nội dung để tài Là giáo viên đợc phân công giảng dạy và bồi dỡng học sinh khá ,giỏi lớp 6 môn toán nên đề tài năm nay tôi chọn viết về chuyên đề “Phát triển tPhát triển t duy logic qua m
Trang 1Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên
Trờng THCS Thanh Cao - Thanh Oai - Hà Tây
Trình độ chuyên môn : Cao Đẳng s phạm toán
Hệ đào tạo : Chính qui
Bộ môn giảng dạy : Toán 6
Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở
Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc công nhận
1 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Trang 2II nội dung để tài
Là giáo viên đợc phân công giảng dạy và bồi dỡng học sinh khá ,giỏi lớp 6 môn toán nên đề tài năm nay tôi chọn viết về chuyên đề
“Phát triển tPhát triển t duy logic qua một số bài toán suy luận logic”
Những bài toán suy luận logic là những bài toán đòi hỏi suy luận
đúng đắn, hợp lý , chặt chẽ Các bài toán này có tác dụng lớn trongviệc gây hứng thú và phát huy năng lực sáng tạo của ngời giải nhng nókhông có một khuôn mẫu giaiả mà tuỳ thuộc vào nội dung bài toán đểlập luận tìm ra cách giải thích hợp Nếu học sinh không đợc làm quen
và luyện tập nhiều các bài toán dạng này rất lúng túng và khó biết cáchgiải Chính vì vậy nên tôi chọn để tài : “Phát triển tPhát triển t duy logic qua một
số bài toán suy luận logic” Giúp các em luyện tập đợc nhiều bài bàitoán dạng này và trở thành quen thuộc đối với các em học sinh
3 Phạm vi thời gian thực hiện đề tài
Trang 3Phạm vi : Học sinh khá , giỏi lớp 6
Thời gian : 12 tiết (Trong đó có 2 tiết kiểm tra )
III Quá trình thực hiện để tài
1 Khảo sát thực tế
Trớc khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã đợc trang bị một sốkiến thức về số học và hoàn thành tốt các bài tập bắt buộc trong sáchgiáo khoa Mặc dù vậy khi đứng trớc các bài toán suy luận logic thìviệc tìm đờng lối giải rất lúng túng
2 Nội dung chủ yếu của đề tài
Trang 41 Dựa vào yêu cầu của đề bàI để căn cứ vào các dữ liệu mà tìm ra mốiliên hệ nhằm làm cho lập luận không vấp phải mâu thuẫn
2 Cách lập luận một mặt phải phù hợp với thực tế , mặt khác phải phùhợp với logic , các bớc chuẩn bị cho cái sau , cái sau do cái trớc mà có Khi giải ta thờng sử dụng các lập luận ngắn ngọn chặt chẽ , có thểminh hoạ lời giải bằng các bảng , các sơ đồ , hìmh vẽ
Ta sẽ tìm hiểu một số bài toán và phơng pháp giải chúng qua các ví dụsau đây
B Một số bài toán suy luận logic
Bài toán 1: Làm thế nào để đem 6 lít nớc từ sông về nếu trong tay chỉ
có 2 cái thùng, một thùng dung tích 4 lít , một thùng dung tích 9 lít vàkhông thùng nào có vạch chia dung tích ?
Giải : Kí hiệu (a,b) là trạng thái thùng 4 lít có a lít 0 a 4và thùng
Bài toán 2 : Trong một can có 16 lít xăng Làm thế nào để chia số
xăng đó thành 2 phần bằng nhau , mỗi phần 8 lít , nếu chỉ thêm mộtcan 11 lít và một can 6 lít để không ?
