BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa Chứng minh bất đẳng thức sau 1.Cho a,b,c,d > a) a < b < b) a > b > c) < < d) < < 2.Cho < b,d > 0, Chứng minh < < 3.Chứng minh ∀ a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + ≥ 6a c) a + > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ e) 2abc ≤ a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2 ≤ (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b +1>0 k) ≥ l) + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) m) ≤ n) ( )2 ≤ o) ≥ ( )2 2 p) + b + c ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4.Cho a ,b ∈ [– 1;1] Chứng minh : |a + b| ≤ |1 + ab| 4.a)Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ ≥ b)Chứng minh rằng: với hai số a b tùy ý ta có ≤ + 5.Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : ab ≥ a + b 6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + > 6.Cho ba số a ,b ,c ∈ [0;1],chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca ≤ 4.Cho < a ≤ b ≤ c Chứng minh : b() + (a + c) ≤ ()(a + c) 5.Cho a > b > c ≥ Chứng minh ≥ 5.Cho a + b + c ≠ Chứng minh : ≥ 5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh : + + ≤ 4.Cho số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Chứng minh : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh : ≥ a) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : ≥ a) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh : ≥ ∀ a,b,c,d chứng minh a) ≥ b) < < 7.Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh : a) a3 + b3 + c *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *e) (a + b + c)2 ≤ 9bc với a ≤ b ≤ c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ≤ abc Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ ,chứng minh : a4 + b4 ≥ a3 + b3 *9.Cho a ,b ,c ≥ , chứng minh : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *10 Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác,với a ≤ b ≤ c Chứng minh : (a + b + c)2 ≤ 9bc *.Cho tam giác ABC,chứng minh : ≥ *.Cho a ,b ,c ∈ [0;2] Chứng minh : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ Chứng minh : + + + …+ < ∀ n ∈ N Chứng minh : + + + …+ < ∀ n ∈ N n≥2 *.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = Chứng minh : ≤ a+b+c ≤ Cho số a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a) a2 + b2 + c2 ≥ b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy 1.Cho hai số a ≥ , b ≥ Chứng minh : a) ≥ a , b > b) a2b + ≥ 2a b > c) ≥1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≤ i) ≥ j) + ≥ + + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ m) ≥ 2.Cho a > , chứng minh : (1 + a)2≥ 16 Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng: a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + ) 3.Cho < a < b , chứng minh rằng: a < < < 3.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ , chứng minh : a + b ≤ ab 4.Cho số a,b,c ≥ Chứng minh : a) ab + ≥ (b ≠ 0) b) a + b + c ≥ c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) (+) ≥ e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc )3 Chứng minh ∀x ∈(0; π/2) ta có: cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 5.Cho số a ,b ,c thoả a + b + c = Chứng minh : a4 + b4 + c4 ≥ abc 5.Cho số a,b,c không âm,Chứng minh : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c c)()( )() ≥ d) ()()( ) ≥ e) (a + b + c)() ≥ f) (a + b + c)() ≥ g) ≥ g) ≥ h) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 i) 3a + 2b + 4c ≥ + + j) ≥ + + 6.Cho số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh : a) (ab + cd)( + ) ≥ b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 e) ≥ abcd f) + + ≥ g) + + + ≥ h) ≥ 3a b – 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a+b+c+6 7.Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n ∈ N 8.Cho a + b = 1,Chứng minh : a) ab ≤ b)a2 + b2 ≥ c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥ 9*.Cho a > b ab = ,chứng minh : ≥ * Chứng minh – ≤ ≤ 10.a) Chứng minh b > , c > : ≥ b)Sử dụng kết chứng minh a ,b ,c ba số không âm có tổng a + b + c = b + c ≥ 16abc 11.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 12.Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh : a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc ≤ 13*.Cho số a ,b ,c ,d > thoả mãn + + + ≥ Chứng minh abcd ≤ 14.Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ,chứng minh : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c) (p – a)(p – b)(p – c) ≤ d) ≥ 2( ) e) < + + < 15.Cho số a ,b ,c ≥ ,thoả mãn a.b.c = Chứng minh : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 15 Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Chứng minh – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ + 16 Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an Chứng minh a) ≥ n b) (a1 + a2 + … + an)() ≥ n2 c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an =1 17.Cho n số a1 ,a2 ,….,an ∈ [0;1] ,chứng minh : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an ) 18.Cho a > b > , chứng minh : a + ≥ Khi xảy dấu = 18 Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh : a) + 3≥ b) 55 a + 1212 b ≥ 1717 ab c) ≥ 3a2b3 – 16 19 Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn 20*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh : a+b+c≥ m+n +k a m b n c k + m+n +k a n b k c m + m+n +k a k b m c n 21*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an b1 ,b2 , ….,bn Chứng minh : ≤ 21 Chứng minh : ≤ ∀ a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > 22* ∀ n ∈ N chứng minh : a) < n + 1 n ( n +1) n ( n +1) b) 1.22.33.44…nn < 2n + 23*.Cho m,n ∈ N ;m > n Chứng minh : ( + )m > ( + ) n 24*.Cho x1,x2,…xn > x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh ()()…( ) ≥ (n + 1)n 25*.Cho số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 26*.Cho số a ,b ,c ∈ (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 27*.Cho số a,b,c > Chứng minh : + + ≤ 28** Cho x ,y ,z ∈ [0;1] ,chứng minh : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) ≤ (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 29*.Cho a , b , c > Chứng minh : a) ≤ b) ≥ *Cho a ,b ,c > 0,chứng minh : a) ≥ b) ≥ c) ≥ d) ≥ ab + bc + ca e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c g) ≥ ≥ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý Chứng minh : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc *Cho a ,b ,c > thoả : Chứng minh : ≥ *Cho số a, b, c thoả a + b + c ≤ Chứng minh : a) + + ≥ b) + + ≥ *Cho a ,b ,c > thoả a + b + c ≤ k Chứng minh : )≥3 *Cho ba số a ,b ,c ≠ Chứng minh : ≥ *Cho tam giác ABC,Chứng minh : a) + hb + hc ≥ 9r b) < Dùng tam thức bậc hai ∀ x , y ∈ R Chứng minh : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + > a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + ≥ c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + ≥ d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + ≥ (x + y) f) + 10 ≥ g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 2.Cho số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Chứng minh : (1 + 2x + 3x)2 < + 3.4x + 32x+1 Cho ax + by ≥ ,∀ x,y > Chứng minh : ab ≥ 1/4 *5 Cho – ≤ x ≤ – < y < ,chứng minh : x2 + 3xy + > 6** Cho a3 > 36 abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a) Chứng minh : f(x) > ∀x b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca Cho hai số x , y thoả mãn: x ≤ y Chứng minh x3 – 3x ≤ y3 – 3y + Tìm Giá trị nhỏ hàm số : a) y = x2 + b) y = x + + với x > – c) y = x + với x > d) y = với x > – e) y = với x > f) y = + với x ∈ (0;1) Tìm giá trị lớn hàm số sau: y = x(2 – x) 0≤ x ≤ y = (2x – 3)(5 – 2x) ≤ x ≤ y = (3x – 2)(1 – x) ≤ x ≤ y = (2x – 1)(4 – 3x) ≤ x ≤ y = 4x3 – x4 với x ∈ [0;4] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên tia Ox Oy lấy điểm A B thay đổi cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = Xác định tọa độ A B để đoạn AB có độ dài nhỏ *.Cho a ≥ ; b ≥ ; c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A= *Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = +