(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh giải các bài toán về số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: Lưu Thị Minh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu Trang Nội dung sáng kiến…… Trang 2.1 Cơ sở lý luận SKKN .Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trang 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Trang 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng ……… Trang 2.3.2 Các toán cực trị liên quan đến đường tròn Trang 10 2.3.3 Các toán cực trị liên quan đến đường E-lip Trang 18 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 19 Kết luận, kiến nghị………………… Trang 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm học 2018-2019, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong q trình giảng dạy, ơn thi, làm đề tơi phát rằng: nhiều tốn khó số phức xây dựng sở số tốn cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý nên tổng hợp kinh nghiệm trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh giỏi nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán cực trị tập số phức Sau khuyến khích em dựa vào tính chất cực trị hình học học để sáng tạo tập hay tập số phức, qua giúp em phát triễn tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với tốn cực trị số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ơn tập kiến thức hình học liên quan Đặc biệt với riêng chuyên đề giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ số phức với hình học tọa độ, cơng thức chuyển đổi từ số phức sang hình học Sau giáo viên chọn số tốn điển hình, kiện, yêu cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo “phản xạ” cho em gặp loại toán Bước cuối yêu cầu em sáng tạo thêm đề toán từ tốn điển hình từ toán khác mà em gặp NỘI DUNG SÁNG KIẾN KING NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Một số phép tốn mở rộng mơ-đun số phức số phức liên hợp Cho hai số phức z, w Ta chứng minh tính chất sau:[1]1 z z z  w z  w z  w z  w z z  z z.w  z.w z.w  z w  z z   w w z z  w w z n  z n  zn  z n 2.1.2 Biểu diễn hình học số phức - Biểu diễn hình học số phức z  x  yi với x, y   mặt phẳng tọa độ điểm M  x; y  Khi z OM - Biểu diễn hình học hai số phức z z hai điểm đối xứng qua trục Ox nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z z hình  C  ,  C ' hai hình đối xứng qua trục Ox  z1  z2  AB   A , B z , z - Nếu điểm biểu diễn hai số phức  z  z  OA  OB 2OM  với M trung điểm đoạn AB - Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z trung trực đoạn AB - Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng - Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay đổi thỏa mãn z  z0 R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I bán kính R - Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay đổi thỏa mãn z  z0  R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z miền đường tròn tâm I bán kính R - Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay đổi thỏa mãn z  z0  R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z miền đường trịn tâm I bán kính R [1] Kết tham khảo trang 12, 13, 14 sách “HÀM BIẾN PHỨC” tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải - Cho hai số phức z1 , z2 khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm A, B Một số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2 a  Khi + Nếu z1  z2  a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường E-lip nhận A, B làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn a + Nếu z1  z2 a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện gặp dạng toán cực trị tập số phức phát triễn từ toán cực trị hình học thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường không thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm toán loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác em lại khơng phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A đường thẳng  d  Điểm M chạy đường thẳng  d  cho độ dài đoạn AM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính độ dài AM a Hướng dẫn giải: A d(M,d) (d) M H Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng  d  Khi AM  AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ M hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng  d  AM  AH d  M , d  b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun z  z0 với z0 số phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , A Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z  d  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) cho ax  by  c 0(a, b, c  ) + Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 với z1 , z hai số phức biết c Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng  d  : 3x  y  0 Tính giá trị nhỏ A B z C D  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z  Min z OM d  O; d   Ví dụ 2: Cho số phức z, w thỏa mãn z   2i  z  4i , w iz  Giá trị nhỏ w A B C D 2  Gợi ý: Gọi A   2;2  , B  0;4  M điểm biểu diễn số phức z Từ đề ta có: MA MB , hay quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn AB  Quỹ tích điểm M đường thẳng  d  : x  y  0 Mà w  iz   i z   z  i IM với I  0;1  Min w d ( I ; d )  i 2 Ví dụ 3: Cho số phức z khơng phải số ảo thỏa điều kiện z   z  z  2i  Giá trị nhỏ z  i A B C D 4  z  2i  z  Gợi ý: z   z  z  2i   z  2i z  2i  z z  2i    z 2i(l ) Như toán trở dạng giống Ví dụ Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i Giá trị nhỏ z   i A 10 B C 10 D 10  z  2i  z  2i  z  2i   Gợi ý:  Bài toán trở thành: Cho số phức z   i  z   i  z   i  z thỏa mãn z   4i  z  2i Tìm giá trị nhỏ z   i Như tốn trở dạng giống Ví dụ Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B đường thẳng  d  Điểm M chạy đường thẳng  d  cho tổng độ dài đoạn AM  BM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính AM  BM a Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp +) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm hai phía đường thẳng  d  A (d) D M B Ta có MA  MB  AB nên  MA  MB   AB , đạt M  AB  ( d ) +) Trường hợp 2 : hai điểm A , B phía đường thẳng  d  B A (d) D M A' Gọi điểm A ' điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng  d  Khi MA MA '  MA  MB MA ' MB  A ' B nên  MA  MB   A ' B , đạt M  A ' B  (d ) b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z  z1  z  z2 với z1 , z số phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z M , A, B Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z  d  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại phát nhanh yếu tố hình học giả thiết kết luận, vẽ yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí A, B với đường thẳng  d  c Ví dụ minh họa: Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z   z  Giá trị nhỏ z   4i  z   6i A 10  B 13 C D 10  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z   z  suy quỹ tích điểm M trục Oy Đặt A   2;  , B  4;6  A, B nằm hai phía trục Oy Khi z   4i  z   6i MA  MB  AB 2 10 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z   4i Giá trị nhỏ z   4i  z   i A B 13 C 41 D 10  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ z   4i  z   4i  z   2i  z   2i suy quỹ tích điểm M đường thẳng 2  d  : x  y  0 Đặt A   1;4  , B  1;1 A, B nằm phía với đường thẳng  d  Điểm A '   3;   điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng  d  Khi z   4i  z   i MA  MB MA ' MB  A ' B  41 Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I đoạn thẳng AB Điểm M chạy đoạn thẳng AB cho độ dài đoạn IM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính độ dài IM a Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng  AB  Ta xét hai trường hợp  Trường hợp 1: điểm H nằm đoạn AB I M A H B Dễ dàng thấy IM IH IM max max  IA; IB  Trường hợp 2: điểm H nằm đoạn AB I A M B H Dễ dàng thấy IM min  IA; IB IM max max  IA; IB b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đoạn thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn mô-đun z  z0 với z0 số phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , I Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z AB Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đoạn thẳng Điều kiện kiểu chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB MA  MB  AB Tính chất viết theo ngơn ngữ số phức có số dạng sau: + Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 a với z1 , z hai số phức biết z1  z a (Đây dạng suy biến Elip trình bày phần sở lý thuyết) + Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 nhỏ với z1 , z hai số phức biết Hoặc tạo quỹ tích điểm biểu diễn z phần đường thẳng bị giới hạn miền đường tròn, elip Chẳng hạn như: + Cho số phức bị ràng buộc điều kiện để quỹ tích đường thẳng, điều kiện