Giải :
Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái can 16 lít có a lít xăng , can 11 lít có b lítxăng , can 6 lít có c lít xăng
Trang 5Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bắng nhau đợc diễn tả qua các trạngthái sau:
(16;0;0) => (10;0;6) =>(10;6;0) => (4;6;6) => (4;11;1)=> (15;0;1)=>(15;1;0) => (9;1;6) =>(9;7;0) =>(3;7;6)=>(3;11;2) =>(14;0;2)
=>(14;2;0)=>(8;2;6)=>(8;8;0)
Vậy cuối cùng can 16 lít và can 11 lít chứa 8 lít xăng
Bài toán 3 : Một hiệu bán sữa tơi có 2 thùng A và B bằng nhau , mỗi
thùng chứa đầy 40 lít sữa Hai khách hàng , mỗi ngời mang can 5 lít ,một ngời mang can 4 lít đến mua 2 lít sữa , ngời bán sữa không códụng cụ đo lờng nào khác Hỏi phải san sẻ làm sao để bán cho kháchhàng ? ( không thùng nào có vạch chia dung tích)
Giải : Gọi (a,b ) là trạng thái bình dung tích 5 lít có a lít sữa và bình 4
lít có b lít sữa Ta có (5;0) =>(1;4) =>(1;0) =>(0;1)=>(5;1) =>(2;4)
=>(2;0)
Lúc này bình A có 38 lít , bình B có 40 lít , ngời thứ nhất đã nhận
đợc 2 lít sữa còn ngời thứ 2 còn bình 4 lít sữa
Gọi (a,b,c ) là trạng thấi bình A có a lít sữa , bình B có b lít sữa ,bình 4lít có c lít sữa Ta có
(38;40;0)=>(38;36;4) =>(40;36;2)Vậy ngời thứ 2 nhận đợc 2 lít sữa
Bài toán 4: Có 3 rổ táo Rổ thứ nhất có 11 trái , rổ thứ 2 có 7 trái , rổ
thứ 3 có 6 trái Cần phải chuyển các trái táo sao cho số táo trong 3 rổbằng nhau , với điều kiện việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia thoả
Trang 6mãn số táo chuyển vào rổ đó phải đúng bằng số táo đã có trong 3 rổ
đó
Giải : Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái rổ thứ nhất có a quả táo , rổ thứ 2 có
b quả táo, rổ thứ 3 có c quả táo
Việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia sao cho số táo trong 3 rổ bằngnhau và thoả mãn số táo chuyển vào rổ đó phải đúng bằng số táo đã cótrong rổ đợc diễn tả qua trạng thái sau
(11;7;6) => (4;14;6) => (4;8;12) => (8;8;8)
Cuối cùng số táo trong 3 rổ đã bằng nhau và có 8 trái
Bài toán 5: Có 7 can bia đầy , 7 can đầy một nửa , 7 can không Làm
thế nào để chia số can bia thành 3 phần bằng nhau , để phần nào cũng
có số can đầy , số can đầy một nửa , số can không nh nhau ?
Giải : Vấn đề là phải làm thế nào để chia đợc số can đầy bia , số can
đầy một nửa , số can không làm ba
Cách 1: Từ 4 can đầy bia một nửa ta có thể đợc 2 can bia đầy và 2 cankhông Thế thì ta đợc 9 can bia đầy , 3 can đầy một nửa , 9 can không Vậy mỗi phần gồm 3 can bia đầy , 1 can đầy một nửa , 3 can không Cách 2 : Từ một can đầy và một can không ta đợc 2 can đầy một nửa Thế thì ta có 6 can bia đầy , 9 can đầy một nửa , và 6 can không
Vậy mỗi phần gồm 2 can đầy , 3 can đầy một nửa , 2 can không
Cách 3 : Mỗi phần gồm 1 can đầy , 5 can đầy một nửa , 1 can không
Bài toán 6: Trong 4 đồng tiền có 3 đồng tiền thật có khối lợng nh nhau
, 1 đồng tiền giả có khối lợng khác Làm thế nào để tìm đợc đồng tiềngiả bằng 2 lần cân? ( Cân đĩa không có quả cân )
Trang 7Giải : Đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền : Xảy ra 1 trong 2 trờng hợp
a) Cân thăng bằng
b) Cân không thăng bằng
- Nếu cân thăng bằng theo trờng hợp (a) thì 2 đồng tiền đó là thật , thaymột đồng tiền đã cân bằng 1 trong 2 đồng tiền còn lại Nếu cân vẫnthăng bằng thì đồng tiền thứ 4 là giả Nếu cân không thăng bằng thì
đồng tiền vừa thay là giả
- Nếu cân jkhông thăng bằng trờng hợp (b) thì một trong 2 đồng tiềntrên đĩa là giả Trong lần cân thứ 2 chỉ việc thay một đồng tiền đã cânbằng một trong hai đồng tiền còn lại ( Cả 2 đồng tiền này đều là thật )Xác định đợc đồng tiền giả
Bài toán 7: Có 16 chai rợu trong đó có một chai nhẹ hơn tất cả các
chai còn lại Làm thế nào chỉ 3 lần cân xác định đợc chai nào nhẹ ?
