Bạn mới tiếp xúc thế giới vô tận và huyền diệu của bất đẳng thức hoặc đã tiếp xúc nhưng vẫn còn thấy mơ hồ, trừu tượng. Đừng lo, hãy đến với một kĩ thuật cơ bản nhưng lại là một công cụ hữu hiệu giúp bạn sẽ có cài nhin sâu sắc và thú vị hơn với thế giới bất đẳng thức
Trang 1http://ebook.here.vn Tải miễn phắ đề thi,eBook, Tài liệu học tập
Chuyên đề:
KỸ THUẬT CHỌN đIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I BÀI TOÁN MỞ đẦU
Bài toán 1 Cho , 0
1
a b
>
+ ≤
2
P
ab
+
Giải
Dấu Ộ=Ợ xảy ra
1
1
2 Min 4 khi
2
a
b
=
=
+ =
Bài toán 2 Cho , 0
1
a b
>
+ ≤
2 1
P
ab
Giải
P
ab
Dấu Ộ=Ợ xảy ra
Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
Mặt khác
3
P
Dấu Ộ=Ợ xảy ra
1 2 1
+ =
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất ựẳng thức
+ Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
2ab =6ab+3ab? ? Làm
sao nhận biết ựược ựiều ựóẦ? đó chắnh là kỹ thuật chọn ựiểm rơi trong bất ựẳng thức
Và qua chuyên ựề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật Ộchọn ựiểm rơiỢ trong việc
Trang 2II LÝ DO CHỌN ðỀ TÀI
Cĩ thể nĩi tằng bài tốn bất đằng thức nĩi chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nĩi riêng
là một trong nhửng bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh ðại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ðT Trong
kỳ thi tuyển sinh ðại học thì bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khĩ nhất trong đề thi mặc
dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh
đầu là một ví dụ ðể giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải tốn bất đẳng thức”
III NỘI DUNG
1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
ðịnh nghĩa: a ≥ ⇔ − ≥ b a b 0
•••• a b a c
≥
⇒ ≥
≥
•••• a≥ ⇔ + ≥ + b a c b c
•••• a b a c b d
≥
⇒ + ≥ +
≥
≥ > ⇒ ≤
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
•••• Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực khơng âm a a1 2, , , (a n ≥ n 2) ta luơn cĩ
1 2
n n
n
n
≥
L
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
•••• Một vài hệ quả quan trọng:
n
i
n
L
L
+ Cho 2n số dương ( n∈Z n, ≥ ): 2 a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
•••• Bất đẳng thức BCS
Cho 2n số dương ( n∈Z n, ≥ ): 2 a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n
(a b1 1+a b2 2+L+a b n n)2 ≤(a12+a22 +L+a n2)(b12 +b22+L+b n2)
Dấu “=’ xảy ra 1 2
(quy ước nếu 0 0)
n
n
a
•••• Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Trang 3http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập
Cho hai dãy số a a1 2, , , và , , , với a n b b1 2 b n b i > ∀ =0 i 1,n ta luơn cĩ:
L L
L Dấu “=’ xảy ra 1 2
n n
a
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
( , , , ) ( , , , ) Max
( , , , ) : ( , , , )
D
( , , , ) ( , , , ) Min
( , , , ) : ( , , , )
D
3 Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thơng thường là đối xứng với các biến, và ta dự đốn dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1 Cho , 0
1
a b
>
+ ≤
, tìm GTNN của biểu thức 2 2
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta cĩ :
2ab+ ab≥ 2ab ab = Vậy P ≥4 2 2+ nên MinP =2(2+ 2)
Sai lầm 2:
Dấu bằng xảy ra
2 2
2
1
+ =
2
a= = vào ta được b P ≥7
7
MinP
2
a= = b Nguyên nhân sai lầm:
Trang 4Sai lầm 1: Học sinh chưa cĩ khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1
ab = ab + ab là do thĩi
quen để làm xuất hiện a2+b2+2ab=(a+b)2 4 2 2 1 4
2
1
ab
=
+ =
Dấu “=” bất đẳng thức khơng xảy ra ⇒ khơng kết luận được MinP =4 2 2+
2
a= = nên b
đã tách các số hạng và MinP =7 khi 1
2
a= = là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm b
sai ví dụ như (1−x)2 + ≥ , dấu bằng xảy ra khi x x x =1⇒Min(x−1)2+x=1??
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a b , ta dự đốn MinP đạt tại , 1
2
a= = , ta b
cĩ:
4 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2
1
+ =
Bài 2 Cho , 0
1
a b
>
+ ≤
S
Sai lầm thường gặp:
3
S
3
2
+
59
3
Nguyên nhân sai lầm:
3
1
+ =
Trang 5http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập
Lời giải đúng
Ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi 1
2
a= = , và ta thấy b a3+b3+3a b2 +3ab2 =(a+b)3 vì thế ta muốn xuất hiện (a+b)3; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 1 2
vậy:
+ + − + , ta khơng đánh giá tiếp được cho nên ta phải
áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3
4
S
Dấu bằng xảy ra khi 1
2
a= = b
Bài 3 Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
>
+ + =
P
Sai lầm thường gặp:
P
10
9
MaxP
Sai lầm 2:
P
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn
điểm rơi
2 2
2 9
1 1 1 4
= =
+ + =
, tức là khơng tồn tại ( , , ) : 10
9
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đốn MaxP đạt được tại 4
3
x= = = nên tách y z
các số 2x x x= + ra cho dấu bằng xẩy ra
Trang 61 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
16
P
≤ + + + + + + + + =
3
x= = = y z
2 4
+ +
16
P
Dấu “=” xảy ra khi
1 4
x= = = , suy ra: y z
1
4
x= = = y z
Nhận xét: Ta cĩ thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
>
+ + =
P
Với α β γ, , ∈N∗: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
số
,
α
α = + +144244L=3 Nếu
α β γ ∈ +, thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”
Bài 4 Cho , , 0
3
a b c
>
+ + =
3a+2b+3b+2c+3c+2a ≤3 33
Sai lầm thương gặp:
Ta cĩ: 31.1( 2 ) 1 1 ( 2 ) 2 2
mà 5 3 3> 3 ⇒ đề ra sai ? ?