cịn lại z  z r z  z1  z  z2 2a c Ví dụ minh họa: Ví dụ 7: Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i 6 Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P m  M A P  13  73 B P   73  73  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi A   2;1 , B  4;7  Từ giả thiết C P 5  73 D P  z   i  z   7i 6  MA  MB  AB  Quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I  1;  1 z   i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường thẳng  AB  nằm đoạn AB Lại có: IA  13, IB  73, d ( I ; AB )   73  P 2 Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn z   2i  z   2i nhỏ Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z  4i Tính P  A P 2 B P 2 M m C P 2 D P 5  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi A   1;2  , B  2;   Ta có z   2i  z   2i MA  MB  AB , nghĩa z   2i  z   2i nhỏ quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I  0;4  z  4i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường thẳng  AB  nằm đoạn AB Lại có: IA  5, IB 2 10  P 2  z   z   8i Tìm giá trị nhỏ z  4i  z 5 Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn  D  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , z   z   8i nên M A B C thuộc đường thẳng  d  : 2x  y  10 0 , mà z 5 nên M thuộc miền 2 đường tròn  C  : x  y 25 Lại có  d  cắt  C  hai điểm phân biệt A(3;4), B(5;0) nên quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I  0;4  z  4i IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng  d  nằm đoạn AB mà IA  41, IB 3 nên z  4i 3 2.3.2 Các tốn cực trị liên quan đến đường trịn Bài tốn 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A đường trịn  C  có tâm I bán kính R Điểm M thay đổi đường trịn  C  Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp  Trường hợp 1: điểm A nằm miền đường tròn  C  (C) M R C I B A AM  AB  AI  R AM max  AC  AI  R  Trường hợp 2: điểm A nằm đường tròn  C  (C) M R A C I B AM 0 AM max  AC 2R  Trường hợp 3: điểm A nằm miền đường tròn  C  (C) R B A C I M AM  AB R  AI AM max  AC  AI  R b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z  z0 với z0 số phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , A Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z  C  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường trịn Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức z thỏa mãn z  z0 R với z0 hai số phức biết + Cho số phức z thỏa mãn z  z1 k z  z2 với z1 , z hai số phức biết k 0 c Ví dụ minh họa: Ví dụ 10: Cho số phức z có z 2 số phức w  z  3i có modun nhỏ lớn A B C D  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z 2 nên quỹ tích điểm M đường trịn  C  tâm O bán kính R 2 Đặt A(0;  3) w  z  3i  AM Dễ thấy điểm A nằm đường tròn  C  nên w  AM  AO  R 1 w max  AM max  AO  R 5 Ví dụ 11: Cho số phức z thoả z   4i 2 w 2 z   i Khi w có giá trị lớn là: A 16  74 B  130 C  74 D  130  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z   4i 2 nên quỹ tích 1 2 điểm M đường tròn  C  tâm I  3;   bán kính R 2 Đặt A(  ; ) i w  z   i 2 z   2AM Dễ thấy điểm A nằm ngồi đường trịn 2  C nên w max 2 AM max 2( AI  R ) 4  130 10 Ví dụ 12: Cho sớ phức z , tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng z thoả mãn điều kiê ̣n   3i z  1  2i A B C D  Gợi ý : Gọi M điểm biểu diễn số phức z  z OM Theo ra :   3i   3i  2i z  1  z 1  z  i 1 nên quỹ tích điểm M  2i  2i   3i đường tròn  C  tâm I  0;  1 bán kính R 1 Dễ thấy điểm O nằm đường tròn  C  nên z max 2 R 2 Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z  2 z z   2i a  b Tính a  b A B 2 C D  Gợi ý: Đặt z  x  yi với x, y   Từ z  2 z   x  3  y 2  x  y   x  y  6x  0   x  3  y 18  z  3 Gọi M điểm biểu diễn số phức z quỹ tích M đường trịn tâm I ( 3;0) , bán kính   ;   z   2i  AM Dễ thấy điểm A nằm miền   R 3 Đặt A   đường tròn  C  nên AM R  AI  3  a b  2 Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) đường trịn  C  có tâm I bán kính R khơng có điểm chung Điểm M thay đổi đường tròn  C  , điểm N thay đổi đường thẳng (d ) Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn MN giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: 11 I M R A N H MN  AH d ( I , d )  R b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z1 cho quỹ tích điểm biểu diễn đường trịn, tạo điều kiện ràng buộc số phức z2 cho quỹ tích điểm biểu diễn đường thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z1  z2 - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z2 M , N Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z1  C  , đường thẳng biểu diễn số phức z2  d  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Khi học sinh nắm vững toán dễ dàng hình dung đường hình học để giải tốn c Ví dụ minh họa:  z1  i  z1  Tìm giá trị nhỏ  z2   i 1 Ví dụ 14: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  z2  Gợi ý: Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo A B C  D  z1  i  z1  , suy quỹ tích điểm M đường thẳng  d  : x  y 0 z   i    quỹ tích điểm N đường trịn  C  tâm I  1;1 có bán kính R 1 Vẽ hình trực quan dễ thấy  C   d  khơng có điểm chung, mà z1  z2 MN nên z1  z2 MN d  I , d   R   Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn  C  có tâm I bán kính R Đoạn AB đường kính  C  Điểm M thay đổi đường tròn  C  12 Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA  l.MB (với k l  ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: M A R I B Ta có : k l   kMA  lMB l ( MA  MB ) lAB , dấu xảy M  A b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun k z  z1  l z  z2 với z1 , z2 hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn biểu diễn số phức z - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z M , A, B Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z  C  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn z1 , z2 cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z 1  z  A T 2 B T 2 C T  D MinT   Gợi ý: Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z 1 nên quỹ tích điểm M đường trịn  C  tâm O bán kính R 1 Đặt A   1;0  , B  1;0  , vẽ hình trực quan dễ thấy AB đường kính đường trịn  C  Khi T  z   z  MA  2MB MA  MB  AB 2 , dấu xảy M B Suy T 2 Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn  C  có tâm I bán kính R Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm Điểm M thay đổi đường trịn  C  Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA  l.MB (với k  0, l  ) đạt giá trị lớn tính giá trị a Hướng dẫn giải: 13 M A I B Theo công thức đường trung tuyến ta có MI  MA2  MB AB  AB a const Lại có: k MA  l.MB  k  l MA2  MB  k  l a , dấu xảy MA MB k k2 l2   MA  MB  ( ) MB  k  l a , hay M giao điểm k l l l l a đường (C ) với đường tròn tâm B bán kính k2  l2  MA2  MB 2 MI  b Cách tạo giải toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun k z  z1  l z  z2 với z1 , z2 hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng nhận tâm đường tròn biểu diễn số phức z làm trung điểm - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z M , A, B Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z  C  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn z1 , z2 cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn  C  ; đồng thời hai số thực k , l phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm B bán kính 2Rl k2  l2 đường trịn (C ) có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu c Ví dụ minh họa: Ví dụ 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T  z 1  z  A max T 2 B max T 2 10 C max T 3 D max T 3 14  Gợi ý: Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z 1 nên quỹ tích điểm M đường trịn  C  tâm O bán kính R 1 Đặt A   1;0  , B  1;0  , vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm nên MAB ta có MO  MA2  MB AB AB   MA2  MB 2MO  4 Khi T  z   z  MA  2MB  12  22 MA2  MB 2 , dấu xảy MB 2MA  MA   A giao điểm đường tròn  C  với đường trịn tâm A bán kính Suy max T 2 Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn  C  có tâm I bán kính R Điểm M cố định nằm miền đường tròn; hai điểm A, B thay đổi  C  cho ba điểm M , A, B thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k MA  l.MB (với k  0, l  ) giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: I M A B Ta có tích MA.MB độ lớn phương tích điểm M với đường tròn  C  , suy MA.MB R  MI Nên k MA  l.MB 2 klMA.MB 2 kl ( R  MI ) , dấu xảy kMA lMB  kl ( R  MI )  MA  giao điểm đường tròn tâm M bán kính l ( R  MI ) hay A k l ( R  MI ) với đường tròn  C  k b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc hai số phức z1 , z2 cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng đường tròn Chọn số phức z0 có điểm biểu diễn nằm miền đường tròn biểu diễn