SKKN Hướng Dẫn Học Sinh Khả, Giỏi Sáng Tạo Cá Bài Toán Mới Từ Bài Toán Gốc

www.huongdanvn.com PHO PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS TƠN QUANG PHIỆT =====***===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI TỐN GỐC GIÁO VIÊN: LÊ THANH HỒ THÁNG: 4/2008 Nàm hc 2007 - 2008 www.huongdanvn.com PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG Trường THCS Tôn Quang Phiệt HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC Người viết: Lê Thanh Hoà Giáo viên toán trường THCS Tôn Quang Phiệt Năm học: 2007 - 2008 www.huongdanvn.com I ĐẶT VẤN ĐỀ: 1.Lý chọn đề tài Ở trường THCS dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải toán đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học HS Để rèn luyện kỹ giải toán cho HS việc trang bò tốt kiến thức cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết toán để HS suy nghó tìm tòi kết sau toán Nhưng thật tiếc thực tế chưa làm điều cách thường xuyên Phần lớn GV chưa có thói quen khai thác toán thành chuỗi toán liên quan, giải toán dừng lại việc tìm kết toán Điều làm cho HS khó tìm mối liên hệ kiến thức học Cho nên bắt đầu giải toán HS phải đâu? cần vận dụng kiến thức nào? toán có liên quan đến toán gặp? Hình học không đơn ""Chỉ vẽ hình ra"".Nó đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng đức tính cần có người làm toán Các bạn tự hỏi, nhiều người tự sáng tạo nhiều toán lónh vực đại số, giải tích, số học, hình học lại hay chưa? Nếu xem xét cách nghiêm túc hình học khó tìm sáng tạo mà vấn đề dành cho hình học quan tâm mức Trong trình dạy toán bồi dưỡng HS giỏi toán thấy việc tìm tòi mở rộng toán quen thuộc thành toán mới, tìm cách giải khác cho toán để từ khác sâu kiến thức cho HS phương pháp khoa học hiệu quả.Qúa trình toán đơn giản đến tập khó là bước phù hợp để rèn luyện lực tư cho HS Một điều chắn việc tìm tòi mở rộng toán kích thích hứng thú học tập óc sáng tạo HS Từ giúp HS có sở khoa học phân tích , đònh hướng tìm lời giải cho ác toán khác Hơn củng cố cho HS lòng tin vào khả giải toán Chỉ thôi, nhen nhóm lên em tình yêu toán học, môn học coi khô khan Trong viết xin đưa toán gốcï để giới thiệu cách khai thác kết mở rông toán 2.Mục đích nghiên cứu Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vò bất ngờ thể rõ vẻ đẹp môn hình học, đặc biệt giúp phát triển khả tư sáng tạo học sinh, vấn đề quan tâm thường xuyên dạy học thầy cô giáo chắn đề tài kinh nghiệm bổ ích việc đào tạo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán Vì thực tế dạy học toán nhiều toán mà giải ta tìm nhiều ý tưởng hay độc từ sáng tạo nên chuỗi tập liên quan với nhau, tổng quát hoá toán khuôn khổ viết xin phép đưa toán mẫu để minh hoạ cho ý tưởng dạy học toán ""Dạy toán dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán"" 3.