ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN ■ 1«»1» »m »Ị» 1ì* » #Ị» ^ rj» »ị» rỊ* ĐỂ TÀI M Ô H ÌN H TOÁN H Ọ C VÀ THUẬT TOÁN GIẢI s ố M Ộ T L Ớ P CÁC BÀI TOÁN BIÊN TRONG THỦY ĐỘNG L ự c HỌC, TRONG TRUYEN TẢI, K H U ẾCH TÁN VÀ ổ NHIEM m ôi trường MẢ SỐ: QG 04-29 CHỦ T R Ì: PGS.TS T rầ n Huy Hổ C Á C C Á N B Ộ T H A M G IA PGS.TS Nguyẽn Thúy Thanh, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội PGS.TS Trần Gia Lịch, Viện Toán học TS Phan Ngọc Vinh, Viện Cơ học ThS Lê Huy Chuẩn, ĐH Osaka, Nhật bủn PGS.TS Nguyễn Xuân Thao, Trường Đại học Thủy lợi Hà Nội TS Lê Văn Thành, Viện học TS Pham Thanh Nam, Viện học HÀ NỘI - 2006 I - MO C QUOC G ia Ị rpỤNG THC-NG tin ĩhu NU' viện BÁO CÁO TÓM TẮT Tên đề tài: Mồ hình tốn học thuật tốn giải số lớp tóan biên thủy động lực học, truyền tải, khuếch tán ô nhiễm môi trường Mã sơ: QG 04-29 Chủ trì: PGS.TS Trần Huy Hổ Các cán tham gia: PGS.TS Nguyen Thủy Thanh, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội PGS.TS Trần Gia Lịch, Viện Toán học TS Phan Ngọc Vinh, Viện Cơ học ThS Lê Huy Chuẩn, ĐH Osaka, Nhật PGS.TS Nguyễn Xuân Tháo, Trường Đại học Thủy lợi Hà Nội TS Lê Văn Thành, Viện học TS Pham Thanh Nam, Viện Cơ học Mục tiêu nội dung: Đồ tài nghicn cứu mơ hình lốn học số vấn dồ liên quan đốn bao vệ môi lrường: Vấn đồ truyền tải vật chất Irong nước, khơng khí xổi lở bờ bicn gia lăng nơi rừng ngập mặn dần bị phá hủy Đáy vân dề hôi sức quan trọng dặt ra, mà ca nước la dang Irong lliời kỳ cơng nghiệp hóa đại hóa nqành kinh tế Thực lc' phát Iricn kinh tố' Việt nam nước phút triển khác năm qua cho thây, nhữim lợi ích mà phát triển kinh tế đcm lại lúc vượt trội so với những người dân sinh sống vùng cụ thê phái gánh chịu VC mồi trường sống Ơ nhiẽm mơi trường đặt loán tất yếu cho phát triển kinh tế quốc gia Đề tài tập trung nghiên cứu vé mặt lý Ihuì vài mơ hình tốn học, nhằm mơ q trình truyền lái vật chất khơng khí, mơi trường nước Từ nghicn cứu tốn truyền tải nói trcn, chúng tơi nhận thày có liên quan chặt chẽ nhữne tượng xói lở bờ bicn với khu rừng ngập mặn Đó là: nơi rừng ngập mặn phái triển, dó có tượng xói lở bờ biển Bởi vậy, đề tài đề xuất mội mơ hình toán học nghiên cứu phát triển rừng ngập mặn thơim qua lan lỏa sóng hiên, đất, nước hạt tro nu khu vực có rừng Những kết chính: Giải số tóan dịng chảy hai chiều với số liệu giả định, từ xác định mức độ nhiễm mơi trường có chất thải từ nhà máy, xí nghiêp vận hành Xây dựng mơ hình toán học lan tỏa giống mội khu rừng ngập mặn giải số (với số liệu giả định) việc phát triển rừng ngập mặn Tình hình kinh phí Tổng kinh phí: 60.000.000VNĐ, chia làm hai năm: Năm 2004 cấp 30.000.000VNĐ, năm 2005 cấp 30.000.000VNĐ KHOA QUẢN LÝ CHỦ T RÌ ĐỂ TÀI TRƯỜNG ĐẠI H ỌC K HOA H Ọ C T ự NHIÊN SUMMARY Title of the Project: Mathematical model and numerical solving algorithsm for the boundary-value problems in hydro-dynamics, transporttation, diffusion and environmental polution N am e of leader: Prof.Dr Tran Huy Ho Index o f Code: QG 04-29 Members of Project: Prof.Dr Nguyen Thuy Thanh, HUS, VNU, Vietnam Prof.Dr Tran Gia Lich, Institute of Mathematics, Vietnam Dr Phan Ngoe vinh, Institute of Mechanics, Vietnam Ms Le Huy Chuan, Osaka University, Japan Prof.Dr Nguyen Xuan Thao, Hanoi University of Water Resourscs, Vietnam