Giải : Chia 16 chai rợu thành 3 nhóm : 2 nhóm 6 , 1 nhóm 4
* Lần 1 đặt nên mỗi đĩa cân 6 chai , xảy ra 1 trong 2 trờng hợp
a) Cân bằng (1)
b) Cân không thăng bằng (2)
* Lần cân 2:
a) Nếu cân thăng bằng (1) thì lấy 2 chai ở nhóm 4 chai đặt nên cân
- Nếu cân thăng bằng thì đặt 2 chai còn lại nên cân , lần 3 xác định đợcchai nhẹ
- Nếu cân không thăng bằng xác định ngay đợc chai nhẹ
b) Nếu cân không thăng bằng (2) thì lấy 6 chai ở bên nhẹ đặt nên mỗi
đĩa cân 3 chai, xác định đợc nhóm 3 chai bên nhẹ để cân lần 3
Trang 8* Lần cân 3 : Với 3 chai bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân một chai
- Nếu cân thăng bằng thì chai nhẹ là chai thứ 3
- Néu cân không thăng bằng thì xác định ngay chai nhẹ
Bài toán 8: Có 10 gói kẹo hình thức giồng hệt nhau , số lợng kẹo trong
mỗi gói bằng nhau (>10 cái) Trong đó có 9 gói kẹo thật và 1 gói kẹogiả Mỗi cái kẹo thật nặng 6g , mỗi cái kẹo giả nặng 5g Làm thế nàochỉ một lần cân em hãy xác định đợc gói kẹo giả ?
Giải : Đánh số thứ tự từ 1 đến 10 vào 10 gói kẹo Lấy số kẹo trong mốigói ra bằng đúng số thứ tự của gói đó Nh vậy tổng số kẹo lấy ra là :1+2+3+…+10 = 55 cái+10 = 55 cái
- Cho 55 cái kẹo nên cân thì sẽ xảy ra các trờng hợp :320g,321g,322g, 329g ( Nếu 55 cái kẹo là thật thì có khối lợng là330g)
Nh vậy : Khối lợng cân đợc là 329g thì có 1 cái kẹo giả và gói đánh sốthứ tự 1 sẽ là gói kẹo giả
Khối lợng 328 g thì có 2 cái kẹo giả và gói kẹo giả là gói thứ 2 Khối lợng 320 g thì gói kẹo giả là gói đánh số 10
Vậy chỉ dùng 1 lần cân ta đã xác định đợc gói kẹo giả
Bài toán 9 : Cân đĩa không chính xác vì khi 2 đĩa cân không chứa vật
gì thì cân không thăng bằng Dùng quả cân làm thế nào để cân một vật
mà xác định đợc khối lợng chính xác vật đó ?
Giải : Trớc hết bỏ thêm một vật gì đó vào một đĩa cân để cân thăng
bằng Bây giờ chỉ việc đặt vật phải cân vào một đĩa cân và cho quả cânvào đĩa cân kia cho tới khi cân thăng bằng
Trang 9Từ đó ta xác định đợc ngay khối lợng chính xác của vật
Bài toán 10: Có 3 hộp : Hộp thứ nhất đựng 2 quả cam, hộp thứ 2 đựng
2 quả quít hộp thứ 3 đựng 1 quả cam và 1 quả quít Nhng khi đóng hộpkín ngời ta dán nhầm các nhãn CC, QQ, CQ, cho nên các nhãn dán ởbên ngoài hộp không đúng với các quả đựng trong hộp Làm thế nào
để chỉo cần lấy ra 1 quả trong 1 hộp ( không nhìn vào trong hộp ) màbiết đợc chính xác các quả đựng trong 3 hộp ?
Giải : Lấy 1 quả trong hộp dán nhãn CQ ( không nhìn vào trong hộp )
- Nếu quả lấy ra là quả cam thì do nhãn dán nhầm nên hộp đó đựng 2trái cam, hộp dán nhãn CC đựng 2 trái quítvà hộp dánh nhãn QQ đựng
1 cam 1 quít
-Nếu quả lấy ra là quả quít thì hộp đó đựng 2 trái quít , hộp dán nhãn
QQ đựng 2 trái camvà hộp dán nhãn CC đựng 1 cam , 1 quít
Bài toán 11: Trong giỏ đựng 3 loại cam Hỏi không nhìn vào giỏ phải
lấy ra ít nhất bao nhiêu quả để có 2 quả cùng loại ?
Giải : Vì có 3 loại cam nên lấy ra 3 quả thỉ có thể 3 quả đó mỗi quả
thuộc một loại Nếu lấy ra ít nhất 4 quả thì sẽ đợc 2 quả cùng loại
Bài toán 12: Một hộp đựng 52 viên bi , trong đó có 13 viên màu xanh ,
13 viên màu đỏ , 13 viên màu vàng, 13 viên màu trắng Cần phải lấy ítnhất bao nhiêu viên bi ( không nhìn vào hộp) để chắc chắn trong số
đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu
Giải : Vì có 4 loại bi nên lấy : 6.4 +1 =25 viên bi thì chắc chắn có 7
viên bi cùng màu
Trang 10Bài toán 13:Bạn An uống 1/6 cốc ca cao rồi pha thêm sữa cho đầy cốc
sau đó lại uồng 1/3 cốc ca cao sữa rồi thêm sữa cho đaày cốc , lại uồngtiếp 1/2 cốc ca cao sữa rồi lại pha sữa cho đầy cốc Cuối cùng uồng hết
ca cao sữa này Hỏi bạn An đã uỗng nhiều Ca Cao hơn hay nhiều sữahơn ?
Giải : Lúc đầu bạn An có đầy cốc Ca Cao rồi cứ uống dần cho tới khi
hết nên lợng Ca Cao bạn An uống bằng nhiều lần đúng bằng lợng CaCao có từ đầu , tức là 1 cốc đầy Ca Cao
Bây giờ đến lợt sữa lần đầu khi uống 1/6 cốc Ca Cao rồi phathêm cho đầy cốc thì rõ ràng lợng sữa pha thêm đúng bằng 1/6 cốc để
bù lợng Ca Cao đã uống, lần thứ 2 lợng sữa pha thêm đúng bằng 1/3cốc và lần thứ 3 lợng sữa pha them đúng bằng 1/2 cốc Nh vậy lợngsữa bạn An đã uống trong 3 lần là :
Tức là bạn An đã uống 1 cốc sữa đầy
Vậy bạn An đã uỗng một lợng sữa lợng Ca Cao bằng nhau
Bài toán 14: Ba bà chung nhau mua mộy sọt xoài : Bà thứ nhất mua
1/3 số xoài cộng thêm 8 quả , bà thứ 2 mua 1/3 số xoài còn lại và cộngthêm 8 quả , bà thứ 3 mua 1/3 số xoài còn lại lần thứ 2 cộng thêm 8quả cuối cùng Hỏi mỗi bà đã mua bao nhiêu quả xoài ?
