skkn hướng dẫn học sinh giải các bài toán về cực trị

Qua theo dõi các cuộc thi học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 thì tôi thấy hầunhư năm nào cũng có bài tập về cực trị, đặc biệt là thi học sinh giỏi lớp 9 các cấp thìtỷ lệ điểm của bài

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ

Qua theo dõi các cuộc thi học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 thì tôi thấy hầunhư năm nào cũng có bài tập về cực trị, đặc biệt là thi học sinh giỏi lớp 9 các cấp thì

tỷ lệ điểm của bài tìm cực trị chiếm một tỷ lệ điểm đáng kể Tại kỳ thi học sinh giỏilớp 9 năm học 2012 -2013 cấp huyện vòng 1 của huyện Thanh Oai thì có ba ý về cựctrị trong đề thi Do vậy việc giúp học sinh giải các dạng bài tập về cực trị là hết sứccần thiết vào quan trọng, đặc biệt là đối với đội tuyển

* f x( )K1; x TXĐ ( K1 = Const )

Tồn tại f x( )o K1  mim f x( ) K1 khi và chỉ khi x = x0

* f x( )K2; x TXĐ ( K2 = Const )

Tồn tại f x( )o K2  max f x( )K2 khi và chỉ khi x = x0

Nhưng để chỉ ra được điều đó thì rất là khó khăn, nó đò hỏi rất nhiều kiến thức,

kỹ năng sử dụng kiến thức

Để giúp các em học sinh học toán tốt, giải được các bài tập về cực trị, đặc biệt

là các em học sinh lớp 9 và đội tuyển đi thi các cấp phải thành thạo nó Nên tôi đã

chọn đề tài sáng kiến nghiệm “Hướng dẫn học sinh giải các bài tập về cực trị”.

3 Giới hạn của đề tài

a Về kiến thức

Tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp THCS chỉ sửa dụng địnhnghĩa về cực trị :

c Thời gian thực hiện

Sau khi học sinh lớp 9 đã học hết chương I, thực hiện trong 7 buổi

B PHẦN THỨ HAI QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Dạng bài tập về tìm cực trị thì thường là các em khó khăn ngay từ điểm suất phátkhông biết bắt đầu từ đâu, hai là chưa lắm rõ bản chất của công việc giải bài toán vềcực trị, hoặc chưa có kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, tỷ lệ này đã chiếm70% Đối với 9A của tôi trực tiếp giảng dạy trong năm học 2012 - 2013, thì kết quảcủa 1 bài kiểm tra 45 phút đại số trong đó có 1 câu tìm cực trị được ghi lại như sau:

Sĩ số Số em làm được

câu cực trị

Số em làm bịngộ nhận

Số em không làmđược câu cực trị

Tỷ lệ %làmđược

II Phương pháp thực hiện đề tài

- Nghiên cứu kỹ một số tài liệu:

1) Sách giáo khoa Đại số 8; 9 Nhà xuất bản giáo dục

3) Sách nâng cao Đại số 8 Võ Đại Mau

5) Tuyển tập các bài toán sơ cấp Vũ Hữu Bình

6) Tuyển tập các bài toán sơ cấp Võ Đại Mau

7) 36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS Võ Đại Mau

Ký hiệu : max f(x,y, ) = M  (x = xo, y = yo , )  |D

- Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức

f(x,y, ) xác định trên miền |D :

M được gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoảmãn :

1 f(x,y, )  M (x,y, )  |D

2  (x0, y0, )  |D sao cho f(x0, y0 ) = M

Ký hiệu : M = min f(x,y, )  (x = xo, y = yo , )  |D

- Các kiến thức cơ bản thường dùng

b) |x+y|  |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0

c) |x-y|  |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 và |x|  |y|

* Bất đẳng thức côsi :

ai  0 ; i = 1 ,n : n

n

n a a a n

a a

* Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B) 2  0.

b a a

b   

4 1 1

 min C = 1966  x2- 9x + 14 = 0  2

7

x x

1 10 2

x

x x

Giải :

2 2

2

) 1 (

9 1

6 2 )

1 (

9 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 2 1

2

1 10 2

x

x x

x x

x

x x

xy

y x y y x

x(  )  (  )

E =

xy

y x y

1

y x

1 2

Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + yz + zx - x2- y2- z2

Vậy : max P = 0  x = y = z

Nhận xét :

Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồngnhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau Song đôi khi họcsinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích, khó tìm rađiểm xuất phát Để nhanh chóng tìm điểm xuất phát thì các em phải nhớ và vậndụng thành thạo các hằng đẳng thức và kỹ năng tách để tạo ra hằng đẳn thức.Muốnvậy thì các em phải làm nhiều bài tập và xếp chúng vào một nhóm

683

x x

196 74

7

2 2

x x

3 Tìm cực trị của A =

32

642

x x

2 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản:

Ta biết rằng : Từ 1 bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về

1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số Vìvậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thểtìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó

) (

b a b

b a b

2

b a

b a

4 )

1 2

1 ( 2

1 1

2

2 1

1

b a ab b

a ab ab

b a ab b

a

) (

Vậy : min B = 6  a = b =

2 1

Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| = 3 Tìm GTLN của D = 1  a2  1  b2

