Phân dạng và bài tập bất đẳng thức, GTLN GTNN Trần Quốc Nghĩa

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Phần BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  Phần BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) 10 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz 17 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 19 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ 21 Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 23 Dạng Sử dụng phương pháp làm trội 25 Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 28 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 30 Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 Dạng Dùng tam thức bậc hai 35 Dạng Dùng BĐT Cauchy 37 Dạng Dùng BĐT C.B.S 41 Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 43 Dạng Dùng tọa độ vectơ 44 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 45 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 49 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 55 Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Tóm tắt lí thuyết Tính chất: Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số a 0, c > Nâng lên lũy thừa với n   a  b  ac bd c  d  a  b   ac  bd  c  d (4) (5) Mũ lẻ a  b  a 2n1  b2n1 (6a) Mũ chẵn  a  b  a n  b2 n (6b) a0 ab a  b (7a) a ab a  b (7b) Lấy hai vế Nghịch đảo a, b dấu a, b khác dấu 1  a b 1 ab  a b ab (8a) (8b)  Lưu ý:  Khơng có qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều  Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương  Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi Bất đẳng thức cạnh tam giác: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta có:  a b  c  a b  a, b, c    bc  a  bc ca b  ca Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:   x  x  x , với số thực x  x  0; x  x; x   x , với số thực x  x  a  a  x  a với a  x  a  x  a x  a với a    Định lí:  a, b ta có: a  b  ab  a  b Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)  Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta có: ab ab  ab hay a  b  ab hay    ab   Dấu “=” xảy a = b  Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì: S2 S2 ab  S  ab   (ab) Max  , đạt a = b 4 Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn  Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a b = P khơng đổi thì: a  b  P  (a  b) M in  P , đạt a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  Mở rộng: ① Với số a, b, c khơng âm, ta có: abc abc  abc hay a  b  c  3 abc hay    abc 3   Dấu “=” xảy a = b = c ② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta có: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacơpxki (chứng minh trước dùng)  Dạng tổng qt: Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:  Dạng 1: (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n b1 b2 bn  Dạng 2: a1b1  a2b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n b1 b2 bn  Dạng 3: a1b1  a2b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n  b1 b2 bn  Hệ quả:  Nếu a1x1  a2 x2   an xn  c số thì: x x x c2 min( x  x   x )      n 2 a1  a2   an a1 a2 an 2 2 n Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)  Nếu x12  x12   xn2  c số thì: max(a1 x1  a2 x2   an xn )  c a12  a22   an2  x x1 x2    n  a1 a2 an max(a1 x1  a2 x2   an xn )   c a12  a22   an2  x x1 x2    n  a1 a2 an  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y số thực, ta có:  Dạng 1: (ax  by)2  (a  b2 )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 2: ax  by  (a  b2 )( x  y ) a b Dấu “=”  x y  Dạng 3: ax  by  (a  b2 )( x  y ) Dấu “=” a b   x y Phương pháp giải tốn Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh A  B định nghĩa, ta lựa chọn theo hướng sau: Hướng Chứng minh A – B  Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức Hướng Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại Chú ý: Với hướng hướng cơng việc thường biến đổi A – B thành tổng đại lượng khơng âm Và với bất đẳng thức A – B  cần dấu “=” xảy ? B BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a, b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b2  2ab ③ a2  b2  c2  ab  bc  ca ② a2  b2   ab  a  b a ac a ④ Nếu   b bc b ⑤ a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b) ⑥ a  x2  b2  y  (a  b)2  ( x  y)2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a, b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b2  c2   2(a  b  c) ② a  b2  c2  2(ab  bc  ca) a2  b2  c  ab  ac  2bc ④ a4  b4  c2   2a(a 2b  a  c  1) ③ ⑤ a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a )  6abc ⑥ a2  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) 1 1 1   ⑦    , với a, b, c  a b c ab bc ca ⑧ a  b  c  ab  bc  ca , với a, b, c  1.2 Cho a, b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình a  b3  a  b  ①   , với a, b    ② a4  b4  a3b  ab3 ③ a   4a2 ④ a3  b3  c3  abc , với a,b,c  a b6 a2  , với a, b  ⑥  2 b2 a a2  1 ⑦ , với a, b    2  a  b  ab ⑧ (a5  b5 )(a  b)  (a  b4 )(a  b2 ) , với ab  ⑤ a  b4  1.3 Cho a, b, c, d , e Chứng minh a  b2  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① (a  1)(b2  1)(c2  1)  8abc ② (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d  4)  256abcd ③ a4  b4  c4  d  4abcd 1.4 Cho a, b, c  Chứng minh a  b2  c  ab  bc  ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① (a  b  c)  3(a  b2  c ) ② a  b4  c4  abc(a  b  c) ③ (a  b  c)  3(ab  bc  ca) a  b2  c  a  b  c   ④  3   ⑤ abc ab  bc  ca  , với a, b, c  3 ⑥ a4  b4  c4  abc , với a  b  c  1.5 a ac a   (3) b bc b Áp dụng bất đẳng thức (3) để chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c, d  Chứng minh rằng: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) a b c   2 ab bc ca a b c d ② 1    2 a bc bcd cd a d a b ab bc cd d a ③ 2    2 abc bcd cd a d a b ① 1.6 Cho a, b, c  Chứng minh a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b) (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ② ③ ④ ⑤ 1.7 a  b3 b3  c c  a    2(a  b  c) ab bc ca 1 1 , a, b, c   3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1  3   , với abc  3 a  b  b  c  c  a3  1 1    , với a, b, c  abc  a  b 1 b  c 1 c  a 1  a3  b3    b3  c3    c3  a3   2(a  b  c) , a, b, c  Cho a, b, x, y  xki): Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-cơp- a  x  b2  y  (a  b)2  ( x  y)2 (5) Áp dụng (5): ① Cho a, b  thỏa a  b  Chứng minh:  a   b2  ② Tìm GTNN P  a  1  b  , với a, b  b a ③ Cho x, y, z  thỏa x  y  z  Chứng minh: x2  1  y   z   82 x y z Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 10 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):   x  y  xy ①  Với x, y   Dấu “=” xảy x  y 2   x  y  xy ②  Với x, y   x  y 2  xy ③    Dấu “=” xảy x  y  ( x  y )  xy ④  x  y  z  3 xyz ⑤   Với x, y, z   x  y  z 3 Dấu “=” x  y  z  xyz ⑥     B BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① (a  b)2  4ab 1 ③   a b ab ② 2(a  b2 )  (a  b)2 1 ④    a b c abc Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 44 Dạng Dùng tọa độ vectơ  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI a  ( x; y)  a  x  y 2 AB   xB  xA    yB  yA  2 AB  BC  AC , dấu “=” xảy B nằm A C u  v  u  v  u  v , dấu “=” xảy u , v hướng u  v  w  u  v  w , dấu “=” xảy u , v , w hướng u.v  u v B BÀI TẬP MẪU VD 1.18 Tìm GTNN: P  x2  x   x2  x  C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.41 Tìm GTLN, GTNN: ① Tìm GTNN: P  x2  2ax  2a  x2  2bx  2b2 , a  0, b  ② Tìm GTNN: P  a  6a  13  a  2a  ③ Tìm GTLN: P  x2  