Đối tượng phạm vi áp dung: Đề tài viết trình dạy học trường THCS Tôn Quang Phiệt trường trọng điểm huyện nên có nhiều học sinh có khả tiếp thu học tập môn toán, học sinh ham học tìm tòi Việc thể đề tài thuận lợi www.huongdanvn.com BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp tỉnh nghệ an năm 2008) Cho đường tròn O đường kính AB dây cung CD( C,D không trùng với A,B) Gọi M giao điểm tiếp tuyến đường tròn C,D ; N giao điểm dây cung AC BD Đường thẳng qua N vuông góc NO cắt AD,BC E,F Chứng minh: a MN vuông góc với AB N' b NE = NF Lời giải : a.Gọi N' giao điểm AD BC, N'N vuông góc AB ta chứng minh M thuộc N'N Lấy M' trung điểm N'N ta dễ chứng minh M'D vuông góc DO M'C vuông góc CO => M' B' M giao điểm tiếp tuyến kẻ từ D,C => M' trùng M => MN vuông C góc AB D b CÁCH 1.(hình 1) F N Gọi B' điểm đối xứng b qua N B'A // NO => B'A vuông góc NE => B'E vuông góc AN => B'E // BF Từ dễ chứng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF E CÁCH 2.(hình 2) A B Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC O Từ đồng dạng tam giác: DAN CBN Lại có tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra: EOF cân O gócNHO = gócNEO = gócNIO = gócNFO => => NE = NF Hình Nhận xét: Sau giải toán thấy toán xây dựng thành toán khác mức độ khó N' Sau xin nêu số suy nghó đó: HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT (sáng tạo toán với giả thiết rộng ) 1.TÌNH HUỐNG1:Trước đưa toán GV cần đưa câu hỏi gợi mở để HS suy nghó phát vấn đề, ví dụ như: ? Hãy xác đònh xem GT toán giả thiết HẸP, thay GT RỘNG nào? ? với GT kết toán nào? Bài 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Các dây cung AC,BD cắt N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO, đường úthẳng cắt đường thẳng AD,BC E, F Chứng minh NE = NF N' Lời giải: (Hình 3) M C D F N I H E A B O Hình E D K N C B A O Gọi K trực tâm AEN NK = NB(do AK // ON; O trung điểm AB) => EK // BF (vì vuông góc với AC) Từ ta dễ chứng minh: EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF F Hình www.huongdanvn.com 2.TÌNH HUỐNG 2: Với thay đổi nhỏ GT ta có toán 1.1 toán mạnh Bây ta để ý đến vò trí điểm N giao điểm dây cung AC ; BD Để sáng tạo toán mới, ta thay GT N giao điểm AC; BD thành GT N giao điểm AD vàØ BC Với GT ta có toán sau: Bài1.2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB dây cung AD , BC cắt điểm N (O) Qua N kẻ đường vuông góc với NO, đường thẳng cắt đường thẳng BD, AC E, F Chứng minh : NE = NF Lời giải:(Hình 4) Lấy B' đối xứng với B qua N Khi B'A // NO => B'A ⊥ NF B'N vuông góc AF => N trực tâm B'AF => AN vuông góc B'F => BE // B'F (vì vuông góc với AN) E B'NF = BNE (g.c.g) Từ dễ dàng chứng minh được: nên => NE = NF 3.TÌNH HUỐNG 3: Cần ý toán gốc AB đường kính đường tròn xem GT HẸP, GT RỘNG xét AB dây cung ta có toán sau tổng quát toán 1.1 1.2 A Bài 1.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC, BD cắtnhau N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO , đường thẳng cắt đường thẳng AD, BC E, F Chứng minh NE = NF Lời giải: (Hình 5) kẻ OQ vuông góc AD OR vuông góc BC => Q,R trung điểm AD, BC Chú ý rằng: DNA đồng dạng CNB nên suy DNQ đồng dạng CNR => gócDQN = gócCRN => gócNQO = gócNEO (1) tứ giác EQON, FRNO nội tiếp nên: gócNQO = gócNEO gócNRO = gócNFO (2) EOF cân F => NE = NF Từ (1) (2) => gócNEO = gócNFO => A Bài 1.4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng AD, BC cắt N (O) Đường thẳng qua N vuông góc NO cắt đường thẳng AC, BD E,F Chứng minh: NE = NF B' N F D C B O Hình E D Q C N O R B Hình F F N E C D Hình