Dr Le Van Thanh, Institute of Mathematics, Vietnam Dr Pham Thanh Nam, Institute of Mathematics, Vietnam The Arms and Results Calculation of the hori/.oial iwo-dimcnsional unsteady flows by the mclhod OÍ characteristics In lliis problem, wc sludy the cluuaclcrislics form of the Iwo-dimcnsional Sainl-vcnant equation syatcm, llic supplcmalcry equations at ihc houndaics, Ihc method of characteristics for solving the equal ion system and some numerical experiments Determination of the plant locations for ensuring some cmvironmenlal crilcria We present Ihc algorithms for solving Ihc two-dimensional mailer propagation and its adjoint problems, the stability of the difference schemcs and the non-ncgalivc property of numerical solutions, ddetermination of Ihc plant locations so that some emvironmental criteria satisfied, and Ihc numerical cxperimenlsfor the test cases and for Halong Bav area The model simulate and prcdictcs Icndcncics of accrction, erosion, changes of the bottom topography in the coastal zone from Hoa Duan, Thuan An to Hai Duong, Thua Thien Hue Province The unsteady flow after dan breaking In this problem, we study the unsteady Jlows on the river and reservoirs, the discontinuous wave and unsteady flows after dam breaking, the numerical experiments for some test eases of natural Da river The asymptotic behavior of solutions for forest kincmatic model Wc also cosidcr the dynamic system for forest kincmatic model The results: One arcticlc published before this Project starting, three (3) articles to be published in 2006, 2007 and for preprints MỞ ĐẦU Đề tài nghiên cứu mơ hình tốn học số vấn đề liên quan đến bảo vệ môi trường: Vấn đề truyền tải vật chất nước, khơng khí xói lở bờ biển gia tăng nơi rừng ngập mặn dần bị phú hủy Đây vấn đề quan trọng đặt ra, mà nước ta dang thời kỳ cơng nghiệp hóa đại hóa ngành kinh tế Thực tế phát triển kinh tế Việt nam nước phát triển khác năm qua cho thấy, nhữne lợi ích mà phát triển kinh tế đcm lại lúc vượi trội so với những người dân sinh sống Irong vùng cụ thể phải gánh chịu vé mồi trường sống nhiễm môi trường đặt toán tất yếu cho phát triển kinh tế quốc gia Đề tài tập trung nghiên cứu mặt lý thuyết vài mô hình tốn học, nhằm mơ q trình truyền tải vật chất khơng khí, mơi trường nước Từ nghiên cứu lốn truyền tải nói trên, chúng tơi nhận thấy có liên quan chặt chõ tượng xói lở bờ biển với khu rừng ngập mặn Đó là: Ớ nơi rừng ngập mặn phát triển, có tượng xói lở bờ biển Bởi vậy, đề tài đề xuất mội mơ hình lốn học nghiên cứu phát triển rừng ngập mặn thông qua lan tỏa sóng biển, đất, nước hạt khu vực có rừng NỘI DUNG Đc tài hoàn thành mục liêu đề đạt nhũng kốl q sau đây: Tính tốn số cho dòng chảy hai chiều nằm nsang phương pháp đặc trưng Trong tốn này, chúng tơi nghiên cứu dạng đặc trưng hộ phương trình Saint-Venant, phương trình b ổ sung trốn bicn phương pháp đặc trưng đổ giai sơ nhữim plurm trình ctậl Xác định vị trí xáy dựng nhà máy, xí nghiệp để đảm bảo điểu kiện tiêu chuẩn môi trường Trong vấn đề này, chúng tơi giải tốn truyền tải, khuyếch tán vật chất mơi trườnc khí, xác định mức độ nhiễm khơng khí có nguồn nhà máy, xí nghiệp Từ vấn đề nghiên cứu trcn, xác định vị trí xây dựns xí nghiệp nhà máy trcn sỏ' điểu kiện phát triển kinh tế vùng đảm