skkn hướng dẫn học sinh giải bài toán xác suất trung học phổ thông nguyễn siêu

Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề cómặt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đàotạo quy định đây là một trong các nộ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT.

Người viết: Th.S Đỗ Thị Hoài

Chức vụ: Phó hiệu trưởng

Lĩnh vực: Toán học

Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Siêu

HƯNG YÊN – 3/2014

MỤC LỤC

DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố

3 Những bài toán tính xác suất khi phải xác định các biến cố

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một môn mới và có tính hấpdẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống Xác suất được ứng dụng rộngrãi trong nhiều nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và

kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các nghành kinh tế Trong trường phổthông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vàocác môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý

Đối với học sinh phổ thông chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vàodạy ở lớp 11 nên việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất là họcsinh rất bỡ ngỡ và thấy khó Việc giải bài toán xác suất liên quan đến đại số tổhợp và những bài toán liên quan đến công thức xác suất là học sinh chưa phânbiệt được và hay bị nhầm lẫn

Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề cómặt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đàotạo quy định ( đây là một trong các nội dung ở câu số 7 của đề thi ), chính vì thếnên tôi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng cácloại toán xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ vàmới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạngbài tập trong chương trình phổ thông

II GIẢI QUYẾT VÂN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Xuất phát từ những bài toán trên thực tế đã hình thành nên môn xác suấtchính vì thế khi bắt đầu dạy lý thuyết cho học sinh tôi cũng dùng các ví dụ cụthể và cho học sinh tự làm ví dụ và ghi kết quả sau đó hình thành định nghĩa vàliên hệ với kiến thức trong tập hợp và trong đại số tổ hợp để dần dần hình thànhcông thức tính xác suất đơn giản

Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản củaxác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán

và tình huống cụ thể Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các

định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khaithác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa.Trên thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và pháthuy tính sáng tạo của học sinh.

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suấtđồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiềutình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:

“ Nâng cao năng lực của học sinh THPT để giải bài toán xác suất ”.

2 Thực trạng của vấn đề.

Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụngthực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụngthành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt Trong quátrình dạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạycho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo cáckhái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xungkhắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bàitập quen thuộc độc lập Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc

để giải quyết các tình huống cụ thể

Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học xácsuất và có công cụ giải quyết được một số dạng bài tập mà từ trước đến nay họcsinh cho là khó và đã áp dụng được vào các môn học liên quan

3 Mục đích yêu cầu:

- Giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm về xác suất, liên hệ và áp dụng được

vào các dạng bài tập liên quan

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏiđồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhàtrường và sở phát động

4 Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH NguyễnSiêu

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một

số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

a Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động

mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nókhông dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cóthể xảy ra

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu

của phép thử, ký hiệu Ω.

b Xác suất các biến cố:

Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp

hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan vớiphép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký

hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

( ) A

P A 



trong đó A và  lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω

- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1

- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0

và ΩA ΩB

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử

T Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu là

Cho biến cố A xác suất của biến cố đối A¸ là: P A( ) 1   P A( ) (3)

2.2 Quy tắc nhân xác suất

a Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B

Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp

các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA ΩB

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử

T Biến cố “ tất cả k biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra “, ký hiệu là A A A 1 2  k, được gọi là giao của k biến cố đó

b Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia

c Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

II CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập

Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu

không phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì học sinh (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu) không giải quyết được bài tập, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất, do đó tôi nhấn mạnh cho học sinh phân biệt được các loại biến cố bằng cách nhận biết ở dạng đơn giản trước.

Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Siêu.

Gọi A là biến cố “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là họcsinh giỏi Văn”

a A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?

b Biến cố A B là gì?

Hướng dẫn

a A và B là hai biến cố không xung khắc vì một học sinh có thể vừa học giỏiToán vừa học giỏi Văn

b Biến cố A B là “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn”

Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ

nhất được số chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ haiđược số chấm trên mặt con súc sắc là lẻ”

a Hai biến cố A và B độc lập hay không ?

b Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?

Hướng dẫn

a Hai biến cố A và B độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố

A không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cốB

b Giao của hai biến cố A và B là biến cố” lần gieo thứ nhất được số chẵn

và lần thứ hai được số lẻ”

Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường học

sinh hay dựa vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố Nhưng cũng có những bài toán xác đinh được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác suất, dưới đây là một ví dụ minh hoạ

P AB  Hỏi hai biến cố A và B có:

a Xung khắc hay không?

b Độc lập với nhau hay không?

Vậy A và B là hai biến cố độc lập

Bài tập tương tự: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết

A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C) Hãy mô tả các biến cố sau đây:

a AB b A B c.( )A B C d.A C.

DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất

1 Những bài toán biến đổi công thức xác suất và tính xác suất trực tiếp.

Đối với học sinh THPT vì mới được học xác suất nên các em thường ít đọc sách tham khảo và có nhiều học sinh cho rằng đây là dạng bài tập khó Trong khi áp dụng công thức thì hay bị nhầm nên thường bỏ không làm, thậm chí có học sinh không thuộc công thức để áp dụng, nên đòi hỏi giáo viên phải có biện pháp khắc phục tình trạng đó Nhằm giúp học sinh phân biệt đựơc công thức

áp dụng và cũng thành thạo khi áp dụng tôi đã chia nhỏ, lồng ghép khéo léo dạng này để học sinh hiểu rõ hơn, chủ động và thành thạo hơn khi áp dụng, tạo

động lực để học sinh có hứng thú học những dạng tiếp theo.

Bài 1: Gieo một con xúc sắc, gọi A là biến cố gieo được mặt có số chấm là chẵn

và B là biến cố gieo được mặt có số chấm là bội số của 2

Ta có A (AB) (  AB) vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra :của A và B

hoặc là sự xảy ra của A và không xảy ra của B

Mà AB và AB là hai biến cố xung khắc

10 5

P AB  P A B P A P B  

Bài 4: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B Xác xuất

để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là 1

7và máy dệt B

trong cùng thời gian trên là 1

2 Tính xác suất để người công nhân không phảican thiệp máy nào trong một giờ

5 với B là biến cố máy dệt B không hỏng

Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là

P(A B. )= 6 4.

7 5=24

35=0,69

Bài 5: Trong một nhà máy có 3 máy dệt Trong một ngày, xác suất để máy thứ

nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máythứ ba bị sự cố là 0,15 Tính xác suất để trong một ngày mà :

a Chỉ có một máy bị sự cố

b Chỉ có hai máy bị sự cố

c Không có máy nào bị sự cố

Hướng dẫn Cách 1 : Hướng dẫn học sinh làm trực tiếp

c Xác suất để không có máy nào bị sự cố là:

P3 = 0,950,900,85 = 0,727

Cách 2 : Hướng dẫn học sinh làm gián tiếp( Tức là sử dụng các biến cố đối)

2 Những bài toán tính xác suất khi biết xác suất của biến cố liên quan

Để áp dụng công thức tính thì phải yêu cầu học sinh biết cách sử dụng khái niệm biến cố và phân biệt mối quan hệ của các biến cố trong bài toán Khi chưa phân biệt đựơc thì việc tính toán sẽ khó khăn, học sinh không thể tiếp cận đến công thức được Với suy nghĩ này tôi đã chọn cách dạy phân tích bài toán để bước đầu học sinh biết tìm ra các biến cố, tìm mối quan hệ của các biến cố và tính được xác suất của biến cố theo yêu cầu.

Bài 1: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi toán, 10 học

sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý Chọn ngẫu nhiên một học sinh Hãytính xác suất để học sinh đó giỏi toán hay giỏi lý

Hướng dẫn

GV: Yêu cầu học sinh chỉ ra các biến cố, mối quan hệ các biến cố là gì?

Từ đó học sinh tự áp dụng công thức để tính.

A là biến cố học sinh giỏi toán

B là biến cố học sinh giỏi lý

Ta có: AB là biến cố học sinh giỏi toán và lý

A B là biến cố học sinh giỏi toán hay lý

Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại

lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác Tính xác suất để được lá bài là bích và

lá bài là cơ

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”

B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”

 

 

 

1 4

 

 

  Gọi X là biến cố lớp có đủ ánh sáng Ta có :

P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305

Bài 4: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2 Tính xác suất để trong 3

lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần

Hướng dẫn

A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia

A là biến cố người xạ thủ không bắn trúng bia

Ta có P(A) = 0,4 và P(A) = 1- 0,4 =0,6

Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là

P1 = 0,4 0,6 0,6 0,14  

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là P2 = P1

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là P3 = P1

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là

P = 0,14 + 0,14 + 0,14 = 0,42

Bài 5 :Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn Xác suất để trúng ba viên

vòng 10 là 0,008 , xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viêntrúng dưới vòng 8 là 0,4 Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau Tìm xác suất