Giải :

Ta có : (a - b)2  0 a;b 

2 2

(1)

áp dụng (1) ta có :

2

1 2

) (

2 2

1 1

3 2

2

2 2

2

1 1

Vậy : max D = 1  a = b =

2 3

x y

x y

Vậy : min P = 3  x = y = z = 1

Nhận xét :

Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán được giải quyếtnhanh hơn Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giảthiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó Một vấn đề đặt ra là :Hai phương pháp vừa nêu vẫn chưa đủ để giải quyết được hết các bài toán cực trị đại

số THCS Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phương pháp khác tối ưu hơn vàthực hiện được yêu cầu bài toán

ab  

3 Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C =

b a

c a c

b c b

a c a

c b b a

c a c

b c b

7 Cho 0  x  3 ; Cho 0  y 4 Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)

8 Cho x,y,z,t  0 và 2x + xy + z + yzt = 1

x x

x x

2

x

y y

2

x

y y

z z

x

y z

a 



2

c b a

x    ;

2

c b a

y    ;

2

c b a

1

a

c c

a b

c c

b a

b b a

Theo Cosi với a,b,c >0 ta có :   2 ;   2 ;   2

b

c c

b a

c c

a a

b b a

 D 

2

3 ) 3 2 2 2

2

) 1 ( ) 1 (

) 1

)(

(

y x

y x y

y x

1

2 2

y x

y x

1 (

1

2 2

2 2

Khi đó : E =a.b

Theo (1) và (2) ta có : -

4

) (a  b 2

 E = ab 

4

) (a  b 2

2

1

1

2

1

1 4

Ta có : 0 

2 2

2

1

1 4

1 4

1 4

 min E =

4

1

  (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2  x = 0max E =

4

1

 (1 - y2)2 = (1 + y2)2  y = 0Vậy : min E =

2 Tìm GTLN của B = a 1  2a 3  50  3a với a  ;503 

2 3

4 Cho x,y > 0 Tìm GTNN của D = 2 3 4

2 2

x x

y y x



x x x

x x

 x = 2002

 min B = -

8008

1

 x = 2002Vậy min B = -

x t x

t y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y

2 2

2 2

x y

x y

t x

t x

y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y t y

x

2

3 2

2 2

2 2

P = 63xy = 7x.9y 

2

2

9 7

y x

5 , 4

y x

4

y x

4

y x

4

y x

Ví dụ 7 : Cho x,y > 0

Tìm GTNN của G =

x

y y

x x

y y

x x

y y

2 4

4 4 4

x x

y y

x x

2 4

x x

y x

y y

x y

x x

y x

y y

x y

x

2

2 1

2 1

.

2 2

2 2

2 4

4 2

2 4

4

2 2

2 2

2 2 2

y y

x x

y y

 x x x

b a

6 Cho a, b, c, d > 0

Tìm GTNN của F =

c b a

a d b a d

d c a d c

c b d c b

b a

5 Phương pháp miền giá trị:

Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có mộthoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức

về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả

Đường lối chung là :

Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là một giá trịnào đó của f(x) với x  D Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y

có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x là biến, coi y

6 4

2 2

x x

Giải :

Ta thấy f(x) xác định với mọi x Gọi y là một giá trị của f(x)

Ta có : y =

3 2

6 4

2 2

x x

 yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0

 (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 (có nghiệm)

* Nếu y = 1  x = -

2 3

2

1

 x = -3 max f(x) = 2  x = 0

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của f(x) =

1 2

6 2

2 2

x x

Giải :

Gọi y là một giá trị của f(x)

Ta có : y =

1 2

6 2

2 2

x x

 yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0

 (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (có nghiệm)

* Nếu y = 1  x = -

4 5

Ví dụ 5 : Tìm GTLN của f(x) =

1

2

2 2





x x

Vậy max f(x) = 2  x = 0

Ví dụ 6 : Tìm cực trị của

2 2

Nếu 1- y0 = 0 suy ra y0 = 1 thì phương trình đã cho cũng có nghiệm, nhưng

1/2 < y0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi

3

   

y P

3 6; 3

Kết hợp (1) và (2) suy ra để phương trình có nghiệm không âm thì 2 y0  6

+ Với y0 = 2 suy ra m = 2 hay x  2

+ Với y0 = 6 suy ra

8 3

Với y0 = 4 thì v = 2 suy ra x = 2 ( thoả mãn)

Vậy max f(x) = 4 với x = 2

Chú ý:

ở ví dụ 8 ta cũng có thể tìm được min của f(x) bằng cách tìm điều kiện để hệ (*)

có nghiệm không âm và ta tìm được điều kiện của y0 là 2 2 y0  4

Do đó min f(x) = 2 2 với x = 6 hoặc x = -2

Nhận xét:

Với dạng f x( )  ax b  a x b'  ' bằng cách đặt ẩn phụ u ax b v ;  a x b'  ' rồixây dựng u2 v2 const để đưa về dạng quen biết đã biết cách giải