P A Q O B Lời giải: (hình 6) Kẻ OP vuông góc AC ; OQ vuông góc BD tứ giác OQNE; OPNF nội tiếp nên ta có: gócNOF = gócNPF (1) gócNOE = gócNQE (2) NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q trung điểm AC; NQD => gócNQD = gócNPC hay BD nên => NPC đồng dạng gócNQE = gócNPF (3) từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOF kết hợp với NO vuông góc EF ta suy EOF cân O => NE = NF www.huongdanvn.com Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Các đường thẳng AD, BC cắt tai N Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt đường thẳng AB, CD E, F E Chứng minh : NE = NF Lời giải:(Hình 7) Kẻ OP vuông góc AB; OQ vuông góc CD ta có: tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp cho nên: gócNOF = gócNQF (1) gócNOE = gócNPE (2) Tứ giác ABCD nội tiếp nên: NCD đồng dạng NBA ( Góc N chung; gócNBA = gócNDC) Do P; Q trung điểm AB, CD nên: NQC đồng dạng NPA ( c.g.c) => gócNQC = gócNPA gócNQF = gócNPE (3) Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE => EOF cân tai O, kết hợp với ON vuông góc EF => NE = NF Bài 1.6: Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F Chứng minh : IE = IF Lời giải:(Hình 8) Kẻ OL vuông góc PM; OK vuông góc QN ta có tứ giác OIEL; OIFK nội tiếp => gócOLI = gócOEI gócOKI = gócOFI (1) IMP đồng dạng IQN L;K trung Từ đồng dạng điểm PM; QN nên => ILM đồng dạng IKQ => gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2) EOF cân tai O (3) Từ (1) (2) => gócOEI gócOFI => I trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4) Từ (3) (4) => IE = IF NHẬN XÉT: Bằng thay đổi GT toán gốc ta sáng tạo thêm toán cung bậc cao hơn, tổng quát Đưa nhận xét muốn nêu lên khẳng đònh toán bắt nguồn từ bản, biển phải bắt nguồn từ dòng sông HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2:( Sáng tạo toán hệ toán gốc) Bài 1.7: Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F Chứng minh: EM EP = FN.FQ N F C D Q A O P Hình B N O P K L A I E B F Hình Q M N P O E I F B A M Q Hình 8b Lời giải:(Hình 8b) Từ kết toán 1.6 ta có: IE = IF IA = IB => AE = FB AF = BE (1) Tứ giác AMBP nội tiếp nên EM.EP = EA.EB (2) Tứ giác ANQB nội tiếp nên: FN.FQ = FB.FA (3) Từ (1) => EA.EB = FA.FB (4) Từ (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ www.huongdanvn.com Bài 1.8: Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, B', C' điểm cung AB không chứa C cung AC không chứa B (O) B'C' cắt AI N, đường thẳng AI cắt BC M Chứng minh: IM = IN Lời giải: Gọi A' giao điểm AI (O) AM phân giác gócA A nên: MC MA + MB BC MB = = = = (1) N AC AB + AC AB + AC AB C' IM MB I = (2) BI tia phân giác ABM => IA AB AI Từ (1) (2) => IM = (3) M B AB'I cân B' B'N phân giác gócAB'I AI nên => NI = NA = (4) Từ (3) (4) => IM = IN B' O C Chú ý A' Hình HƯỚNG KHAI THÁC THỨ (Sáng tạo toán khó , cách giải cần sử dung kết toán gốc ) Bài 1.9: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC N, AC cắt BD N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt BD, AC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng AD, BC E', F', Chứng minh EE' = FF' Lời giải: (Hinh 10) Vẽ OT vuông góc BD OK vuông góc BC => TK // CD => gócBKT = gócBCD (1) Ta có gócOTN = gócOEN ( tứ giác OTEN nội tiếp) (2) gócN'Kx = gócOF'N' (vì tứ giác OF'N'K nội tiếp) (3) Vì gócBCD = gócNN'D (2) (Do tứ giác NCN'D nội tiếp) Từ (1) (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T => Tứ giác KNN'T nội tiếp =>gócNKN' = gócNTN' (4) Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 90 O F K T E Hinh 10 N C D F' (5) E' gócNTN' + góc OTN = 90 (6) Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7) Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8) Sử dụng kết toán 1.1 1.2 ta có OEF OE'F' tam giác cân O kết hợp với (8) ta có gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9) Do OE = OF; OE' = OF' nên với (9) suy ra: OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF' A B N' x www.huongdanvn.com HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo toán chứng minh đường thẳng đồng qui, chứng minh đường thẳng song song nhờ vận dung kết toán gốc Bài 1.10: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', Chứng minh đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui điểm O A I K B F N E C D F' E' N' Hình 11 Lời giải: cách 1: Gọi K giao điểm EE' FF' Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng Từ kết toán 1.9: OEE' = OFF' => gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp ý N trực tâm N'AB nên NN' vuông góc AB => gócON'N + gócN'OB = 90 (1) Trong tứ giác OKF'N' có: gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 360 => gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=270 (vì gócON'F'= 900 ) => gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 270 =>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =270 (2) gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 180 (3) (4) Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 90 Chú ý OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên: ON OF = (5) gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7) ON' OF' FOF' (c.g.c) Từ (5) (7) => ONN' đồng dạng => gócON'N = gócOF'F = gócOF'K (8) Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9) Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB EE'; FF' AB đồng qui www.huongdanvn.com b Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui Gọi giao điểm CD EF' I ADC Sử dụng đònh lý Menelauyt cho điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có: ID EA F'C = (19) IC ED F'A ED F'C FC E'B Từ (17) => = (20) EA F'A FB E'D Từ (19) (20) ta có: ID FC E'B = (21) IC FB E'D Hệ thức 21 với đònh lý đảo Menelauyt ta suy E'; I; F thẳng hàng từ suy E'F; EF', CD đồng qui I CÁCH (Tương tự cách giải toán 10) a Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui gọi K giao điểm FF' AB Theo đònh lý Menelauyt cho N' E' D E F' I C N F B O K A ABC điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có : Hinh 16 FB F'C KA = (22) FC F'A KB Tiếp tục sử dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác: FC EN' NA = (23) * CAN' điểm F; N; E ta có: FN' EA NC ED FN' NB *Với DBN' F; N; E ta có: = (24) EN' FB ND N'D E'N F'A = (25) Với AND điểm F'; E'; N' ta có: N'A E'D F'N N'C F'N E'B *Với BNC điểm F'; E'; N' ta có: = (26) N'B F'C E'N nhân vế (22);(23);(24);(25);(26) ta có: FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'C F'N E'B =1 FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'B F'C E'N NA NB N'D N'C ED E'B KA =>( ).