để viên đạn đạt ít nhất 28 điểm

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố “ 1 viên trúng vòng 10” Khi đó từ giả thiết ta có :

0,008 = (P(A))3 => P(A) = 0,2 (1)

Gọi B là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9” C là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, D

là biến cố “ 1 viên trúng dưới vòng 8” Theo giả thiết ta có :

Bài 6: Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động

cơ ở cánh trái Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1 Còn mỗiđộng cơ bên cánh trái là 0,05, các động cơ hoạt động độc lập Tìm xác suất đểmáy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau đây

1 Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 3 động cơ làm việc

2 Máy bay chỉ bay được nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất một động cơlàm việc

Hướng dẫn

1 Xét trường hợp máy bay bay an toàn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc

Gọi A là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an toàn”, thì biến cố A

làmáy bay bay không an toàn, theo quy tắc biến cố đối ta có:

P(A) = 1 – P(A

) (1)Máy bay không an toàn nếu:

- Hoặc là cả 5 động cơ bị hỏng Theo quy tắc nhân xác suất để điều này xảy ravới xác suất: (0,1)3(0,05)2

- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh phải hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng.Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất :

P(B) = 1 – P(B

) (3)Máy bay bay không an toàn nếu:

- Hoặc cả ba động cơ bên phải bị hỏng, điều này xảy ra với xác suất là(0,1)3

- Hoặc cả 2 động cơ bên trái bị hỏng Điều này xảy ra với xác suất là (0,005)2.Theo quy tắc cộng ta có: P(B

) = (0,1)3+(0,005)2= 0,00035 (4)Thay (4) vào (3) ta có: P(B) = 1 – 0,00035 = 0,9965

Bài 7: Một bình đựng 5 bi trắng và 4 bi đỏ Ta lần lượt lấy một bi 3 lần liên tiếp

theo luật: nếu bi lấy được là đỏ thì trả lại bi này vào bình còn nếu lấy được bitrắng thì không trả lại bi này vào bình Gọi Ek (1k3) là biến cố chỉ được bitrắng trong lần lấy thứ k

 5 9

 =100

729

Gọi F là biến cố chỉ lấy đựoc 1 bi trắng trong 3 lần lấy thì

F= E1 E2 E3 vơí E1, E2, E3 là ba biến cố đôi một xung khắc

Vậy P(F) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 5

-Việc xác định xác suất của các biến cố ( tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng xác suất biến cố đối.

- Và xác định xác suất của các biến cố trong các trường hợp mà biến cố đó xảy ra là biến cố hợp và biến cố giao.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của :

a Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”

(Đáp số: 7

8 )

b Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.” (Đáp số: 3

4 )

Bài 2: Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách thuê phòng, trong đó có 6

nam và 4 nữ Người quản lí khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người Tìm xác suấtđể:

1 Có 4 khách nam và 2 khách nữ.(Đáp số: 3

7 )

2 Có ít nhất 2 khách nữ.(Đáp số: 37

42 )

Bài 3: Một đoàn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách độc lập với nhau

chọn ngẫu nhiên một toa tàu Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách

lên tàu (Đáp số: 50

81)

Bài 4: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn

địa chỉ Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ (Đáp số: 5

8)

3 Những bài toán tính xác suất khi phải xác định các biến cố và không gian mẫu.

Khi phân tích công thức tính xác suất của biến cố thì đòi hỏi học sinh tìm được biến cố để xác định mối quan hệ của biến cố với các giả thiết ở bài toán

và nhằm đến mục đích cuối của công thức đó là tìm được không gian mẫu và không gian các kết quả thuận lợi Ở các dạng trên học sinh chỉ việc đọc kỹ và hiểu khái niệm là các em đã áp dụng công thức để tính, nhưng trên thực tế các bài toán xảy có rất nhiều giả thiết và các mối quan hệ ràng buộc của các biến

cố nhiều hơn nên tôi đưa ra cho học sinh một lớp các bài toán tính xác suất nhưng chú trọng tới việc xác định biến cố, không gian mẫu, không gian các kết quả thuận lợi kết hợp với các bài toán tổ hợp

Bài 1: Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời,

nhưng chỉ có 1 phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câutrả lời sai sẽ bị trừ đi 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họamột câu trả lời Tìm xác suất để :

1 Học sinh được 13 điểm

2 Học sinh đó bị điểm âm

C

5

1 5