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : ( ) f x  3 x x5

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = x 2y với x; y thoả mãn x2  4y2  1

Bài 7: Xác định giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

a/ max f(x) = 3 tại x = 1; min f(x) = 1/3 tại x = - 1

b/ max f(x) = 3 tại x = 0; min f(x) = 5/2 tại x = - 1; x = 1

Bài 3: Đưa về ví dụ 3 rồi kết hợp điều kiện Max f(x) = 9, Min f(x) = -1 Giải ra được

a = 8, b =7 hoặc a = - 8, b = 7

Bài 4: Tương tự bài 3, giải ra được m = 8, m= - 8

Bài 5: Như ví dụ 4, tìm được max f(x) = 4 với x = -1

Bài 6: Như ví dụ 5, giải ra được max f(x, y) = 2 với 2; 2

6 Phương pháp xét từng khoảng giá trị:

Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tương đương, các bấtđẳng thức cơ bản phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sửdụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn

có khi không thể tìm được Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm được cực trị trở nên đơn giản.

a) Xét A = 1 ta có : 36m – 5n = 1 (không xảy ra) vì

(36m - 1) 7 còn 5n không chia hết cho 7

b) Xét A = 9 ta có : 5n - 36m = 9 (không xảy ra) vì

(5n - 36m) không chia hết cho 9 còn 9  9

Với n = 3 ta có : B =

8

9

> 1Với n = 4 ta có : B = 1

Với n = 5 ta có : B =

32

25

< 1Với n = 6 ta có : B =

16

9 64

a



3 Cho m, n  N và 1  m ; n  1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1

Tìm GTLN của C = m2 + n2

7 Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị

a Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau

Ví dụ 1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y =1

Tìm GTNN của biểu thức : A = 1 4

x y

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4,

x y ta có: 1x4y  4xy (1)Lại có: 1

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 4 4

x y  xy

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)

Có bạn đến đây kết luận không có giá trị nhỏ nhất cũng là kết luận sai

Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y  1 4 5 4

Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem

chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không Có như vậy thì hướng giải của bài toán mớiđúng

b Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

Ví dụ 2: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y= 1 Tìm GTNN của :

2 2

2  xy xy  2 xy4

Ta có :

2 2

Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra

lại giả thiết Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng

c Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm GTLN của bt: A = 2 1

6 17

x  x

Lời giải sai: A đạt max khi x2  6x 17 đạt min Ta có : x2  6x 17 x 32  8 8

Do đó min x2  6x 17   8 x 3 Vậy max A = 1

8  x3

Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các sốdương

Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x2 6x 17 x 32  8 8 nên tử và mẫu của

Lời giải đúng: ĐKTT x là x 0 do đó : A = x + x  0 => min A = 0  x 0

Ví dụ 2 : Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z là các số không      

âm và x +y+ z =1

Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y 2 ta có :

3 , , 0

Như vậy sau khi tôi thực hiện đề tài này thì các em trong lớp đã lắm vững cáchgiải bài toán về tìm cực trị , từ đó các em ham thích học môn toán hơn và xay mêgiải toán nhiều hơn, tăng khả năng tư duy của các em nhiều hơn, tự tin hơn khi bướcvào các kỳ thi của môn toán

Đổi tuyển của tôi đã được 3 em đỗ học sinh giỏi cấp huyện, em Vũ Bá Sang được vào vòng 2 và em lại tiếp tục đỗ vòng hai được vào đội tuyến toán lớp 9 của huyện tham gia thi thành phố, và đặc biệt em Sang đã chiến thắng tuyệt đối các bài tập về cực trị của 2 đề thi vòng 1và vòng 2 của huyện Thanh Oai năm học 2012 2013

Kết quả cụ thể qua một bài kiểm tra cả lớp như sau:

Sĩ số Số em làm được

câu cực trị

Số em làm bị ngộ nhận

Số em không làm được câu cực trị

Tỷ lệ % làm được

PHẦN THỨ NĂM NHỮNG KHUYẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

Với một số kinh nghiệm trong việc hướng dẫn học sinh giải bài toán về cực trị lớp 9 tôi mong hội đồng khoa học và bạn đọc có những nhận xét quý báu bổ sung những phần còn thiếu, góp ý những điều chưa hay, chưa sáng tạo để tôi có thể hoàn thiên hơn và góp phần nhỏ công sức trí tuệ của mình giúp học sinh ngày càng yêu thích môn toán hơn đam mê giải toán hơn, từ đó các em cảm thấy tự tin hơn khi bước vào các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10 sắp tới Bên cạnh đó rất mong các cấp có thẩm quyền quan tâm hơn nữa cả về vật chất cũng như tinh thần để động viên kịp thời các đồng chí tham gia nghiên cứu khoa học, để tạo điều kiện cho phong trào thi đua của nhà phát triển./

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Thùy, ngày22 tháng3 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép của người khác Vũ Bá Nam Đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường ……….

………

……….

………

……….

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….………

Đánh giá của hội đồng khoa học cấp huyện ……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

… ………

……….

………

……….

………

……….

………

………

… ………

……….

………

……….

………

……….

………

……….

………

… ………

……….

………

……….

………

……….…………