Giải : Hãy tính ngợc từ dới nên bằng cách tìm số xoài còn lại sau lần
thứ 2 là 8
2 3
= 12 (quả ) Sau đó tìm số xoài còn lại sau lần mua thứ
Trang 11nhất , rồi số xoài lúc đầu khi cha mua bán Bà thứ nhất mua 27 quả ,
bà thứ 2 mua 18 quả , bà thứ 3 mua 12 quả
Bài toán 15: Chuyện xa kể rằng : Một ngời đàn ông giàu có chết trong
lúc vợ đang có thai , đã để lại bài chúc th về chia gia tài , dặn vợ nếusinh con trai thì 2/3 gia tài cho con trai và 1/3 cho ngời mẹ ; Còn nếusinh con gái thì 1/3 gia tài cho con gái và 2/3 cho ngời mẹ
Oái oăm thay , ngời vợ lại đẻ sinh đôi , một trai và một gái ! Ngời vợphải chia nh thế nào để thực hiện đợc bài chúc th của chồng ?
Giải : Qua bức chúc th ta thấy ý muốn của ngời chồng là :
Nếu đẻ con trai thì phần gia tài con trai đợc chia gấp đôi của ngời mẹ ;nếu đẻ con gái thì phần gia tài của ngời mẹ lại gấp đôi của con gái
Nh vậy gia tài phải đợc chia thành 7 phần bằng nhau Với 2 đứacon sinh đôi thì con trai hởng 4/7 gia tài , con gái hởng 1/7 còn ngời
mẹ hởng 2/7 gia tài Rõ ràng phần của con trai gấp đôi phần của ngời
mẹ , phần của ngời mẹ gấp đôi phần của con gái
Bài toán 16: Trong 3 thúng cam có 200 quả Ta lấy 1/3 số cam của
thúng thứ nhất, 2/5 số cam của thúng thứ 2 , và 13/15 số cam của thúngthứ 3 thì đợc 70 quả Hỏi nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5
số cam của thúng thứ 3 thì đợc bao nhiêu quả ?
Giải : Theo đề bài ra ta có(
Trang 12cam của thúng 1 cộng với
Theo bài ra ta có số cam của cả 3 thúng là 200 quả Vậy 210 - 200 =
10 chính là 1/5 số cam của thúng 2 và 8/5 số cam của thúng 3 Đốichiếu với câu hỏi ta thấy 1/10 số cam của thúng 2 ( tức là 1/2 của 1/5 )
và 4/5 số cam của thúng 3 ( tức là 1/2 của 8/5) sẽ bằng 1/2 của 10 quảcam tức là 5 quả cam
Vậy nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúngthứ 3 thì đợc 5 quả
Bài toán 17:
Sau khi trả bài kiểm tra bốn bạn ánh, Bình, Cờng, Dũng nhận
đ-ợc 4 điểm 7 ; 8 ; 9 ; 10 (không nhất thiết theo thứ tự đó)
Trả lời câu hỏi ai đợc điểm mấy các bạn ấy trả lời nh sau:
ánh: Tôi đợc 9, Bình đợc 10
Bình: Tôi đợc 9, Dũng đợc 8
Cờng: Tôi đợc 9, Dũng đợc 7
Dũng: Ba bạn tôi đều hay nói đùa Trong câu trả lời của mỗi bạn
có 1 phần đúng, 1 phần sai Theo câu trả lời thành thật của Dũng hãytìm số điểm của mỗi bạn
Giải: Để tiện suy luận ta lập 1 bảng trong đó I, II, III theo thứ tự
là câu trả lời của ánh, Bình, Cờng
Trang 13Trong câu trả lời của ánh có phần đúng, có phần sai Giả sử
“Phát triển tánh đợc 9 là đúng” Nh vậy ta thấy qua bảng Bình và Cờng đợc 9 làsai (các câu II và III) Do đó Dũng đợc 8 (câu II) và đợc 7 (câu III) là
đúng Vậy mâu thuẫn Dũng vừa đợc 8 lại vừa đợc 7 Nh vậy điều giả sử
“Phát triển tánh đợc 9 ” là sai Do đó câu trả lời của ánh (câu I) “Phát triển tBình đợc 10” là
đúng (in đậm trên bảng) Ta thấy qua bảng “Phát triển tánh và Bình đợc 9 ” là sai(câu I và câu II) và “Phát triển tDũng đợc 8” (câu II) là đúng “Phát triển tCờng đợc 9” (câuIII) là đúng còn “Phát triển tánh đợc 7”
Vậy số điểm của ánh, Bình, Cờng, Dũng theo thứ tự là 7;10;9;8
Biết rằng 3 câu trên chỉ có 1 câu là đúng còn 2 câu sai Hỏi vận
động viên nào về thứ mấy ?