Nguyên nhân sai lầm:
3
+ =
+ + =
, vậy P <5
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a= = = Vậy ta áp b c 1 dụng Cauchy cho ba số a+2 ,3,3b ta cĩ:
3
3
Trang 7http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập
Bài 5 Cho , , 0
1
x y z xyz
>
=
, chứng minh rằng:
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: P =
3
+ ≥
+ ≥
+ ≥
, suy
ra:
(1+y)(1+z)(1+x) 8≤ xyz = Vậy 8 3
2
P ≥ , dấu “=” xảy ra khi x= = = y z 1
Sai lầm 2: ta cĩ:
2
2 2
(1 ) 2 1
1
(1 ) 2 1
x
y y
z z
x
+
+
+
,
mặt khác x+ + ≥y z 33 xyz = ⇒ ≥ 3 P 0
Nguyên nhân sai lầm:
≥ > ⇒ ≤
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
1
xyz
= =
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi x= = = Vì vậy khi áp dụng Cauchy y z 1 cho
2
1
x
y
+ và
1 y
α
+ :
+
+
Ta cĩ:
2
2
2
1
1
x y
z
z x
+
+
+
Dấu “=” xảy ra khi x= = = y z 1
Trang 8Bài 1 Cho , , 0
1
x y z xyz
>
=
3 3
: Nếu 1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
Bài 2 Cho x y z, , là 3 số thỏa x+ + = , chứng minh rằng: y z 0
3 4+ x + 3 4+ y + 3 4+ z ≥ (đề tham khảo 2005) 6
Bài 3 Cho a≥2,b≥3,c≥ , tìm GTLN: 4 ab c 4 bc a 2 ca b 3
P
abc
=
Bài 4 Cho a b c là các số dương thỏa mãn , , 3
4
a+ + = b c
Chứng minh rằng:3a+3b+3b+2c+3c+3a ≤ (ðTK 2005) 3
Bài 5 Cho , , 0
1
a b c
>
+ + ≤
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
P
S
Q
Bài 6 Cho u2 +v2 = , chứng minh rằng: 1
2
Bài 7 Cho a b c là các số dương Tìm GTNN của: , ,
Q
=
+ +
(ðHQGHN 2001-2002)
Bài 8 Cho a b c dương thỏa , , abc = , tìm GTNN của biểu thức: 1
Q
Bài 9 Cho , , 0
1
x y z
>
+ =
P
− − (ðHNT 2001 – 2002)
Bài 10 Cho x y z, , là ba số dương và x+ + ≤ , chứng minh rằng: y z 1
Trang 9http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS
Bài 1 Cho x y z, , là ba số dương và x+ + ≤ , chứng minh rằng: y z 1
Nhận xét: chúng ta cĩ thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
Vậy P ≥3 2 ?
Nguyên nhân sai lầm:
1
+ + =
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
x= = = ; và biểu thức trong căn y z
2
1
y x
β
mãn:
2
1
9
x x
α
α = β = β ⇔ = β = , chọn α =1,β = 9
82
82
1 1 1
+ + = + + = nên ta tách:
+ +
Vậy P ≥ 82, dấu “=” xảy ra khi 1
3
x= = = y z
Bài 2 Cho
, , 0
1 1 1 1
x y z
+ + ≤
P
Giải
Trang 10Áp dụng hệ qua (1) ta cĩ:
z
+ + ≥
+ + , ta chọn α sao cho x= = = y z 3
2
2
2 2
2 2
P
+ + ≥
+ +
x= = = ⇒y z MaxP= x= = =y z
+
Bài tập áp dụng
Bài 1 Cho , , 0
1
a b c abc
>
2
Bài 2 Cho , , 0
1
a b c abc
>
, tìm GTNN của
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
P
Bài 3 Cho a b c d >, , , 0, tìm GTNN của
P
Bài 4 Cho
1
0, 1, 1
i n i i
x
=
> =
=
∑ , tìm GTNN của P= 1−x1+ 1−x2 +L+ 1−x n
Bài 5 Cho a b c > , chứng minh rằng: , , 0
IV THAY CHO LỜI KẾT
ðể làm rõ vai trị quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài tốn và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tơi xin nêu một phương pháp mới giải bài tốn sau:
Bài tốn: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luơn cĩ
3 3 sin sin sin
2
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam
giác đều
3
= = =
Vì A+ + = ta giảm bớt số biến bằng B C π sinC =sin cosA B+sin cosB A
P= A+ B+ C = A+ B+ A B+ B A, ta nghĩ đến:
Trang 11http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập
sin ,cosA A , ta nghĩ ngay ñến bất ñẳng thức
2
A= B= A= B= , Ta áp dụng Cauchy:
Ta có:sin sin 1 sin2 3 sin2 3
3