108 bai toan bat dang thuc

t t tự ts tsr ố s ọ ữủ õ t sữ t s ử ổ õ t t tứ rt ỡ ữớ õ t õ q t t ợ t ự õ tỹ t tờ t trữợ r t ú t õ tỹ õ t t t q ợ ỳ t ỷ q ợ t t ỳ ỗ q ứ t ỡ õ t t t ủ t s õ t tỹ tỹ t ố ữỡ ú t ữủ q ợ t ỡ t ữợ t ữớ tỏ ỏ r ú tổ ợ t t ỏ tữỡ ố ợ tú õ ỵ s ỵ r ỵ õ t ũ ự t ỵ t ữ t q t ữ t rt t ởt q s s s t q ỵ s ử s tọ q sỹ t tốt ổ q ợ r ởt tữỡ ố ợ ứ t s tứ r ỏ t tử ự ợ ữỡ ự t P t t tú ỳ t ỵ tú ố s ỳ t q t ỹ tr tự ứ q ởt ỵ tú ự õ õ ỳ ỵ qỵ ổ ú tổ t ử ữủ ỡ ỡ ị stsr str ệ ệ ử q ợ t tự t ữỡ tr tr tữớ r ữỡ ỏ số t tự tr t tự r tr số ỵ s t tự t t tự t tự s t tờ ủ r tr t ự t tự s ỏ t tự r ữ t t t t t tự tr ỳ t tự t r t ũ từ r ũ t t s t q ợ t tự t ữỡ tr t ữỡ tr s 3x + < 3x x3 x2 < x2 + x3 + x+1 x< 100 an a1 a2 , , , õ số bi > tr b1 b2 bn a1 + a2 + + an ỳ tr ọ t ợ t số b1 + b2 + + bn bi số số số s tr tự tỗ t ởt số s t tỷ õ tr ổ ữủt q õ tỗ t số ữ ổ t số ọ t õ t tr ộ trữớ ủ an = + 1 + + + n bn = + 1 + + + n cn = + 1 + + + n dn = + 1 + + + 1.2 2.3 n(n + 1) fn = + 1 + + + 2 n õ ổ tr tữớ ởt t t q ữủ s ữớ tr t t q ữớ s s ợ ợ t t ợ ỡ tr t tr ự số r ữỡ ỏ số tố tr tớ q ữớ ởt ổ tổ ợ tố v1 tr ởt tớ t s õ ợ tố v2 ụ tr tớ ữ ọ tr q ữớ ổ tổ ợ tố tr ởt ổ tổ tứ ợ tố v2 v1 s õ q tứ ợ tố tố tr ổ tổ tr tr ổ ữớ t q t q q ữủ s ữớ ữớ tr t ổ õ r ữỡ ỏ số ởt ỳ t P t ỳ t õ tr t ởt ỳ t P ỳ t õ tr R+ r r a2 + b a+b 2 a+b a.b 2ab a.b a+b r x R+ x R r r x+ x x+ x r r r ữỡ ỏ số số ữỡ õ tồ ữỡ tr r õ tr số tr số tỹ tr ỹ t số a b + b a t tồ t x2 + g(x) = x2 + t t s ổ ữủ ỹ tr t õ õ tờ t ọ t ợ t tờ số ữỡ ổ t t ú ợ ữớ t t t ởt tự ứ ú ọ ữỡ ợ ú ợ ữớ t ố ữớ ợ ũ ởt ự tr ữớ t ữớ t ự tứ t t ữớ t t r trữợ ữủ ỷ ộ ữớ r ổ õ t õ ố t ỳ ữớ õ ỡ ữớ ữớ t ữớ r r (a b)2 a+b (a b)2 a.b a b t tự tr t tự t tự tr t tự số ữỡ (a + b)(b + c)(c + a) 8abc số ữỡ 2bc 2ca 2ab + + a + b + c a+b b+c c+a a1 , a2 , , an số ữỡ s a1 a2 an = (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) 2n R x2 + y + z x y + z + y x2 + z r a1 , a2 , a3 số ữỡ s số 4a1 + + a1 + a2 + a3 = 4a2 + + 4a3 + < R f (x, y) = x2 + y xy x y + tr ỹ tr ỹ ỹ t số r tr số r r x2 + xy + y ỳ tr tr ữỡ tr tr s ợ tr A(x, y).N (x, y) õ ổ ọ ỡ ợ ỡ ổ r tr số R+ x+y+z xyz r ự t tự ỳ tr tr a1 , a2 , , an số ữỡ t a1 + a2 + + an n a1 a2 an n r số ữỡ ố tỹ r r ợ số ữỡ t t tự s ổ ú x3 + y + 3xy ọ t s t tự ổ ổ ú ợ số tỹ n+1 x4 + y + 8xy a.bn a + nb n+1 ứ õ ổ ữớ t t ổ ọ rỗ ổ õ ỏ t ởt ọ t ỳ ổ õ ữủ t t õ t t ợ t r tr số t tr tr ỹ số p(x) = 3x3 7x2 + p(x) = (2 x)(1 x)(3x + 2) tr ữ P tr ;1 ;1 P t r 1; t ữ st tr (2 x); (1 x) (3x + 2) ổ ỷ 2p(x) = (4 2x)(1 x)(3x + 2) 73 6, 35 33 ữ tr ỹ ợ p(x) = x (7 3x) p(x) r st (7 3x) < õ t q ổ ú ọ ú tr ỹ (4 2x) + (1 x) + (3x + 2) = 3 p(x) r t ú t st số g(x) = x3 3x2 + ởt số tr số ỷ số tr ỹ tr ữỡ ỹ tr t t số tr ọ ợ tr tỹ tr ỹ số h(x) = x.(4000 x3 ) ởt số ữỡ ởt số tỹ x [0; 100] ( n) ỵ + tr ỹ t tứ số ổ õ tờ n en, ỵ s tr en, st tr tỹ ữ tt t tr en, ố số tr ỷ ự tt ỵ s a1 < a2 b1 < b2 t a1 b1 + a2 b2 a1 b + a2 b ữủ ợ ỡ ợ ỡ a1 < a2 < a3 b1 < b2 < b3 ữủ (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ), (a1 b1 + a2 b3 + a3 b2 ), (a1 b2 + a2 b1 + a3 b3 ) (a1 b2 + a2 b3 + a3 b1 ), (a1 b3 + a2 b1 + a3 b2 ), (a1 b3 + a2 b2 + a3 b1 ) ữủ ọ t ợ t ỵ s ỏ t tự s a1 a2 an b1 b2 bn , bi R ởt õ a1 b1 +a2 b2 + .+an bn a1 b(1) +a2 b(2) + .+an b(n) a1 bn +a2 bn1 + .+an b1 r r tự ữợ a1 , a2 , a3 , a4 số tỹ t ý õ t tự ổ ợ ỡ ổ ú ự s ữ r a1 + a2 + a3 + a4 a1 a2 a3 a4 + + + a4 a3 a2 a1 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 2(a1 a4 + a2 a3 ) a1 a2 a3 a4 + + + a2 a3 a4 a1 số ữỡ t ý a1 a2 a3 a4 a5 + + + + a2 a3 a4 a5 a1 t tờ ủ số ự a1 , a2 , a3 , , an a1 + a2 + + an n a1 + a2 + + an n x số ỗ số ổ t x R+ ự ỳ tr tr ỏ số ự a1 , a2 , a3 , , an số ữỡ t a1 + a2 + + an n 1 n + + + a1 a2 an ỗ ự ố ỳ t tờ ủ t tự s ổ tọ ợ x1 , x2 , x3 x1 + x2 + x3 x1 x2 x x3 x3 x a1 , a2 , a3 , , an số ữỡ (a1 + a2 + + an ) ã ỵ p(a, b, c) = a3 + b3 + c3 1 + + + a1 a2 an q(a, b, c) = a2 b + b2 c + c2 a s ú ữỡ t p(a, b, c) q(a, b, c) p(a, b, c) q(a, b, c) ữỡ t ự t tự stt số ữỡ a b c + + b+c c+a a+b n2 số ữỡ r t tờ ủ ab bc ca + + a+b+c c a b a2 b c b c a + 2+ + + b c a a b c số ữỡ õ tờ tr ọ t tự + a2 + + b + + c số ữỡ r r 1 ( 1) ã ( 1) ã ( 1) a b c tr ọ t n N+ 1 ( + 1) ã ( + 1) ã ( + 1) a b c n+1 n n! n+1 n số ữỡ a+c a c + 2ã b d b+d ọ số số trũ tr số õ số ợ ỡ ụ ổ ợ ỡ r số số tr số tr ỹ t tự s t số số ữỡ S= a1 a2 a3 a2008 + + + + a2008 + a2 a1 + a3 a2 + a4 a2007 + a1 ợ số ợ t ợ ữỡ t ý số ợ t ợ tự t số ợ t n2 < 2n p(n) < 2n nk < 2n r tr t ự ố t t r r ọ ú t s ũ tữ tự tt t tự s s ỏ t tự