SKKN Hướng dẫn học sinh THPT tiếp cận và giải bài toán xác suất

Sở giáo dục & đào tạo hà nội Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trường THPT Chuyên Nguyễn Hụê Độc lập – Tự Do – Hạnh Phúc đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008 – 2009 Sơ yếu lý lịch: - Họ tên: Lê Trung Tín - Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976 - Năm vào ngành: 1998 - Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Hụê - Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo: Chính quy tập trung - Bộ môn giảng dạy: Toán C Trimh độ ngoại ngữ: Tiêng Anh trình độ Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT tiếp cận giải toán xác suất Mở đầu 1/ Lý chọn đề tài Lí thuyết xác suất ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Chính lẽ lí thuyết xác suất đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT kiến thức ngành toán học quan trọng Để học tốt xác suất học sinh phải nắm vững khái niệm xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải toán tình cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình nâng cao môn Toán nhận thấy: đa số em chưa hiểu thấu đáo khái niệm như: không gian mẫu,biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…các em biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất để giải tình cụ thể Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh THPT tiếp cận giải toán xác suất” Nội dung đề tài gồm ba viết: Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải toán xác suất Bài 2: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải toán xác suất 2/ Mục đích yêu cầu Giúp học sinh nắm vững khái niệm quy tắc xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải toán tình cụ thể 3/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 11 - Đối tượng nghiên cứu: khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình SGK nâng cao môn toán lớp 11 4/Nhiệm vụ nghiên cứu a) Trình bày hệ thống kiến thức xác suất b) Hưóng dẫn học sinh giải toán xác suất số tình cụ thể 5/Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải toán học sinh c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán lớp trước Nội dung Bài Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải toán xác suất Bài học giảng dạy tiết thứ 35 theo PPCT lớp 11 THPT môn toán nâng cao 1/Hướng dẫn học sinh tiếp giải toán xác suát có không gian mẫu mô tả cụ thể : Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu biến cố trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuân lợi biến cố, công thức xác suất cổ điển sau phân tích hướng dẫn em làm tập sau: Bài 1: Gieo đồng thời hai xúc sắc Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai xúc sắc’’ (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 6)  (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 6)    Ω = Không gian mẫu:   gồm 6.6=36 phần tử   (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 6)  Xét biến cố A: tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc Tập Ω A kết thuận lợi A : Ω A = { (2, 6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4)} ΩA = Xác suất A: PA = 36 Cho học sinh giải tập sau : Bài 2: Một máy bay có phận A, B, C, D đặt liên tiếp Máy bay rơI có viên đạn trúng vào phận phận kề trúng đạn Tìm xác suất để máy bay rơi trường hợp: a/ phận có diện tích máy bay trúng hai viên đạn b/ Các phận B,C, D có diện tích nửa diện tích phận A máy bay trúng hai viên đạn Hướng dẫn học sinh: a/ Đánh số phận A,B,C,D 1,2,3,4 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4)    Không gian mẫu: Ω =   gồm 4.4=16 phần tử (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4)    Xét biến cố A: máy bay rơi Tập Ω A kết thuận lợi A : Ω A = { (1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (1, 2), (2,1), (3, 4), (4,3)} Ω A = 10 Xác suất A: PA = Phần b/ hướng dẫn học sinh thể không gian mẫu dạng khái quát em tiếp cận với không gian mẫu trừu tượng hơn: b/ Đánh số phận A1, A2 ,B,C,D 1,2,3,4,5 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: Ω = { ( x, y ) :1 ≤ x ≤ 5;1 ≤ y ≤ 5; x ∈ N , y ∈ N } gồm 4.4=16 phần tử Xét biến cố A: máy bay rơi Tập Ω A kết thuận lợi A : Ω A = { ( x, x) :1 ≤ x ≤ 5, x ∈ N } ∪ { ( x, x + 1) :1 ≤ x ≤ 4, x ∈ N } ∪ { ( x + 1, x) :1 ≤ x ≤ 4, x ∈ N } ∪ { (1,3), (3,1)} Ω A = + 2.4 + = 15 Xác suất A: PA = 15 = 25 5 2/Hướng dẫn học sinh tiếp cận toán xác suát có không gian mẫu mô tả trừu tượng : Trước hết hướng dẫn em làm tập sau: Bài 3: Có 10 nười gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tìm xác suất để có nam nữ chọn Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên người từ 10 người’’ Có C106 cách chọn người từ 10 người suy không gian