài toán tìm cực trị vềdạng quen thuộc mà các em đã biết cách giải Đề tài này có thể áp dụng chogiáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải vàcách trình bày Tuy vậy, nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bảnthân Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy côgiáo để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh trường THCSGiáp Bát đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này

II MỤC ĐÍCH – NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

- Phương pháp giải các dạng bài tập tìm cực trị

- Các ví dụ minh họa

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán tìm cực trị trong đại số

- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 8, 9 trường THCS

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu

- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm

- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơgiảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I KHẢO SÁT THỰC TẾ

Tôi thành lập 2 nhóm học sinh khá giỏi của khối 8 và khối 9 Mỗi lớp 10

em, có học lực môn toán phần cực trị đại số thấp thông qua bài kiểm tra khảo sát chất lượng:

Bằng những kinh nghiệm rut ra sau nhiều năm giảng dạy, tôi mạnh dạn

viết Sáng kiến kinh nghiệm: “Giải các dạng bài toán cực trị trong đại số”

II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P( x,y….z) Với x,y,….,z thuộc miền S nào

đó xác định Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0,…z0) S mà ta có P (x0, y0,

…z0) ≥ P( x,y….z) hoặc P (x0, y0,…z0) ≤ P( x,y….z) thì ta nói P( x,y….z) lớnnhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0,…z0) trên miền S

P( x,y….z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, …z0) S còn gọi là P đạt cựcđại tại (x0, y0, …z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, …z0) Tương tự ta có: P đạt giá trịnhỏ nhất tại (x0, y0, …z0) S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, …z0) hoặc

Pmin tại (x0, y0, …z0)

2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của mọi biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đềrộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P x, y,z trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước

- Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biếntrên miền xác định S

- Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P x, y, z trên miền xác định S ta cần chứng minh hai bước:

- chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trênmiền xác định S

- Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên

Ví dụ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:

Ta có: x2 ≥ 0 ; (x - 2)2 ≥ 0 nên A ≥ 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0

Lời giải trên có đúng không ?

Giải: Lời giải trên không đúng Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ

A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức Dấu đẳngthức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:

x2 = 0 và (x - 2)2 = 0Lời giải đúng là

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 với x = 1

3 Kiến thức cần nhớ

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:

a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:

* a2 ≥ 0, tổng quát: a2k ≥ 0 ( k nguyên dương)

Dấu bằng xảy ra  a1a2   an

* Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a1, a2, … và b1, b2, …, bn

4 Các dạng bài toán cực trị trong đại số

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa, tôi tiến hành phân loạithành một số dạng cơ bản nhất về bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồihướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạngtoán đó Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp:

Dạng 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Ví dụ 1: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A (x) = x2 - 4x + 1Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x) ta cần phải biến đổi về

dạng A (x) ≥ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợpxảy ra đảng thức

Lời giải: A (x) = x2 - 4x + 1

= x2 - 2.2x + 1

= ( x2 - 2.2x + 4 ) - 3

= ( x - 2)2 - 3

Với mọi giá trị của x: ( x - 2)2 ≥ 0

Dấu “ = “ chỉ xảy ra khi x = 2

Nên ta có A(x) = ( x - 2)2 - 3 ≥ - 3

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 3 khi x = 2

Đáp số: A(x) nhỏ nhất = - 3 với x = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B(x) = -5x2 - 4x + 1Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải

Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa

B(x) về dạng B(x) ≤ k ( k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớnnhất của B(x) = k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức

Ví dụ 3: (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

bk

Giải hệ điều kiện trên ta được : P = 1 m = -3

Vậy GTNN của A = 2 với P = 1, m = 3

Bài 2:

Tìm giá trị của x, y sao cho

F = x2 + 26 y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trịnhỏ nhất đó

Dấu = xẩy ra khi Z + 7 = 0 và y – 3 = 0 giải hệ điều kiện trên ta có được

x = 8, y = 3 Vậy GTNN của F = 1 với x = 8, y = 3

Bài 3 (hs tự làm)

Tìm giá trị của x, y, z sao cho

P = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16 yz + 36 xy + 5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giátrị nhỏ nhất đó

Dạng 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO

Dấu “=” xảy ra khi x 1

- Hãy viết biểu thức dưới dạng A2(x) + B2(x) ≥ 0

- Xét xem xảy ra dấu bất đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểuthức bằng bao nhiêu?

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các

khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm

Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: Giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ

hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức A

Do đó:

 2

42x 1 4

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng M

(hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏnhất (lớn nhất)

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 21

x  3Mẫu thức x2 – 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0

Nhưng với x = 0 thì 21 1

x  3 3 không phải là giá trị lớn nhất của phânthức

Chẳng hạn với x = 2 thì 21 1 1

x  3   3Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra 1 1

Cách 1: Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi

biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của 1

Dấu “=” xảy ra khi y 1 0 y 1

 khi x =1

Cách 2:

Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức

không âm Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

x 13

Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1

Vậy gái trị nhỏ nhất của A bằng 3

4 khi x = 1

Đáp số: Anhỏ nhất = 3

4 khi x = 1

Dạng 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA

MỘT BIỂU THỰC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠN  

(?) Ta có thể chưa cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x2 2x 3

được không? Vì sao?