ỏ ỹ t t tự s t q t ỏ ự ỹ ỵ tt ữớ ợ ữủ s t số tứ ổ ởt rỗ t tờ t tr ỹ s ữủ t tữỡ t ũ tr ọ t ữủ ú tr ỵ ởt q t tỹ ổ ỡ tr số ữớ t tữớ ổ t ự ỵ ụ t ỹ tr sỹ s tỹ õ tỷ ỗ ó t t ộ t õ t tr ợ t ọ t t sỹ ữ t trt t tr ỵ ữủ ự ởt ữớ r s t t t t tữỡ t số ỵ rt tr s ũ ự ỏ t t t tự t ữủ ự ữ ỳ ỵ ữớ tr ữ ợ ổ ự ị ữ ữớ t t tr tỹ t ỡ ữ t ỹ t tự ỵ ữớ t õ t ỏ ởt t Pss ỗ ứ r ữ ởt tt s ợ õ tr ọ t r r t ú s tt sỹ ú ỵ ợ tr t t õ r õ tr ữợ ũ ữợ tổ t tr t t P qổ ỗ t ự ỵ tt ỡ s ởt t t õ ố út tú ỳ ự q t s õ t t t õ t sỷ ỳ ổ tr ữủ t ọ rỡ ỏ t tự s ỏ P tổ ũ ởt t ởt ữủ ợ s s t rở r t tổ t t t t t tr rrt qt rrrt qt s s rtt qt s s t r st t r t t qt rs t tự s ỏ t a a a S = a b + a b + + a b R = a b + a b + + a b c , c , , c t 1 n t 2 2 n n n1 n b1 b2 bn rt s rs s b , b , , b Prtt s t rs s t n rtt t rs P = a1 c1 + a2 c2 + + an cn r rs s t n s t rrt qt t rs n t rs SP R Pr t P t rst S P P s s tr ss P s tr r s k N r P t s r t rtts t s ss ck+1 = bj (ak+1 )(bk+1 bj ) bj + ak+i bk+1 bk+1 + ak+1 bj bj + ak+1 bk+1 ci + ak+1 ck+1 P st ci ck+1 t bk+1 = ci t ss rr s tr st ts trs t t t tss P P s s tr t r tt t P s tr qt P R s bn bn1 b1 s r SP n N r b1 b2 bn t a s bs i i r strt rs t qt s P t r q st qts t rqr t rs t st rr t a1 , a2 , , an r rs c1 , c2 , , cn ts rt a1 + a2 + + an a1 c1 + a2 c2 + + an cn rr t t a1 , a2 , , an st r rs c1 , c2 , , cn ts r c2 cn c1 + + + n a1 a2 an rrrt qt s t r s qts r t tự s ỏ r s t ts rtt tr qt G.M x1 , x2 , , xn t qt s Pr t G= x1 + x2 + + xn n x1 x2 xn n x1 = x2 = = xn st rs n x1 x2 xn a1 = rr x x2 x1 x1 x2 xn , a2 = , , an = = G G Gn an x1 x2 xn x1 + x2 + + xn a1 a2 + + + = + + + n x1 x2 xn an a1 an1 G G G n n a1 = a2 = = an qt s x1 = x2 = = xn tr r qt t x1 , x2 , , xn Pr st rs rr n a1 , a2 , , an n x1 x2 xn n 1 + + + x1 x2 xn sr s t r a1 a2 an G G G + + + = + + + a2 a3 a1 x1 x2 xn t s t rst t qr rttr qt t x1 , x2 , , xn rs x1 + x2 + + xn x1 + x2 + + xn n n Pr rr rtt xi x1 + x2 + + xn x1 x1 + x2 x2 + + xn xn x1 + x2 + + xn x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 2 x1 + x2 + + xn x1 x3 + x2 x4 + + xn x2 2 x1 + x2 + + xn x1 xn + x2 x1 + + xn xn1 qts ttr n(x1 + x2 + + xn ) (x1 + x2 + + xn )2 st s qt s x1 = x2 = = xn t tự s ỏ s r qt qt t a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn r rs (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 (a1 + a2 + + an ).