10 x  26  x  x  ④ Tìm GTNN: P  x2  x   x2  x  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 45 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN  TN1.36 Cho f  x   x  x Kết luận sau đúng? B f ( x) có giá trị lớn C f ( x) có giá trị nhỏ  D f ( x) có giá trị lớn A f ( x) có giá trị nhỏ TN1.37 Cho hàm số f  x   Mệnh đề sau ? x2  A f ( x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f ( x) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f ( x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn D f ( x) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn TN1.38 x  y  Với giá trị a hệ phương trình  có  x  y  2a  nghiệm ( x; y) với x y lớn C a   B a  A a  TN1.39 D a  Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b 9 A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn 4 C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 46 TN1.40 Cho a  b  Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ 1 B có giá trị lớn 1 C có giá trị nhỏ a  b D khơng có giá trị nhỏ TN1.41 Cho x  y  1, gọi S  x  y Khi ta có A S   B S  C   S  TN1.42 D 1  S  Cho x, y hai số thực thay đổi cho x  y  Gọi m  x  y Khi ta có: A giá trị nhỏ m B giá trị nhỏ m C giá trị lớn m D giá trị lớn m TN1.43 Với x  , biểu thức: x 1 x 2 , , , , x x 1 x 1 giá trị biểu thức nhỏ nhất? 2 A B C x 1 x 1 x x D TN1.44 Giá trị nhỏ biểu thức x  3x với x  là: 27 81 A  B  C  D  4 TN1.45 Giá trị nhỏ biểu thức x  x với x  là: A  TN1.46 C Giá trị nhỏ củabiểu thức x  x với x  A 9 TN1.47 B  B 6 C D là: D Cho biểu thức P  a  a với a  Mệnh đề sau mệnh đề đúng? C GTLN P A GTLN P B GTLN P D P đạt GTLN a  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) TN1.48 x  5x  11 C D 11 Giá trị lớn hàm số f  x   A TN1.49 47 11 B 11 Cho biểu thức f  x    x Kết luận sau đúng? A Hàm số f ( x) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f ( x) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn TN1.50 Giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  A TN1.51 B B B D 2 với x  x C 2 B C 2 C Giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  A B C D x với x 1  x 1 Cho x  Giá trị lớn hàm số f ( x)  A TN1.54 Giá trị nhỏ hàm số f ( x)  A TN1.53 C Giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  A TN1.52 2 với x  x D x2 x D với x  x D 2 Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN1.55 Giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  A TN1.56 B C 48 với x  x2 D 2 Điền số thích hợp vào chỗ chấm để mệnh đề A Giá trị lớn hàm số y  x    x với  x  là… ………… B Giá trị nhỏ hàm số y  x  5x  …………… Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 49 BÀI TẬP TỔNG HP PHẦN  1.42 Chứng minh rằng: x4  x5  x  x   0, x  HD đặt t  x 1.43 Chứng minh rằng: ab bc ca   6 c a b 1.44 Cho a  b  Chứng minh rằng: a) a  b2  b) a  b4  1.45 Cho a  0, b  Chứng minh c) a8  b8  a b   a b b a 1.46 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① 5( x  1)  x5   5x4 ( x  1) , x –1  ② x5  y5  x4 y  xy  , biết x  y  ③ 4a   4b   4c   , biết a, b, c   , a  b  c  1.47 Chứng minh a  b ab  1  a b 1.48 Chứng minh a  ab  b2  với số thực a, b 1.49 Chứng minh rằng: a  b a  b a  b3   , a  b   2 a  b a  b a  b3 a  b    ② , a, b, c  2 ① 1.50 Chứng minh rằng, x  y  1.51 Chứng minh rằng: x y  x 1 y 1 Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 50 a b  2 b a a b ② Nếu a, b hai số trái dấu   2 b a ① Nếu a, b hai số dấu 1.52 Chứng minh a, b, c  thì: a b4 c    3abc b c a 1.53 Chứng minh a, b, c  thì: (a  b  c)2  3(a  b2  c )  abcd  1.54 CMR a, b, c, d khơng âm thì:    abcd   1.55 Chứng minh a, b khơng âm thì: ab a b   1 a  b 1 a 1 b 1.56 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c  ab  bc  ca , với a  0, b  0, c  ② a2b2  b2c2  