Tác giả: Lê Đình Mẫn Giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HỌC CÁCH TƯ DUY QUA LỜI GIẢI) QUẢNG BÌNH 2016 22/07/2016 mail: ldman87@gmail.com 0.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY 0.1 Kỹ thuật tạo vết đám mây Ví dụ 0.1.1 Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 1 + + 2 +b b +c c + a2 Lời giải Không giảm tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c, phép biến đổi tương đương ta có đánh giá đây: 1007 • a2 + c2 ≤ a + c ; 2016 1009 2 •b +c ≤ b+ c ; 2016 1007 1009 • a2 + b2 ≤ a + c + b+ c ; 2016 2016 1009 1007 c, y = b + c ⇒ x + y = a + b + c = Khi Đặt x = a + 2016 2016 P≥ 1 1 x2 + y2 3( x2 + y2 ) + + = + + x2 + y2 x2 y2 x2 + y2 4x2 y2 4x2 y2 Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức AM − GM thu kết P≥ 3( x + y)2 3( x2 + y2 ) ≥ + + = + = 10 xy 4x2 y2 ( x + y)2 x+ y 1 hay a = b = , c = P = 10 Vậy P = 10 2 Nhận xét Tôi chắn sau đọc xong lời giải có không bạn tự đặt chuỗi câu hỏi chẳng hạn như: Làm nghĩ lời giải vậy? Bằng cách để nghĩ đến đánh thế? Và điều 1007 1009 số , đưa vào nào? 2016 2016 Khi x = y = Đối với toán có nhiều lời giải khác tùy theo ý tưởng người giải toán Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian suy nghĩ định hướng lời giải, cố gắng tìm quy luật trình khám phá, tìm tòi lời giải cho toán Một kỹ thuật với với tên lạ "Tạo vết đám Lê Đình Mẫn mây" mà tác giả xin giới thiệu bạn đọc sau Kỹ thuật giúp có niềm tin định hướng đắn trình tìm lời giải cho toán bất đẳng thức Bây giờ, bắt đầu với ví dụ quen thuộc - bất đẳng thức AM − GM cho số không âm: Ví dụ 0.1.2 Với số thực không âm a, b, c, ta có a3 + b3 + c3 ≥ 3abc Phân tích hướng dẫn giải Giả sử ta xét trường hợp b = c Khi đó, bất đẳng thức trở thành a3 + 2b3 ≥ 3ab2 ⇔ ( a + 2b)( a − b)2 ≥ (∗) Việc xét trường hợp đặc biệt nhằm mục đích gì? Bài toán có nhiều cách giải đề cập đến cách giải sau: Theo bất đẳng thức AM − GM số không âm b3 + c3 ≥ ( ab)3 Do đó, ta cần phải chứng minh a3 + ( ab)3 ≥ 3abc (1) √ Thật vậy, đặt x = ab, x ≥ ta có (1) ⇔ a3 + 2x3 ≥ 3ax2 ⇔ ( a + 2x)( a − x)2 ≥ Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Nhận xét Quan sát bất đẳng thức (∗) (1) thấy chúng có cấu trúc Ví dụ 0.1.3 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh b c a + + ≥ b+c a+c a+b Phân tích hướng dẫn giải a 2b a Xét trường hợp b = c bất đẳng thức trở thành + ≥ (1) Đặt t = , t > 2b a + b b ta đưa chứng minh bất đẳng thức biến số t + ≥ t+1 t (t − 1)2 3 + = + ≥ ∀t > t+1 2t + 2 Trở lại toán a, b, c số dương tùy ý, ta viết Để ý Lê Đình Mẫn a a = b+c Với ý tưởng tương b+c 2 0.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY tự ví dụ 2, ta thử chứng minh b+2 c b c + ≥ a+c a+b a + b+2 c Thật may mắn bất đẳng thức tương đương với ( a + b + c)(b − c)2 ≥0 ( a + b)( a + c)(2a + b + c) với a, b, c dương Việc lại chứng minh bất đẳng thức 2(b + c) a + ≥ (2) b + c 2a + b + c Nếu đặt x = b+c bất đẳng thức (2) có cấu trúc dạng giống với bất đẳng thức ( ) Bài toán chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 0.1.4 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh 1 + + + ≥4 a b c a+b+c 1 + + a+b b+c a+c Phân tích hướng dẫn giải Cấu trúc toán gợi cho nhớ đến bất đẳng thức phụ quen thuộc 1 + ≥ ∀ x, y > x y x+y Nhưng toán ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức phụ Hãy để ý cho b = c ta thu kết 9 + + ≥ + ⇔ + ≥ (1) a b a + 2b a+b b a a + 2b a+b Bất đẳng thức (1) theo Cauchy − Schwarz Hoặc chứng minh 2( a − b)2 phép biến đổi tương đương thành ≥ a( a + b)( a + 2b) Vậy phép thử b = c nhằm mục đích gì? Qua phép thử này, định hướng nhanh cách ghép biểu thức sau: 1 (b − c)2 • + − = ; b c b+c bc(b + c) 4 • + − − a a+b+c a+b a+c 16 16 4 = + − + − − ; a a + b + c 2a + b + c 2a + b + c a + b a + c (2a − b − c)2 4(b − c)2 = − a( a + b + c)(2a + b + c) ( a + b)( a + c)(2a + b + c) Lê Đình Mẫn Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (2a − b − c)2 + − (b − c)2 ≥ (∗) a( a + b + c)(2a + b + c) bc(b + c) ( a + b)( a + c)(2a + b + c) Nếu ban đầu giả sử a = max{ a, b, c} ta có 4 ≤ < ( a + b)( a + c)(2a + b + c) (bc + bc + bc + bc)(2a + b + c) bc(b + c) Bài toán chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 1 Nhận xét Nếu sử dụng đánh giá + ≥ bất đẳng thức không b c b+c Phép thử b = c hiệu việc lựa chọn biểu thức ghép với Tuy nhiên toán số cách giải khác bạn đọc tự tìm tòi Ví dụ 0.1.5 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: xy + yz + zx + x2 + xy + y2 xy + yz + zx + y2 + yz + z2 xy + yz + zx ≥ 2+ √ 2 x + xz + z Phân tích hướng dẫn giải Đẳng thức có ( x, y, z) hoán vị (t, t, 0) với t số dương Thử gán z = 0, ta phải chứng minh bất đẳng thức x2 xy + + xy + y2 x + y y ≥ + √ (1) x Biến đổi bất đẳng thức dạng x+y √ xy −1 x+y + √ ≥ 2+ √ xy x+y Đặt t = √ ta có t ≥ xy t2 1 + t ≥ + √ (2) −1 Nhận thấy t > bất đẳng thức (1) hiển nhiên Xét t ∈ [2; 3] ta có (2) ⇔ (t − 2) − t+2 √ √ 3(t2 − 1)( t2 − + 3) Lê Đình Mẫn ≥0 0.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY t+2 3+2 √ √ = √ < ∀t ∈ [2; 3] nên √ ≤ √ 3( + 3) 3(t2 − 1)( t2 − + 3) bất đẳng thức (2) với t ≥ Trở lại toán ban đầu, ta giả sử z = min{ x, y, z} Khi Nhưng xy + yz + zx y+z xz[ y( x − z) + z( y − z)] ≥ ⇔ ≥ (đúng) 2 x + xz + z x+z ( x2 + xz + z2 )( x + z) x+z xy + yz + zx ≥ Ý tưởng tìm cách đánh 2 y + yz + z y+z giá để đưa đến cấu trúc tương tự bất đẳng thức (1) Có nghĩa hi vọng bất đẳng thức Tương tự ta có ( x + z)( y + z) xy + yz + zx ≥ 2 x + xy + y ( x + z) + ( x + z)( y + z) + ( y + z)2 Thật vậy, với giả sử z = min{ x, y, z} bất đẳng thức hoàn toàn chứng minh bất đẳng thức phép biến đổi tương đương Các đẳng thức phía xảy x = y > 0, z = Tiếp theo cần chứng minh bất đẳng thức sau xong: y+z + x+z x+z + y+z (x + z)2 ( x + z)( y + z) ≥ + √ (3) + ( x + z)( y + z) + ( y + z) Rất thú vị bất đẳng thức (3) có cấu trúc tương tự bất đẳng thức (1) Vậy toán xem chứng minh xong Bình luận Theo dõi ví dụ có lẽ bạn đọc hình dung kỹ thuật "Tạo vết đám mây" không? Thực kỹ thuật đơn giản dễ hiểu Bằng phương pháp đặc biệt hóa, làm lộ diện "vết" hướng đắn để giải toán Tuy nhiên nhiều toán, kỹ thuật tạo "vết" mờ mà người có kinh nghiệm bất đẳng thức tìm hướng giải trọn vẹn Bài tập rèn luyện Lê Đình Mẫn