báo tiêu chuẩn môi trường cho phcp Mơ hình mơ dự báo xu thê' xói lở bờ biên nhữnc biến đổi địa hình tầng đáy bờ biển khu vực tỉnh Thừa Thiên Huế Đề tài đưa mơ hình mơ dự báo xu bồi tụ, xói lở bờ biển biến đổi địa hình đáy: Lan truycn sóng, dịng cháy vcn bờ sơng, dịng vận chuvển bùn cát, biến đổi địa hình đày bồi xói ngang bờ Thuật loán giái to n trê n b ằng phương pháp sai p h ân theo sơ đồ ngược biến đổi phương tr ìn h ba đường chéo, giải phương pháp tr u y đuổi theo trụ c tọa độ Phương pháp cho nghiêm gần sai sơ tích lũy nhỏ Đề tà i đề cập đến dịng chảy khơng ổn định trê n sơng, sóng khơng liên tục lũ lụ t vỡ đập tín h tóan trê n sơ" liệu giả định cho đập sông Đà Đề tà i nghiên cứu rừng ngập mặn Một mơ h ìn h p h t triể n rừ ng xây dựng Trên sở mơ hình đưa ra, đề tài xác định dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực rừng ngập mặn Xác định sô" điều kiện để rừng p h t triển bị diệt vong Về m ặ t đào tạo: Đề tà i nằm khuôn khổ Chương tr ìn h hdp tác giũa trưòng đại học trọng điểm ĐHQG H Nội Đại học Tổng hợp Osaka, N h ậ t Có luận án tiến sỹ toán học bảo vệ, vào th n g 12 năm 2006 N h ậ t H ọat động chung: Đề tài tổ chức t i trợ ba hội thảo khoa học, có hội thảo qc tế: + T háng 10-2004: Hội thảo qc tê ứng dụng tóan vấn đê môi trường + T háng 5-2005: Hội thảo tạ i Tam Đảo, Vĩnh Phúc + T háng 4-2006: Hội thảo tạ i Ba Vì, Hà Tây K ẾT LUẬN • Dề tà i đề cập đến số vấn để liên quan đến môi trường, Đây vấn tề thò điều kiện đ ấ t nước ta thờ kỳ gia tă n g tốc độ cơng nghiệp lóa đại hóa N hững vấn đề đưa giải p h ạm vi tề tài có ý nghĩa n h ấ t định m ặt lý th u y ế t thực tiễn, v ề m ặ t lý thuyết, :ây dựng sở toán học chứng m inh ch ặt chẽ k ết nêu Một sô' tịnh lý to án học chứng minh, đặc biệt toán rừ ng ngập nặn Về m ặ t thực tế, h n chế phạm vi nghiên cứu, kinh phí ;hả n ăn g n h â n lực, đề tài tín h to án trê n sở sô' liệu giả định Vì vậy, ihững tốn tru y ền tả i v ật chất nhiễm mơi trường cịn nhiều vấn ề bỏ ngỏ, chưa giải Tuy nhiên, kết b a n đầu m ặt □án học, mở hướng nghiên cứu tiếp theo, n h ằ m đáp ứng n h u cầu em kết nghiên cứu khoa học b ản vào thực tiễn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đ ề cương n g h iê n c ứ u đ ề t i N C K H đặc b iệ t cấp Đ i học Quốc G ia H Nội n ă m 2004 A ts u s h i Y agi, M a th e m a t ic a l A n a ly sis for N o n lin e a r D ifu sio n S y ste m , O sa k a U n iv e rs ity , J a p a n , 2005 (to be p u b lish ed ) CÁC ẤN PHẨM 393 A d v a n ces in M a th e m a tic a l S c ie n ce s a n d A p p lica tio n s GAKK0T0SH0 T O K Y O JAPAN V ol 16, N o (2 0 ), p p 93-409 D Y N A M IC A L S Y S T E M F O R F O R E S T K IN E M A T IC M O D E L L e H uy C huan D ep artm en t, of E n v iro n m e n ta l Technology, O s a k a University, S u ita , O sak a 565-0871, Japan (ch u a n ỉh © a p e n g o s a k a -u a c jp ) Atsushi Y agi D e p a r t m e n t o f A pp lied P hysics, O sak a University, S uita, O s a k a 565-0871, J a p a n (y ag i@ ap en g o sak a-u ac jp ) A b s t r a c t T l Iis p a p e r s tu d ie s an a^ is a diffusion constant of seeds, and Q > and p > arc seed production and seed deposition rates rcspcctivcly While the first and sccond equations describe the growth of young and old trees respectively; < Ổ ^ is a seed