z1 , z2 Tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 thẳng hàng 15 - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ tổng mơ-đun k z0  z1  l z0  z2 - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z0 , z1 , z2 M , A, B Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức z1 , z2  C  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng; đồng thời hai số thực k , l số phức z0 phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm M bán kính l ( R  MI ) đường tròn  C  có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng k thức lời giải xảy dấu Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng ta thường sử dụng z1  z0  z2  z0  z1  z2 c Ví dụ minh họa:  z1   i  z2   i 1  Ví dụ 17: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1 Tìm  z1  z2  z1   i  z2   i  giá trị nhỏ biểu thức T  z1   i  2iz2   2i A T 2 B T 2 C T 2 D T 3  Gợi ý: Gọi A, B điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo z1   i  z2   i 1 , suy quỹ tích điểm A quỹ tích điểm B đường trịn  C  tâm z1  z2  z1   I  1;1  1 có bán kính R 1 Đặt điểm M  1;  , ta có  2 1 i  z2   i  MA  MB  AB  điểm M thuộc đoạn AB , 2 nên theo cơng thức phương tích ta có MA.MB R  IM  Lại có T  z1   i  2iz2   2i 2 z1   i  i i   2i z2   2  z1    z2    2i 2   T 2  MA  MB  4 MA.MB 2 , dấu xảy MA MB hay A, B giao điểm đường thẳng qua M vng góc với IM đường tròn  C  2.3.3 Các toán cực trị liên quan tới E-lip 16 Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip  E  có độ dài trục lớn 2a , độ dài trục bé 2b , tâm đối xứng I ; điểm M thay đổi  E  Xác định vị trí điểm M cho độ dài đoạn IM lớn nhất, nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: B M A' I A B' IM max IA  IA ' a IM  IB IB ' b b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích điểm biểu diễn đường E-lip - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z  z0 với z0 số phức có điểm biểu diễn tâm E-lip - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn hai số phức z0 , z I , M Gọi đường E-lip biểu diễn quỹ tích số phức z  E  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z E-lip; đồng thời số phức z0 phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn tâm E-lip c Ví dụ minh họa: Ví dụ 18: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   3i 10 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   i Tính T M  m A T 40 B T 45 C T 10 D T 2 10  Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Đặt A  2;1 , B  4;  3  AB 2 Theo z   i  z   3i 10  MA  MB 10 nên quỹ tích điểm M đường E-lip có hai tiêu điểm A, B , độ dài trục lớn 10 , tiêu cự ,độ dài trục bé Đặt I  3;  1 , dễ thấy I tâm E-lip z   i IM  z   i IM 2 5, z   i max IM max 5 Suy T M  m 45 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn Hầu hết em vận dụng tốt giải nhanh câu hỏi trắc ngiệm loại Một hiệu mà tơi nhận thấy học sinh sau đọc tài liệu nhìn toán cực trị tập số phức với mắt “ bớt sợ” Những em khá, ham tìm tịi manh nha nghiên cứu tốn hình học khác để thử áp dụng cho toán cực trị khác * Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục nhà trường địa phương: Nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn nhà trường Giúp phong trào học toán học sinh nhà trường cải thiện Điều thể rõ so sánh kết khảo sát năm học: Kết khảo sát năm học 2017 - 2018 chưa thực nghiệm đề tài: ( Sau chấm tổng hợp, thu kết sau) Lớp 20172018 Tổng Từ 3,5 Dưới 3,5 đến Điểm Sĩ số SL % SL % Từ đến 6,5 SL % Từ 6,5 đến SL % Từ trở lên SL % 12C8 45 08 17,8 15 33,3 18 40,0 04 8,9 0 12C9 41 07 17,1 16 39,0 15 36,6 03 7,3 0 12C10 43 09 20,9 12 27,9 17 39,5 05 11,7 0 129 24 18,6 43 33,3 50 38,8 12 9,3 0 11 * Kết khảo sát năm học 2018 - 2019 sau thực nghiệm giảng dạy đề tài: ( Sau chấm tổng hợp, thu kết sau) Lớp 20182019 Từ 3,5 Từ 6,5 Từ đến Từ trở đến đến dưới 6,5 lên SL % SL % SL % SL % SL % 0 05 11,9 15 35,7 10 23,8 12 28,6 Dưới Điểm Sĩ số 3,5 12C8 42 18 Tổng 12C9 42 0 05 11,9 16 38,1 11 26,2 10 23,8 12C10 41 0 06 14,6 16 39,0 08 19,5 11 26,9 11 125 0 16 12,8 47 37,6 29 23,2 33 26,4 * Qua kết khảo sát phân tích bảng số liệu cho thấy: Sau thực nghiệm dạy xong kết kiểm tra: Năm học 2018 - 2019 Số học sinh đạt điểm giảm rõ rệt từ 67 em (chiếm 51,9%) giảm xuống 16 em (chiếm 12,8%) Đồng thời số học sinh đạt điểm 6,5 tăng nhiều từ 12 em (chiếm 9,3%) tăng