( ) = (27) NC ND N'A N'B EA E'D KB BN N'D AC *Với AND điểm N'; B; C ta có: = (28) BD N'A NC AN N'C DB *Với BNC điểm D; A; N' ta có: = (29) AC N'B DN BN N'D AC NA N'C DB NB N'D NA N'C Nhân vế (28) (29) ta có: = => = (30) BD N'A DN AC N'B DN ND N'A NC N'B ED E'B KA = (31) EA E'D KB Hệ thức (31) với đònh lý đảo Menelauyt => điểm E'; E; K thẳng hàng từ suy đường thẳng EE';FF' AB đồng qui K b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui: Chứng minh tương tự cách TừØ (27) (30) ta có: www.huongdanvn.com Cách 2: 1.10 Gọi K giao điểm AB FF' để chứng minh EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E' thẳng hàng ABC với điểm K; Sử dụng đònh lý Menelauyt cho A F; F' thẳng hàng ta có: FB F'C KA = (1) FC F'A KB *Với CAN' điểm F; N; E ta có: FC EN' NA = (2) FN' EA NC * Với DBN' điểm F; N; E ta có: ED FN' NB E' = (3) EN' FB ND * Với ADN điểm F'; E'; N' ta có: N'D E'N F'A = (4) N'A E'D F'N O I K B F N E C D F' N' Hình 11 N'B F'N E'B = (5) N'C F'C E'N Nhân vế đẳng thức ta có: FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'B F'N E'B =1 FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'C F'C E'N NA NB N'D N'C ED E'B KA => ( ).( ) = (6) NC ND N'A N'B EA E'D KB BN N'D CA *Với AND điểm N'; B; C ta có: = (7) BD N'A CN AN N'C DB *Với BNC điểm D; A; N' ta có: = (8) AC N'B DN BN N'D CA AN N'C DB Nhân vế (7) (8) ta có: =1 BD N'A CN AC N'B DN NB N'D NA N'C ED E'B KA => = (9) ; Từ (6) (9) => = (10) ND N'A NC N'B EA E'D KB Hệ thức (10) với đònh lý đảo Menelauyt ta suy điểm K; E; E' thẳng hàng từ suy EE' ; FF' AB đồng qui K *Với BNC điểm F'; N'; E' ta có: www.huongdanvn.com Từ kết toán 1.9 chứng minh EE' = FF' ta ý EE'; FF' cặp cạnh đối tứ giác EE'F'F nên đưa toán sau: Bài 1.11:Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F'.gọi K giao điểm EE' FF' Chứng minh NN'// với tia phân giác góc E'KF' O A K B F N E C D Q P F' N' E' j Hình 12 Lời giải:(Hình 12) Sử dụng kết toán 1; 2; ta có: NE = NF; N'E' = N'F' EE' = FF', gọi P; Q trung điểm E'F EF' ta có: 1 NP // EE' NP = EE'; N'Q // EE' N'Q = EE' 2 1 NQ // FF' NQ = FF'; N'P // FF' N'P = FF' 2 từ suy : Tứ giác NQN'P hình thoi => NN' phân giác gócPNQ Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj tia phân giác gócE'KF' www.huongdanvn.com Bài 1.12: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', gọi K giao điểm EE' FF' Chứng minh CD, EF', E'F đồng qui Lời giải: ( Hình 12 ) Sử dụng kết 1.10 ta có EE'; FF'; AB F' đồng qui K Theo đònh lý Mene'lauyt cho tam N' giác ABC với điểm E'; E; K thẳng hàng ta E' có: KA E'B ED =1 (1) I C KB E'D EA D Theo đònh lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với F điểm F'; F; K thẳng hàng ta có: N E KA FB F'C =1 (2) A B KB FC F'A O K Từ (1) (2) ta có: Hình 13 FB F'C E'B ED = (3) FC F'A E'D EA E'B.FC F'C.EA => = (4) E'D.FB F'A.ED Gọi I giao điểm E'F CD áp dung đònh lý Menelauyt cho tam giác BCD với điểm E'; I; F thẳng hàng ta có: ID E'B FC =1 (5) IC E'D FB ID F'C EA Từ (4) (5) => = (6) O B IC F'A ED A Từ (6) đònh lý đảo Menelauyt