mẫu: gồm C106 phần tử Xét biến cố A: có nam nữ chọn Có C64 C42 cách chọn nam nữ nên Ω A = C64 C42 C64 C42 = Xác suất A: PA = C106 Cho học sinh giải tập sau : Bài 4: Có em bé lên đoàn tàu lượn gồm toa Mỗi em bé độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tìm xác suất để toa có người, toa có người, toa lại Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Xếp người lên đoàn tàu toa’’ Mỗi nười có cách chọn toa nên có 44 cách xếp người lên đoàn tàu toa suy không gian mẫu: gồm 44 phần tử Xét biến cố A: toa có người, toa có người, toa lại Số cách chọn toa có người, toa có người, toa lại A42 , số cách chọn người chung toa C43 , Ω A = A4 C4 A42 C43 Xác suất A: PA = = 44 16 Bài 5: Tìm xác suất để 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu: gồm 1212 phần tử Xét biến cố A: 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác Ω A = 12! Xác suất A: PA = 12! 1212 Yêu cầu học sinh nhà giải tập: Bài 1: Gieo đồng thời ba xúc sắc Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc 11 Bài 2: Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để chọn cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Bài 3: Tại khách sạn tuần có đám cưới Tìm xác suất để ngày có đám cưới Bài 4: Một nước có 50 tỉnh, tỉnh có đại biểu Quốc hội Chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu để thành lập uỷ ban Tính xác suất để tỉnh có đại biểu uỷ ban Bài 5: Xếp ngẫu nhiên cầu khác vào hộp khác Tìm xác suất để hộp thứ có cầu, hộp thứ hai có cầu, hộp thứ ba có cầu Bài Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải toán xác suất Bài học giảng dạy tiết thứ 37,39 theo PPCT lớp 11 THPT môn toán nâng cao 1/Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc công xác suất toán tìm xác suất: Trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm biến cố hợp, biến cố xung khắc, quy tắc cộng xác suất sau học sinh phân tích giải toán sau: Bài 1: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tìm xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm C198 phần tử Gọi A biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, Ω A = C8 = Gọi B biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, B Ω B = C14 Gọi C biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, C ΩC = C13 Gọi D biến cố học sinh chọn thuộc lớp C, B Ω B = C11 A,B,C,D biến cố xung khắc A ∪ B ∪ C ∪ D biến cố học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Vậy xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp bằng: P( A ∪ B ∪ C ∪ D ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) + P ( D ) = C148 C138 C118 = + + + C19 C19 C19 C19 Giúp học sinh đưa nhận xét : Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thànhnhiều nhóm ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , … , An xung khắc tương ứng Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tìm xác suất biến cố A 2/Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc nhân xác suất toán tìm xác suất: Trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm biến cố giao, biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất sau học sinh phân tích giải toán sau: Bài 2: Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng B 10 lần bắn Tìm xác suất để mục tiêu không trúng đạn 10 Hướng dẫn học sinh: Gọi A1 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ P( A1 ) = Gọi A2 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai P( A2 ) = 10 10 A1, A2 độc lập A = A1 ∩ A2 biến cố A bắn trượt hai lần bắn P ( A) = P( A1 ).P ( A2 ) = ( ) 10 B = B1 ∩ B2 ∩ B3 biến cố B bắn trượt ba lần bắn P ( B ) = P( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 ) = ( )3 10 A, B độc lập A ∩ B biến cố mục tiêu không trúng đạn 32 P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) = 10 Giúp học sinh đưa nhận xét : Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thoả mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , … , An độc lập tương ứng Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tìm xác suất biến cố A 3/Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối toán tìm xác suất: Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm biến cố đối, công thức tìm xác suất biến có đối sau học sinh phân tích giải toán sau: Bài 3: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tìm xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm C124 phần tử Gọi A biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, lớp B, lớp C Ω A = C52C41C31 + C51C42C31 + C51C41C32 A biến cố học sinh chọn thuộc vào không hai lớp C52C41C31 + C51C42C31 + C51C41C32 P( A) = − C124 Bài 4: Một máy bay có phận A, B, C chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Máy