establishment rate, (1;) > is a mortality of young trees which is allowed to depend on the old-trce density V, / > is an aging rate, and h > is a mortality of old trees On w , the Neumann boundary conditions are imposed on the boundary ỠÍ1 Nonnegative initial functions Uo(x) ^ 0, fo(x) ^ and u/o(£) ^ are given in Q Several authors have already been interested in such a model but only in the onedimensional ease Wu [8] studied the stability of travelling wave solutions Wu and Lin |9] discusscd the stability of stationary solutions Lin and Liu [4j extended this result to a ease when the model includes nonlocal effects The main purpose of this paper is to construct, in the two-dimensional case, a global so lution to ( 1.1) for each triplet (uo, Vo, w0) of initial functions and to construct a dynamical Fig C o n c e n tra tio n distrib u tio n along a y p a ss in g the so urce point and parallel with th e flow direc tion , at t = 50 s, t = 100 s and t = 15Ơ s (in g /l) 0.45 T — 0.35 0.2 - 0.15 - O ptim ization problem of plant location (see [1]) A s s u m e that the su s p e n d e d m a tter co nc en tratio n c is calculated from the equa tio n (1) W e c o n s id e r the fo llo w in g g ene ralize d functional called the pollution-lev el reflecting functional (see [I]): r Yk - ịch ị p k C clG '///), \vc o b tain the clonKiin n , ( Q = ) • Í Ỉ will Ui b e the d o m a in in wliicli the plant c a n b e l o c a t e d s o t h a t p o l l u t i o n s t a n d a r d s w i l l be m e t in all [he areas Gii c= G, (/i = 1, 2, m ) N um erical experim ents T h e f i r s t m c n t i o n c d - a b o v c m e t h o d is a p p l i e d to s o l v e 111c f o l l o w i n g t w o o p t i m i z a t i o n p r o b le m s o f p lan t location: 4.1 T e st c a se Ỉ T h e c o m p u te d re c ta n g u la r reg io n G = 1000m X 1000m is covered b y a uniform mid x w i t h s p a c i n g s t e p s: CỈX = m , d y = m A c o n s t a n t v e l o c i t y field (»,v): u = 0.5 m /s, V = -0.5 m /s D iffu sio n co efficien t : / = m 2/s D e c a y coefficien t : fT= 0 0 s '1 T im e step: clt = s T i m e s im u la tio n : T = 0 0 s consid ered sensitive rcclanỵukir areas Gk in sid e G (k= 1,2,3) w ith the left-bottom c o rn er co o rd in a tes and the riizht-top corner coordinates are as follows: G , = [(2 5,8 5), (2 5,9 5)], G j - [(37.5, 12.5),(39.5, 14.5)], G 3= [ ( 5,3 5),(30.5,3 5)] And standard concentration: c] = \ m g / l (k=l ,2,3) T he n u m e ric a l re su lts arc illustratcd in Fig In this figure, the n u m b e r on the co nto ur lines indicates valu e o f the pollu tion-le vel reflecting functionals )'* A s a result, the d o m ain Q w h e re the p lant can be loeated so that the sanitary co nd itio n in ihc all areas Gk are satisfied (th a l^ p e a n s Yk' < c l ) is in white 4.2.Test case \ T h e c o m p u te d area, Mil L on g B a y ^ i s co v c rcd by a uniform grid 69x45 w ith spacing steps: ( l.x - 1000m , (ly = 1000m D iffu sio n coefficient: y = 10m /s T h e dccav cocfficicnt: cr= 0.001 1/s T i m e slcp: ill - 10s S im ulation lime: T — 24 Ỉ1 T h e cu rren l is determ ined by s o lv in g the N a v ic r-S to c k e s equ a tio n for the in co m p re ss ib le w a lc r as the follows: ÕII Oil dll dp Di dx dy Ox õv õv