Trả lời: Vì x2 2x 3 x  2 2x 1 2  x 1 2  2 0 với mọi giá trị

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trả lời: Vì x 1 2 0 Dấu “=” xảy ra khi x = -1

Với mọi x Nên x 1 2  2 2 với mọi x

a b 2 abc  đặt được dấu “=” khi a = b = c

đặt được dấu “=” khi a = b

Ví dụ 11:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x

x là hai đại lượng

lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và 2

x tacó:

B 16x  x với x thuộc tập hợp các số thỏa mãn 0 x 3 16 * 

Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức

Côsi cho hai số dương x3 và x 16 x 3 64

  dấu “=” xẩy ra khi

2x 4y  5x2 22 42  5 2 x2 y2 z2

2 4  5Hay Q2 22 42  5 2 x 2 y2 z2 vì x2 y2 z2 169 nên

2

Q 25.169

Vậy GTLN của Q = 65, dấu “=” xẩy ra khi x y z

Bài 2: Cho biểu thức:

2 4

xA

III KẾT QUẢ

Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường THCS Dũng Tiến tôi thấy học sinh có

ý thức đơn, cẩn thận hơn, trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn Hiểu

và giải nhanh được các dạng toán phức tạp cũng như nắm rõ và vận dụng thànhthạo các dạng bài toán cực trị trong đại số được thể hiện qua kết quả:

Điểm

Kết luận: Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán

của học sinh và tìm hiểu được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó tôi đã đưa ramột vài biện pháp và áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dậythấy rằng học sinh có những tiến độ, học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ

nhàng hơn kết quả học tập của các em có phần khả thi hơn Đặc biệt dạngtoán cực trị trong đại số thì học sinh đã giải bài một cách rất nhẹ nhàng chínhxác chặt chẽ hơn rất nhiều, các em trong lớp bồi dưỡng đội tuyển học sinhgiỏi đã giải tốt, thành thạo các đề thi của phòng của TP trước đây mà đề bài

có liên quan tới toán cự trị

C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Trên đây là những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện ở 2 lớp độituyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9 đã có những kết quả đáng kể đối vớihọc sinh

Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán “Cực trị trong đại số”,

đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trìnhbày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rò ràng, các em bình tĩnh, tự tin vàcảm thấy thích thú khi giải loại toán này

Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu thamkhảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều chưa chuẩn, những lời giảichưa phải là hay và ngắn gọn nhất Nhưng tôi mong rằng SKKN này ít nhiềucũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn và vận dụng giải tốt các loại toán cực trị trongđại số

Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổthông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của cácđồng chí cùng trường cũng như dự giờ các đồng chí trường bạn Cùng với sựgiúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường

THCS Dũng Tiến Tôi đã hoàn thành SKKN “Bồi dưỡng học sinh giỏi lớn 8,

9 hệ thống các dạng bài toán cực trị trong đại số” cho các em học sinh đội

tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường,cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Dũng Tiến đã giúp

tôi hoàn thành SKKN này Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chíchuyên môn Phòng Giáo dục và Đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồngnghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.

2 Khuyến nghị

- Đề nghị các cấp chính quyền địa phương quan tâm hơn nữa tới phongtrào giáo dục tại địa phương, đặc biệt là phong trào mũi nhọn như các lớp bồidưỡng thi học sinh giỏi cấp huyện, Thành phố

- Đề nghị Phòng Giáo dục và Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi cóđiều kiện trao đổi và học hỏi thêm

- Nên nghiên cứu và tạo ra một diễn đàn về giáo dục trên mạng internetcủa huyện Thường Tín đặc biệt là diễn đàn trao đổi về viết các SKKN

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Dũng Tiến, ngày … tháng … năm 2011

Người viết đề tài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8

3 Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS

4 Một số vấn đề phát triển Đại số 8

5 Một số vấn đề phát triển đại số 9

6 Tuyển tập đề thi môn Toán THCS

7 Các bài toán đại số hay và khó – NXB Giáo dục

8 Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8

9 Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 Đại số - NXB Giáo dục

10 Phương pháp dạy học môn toán – NXB Giáo dục

11 Tìm hiểu thông tin tài liệu qua mạng Internet

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ 2

1 Cơ sở khoa học 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

4 Kế hoạch nghiên cứu 3

5 Thời gian để thực hiện sáng kiến: Trong năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014, trên cơ sở các tiết dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi tai Trường THCS giáp Bát, Hoàng Mai, Hà Nội 3

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

I KHẢO SÁT THỰC TẾ 3

II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3

1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức 3

2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức 4

3 Kiến thức cần nhớ 5

4 Kiến thức cần nhớ 6

5 Các dạng bài toán cực trị trong đại số 6

C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 22

1 Kết luận: 22

2 Khuyến nghị 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24