bay rơi có viên trúng vào A, viên trúng vào B, viên trúng vào C Tìm xác suất dể máy bay rơi máy bay trúng viên đạn Hướng dẫn học sinh: 10 Gọi A biến cố máy bay không rơi máy bay trúng viên đạn A biến cố có viên trúng B, viên trúng C A = ( B1 ∩ B2 ∩ C ) ∪ ( B1 ∩ C ∩ B2 ) ∪ (C ∩ B1 ∩ B2 ) P( A) = 3P( B1 ).P ( B2 ) P (C ) = 3.0,552.0,3 A biến cố máy bay rơi máy bay trúng viên đạn P( A) = − 3.0,552.0,3 = 0,728 Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm khác ta nên sử dụng biến có đối để lời giải đơn giản 4/Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải toán xác suất : Cùng học sinh phân tích toán để đưa biến cố cần xem xét thành biến cố hợp biến cố có xác suất Bài 5: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng sáng Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng Hướng dẫn học sinh: bóng có xác suất bị cháy 0,25, bóng có xác suất sáng 0,75 Gọi A1 biến cố bóng sáng bóng tối, A1 biến cố hợp C6 biến cố 4 con, P ( A1 ) = C6 0, 75 0, 25 Gọi A2 biến cố bóng sáng bóng tối, A2 biến cố hợp C6 biến cố con, P ( A2 ) = C6 0, 75 0, 25 5 11 6 Gọi A3 biến cố bóng sáng P ( A3 ) = C6 0, 75 A = A1 ∪ A2 ∪ A3 bién cố lớp học đủ ánh sáng A bién cố lớp học không đủ ánh sáng P ( A) = − P ( A) = 0,8305 Bài 6: Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008, xác suát để viên trúng vòng 0,15, xác suát để viên trúng vòng 0,4 Tìm xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Hướng dẫn: Gọi A1 biến cố viên 10, viên 9, A1 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A1 ) = C31.0, 2.0, 252 Gọi A2 biến cố viên 10, viên 9, A2 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A2 ) = C31.0, 2.0, 25 Gọi A3 biến cố viên 10, viên 8, A3 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A3 ) = C31.0, 2.0,15 Gọi A4 biến cố viên 10, P( A4 ) = 0, 008 A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 bién cố xạ thủ đạt 28 điểm P ( A) = 0, 0935 Yêu cầu học sinh giải tập: Bài 7: 12 Tại thành phố tỉ lệ người thích bóng đá 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người Tìm xác suất để có người thích bóng đá 5 Đáp số: P = C12 0, 65 0, 35 = 0, 0591 Bài 8: Gieo đồng thời xúc sắc Bạn thắng có xuất lần chấm Tìm xác suất để ván chơi bạn thắng ván Đáp số: P = C5 ( 25 2 25 ) ( ) + C54 ( ) ( ) + ( )5 27 27 27 27 27 Bài Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , câu có 56 phương án trả lời có phương án Mỗi câu trả lời điểm, mõi câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn ngấu nhiên Tìm xác suất để bị điểm âm 5 5 12 11 2 10 Đáp số: P = C12 ( ) + C12 ( ).( ) + C12 ( ) ( ) = 0,5583 13 thực nghiệm Giải pháp Khảo sát thực tế: Trước thực đề tài , năm 2008 khảo sát chất lượng học sinh 11 PT2 thông qua kiểm tra viết gồm toán xác suất: Bài toán 1: Tìm xác suất biến cố cách sử dụng công thức xác suất cổ điển Bài toán 2: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải toán xác suất Kết sau: 90% học sinh biết cách giải tập 20% học sinh biết cách giải tập Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu Các bước thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá kiến thức khái niệm như: không gian mẫu,biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giải toán Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Kết sau thực đề tài: Sau thực đề tàâutị lớp 11 chuyên Hoá năm 2009 khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết gồm toán xác suất: Bài toán 1: Tìm xác suất biến cố cách sử dụng công thức xác suất cổ điển Bài toán 2: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải toán xác suất Kết sau: 100% học sinh biết cách giải tập 100% học sinh biết cách giải tập Chất lượng giải kĩ giải toán dạng tốt Giải pháp đề nghị : 14 Bài toán xác suất đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm THPT , hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Hệ thống hoá khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuân lợi biến cố, công thức xác suất cổ điển , giải thích thông qua ví dụ từ mô hình cụ thể đến mô hình trừu tượng Sau hướng dẫn học sinh Tìm xác suất biến cố cách sử dụng công thức xác suất cổ điển Nêu quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc để tìm xác suất số ví dụ điển hình, từ giúp học sinh rút nhận xét cách sử dụng quy tắc cách linh hoạt hợp lí trường hợp cụ thể Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Trên số ý kiến nhỏ qua trình giảng dạy Bài toán xác suất lớp 11 THPT Rất mong nhận góp ý thầy cô giáo em học sinh Xin chân thành cảm ơn 15 Tài liệu tham khảo Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2008 Bài tập Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2008 Mathlink.ro 16