đảo ta suy E N E; I; F' thẳng hàng Vậy đường thẳng E'F; CD; EF' đòng qui I F Hình 14 D R C Bài 1.13: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F Gọi P;Q;R;S trung điểm E'F; EF';EE'; FF' Chứng minh: PQ; RS; NN' đòng qui E' Q P S N' F' Lời giải: (Hình 14) Ta dễ chứng minh tứ giác NPN'Q PRQS hình bình hành nên suy NN'; PQ; RS cắt trung điểm đường => NN'; PQ; RS đồng qui www.huongdanvn.com HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo toán tứ giác nội tiếp Bài 1.14: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', gọi K giao điểm EE' FF' Gọi T giao điểm đường thẳng EF E'F' T Chứng minh tứ giác OKEF; OTF'F tứ giác nội tiếp F' N' E' C D F N E B A O K Hình 15 Lời giải: (Hình 15) EE'O = FF'O => gócEOE' = gócFOF' ; gócEE'O = gócFF'O (1) Sử dụng kết toán 1.9 ta có: Ta có : gócOEK = gócEE'O + gócEOE' (2) gócOFK = gócFF'O + gócFOF' (3) Từ (1) => gócEE'O + gócEOE' = gócFF'O + gócFOF' (4) Từ (2); (3); (4) => gócOEK = gócOFK (5) Từ (5) ý E;F phía so với KO nên tứ giác OKEF nội tiếp Cũng từ kết EE'O = FF'O tam giác EOF E'OF' tam giác cân O ta có kết sau: gócEOE' = gócNON' = gócFOF' (6) Tứ giác ONN'T có : gócONT = gócON'T = 90° => ONN'T tứ giác nội tiếp => gócNON' = gócNTN' (7) Từ (6) vàØ (7) => gócFOF' = gócNTN' = gócFTF' (8) từ (8) ý O, T phía so với FF' nên tứ giác OTF'F nội tiếp XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT BÀI 1.15 (tổng quát 1.10 1.12):(hình 16) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường chéo AC; BD cắt N; đường thẳng AD; BC cắt N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt đường thẳng AD; BC E; F Đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD; AC E'; F' Chứng minh rằng: a Các đường thẳng EE'; FF'; AB đồng qui b Các đường thẳng E'F; EF'; CD đồng qui E' N' D E F' I C N F B O A K Hình 16 www.huongdanvn.com Lời giải:CÁCH (Hình 16) a.Chứng minh EE'; FF' AB đồng qui Gọi K giao điểm FF' AB, ta chứng minh K, E; E' thẳng hàng Sử dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác ABC; ADB; F'NE'; AN'C KB F'A FC =1 (1) *Với ABC điểm K; F; F' thẳng hàng ta có: KA F'C FB N'F' BE' CN *Với E'NF' điểm B ; C; N' thẳng hàng ta có: =1 (2) N'E' BN CF' BN CF' BE' CN = => = (3) Sử dụng kết toán thì: N'E' = N'F' nên từ (2) => CN BE' BN CF' DE NF BN' *Với EN'F điểm B; N; D thẳng hàng ta có: = (4) DN' NE BF Sử dụng kết toán thì: NE = NF nên từ DE BN' (4) => =1 (5) DN' BF DA BN' NC *Với AN'C điểm B; N; D thẳng hàng ta có: =1 (6) DN' BC NA ND AD AD NB NA = = => =1 (7) Từ đồng dạng tam giác AND BNC ta suy ra: NC BC BC NA NB AD NB NC Từ (7) => = (8) BC NA NC N'B NB Từ (6) (8) => = (9) E' N' N'D NC DE CF' Từ (3);(5) (9) suy ra: = (10) BF BE' BF BE' TỪ (10) => ( )2 = ( )2 (11) C D I DE CF' Từ kết toán 7b ta có: E ED.EA = FC.FB (12) N F F'C.F'A = E'D.E'B (13) FB EA B O Từ (12) => = (14) K DE FC A E'B F'A Từ (13) => = (15) F'C E'D Từ (11);(14);(15) sy ra: Hinh 16 E'B F'A FB EA = (16) F'C E'D DE FC EA E'D F'A FC Từ (16) => = (17) ED E'B F'C FB KB Nhân vế (17) với từ (1) ta có: KA KB EA E'D KB F'A FC = = (18) KA ED E'B KA F'C FB Hệ thức (18) với đònh lý đảo Menelauyt ta suy điểm K; E; E' thẳng hàng từ suy đưừng thẳng