1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

30 bài bất đẳng thức cực hay

11 401 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 692,5 KB

Nội dung

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P GIẢI.

Trang 1

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN – GTNN

1)Cho x, y, z≥ 0 và x2 + y2 + z2 = 3 Chứng minh:

3 2 2

GIẢI

Ta có: VT + 3 =

VT

+

1

4 2

+

1

4 2

+

6

6 3

6 3

2 2

( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx 2xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI

Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2

x y z

+ + ≥ ⇔ + + ≥ nên

≥ − + − = + ≥

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

≥ − + − = + ≥

≥ − + − = + ≥

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1

8

xyz− ≤ vậy Amax = 1 3

8⇔ = = =x y z 2

3 Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2) =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

x y P

xy

+

= + .

Giải

5

xy+ = x y+ − xy ≥ − xyxy≥ −

Trang 2

Và ( ( )2 ) 1

3

xy+ = x y− + xyxyxy≤ ĐK: 1 1

− ≤ ≤

Suy ra : ( )

2

P

( )

2 2

7 '

2 2 1

t t P

t

− −

=

+ , P' 0= ⇔ =t 0( ),th t= −1(kth)

P− =P =

 ÷  ÷

    và ( )0 1

4

P =

KL: GTLN là 1

4 và GTNN là 2

15( HSLT trên đoạn 1 1;

5 3

 

 

 )

4)Với mọi số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x y z+ + ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1 1 2

P x y z

x y z

= + + +  + + ÷

 .

Giải

Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 2 12

x

+ ≥ (1) Dấu bằng xãy ra khi 1

3

x= Tương tự: 18y 2 12

y

+ ≥ (2) và 18z 2 12

z

+ ≥ (3).

Mà: −17(x y z+ + ≥ −) 17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P≥ 19

1 19

3

P= ⇔ = = =x y z KL: GTNN của P là 19

2

ab bc ca a b c

a b b c c a+ + + + + ≥ + +

Giải

Ta có:

2 2

a b = −a b≥ − ab = −

Tương tự: 2 1

2

b

b bc

b c ≥ −

2

c

c ca

c a ≥ −

Cộng (1), (2), (3), ta có: 2 2 2 1( )

2

ab bc ca a b c

a b b c c a+ + + + + ≥ + +

6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

2 x y z x + + + + 2 y z x y + + + + 2 z≤

+Ta có : 2x y z+ +1 ≤14 2.( 1x y z+ 1+ );x+21y z+ ≤1 14 2( y x z+ 1+ );x y+ +1 2z ≤1 14 2( z y x+ +1 )

+ Lại có : 1 1 1( 1);

x y ≤ 4 x + y

y z ≤ 4 y + z

x z ≤ 4 x + z

+

Cộng các BĐT này ta được đpcm

7) Cho a, b, c≥0a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

GIẢI

Trang 3

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia

2

3 2 2

3 2 2 3

1 1

c c c

b b b

a

+ + + + + + + +

2 4

1 1

2 1

2 2

4

2

2

2

b

a b

a

+

+ +

=

+

2 4

1 1

2 1

2

2

2

2

2

c

b c

+

+ + +

2 4

1 1

2 1

2

2

2

2

2

a

c a

+

+

+

6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16

6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

+

2

3 2 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9

P

Để PMin khi a = b = c = 1

8 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

2.

GIẢI

Ta có :VT =( a b c ) ( b2 c2 a2 ) A B

b c c a a b+ + + b c c a a b+ + = +

2

3

2

A a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

+ = + + + + +  + + 

+ + +

⇒ ≥

1

1 2

2

a b b c c a

= + + ≤ + + + + + + +

⇔ ≤ ⇔ ≥

Từ đó tacó VT 3 1 2

≥ + = = Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

9 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z ≤3 Chứng minh rằng:

4 625

3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5xyz.

GIẢI

Bất đẳng thức

2

2 4

x

2 9

4 9

y

y + +

2

2 25

4 25

z

z + ≥ 45

5

2 3

2 2 ( ) 5 3

(

z y x z y x

2 3

) 5 3 (

36 )

5 3 (

9

z y x z

y

Đặt t = 3 (x.3y.5z)2

3

5 3 )

5 3 (

3

 + +

x y z

z y

x do đó t ≤ 1

Điều kiện 0 < t ≤1 XÐ hàm số f(t)= 9t+

t

36t 27t 2 36 t 27

Trang 4

Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=

3

1

; z=

5

1

10 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng : 1 1 1 5

xy + yz + zxx y z

GIẢI

Để ý rằng (xy+ − +1) (x y) (= −1 x) (1−y) ≥0;

và tương tự ta cũng có 1

1

yz y z

zx z x

+ ≥ +

 + ≥ +

Vì vậy ta có:

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

xy yz zx yz zx xy

x

yz zx y xy z

x

z y y z

+ +  + + ÷≤ + + + + +

=  − − ÷+

≤  − − ÷+

+ +

=

a

a b a c a b c a c a b

 + + + + ÷ + +

GIẢI

Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:

a b c

b c a

c a b

+ >

 + >

 + >

a b c a

x y a z x y z x y z y z x z x y

+ = + = = > ⇒ + > + > + >

Vế trái viết lại:

2

a b a c a

VT

a c a b a b c

y z z x x y

Ta có: x y z z x y z( ) 2z x y( ) 2z z

x y z x y

+ > ⇔ + + < + ⇔ >

+ + + . Tương tự: x 2x ; y 2y

y z < x y z z x < x y z

+ + + + + +

2

x y z

y z z x x y x y z

+ +

a

a b a c a b c a c a b

12 Cho hai số dương ,x y thỏa mãn: x y+ =5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

x y x y P

xy

Trang 5

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia

GIẢI

Cho hai số dương ,x y thỏa mãn: x y+ =5.

P

P bằng 3

2 khi x=1;y=4 Vậy Min P = 3

2

Lưu ý:

Có thể thay y= −5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số ( ) 3 5 3 5

g x

x x

13 Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + +

GIẢI

Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

+ ≥ (biến đổi tương đương) ( ) (2 )

⇔ ⇔ − + ≥ Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

(với t = z

a, 0 ≤ ≤t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có

9

f t =  t − −tf t = ⇔ = ∈t

Lập bảng biến thiên

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

⇒ = ⇒ GTNN của P là 16

81 đạt được khi x = y = 4z > 0

14 Chứng minh: (x y z) 1 1 1 12

x y z

+ +  + + ÷≤

  với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn [ ]1;3 .

GIẢI

t

Suy ra : x 3 4 ; y 3 4 ; z 3 4

+ ≤ + ≤ + ≤

Q x y z

x y z

→ = + + +  + + ÷≤

 

2

Q

15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= −(x 1)ln x.

GIẢI

Trang 6

TXĐ: D=(0;+ ∞); y' lnx x 1

x

y’= 0 ↔ =x 1 ; y(1) = 0 vìy lnx x 1

x

= + là HSĐB

Khi 0 < x < 1 → <y' 0; khi x > 1 → >y' 0

KL: miny = 0↔ =x 1.

16 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng: 1 1 1 5

xy + yz + zxx y z

GIẢI

Để ý rằng (xy+ − +1) (x y) (= −1 x) (1−y) ≥0;

và tương tự ta cũng có 1

1

yz y z

zx z x

+ ≥ +

 + ≥ +

Vì vậy ta có:

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

xy yz zx yz zx xy

x

yz zx y xy z

x

z y y z

+ +  + + ÷≤ + + + + +

=  − − ÷+

≤  − − ÷+

+ +

=

vv

17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Giải

P

Vậy GTNN là Pmin = 3

2 khi x = y = z

6 2

P ≥ =

18 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c+ + =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

GIẢI

Theo cô – si có 22+2b+2c ≥3 23 a b c+ + =6 Tương tự …

Trang 7

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia Đặt ur=(2 ;3 ; 4 ,a b c) (vr= 2 ;3 ; 4 , wc a b) (uur= 2 ;3 ;4b c a)⇒M = + +ur vr wuur

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c

M ≥ + +u vr r uur = + + + + + + + +

Vậy M ≥3 29 Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1

19 Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + +

GIẢI

Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

⇔ ⇔ − + ≥ Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

(với t = z

a, 0 ≤ ≤t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có

9

f t =  t − −tf t = ⇔ = ∈t

Lập bảng biến thiên

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

⇒ = ⇒ GTNN của P là 16

81 đạt được khi x = y = 4z > 0

20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

GIẢI

Ta có :

P

= + + + + + (*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ¡

Do đó : x3 + y3≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay

2 2

x y

y + x ≥ + ∀x, y > 0 Tương tự, ta có :

2 2

y z

z + y ≥ + ∀y, z > 0

2 2

z x

x + z ≥ + ∀x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

21 Cho x, y, z ≥ 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + + Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

+ ≥ (biến đổi tương đương) ( ) (2 )

⇔ ⇔ − + ≥

Trang 8

Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

(với t = z

a, 0≤ ≤t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có

9

f t =  t − −tf t = ⇔ = ∈t

Lập bảng biến thiên

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

⇒ = ⇒ GTNN của P là 16

81 đạt được khi x = y = 4z > 0

22.Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: ( 3 3 3)

2

b c c a a b

a b c

+ +  + + ÷≥  + + ÷

* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 ≥ a2b + ab2 (*)

Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 đúng

Đẳng thức xẩy ra khi a = b

* Từ (*) ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b)

b3 + c3 ≥ bc(b + c)

c3 + a3 ≥ ca(c + a)

⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

* Áp dụng BĐT Cô – Si cho 3 số dương ta có:

13

a + 13

a + 13

a ≥ 33

3 3 3

1 1 1

a b c = 3

abc (2)

* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm

Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c

23 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2 +y2 +z2 ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x2 +x yz+ y2 y+zx+ z2 +z xy .

GIẢI

P= x2 +x xy+ y2 y+zx+ z2 +z xy

x;y;z>0, Áp dụng BĐT Côsi ta có:

xy z

z zx

y

y yz

x

x P

2 2

+ +

=

xy zx

yz

2 2

2 4

1

≤  + + + + + =  + + ≤  +xyz+ 

z y x xyz

xy zx yz y

x x z z

y

2 2 2

2

1 2

1 1 1 1 1 1

1

4

1

2

1 2

1 =

xyz xyz

Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y= z=3 Vậy MaxP =

2 1

24 Cho x,y R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)

( 1)( 1)

x y x y P

x y

+ − +

=

− − Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có

2 4

t

xy

Trang 9

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia

1

t t xy t

P

xy t

− − −

=

− + Do 3t - 2 > 0 và

2

4

t xy

− ≥ − nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

P

t

− −

− +

Xét hàm số

2

4

f t f t

− − f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4

t

2 4 +∞

f’(t)

- 0 +

f(t)

8

Do đó min P = (2;min ( )+∞) f t = f(4) = 8 đạt được khi 4 2

 =  =

25.Cho x>0,y >0,x y+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

Đặt cos ;2 sin2 0;

2

x = a y = a a  π 

⇒ ∈  ÷  khi đó

T

+

Đặt

2 1

t

t = a + a =  a + π  ⇒ a a = −

2

< < ⇒ < ≤

3 1

t

− −

( )

2 2

3

1

t

t

Vậy min(1; 2 ( ) ( )2 2

2

x y = = Hay min T = 2 khi 1

2

x y = = 2

f (t) t 2t 1, t

f '(t) t 2 0 t

f (t) f ( )

= − + ≥

= − > ∀ ≥

Trang 10

Vậy : min

26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy.

Giải : S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ ¼

Khi đó S = 16t2 – 2t + 12

S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 ⇔ t = 1

16 S(0) = 12; S(¼) = 25

2 ; S ( 1

16) = 191

16 Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : Max S = 25

2 khi x = y = 1

2

Min S = 191

16 khi

x 4

y 4

 +

=



 −

 =



hay

x 4

y 4

 −

=



 +

 =



27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

( ) (3 )3 ( ) ( ) ( ) ( )3

x y+ + +x z +3 x y x z y z+ + + ≤5 y z+ .

Giải:

Từ giả thiết ta có:

x2 + xy + xz = 3yz ⇔(x + y)(x + z) = 4yz

Đặt a = x + y và b = x + z

Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz

Mặt khác

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2

≤ 2 2 ( )2

2(a +b ) a b − +ab

2 (a b) − +2ab a b− +ab

2 (y z) − +2yz  y z− +4yz

2 (y z) + +4yz y z +

4(y z) y z+ + =2(y z)+ (1)

Ta lại có:

3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)

≤3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

28 Cho a, b, c≥0a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P

2

3 2 2

3 2 2 3

1 1

c c c

b b b

a

+ + + + + + + +

Trang 11

¤n thi HSG c¸c cÊp vµ thi THPT quèc gia

2 4

1 1

2 1

2 2

4

2

2

2

b

a b

a

+

+ +

=

+

2 4

1 1

2 1

2

2

2

2

2

c

b c

+

+ + +

2 4

1 1

2 1

2

2

2

2

2

a

c a

+

+

+

6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16

6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

3

= + +

+

2

3 2 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9

P

Để PMin khi a = b = c = 1

29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 1 1 1 2

x+ + ≥y z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

Ta có 1 1 1 2

x+ + ≥y z nên 1 1 1 1 1 y 1 z 1 2 (y 1)(z 1) (1)

≥ − + − = + ≥

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

≥ − + − = + ≥

≥ − + − = + ≥

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1

8

xyz− ≤ vậy Amax = 1 3

8⇔ = = =x y z 2

30 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng 1 1 1 1

x y + y z + z x ≤ + + + + + +

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab≥ab

⇒ a3 + b3+1≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 ⇒ 3 3 ( )

a b 1 ab a b c≤

Tương tự ta có

3 3

c 1 bc a b c

a 1 ca a b c

Céng theo vế ta có

x y + y z +z x

+ + + + + + = 3 3

1

a + b + 1+ 3 3

1

c 1

b + + + 3 3

1

a 1

c + +

≤ (a b c1 ) ab bc ca1 1 1

 + + 

+ +  =(a b c1 ) (c a b+ + =) 1

+ + DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1

Ngày đăng: 01/09/2016, 17:18

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w