(b1 + b2 + + bn ) Pr rst s tr a1 = a2 = = an = b1 = b2 = = bn = r trs a1 + a2 + + an , A= B= t r r t rr a1 + a2 = xi = b1 + b2 + + bn bi , xn+i = i n A B + + an b1 + b2 + + bn + = x1 + x2 + + x2n A2 B2 x1 xn+1 + x2 xn+2 + + xn + x2n + xn+1 x1 + xn+2 x2 + + x2n xn 2(a1 b1 + a2 b2 + + an bn ) AB (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 (a1 + a2 + + an ).(b1 + b2 + + bn ) qt s xi = xn+i B = bi A i n ss qt t x1 x2 xn x1 y1 +x2 y2 + +xn yn Pr y1 y2 yn r rs (x1 + x2 + + xn )(y1 + y2 + + yn ) x1 yn +x2 yn1 + +xn y1 n rrt qt rtt x1 y1 + x2 y2 + + xn yn x1 y1 + x2 y2 + + xn yn x1 y1 + x2 y2 + + xn yn xi t qts t r rst yi x1 yn + x2 yn1 + + xn y1 x1 yn + x2 yn1 + + xn y1 x1 yn + x2 yn1 + + xn y1 x1 y1 + x2 y2 + + xn yn x1 y2 + x2 y3 + + xn y1 x1 yn + x2 yn1 + + xn y1 t tự r ữ t t rs t 0 ợ P (n) = i N õ x1 x2 xn1 n + + + x + x3 x3 + x4 xn + x1 s t ữủ qt t ợ ỳ t q ổ trữớ t q rt ù ù õ t t tữỡ ố tt q tr t t tr tr ố s t tự r ữ t t P ỵ t ỡ s ỗ t tự tr ữủ q tớ q trồ tr sỷ ỵ t ổ ú tr trữớ ủ t r r P s ợ ỳ ợ ỡ ỗ tớ ụ ự ữủ s ợ ợ ú ởt s ự ữủ r P s trữớ ủ P P ự ú õ ự P s ụ ũ ự ữủ tt s q k0 số tỹ Pk0 ú t P ú ợ ổ ữủt k0 k0 số tỹ Pk0 s t P s s ợ ợ ỡ k0 t q ỳ trữớ ủ ú õ t tt P s ợ ợ ỡ P s ợ tr ổ ọ ỡ s ữủ P ú ởt ự tr ữủ số số trữớ ủ ỗ ụ t tú q tr ự ỵ út ố ũ rs ỹ tr ỳ t t t t tr ự tt r P ú ợ ổ ữủt q P ú ợ ổ ữủt q s ợ trữớ ủ ỏ t ổ tr rs ự sỹ ú s tt r s ự ổ t trữớ ủ s ổ ố ự ũ r õ tr t ữ t q ủ ỳ ọ ỏ t ữớ q t ởt t t t sỡ t s t t tổ số t ố số ụ ữ õ t tọ tở rt rữợ ởt t ữớ t t ổ tr ữủ t trữợ ọ s ữ số t sỹ t t t ữ ỏ t sỹ trữớ ủ ợ ỡ số tứ tr tứ tt r ữủ t ố út õ sổ ỡ tr ỗ ứ ởt t ữớ t rở s t ự tỹ t t q trợ tr ợ t t q r ổ t trồ ổ stt ữủ ự tứ ỵ s tr t ởt trữớ ủ t ỵ r ợ ợ ữỡ b c a + + b+c c+a a+b õ rt ự tú ỵ ữ ữ t ự sỷ ỵ s ụ õ t t ởt ữợ t r ỵ r số t tờ tự rt ợ ợ õ ữủ t số õ ai + ai+1 + ai+2 s ợt ổ ỗ ỡ õ s ú t ởt t õ t tt ợ ú t xi 0, xi + xi+1 + xi+2 > P (n) = ợ i N õ x2 xn1 n x1 + + + x1 + x2 + x3 x2 + x3 + x4 xn1 + xn + x1 s ởt ổ ủ t t ợ ữỡ 1 1 1 + + + + a b c ca ab bc ữỡ 1 1 + + 3 a b c a b + a b c + b c a b t ữỡ tr tr số tỹ t ởt tự ỗ cm tờ ởt ữớ ố 2x3 = x4 + 27 16 ữớ ữỡ ữỡ m.xn + nxm m + n t q ú số tỹ ữỡ số ữỡ tỹ ữỡ ụ ú aa bb