EE'; FF' AB đồng qui K F' www.huongdanvn.com BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 2: Cho góc xOy điểm I cố đònh tia phân giác Ot Đường thẳng d thay đổi qua I, cắt 1 tia Ox, Oy M, N Chứng minh giá trò biểu thức : + có giá trò không thay đổi d thay đổi qua I OM ON Lời giải: ( Hình 17) Qua I vẽ đường thẳng song song với Ox , Oy y đường thẳng cắt Ox, Oy D, E Khi N điểm D, E cố đònh OEID hình thoi Ta đặt OD = a không đổi Ta có: EI ID NI MI NI +MI + = + = =1 OM ON NM NM NM a 1 a + = => + = = const => OM ON a OM ON E I t O Từ cách giả toán ta có hướng mở rông toán sau: HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 1: Thay đổi vò trí điểm I cách lấy I điểm nằm góc xOy ta có toán sau: Bài toán 2.1: Cho góc xOy điểm I cố đònh nằm miền góc xOy Đường thẳng d thay đổi qua I cắt Ox , Oy M, N Qua I vẽ đường thẳng song song với Ox , Oy, chúng cắt Ox, Oy D, E OD OE Chứng minh biểu thức: + có giá trò không đổi OM ON LỜI GIẢI: (Hình 18) Bạn đọc giải toán cách giải toán OD OE + = => (đpcm) Kết là: OM ON HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 2: Thay đổi vò trí I cách lấy I điểm nằm góc xOy Bài 2.2: Cho đường thẳng xx' yy' cắt O x' điểm I cố đònh nằm góc xOy Đường thẳng d thay đổi qua I cắt tia Ox, Oy M, N Qua I vẽ đường thẳng song song với xx' yy' chúng cắt xx', yy' D, E OE OD có giá trò không Chứng minh biểu thức: OM ON đổi Lời giải: (Hình 19) OD OE IE ID IN IM Ta có: = = = -1 OM ON OM ON NM NM y' OE OD = -1 => OM ON D M Hình 17 x d y N E I O D M Hình 18 x d d y I D E N O M Hình 19 HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 3: Lật ngược vấn đề toán gốc ta có toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố đònh sau: Bài 2.3: 1 Cho góc xOy Đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox, Oy M, N Biết giá trò biểu thức + có giá trò OM ON không đổi d thay đổi Chứng minh d qua điểm cố đònh x www.huongdanvn.com Lời giải:(Hình 20) 1 Gỉa sử: + = (1) (a > cho trước) OM ON a Lấy D Ox cho OD = a OD < OM Qua D kẻ song song với Oy cát MN I Lấy E Oy cho OE = ID OEID hình bình hành OD OE OE 1 áp dụng kết 2.1 ta có: + = => + = = (2) OM ON OM OD.ON OD a 1 OE OE + = + => = => OE = OD (3) Từ (1) (2) => ON OM OD.ON OD OM Hệ thức (3) với ý D cố đònh ta suy E cố đònh => I cố đònh ( OEID hình bình hành) đường thẳng d qua điểm cố đònh I Sâu chút từ 2.3 ta đưa toán tông quát sau: Bài 2.4 Cho góc xOy đường thẳng d thay đổi cắt Ox, Oy M, N k + có giá trò không đổi Gỉa sử tồn số thực k cho ON OM O Chứng minh d qua điểm cố đònh Lời giải: (Hình 20) Hình 20 d N E I D k + = (1) (a > cho trước) ON a OM Lấy D Ox cho OD = a OD < OM Qua D kẻ song song với Oy cát MN I Lấy E Oy cho OE = ID OEID hình bình hành OD OE OE 1 áp dụng kết 2.1 ta có: + = => + = = (2) OM ON OM OD.ON OD a k OE OE + = + => k = => OE = K.OD (3) Từ (1) (2) => ON OM OD.ON OD OM Hệ thức (3) chứng tỏ E cố đònh Hình bình hanh OEID có E, O, D cố đònh nên I điểm cố đònh Tương tự cách giải 2.3 ta đặt x HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 4: Thay giả thiết góc xOy tam giác ABC điểm cố đònh I nằm tam giác ABC ta có toán sau: Bài 2.5 Cho tam giác ABC I giao điểm đường phân giác