Giải:
Trang 14Ta ký hiệu chẳng hạn M1 là Minh về nhất M2 là Minh về nhì Tấtcả có các khả năng sau:
Vậy Minh về nhất, Quang về nhì và Phơng về ba
Bài toán 19: cho 2 số nguyên dơng a và b Biết rằng trong 4
mệnh đề P, Q, R, S dới đây chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai:
P = “Phát triển ta = 2b +5” Q = “Phát triển ta + 1 chia hết cho b”
R = “Phát triển ta + b chia hết cho 3” S = “Phát triển ta + 3b là số nguyên tố”
1 Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong 4 mệnh đề trên (có giảithích)
2 Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dơng a, b thoả mãn 3 mệnh
đề đúng còn lại
Giải:
1 Nhận xét: a + b = 3b +5 và a + 7b = (a + b) +6b Do đó nếumệnh đề R đúng thì cả hai mệnh đề P và S đều sai (vô lý)
Vậy mệnh đề R sai còn mệnh đề P,Q,S đúng
2 a + 1 chia hết cho b a + 1 = nb với n z* mà a = 2b +5 b(n-2) = 6 b 1 ; 2 ; 3 ; 6 Để S đúng thì b 2 ; 6
Đáp số: (a,b) = (9;2 ) và (17;6)
Trang 15Bài toán 20: Cho A là số nguyên dơng Biết rằng trong 3 mệnh
đề sau đây P, Q, R chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai Tìm A ?
P = “Phát triển tA + 51 là bình phơng của 1 số tự nhiên”
y x y
3 ) không thể cùng đúng Do vậy chỉ cần xác định A sao cho các
Trang 16cặp sau (1 ; 4);
(2 ; 4); (3 ; 4) cùng đúng
Ta có: Cặp (1 ; 4 ) đúng nếu A = 10 hoặc 35
Cặp (2 ; 4 ) đúng nếu A = 46 Cặp (3 ; 4) đúng nếu A = 74
Đáp số: Có 4 số A = 10; 35 ; 46 ; 74 thoả mãn
Bài toán 22: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục
bằng hiệu giữa số đó và số viết theo thứ tự ngợc lại
Giải: Gọi số đó là ab = 10 a + b Số viết theo thứ tự ngợc lại là
Bài toán 23: Một hội thảo đợc tổ chức trong một căn phòng có ghế 4
chân và ghế đẩu 3 chân Biết rằng số ngời dự ngồi vừa hết chỗ và đếm
đợc cả thảy 39 chân Hỏi có bao nhiêu ghế 4 chân và ghế đẩu 3 chân ?
Số ngời dự là bao nhiêu?
Giải: Số chân đếm đợc trong đó có cả chân ngời Nếu số ghế 4 chân là
a, số ghế đẩu là b thì số chân ngời ngồi dự là 2 (a+b)
Cả thảy có 39 chân tức là : 4a + 3b +2(a+b) = 39 6a +5b = 39
Tức là a +5 (a+b) = 39 Thoả mãn với a = 4 ; b = 3 vậy có 4 ghế 4 chân,
3 ghế đẩu 3 chân và 14 ngời ngồi dự
Bài toán 24: Có 8 bạn đi chơi với nhau Biết rằng trong bất cứ nhóm 3
ngời nào của 8 bạn ấy cũng có 1 ngời quen với 2 ngời kia Chứng minh