cc a+b+c a+b+c ỳ số tỹ a b c a2 b2 c2 + 2+ + + b c a b c a ợ số ữỡ a1 + a2 + + an n a1 +a2 + +an a1 a1 a2 a2 an an a1 + a2 + + an a1 + a2 + + an a1 +a2 + +an r = q q = (1 + a)q > + qa (1 + a)q < + qa q>1 q (n + 1)n1 xn y n1 (nx (n 1).y) t tự tr tr ỹ t số > 0(i = 1, 2, , n) f (x) = x5 3x (a1 a1 a2 a2 an an )n (a1 a2 an )a1 +a2 + +an q số ữỡ ợ ỡ (n 1)2 pq + (n 1).(p + q) + (n 1).pq + n ợ tỹ ợ ỡ bi n2 + n2 + + n2 n2 (n 1)2 < ợ số tỹ ữỡ n bi n n n bi t 1 bi ợ số ữỡ a b c d + + + b+c c+d d+a a+b t tự tr ự t ự r t ợ ỡ t t t ỡ ỡ t t r trữớ ủ r rtr P tr t s tờ tứ P t ọ t t ữớ ởt t ữủ t tr ởt t ộ t tr ởt tữỡ ự t trữợ t r tt t t tr t t t õ ữớ t t õ ọ t ị ổ tự t ỏ trỏ t t ỏ trỏ t t t ữủt r 2 d = R 2Rr ổ tự r t tự P ởt tự ỗ t tự tỹ ữủt ữớ ac + bd ef r tứ t tr ỏ trỏ t tự P ởt tở t P õ t tr tr t tứ P ữủt tứ P ữớ t ữủt õ u + v + w 2(x + y + z) r P trồ t t r t õ ũ t õ t ợ t ự r t ý ởt t õ t ụ õ t r t ũ t t õ ọ t t ữủ tr ổt t ổ õ t ổ q ợ ổ t tú t ổ t trũ ủ ợ tớ ởt ữ t ữ t P ữủ t qt ú tổ s tt tr ử ố t ữ Pử t t trồ t t ỳ t tự t ỳ t tr tr sr t q tr s s t ởt số ỵ tữ ữ t ữủ t ữ ụ s tứ t ỳ tố q ổ t tr t ộ ữớ õ ỳ t tự t t t tứ ởt ( (x y)2 0) x2 y + 2y(x y) (1) t ởt số ữ ố x = y + (x y) (2) = + 0.(x y) (3) ợ ữủt số tr õ ữỡ ỗ t ữủ ax2 + bx + c (ay + by + c) + 2ay(x y) f (x) = ax2 + bx + c t ữủ ởt t tự tú ợ f (x) f (y) + (2ay + b)(x y) (4) t s õ f (y) f (x) + (x + y) 2ay + b 2ay + b (5) ởt ỏ t r t ũ từ r t ữớ t ũ t t t t ũ t ỳ t õ r t x + x2 + x3 = 10 tr ỹ t tự M= x1 x2 x3 + + 10 (6) ũ t t s t ũ từ r t ữủ t tt t ũ từ f (x) = x2 ữ tr số y1 = 2, y2 = 3, y3 = ỵ (x = xi ; y = yi ) ữủt r y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3 ) t ữủ x1 f (y) + (x1 2) = + (x y) 4 2ay + b f (x) = 2ay + b x2 + (x2 3) 6 25 x3 + (x3 5) 10 10 ỡ õ số t t ữủ t q tr x1 x2 x3 + + 10 t q P t ứ ữủ ũ t t s t t t x + x2 + x3 = 10 tr ỹ t tự M= x1 x2 x3 + + 10 (6) ỳ ữớ õ ố s õ r ỳ số t õ số (y1 ; y2 ; y3 ) ợ y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3 ) số s tọ ữỡ tr y1 + y2 + y3 = 10 2ay1 + b = 2ay2 + b = 2ay3 + b = 10 a > 0; 2ayi + b > 0(i = 1, 2, 3) ố ũ ợ số t tr f (xi )(i = 1, 2, 3) ũ t t s t t ụ t ởt ổ ố ợ ữớ ổ ũ ởt ỡ õ ữủ ổ r r ỏ ởt ỳ tự s õ ữủ t tử s t t ữ tr ú tổ ụ q t ỡ t ự ỵ r số t tr t ỡ sỹ q t ỳ ỵ õ õ