ÕV — + II — H- V— + — = // All h I I — •+* V - — õí d ll —— ÕX õx dp = n Av ÕV ay ÔV +— = dy w ith q is Ihe v isc o s ity o f water c o n s i de r ed s ens it i ve r e c t a n g u l a r areas Gk inside G {k~ 1,2,3) wi t h co rn er co o rd in a te s an d the rig h t-to p c o m e r co o rd in a tes arc as follows: Gi = (1 3.5,13 5),(1 6.5,16 )]- D o S o n bcach area, G = [(2 5 ,3 ),(2 ,3 5 )]- H a L o n g bca ch area, G = [(3 ,2 ),(3 5 ,2 )]- a s o m e area the l eft-bollom And stand ard c o n c e n tra tio n : c'k = / » " / / (k = l,2 ,3 ) T h e n u m e r i c a l r e s u l t s a r e i l l u s t r a t e d in F i g A l s o , in i h i s JU' iire, t h e n u m b e r o n t h e contour lines i nd icat es v a l ue - C o n s e q u e n t l y , Ihc d o m a i n Q of the pol l ut ion ỉ cvcl - 1' cil cct ing lunciionnls w h e r e the p la n t can be lo cated so that the sanitary s t a nd ar d s in t he all ureas Gi; arc satisfied ( that m e a n s Y < c, ) is also in wliil'j 10 F ig u re 3: D is trib u tio n o f value o f the pollution lcvcl-rcfleciin» f u n c t i o n a l s )■■ f or \ '1 0 - IP ? W test case S m I Pla nt c a n ’t b e lo ca te d 0 P l a n t c a n be ' c c o t i d 0 - 0 - 0 20.00 0 - 10.00- 00- 0.00-1 - -1-1 - —I - I ——t -"I I -0 0 0 ] lo.oo CIO 0 0 30.0(1 :t S.1 JO —I 0 -1!i.00 F ig u re 4: D istrib u tio n o f v a lu e o f the po llution lcvcl-rcflccling f u n c t i o n a l s }' lor test case Conclusions • T h e a lg o rith m s fo r s o lv in g the matter p rop ag ation and its adjoint p rob le ms arc stable T h e n u m e ric a l solution is n o n -n e g ativ e and a g reem en t w ith the analytical solution • I : F o r d ete rm in a tio n o f the plant l o c a t i o n satisfying llic co nd ition (38) w e suppose that the p lan lịlo c ates at the point r0 = (.V0, J ’0) , then V.'C solve the equation (]) ;ind v e rify the co n d itio n (38) I f tlic condition (38) is satisfied, tlic requisite plant locatio n at p o in t I'0 is found C onversely, w c m ust su pp o se new plant location at th e o th e r p o in t rx and re c u r the p re v io u s p rocess o f (he a b o v e co m p u tatio n anti v erification T h is proccss m ig h t be recu r several times H o w e v er, if we use the ad jo in t eq u a tio n (11), llicn \vc solv e Ihc equ ation (11) and (4) only one time lor d e t e r m i n i n g , t h e r e g i o n , in w h i c h p l a n t p o l l u t i o n s at i s f i ed the c o n d i t i o n (38) A s a result, it is very c o n v e n ie n t for d eterm in a tio n o f the plant location en su rin g the g iv en e n v iro n m e n ta l criteria ill the sensitive areas if the adjoint equation is applied R eferences M archu k, G.I (1 986 ) M a th e m a tic a l M o d e ls in E n v iro n m e n ta l P ro b lem s Elsevier S cicn cc P ublish e rs, Nclhci'knuls [2] M arch u k , G.l (1995) A d jo in t e q u a tio n s a n d a n a ly sis o f co tn p lcx system s K luw er A c a d c m ic P u b lish e rs , D ordrecht - B osto n - L o n d o n , N etherlands [3] K ovcnia, V M , Y a n e n k o N.N (19S1) M e th o d o f d ec o m p o sitio n in the /irohlrni.s dj the g a s d y n a m ic s P u b lish e rs N A U K A , N o v o sib irsk , pp 79-S2, 140-145 [4] M a rc h u k G.I (198 8) M e th o d o f d ec o m p o sitio n P u blishers NAU1CA, M oscow , [1] [5] pp 34-3 M a rc h u c k G I.( 1980) M e th o d o f C o m p u ta tio n a l M a th e m a tic s P ub lish e rs N A U K A , Moscow, pp 45-53, 247-261 G o d u n o v S K , R jab en k i v s (1988) D iffe r e n c e S ch c m cs P u b lish e rs N A U K A , M o s c o w , pp -5 , 2 -2 , -2 [7] P R oach C o m p u ta tio n a l F lu id D y n a m ic s H e r m o s a P ub lish e rs, A lb u q u e rq u e 1976 [8] T ran G ia L ich, P h a n N g o e V inh (2001) T w o -d im e n sio n a l o p tim iza tio n p ro b le m o f p la n t lo ca tio n V ie tn a m Jo u rn a l o f M e c h a n ic s , Vol 23, N o 2, H a n o i, p p 1-12 [6] 12 A MATHEMATICAL MODEL FOR MANGROVE FOREST DYNAMICS A Yagi*1, Tran Huy Ho** and C huD uc*" * Department o f Applied Physics, Osaka University, Suita 565-0871, Japan ** Department o f Mathematics, Hanoi University o f Science, Hanoi Vietnam *** Department o f Biomathematics-Ejrvironment, Hanoi University o f Science Hanoi Vietnam ABSTRACT Following the principle o f self-organizations, w e shall propose a mathematical model for mangrove forest dynamics by introducing trees and soils which are considered as the constituent element and the conductor o f the ecosystem respectively in cooperative rela tions KEYW ORDS Mangrove forest dynamics, Self-organization, Mathematical mode! INTRODUCTION In the study o f forest growth dynamics numerical simulations on the basis o f mathe matical models are becoming one o f indispensable methods Observations o f forest dynamics require us extremely long time and experiments cost immensely It is a very important problem to build models which are suitable for the objectives from knowl edge and information obtained by observations This report tries to present a mathe matical model describing the growth process o f a mangrove forest in order to study its mechanism theoretically and numerically This work is supported by Grant-in-Aid for Scicnlific Research (No 16340046) by JSPS — 299 — MODELS FOR FOREST DYNAMICS In this section we shall review some existing mathematical models which have been presented for describing the growth process o f forests Individual-Based Model The JABOWA model which has been presented by Botkin el a! (1972) may be the first and most basic model for forest growth dynamics Their model consider a unit area o f 100 m ~ 300m called a plot A certain number o f trees are considered individually in the plot The growth o f each tree per a year is described by the formula AD 2H = R ■( L A X - O H / D max H max ), where D denotes the diameter of tree at the breast height, H denotes the height of tree (so D 2H corresponds to the volume o f tree), LA denotes the area o f leaves, Dmax and Himx denote the possible maximum diameter and height respectively which the tree can attain, and R is a parameter depending on various environmental conditions To these growth equations o f trees, the effect o f interaction o f is also incorporated The higher trees can absorb more light and grow more swiftly, and just one tree dominates the plot Then the tree dies down, and the plot is again full o f room called a gap Individual-Based Continuous Space Model On the basis o f the JABOWA model, many authors have afterward