trong, đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh AB, AC tia CB M, N, P Chứng minh giá trò AB AC BC biểu thức: + có giá trò không đổi d thay đổi AM.BM AN.CN BP.CP qua I Lời giải: (Hình 21) Qua I vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác ABC chúng cắt AB,BC,CA G, F, E, S, R, K Khi ta có AGIK, BEIF, CRIS hình thoi Ta có: gócBMP = gócFMI > gócMBI = gócIBE = gócBIF > gócFIM = gócBPM Suy ra: BP > BM Đặt AG = a; BE = b; CR = c áp dụng kết bàitoán gốc 2.2 2.3 ta có: 1 1 1 1 + = ; + = ; = AN a CN CP b BM BP c AM P B Cộng vế đẳng thức ta có: 1 1 1 1 + + + + = + + AM AN CN CP BM BP a b c 1 1 1 1 => ( + )+( + )+( )= + + AM BM AN CN CP BP a b c AB AC BC 1 => + = + + = Const AM.BM AN.CN BP.CP a b c M y A K G I F d N R M E Hình 21 S C www.huongdanvn.com HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 5: Đặc biệt hoá 2.5 cách cho tam giác ABC tam giác có cạnh a ta có toán sau Bài 2.6 Cho tam giác ABC cạnh I giao điểm đường phân giác, đường thẳng d thay đổi qua I cắt AB, AC, tia CB M, N, P 1 + =1 a.Chứng minh: AM.BM AN.CN BP.CP 1 + + =2 b.Chứng minh: IN2 IP2 IM2 * Bạn đọc tự giải theo cách giải 2.5 Bài 2.7 Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d thay đổi cắt đường thẳng AB, AD, AC tai M, N, P AD AC AB + = Chứng minh rằng: AN AP AM A F d M B G N P C D Hình 22 www.huongdanvn.com PHẦN KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC RÚT RA KẾT LUẬN : Qua phần nội dung trình bày ta thấy việc khai thác tập học sinh : -Được củng cố hệ thống kiến thức nâng cao -Được phát triển tư duy, kỹ sáng tạo -cảm thấy hứng thú trình học tập -Tự tin phải đối mặt với toán khó, toán lạ -Không xem thường toán toán đơn giản bắt đầu sáng tạo -Có thái độ tích cực học tập toán, say sưa tìm tòi khám phá góc khuất toán để sáng tạo nên tập -Kiến thức toán nâng cao BÀI HỌC RÚT RA: *Đổi dạy học trình, song giáo viên cần có ý thức tìm tòi phương pháp dạy học phù hợp với loại tập đôi tượng HS theo phương pháp dạy học lấy HS làm trung tâm, tích cực hoá hoạt động HS trình học tập *Học sinh THCS độ tuổi thiếu niên, khả tư duy, khái quát hạn chế Do đứng trước toán khó việc tìm lời giải khó chưa nói đến việc sáng tạo Vì người giáo viên cần có đầu tư để có phương pháp dạy thích hợp để HS tự tin học tập sáng tạo *Chuyên đề""Rèn luyện lực tư khả sáng tạo thông qua việc khai thác kết toán gốc để sáng tạo toán mới"" ví dụ nhỏ minh hoạ cho ý tương không nhỏ theo nghóa đó.Qua chuyên đề mong muốn gửi đến đồng nghiệp chút kinh nghiệm nhỏ mà thực với HS giỏi toán trường THCS Tôn Quang Phiệt năm học 2007 -2008 *Cuối xin tóm lại điều quan trọnh nhất: ""Trong sống dạy học toán tầm thường toán tầm thường cả, trước toán dành thời gian nắm bắt yếu tố vàø đònh hướng suy nghó, đừng cảm nhận nhiều"" Thiết nghó kinh nghiệm dạy học môn toán./ www.huongdanvn.com PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP TRƯỜNG A ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI B ĐỀ NGHỊ: Thay mặt hội đồng xét SKKN www.huongdanvn.com PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP HUYỆN A ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI B ĐỀ NGHỊ: Thay mặt hội đồng xét SKKN