lên 62 em (chiếm 49,6%) Như kết giáo dục nâng lên rõ rệt Nguyên nhân có kết là: Giáo viên có phương pháp thực nghiệm đề tài tạo hứng thú cho học sinh nên học sinh dễ hiểu nắm rõ chất vấn đề Điều khẳng định phương pháp dạy học tích hợp mơn tốn phù hợp với học sinh, đặc biệt học sinh miền núi Đặc biệt sau thực nghiệm dạy xong kết kiểm tra: Số học sinh đạt điểm 3,5 khơng cịn số học sinh đạt điểm tăng lên 33 em (tăng 26,4%) Như vậy, chất lượng mũi nhọn có chiều hướng tăng Nguyên nhân giáo viên phát huy khả tư yêu thích mơn tốn học sinh Cụ thể lớp: Số học sinh giỏi lớp 12C8 tăng: Từ em chiếm 8,9% lên 22 em chiếm 52,4% Số học sinh giỏi lớp 12C9 tăng: Từ em chiếm 7,3% lên 21 em chiếm 50,0% Số học sinh giỏi lớp 12C10 tăng: Từ em chiếm 11,7% lên 19 em chiếm 46,4% Như chất lượng mũi nhọn tăng lớp Kết khẳng định thêm lần phương pháp dạy học tích hợp liên mơn dạy học toán phù hợp với nhiều đối tương học sinh Với kết bước đầu vậy, cho thấy tính thiết thực đề tài hoạt động giảng dạy Trên thực tế tơi phát triển, mở rộng đề tài thành chuyên đề dạy học lớn theo chủ đề tích hợp liên môn để thân đồng nghiệp sử dụng trình giảng dạy Tuy phận học sinh kiến thức hạn chế nên chưa thấy điểm mạnh phương pháp, vận dụng chưa linh hoạt dạng đề khác KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: 19 Trên số giải pháp triển khai áp dụng lớp 12A8,12A9,12C10 trường THPT Hàm Rồng thu nhiều kết khả quan kết học tập chương số phức học sinh 3.2 Kiến nghị: Do đặc trưng mơn tốn khó với học sinh nên tơi mong muốn Bộ giáo dục đào tạo cần nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách bồi dưỡng lên phân phối chương trình phù hợp với phù hợp với vùng miền nhằm thúc đẩy phong trào tự học tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ giáo viên học sinh trường phổ thông Để nâng cao chất lượng mơn tốn trường phổ thơng đề nghị phịng giáo dục phổ thơng nên tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên môn cho Giáo viên dạy tốn Tỉnh trao đổi tìm nội dung khó dạy nội dung khó tiếp thu học sinh Tổ chức cách cho trường nghiên cứu mảng kiến thức cụ thể để đưa kinh nghiệm dạy nội dung thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường Đề nghị chuyên môn nhà trường bổ xung, mua nhiều sách tham khảo thư viện để giáo viên nghiên cứu học sinh mượn học tập Kiến nghị với đồng nghiệp trường cần làm tốt cơng tác xã hội hóa giáo dục để lơi học sinh đến trường đến lớp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lưu Thị Minh 20 Tài liệu tham khảo Sách “ Hàm biến phức” tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Nhà xuất đị học quốc gia Hà Nội năm 2001 Sách giáo khoa toán 10, 12, NXBGD Sách tập toán 10, 12, NXBGD Phương pháp giảng dạy mơn tốn, Vũ Dương Thụy, NXBGD, 2009 Giải tập nào?G.Polya , NXBGD,2010 Trọng tâm kiến thức Đại số lớp 10, 12, Phan Huy Khải, NXBGD, 2012 Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10, 12, NXBGD Kiến thức giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004 10 Phương pháp dạy học môn Toán: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy – NXBGD 2000 11 Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông – XBB ĐHQG TPHCM 2005 12 Sách giáo viên, sách giáo khoa, sách tập Giải tích 12 13 Giới thiệu đề thi tuyển sinh mơn tốn 14 Hàm số, tác giả Trần Phương 15 Báo toán học tuổi trẻ 16 Một số tài liệu chuyên đề ôn thi đại học 17 Tạp chí TỐN HỌC TUỔI TRẺ số 294,370 18 Các thi OLYMPIC toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXBGD, 2007 19 Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, lần XII-2006, NXBGD , 2006 20 Tuyển tập 30 năm tạp chí TỐN HỌC TUỔI TRẺ, NXBGD, 1997 21 Tuyển tập năm tạp chí TOÁN HỌC TUỔI TRẺ, NXBGD, 2003 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Lưu Thị Minh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Hàm Rồng STT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp Phát triển hệ phương trình Sở giáo dục từ toán đào tạo giúp học sinh THPT rèn Thanh Hóa luyện kỹ giả hệ phương trình Kết đánh Năm học giá xếp loại đánh giá xếp (A, B,C) loại C 2015-2016 ... điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh. .. túng gặp toán Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán. .. phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán cực trị số phức, trước hết