presented spatially continuous models Pacala el al (1996) have presented an individual-based continuous space model called the SORTIE model They formulated a growth equation o f each tree spread in a wide area by A D = D G l ( G L I ) { G i / G +( GL I ) } , where GLI denotes global light index and indicates the interaction with trees in its neighborhood They considered also the seed production and dispersion Age-Structured Model When we are concerned with dynamics of forest ecosystems, age-dependent tree rela tionship is often more interesting than the individual growth of trees From this view point many age-structured models have been presented For example, Antonovsky el ill (1983) considered a very simple ecosystem of a mono-species and with only two age classes Their growth equations are the written as ;uxi Ị ũ = pv - ỵ(v)u - fu, \ V = fu-hv where u and V are trees densities o f young and old age classes, p j a n d h are coeffi cients o f reproduction, ageing and mortality o f old trees respectively, while r ( v ) denotes a mortality o f old trees It is assumed that there exists some optima] value o f old tree density under which the recruitment o f young trees is maxima! The typical form o f ỵ ( v ) is given by y (v ) = a (v - b ) + c with some positive constants Ơ, b and c Age-Structured Continuous Space Model More recently Kuznetsov, Antonovsky, Bilctashev and Aponina (1994) generalized the age-structured mode] to ã continuous space model by taking seed dynamics into account Their new growth equations are described by ut = s/3w - ỵ(v)u - fu, < Vị = f u - hv, wt - av - Jjw + dAw where w is a seed density, a , p and s are seed production, deposition and establishment rates respectively, and d is the diffusion coefficient o f seeds RESULTS AND DISCUSSION On the basis o f the age-structured continuous space model due to Kuznetsov et a/., we intend to present a model describing mangrove forest growth dynamics We take in addition soil dynamics into account Following to the principle o f the theory o f self organizations due to Haken (1983, 2000), we consider trees as the constituent elements o f an ecosystem and soil as a conductor o f dynamics Soil leads trees to spread in a mangrove forest and is produced by trees More appropriately, the roots o f trees accumulate soil In this sense soil and trees are in cooperative relation Precisely w e assume the following conditions; The ecosystem consists o f a mono-species, and only two age classes are considered They obey the urowth equations due to Kuzunetsov el al The establishment rate Ổ Ự ) depends on the height o f soil i -:«)l - IJ UI seeds consists o f tw o factors: one is a natural diffusion and the other IS the directed m ovem ent in a sense that the seaw ater carries them Soil IS e a rn e d by the seaw ater and is trapped by the roots o f m angrove Our proposed system is then written by Uf = psự)w - ỵ(v)u - fu, V/ = f u - hv, Wf = a v - Pw + d wA w + V • {wV/Ị'(/’)}, i ị = ( p{ ĩ ) v - ị ị / ự) + df A? w here f, ( —00 < £ < IS) denotes the height o f soil The level f —0 corresponds to the level o f seawater in low tide and f = L corresponds to that in high tide The function z ( ( ) is a potential function o f the flow o f seeds,