c2 a2  abc(a  b  c) , với a, b, c  1.57 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① ② a2  a2  a2  a2  1.58 So sánh:  , với a   , với a  a   a  a  a  , với a  1.59 Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a  b4  c4  abc(a  b  c) 1.60 Cho a, b, c   0; 1 Chứng minh bất đẳng 1 thức sau sai: a(1  b)  , b(1  c)  , c(1  a)  4 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 51 1.61 Giả sử a, b, c ba số dương cho: ax  b 1– x   cx 1– x  với giá trị x Chứng minh đó, với giá trị x ta có: ax  c(1  x)  bx(1  x) bx  c(1  x)  ax(1  x) 1.62 Cho số thực x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức: 16 xyz ( x  y  z )  3 ( x  y)4 ( y  z )4 ( z  x)4 1.63 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a3 b3 c3    (1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  b)(1  a) 1.64 Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh rằng:    729  1  1  1     a  b  c  512 1.65 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: p p  a  p  b  p  c  3p 1.66 Cho a, b, c, p, q số dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c    pb  qc pc  qa pa  qb p  q 1.67 Cho a, b, c ba số khác Chứng minh rằng: a b2 c a b c      b2 c a b c a 1.68 Áp dụng BĐT Cơ-si để tìm giá trị nhỏ hàm số sau: x 18 x 18 ① y  ② y  (x  0) (x  1) x x x  1 3x (x  1) ③ y  ④ y   x   2x 1  2 x 1 ⑤ y x3  x  ( :  x  1) ⑥ y  (x  0) x 1 x x Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 52 1.69 Áp dụng BĐT Cơ-si để tìm giá trị nhỏ hàm số sau: ① y  ( x  3)(5  x) (3  x  5) ② y  ( x(6  x) ④ y  (2 x  5)(5  x) (0  x  6) (3  x  ) (5 /  x  5) ⑤ y  (6 x  3)(5  x) (1/  x  / 2) ⑥ y  x2  x2 (3  x  3) ③ y  ( x  3)(5  x) 1.70 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: ① x2  x   x 1  ② 4x 1  2x 1  ③ ĐS: ¼  x  ½ x 1  x   x 1  x   ④ x3  11x2  25x  12  x  x  ⑤ x  (1  x)4  ĐS: x  1 27 ĐS: x  ĐS: x   x  ĐS: x  1/ ⑥ x  1 x  x  1 x   ⑦ x  x2 1  x  x2 1  ĐS: x  1/ ĐS: x  ⑧ 3x   x   x  ĐS: x  ⑨ x   3x   x  ĐS: x    xy   x  x ⑩  2 xy  x  x  ĐS: 1; 1 2   x y  y x 2 ⑪ 2  x  y  x  y   1 1   1 1  ; ; ,  ,  0; 1 ,  1;0    2   ĐS:  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 53 a b  b a 1.72 Cho a  Tìm GTNN biểu thức: S  a  a 1.73 Cho a  Tìm GTNN biểu thức: S  a  a 1.71 Cho a, b  Tìm GTNN biểu thức: S  1.74 Cho a, b  a  b  Tìm GTNN biểu thức: S  ab  1.75 Cho a, b  Tìm GTNN biểu thức: S  ab ab ab  ab a  b Tìm GTNN biểu thức: 1 S  abc   a b c 1.77 Cho a, b, c  a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: 1.76 Cho a, b, c  a  b  c  S  a2  1.78 Cho a, b, c0 S  abc 1  b2   c  2 b c a a  b2  c  Tìm GTNN của: abc 1.79 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  1  1   P            a b  b c  c a  1.80 Cho a, b, c khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T a2 b2 c2   a  (b  c)2 b  (c  a)2 c  (a  b) 1.81 Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ab bc ca   c a b Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 54 1.82 Cho hai số thực a b thỏa điều kiện a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a8  b8 1.83 Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện  x  ,  y  Tìm giá trị lớn P  (3  x)(4  y)(2 x  y) 1.84 Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T ab bc ca   c a b 1.85 Với a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ của: T  4a 9b 16c   b c a c  a b a b c Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 55 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN  TN1.57 TN1.58 Cho a  b  Bất đẳng thức sau đúng? A a3  b3  (a  b)(a  b)2 B  a  b   4ab C a  a  2b   b  b  2a  D Cả đáp án Cho số a b Câu sau sai? a b a b A 1  a    4a B   1 a  b 1 a 1 b C TN1.59 a b  1 a 1 b Cho a, b, c, d với a  b  c  d  Bất đẳng thức B a  c  b  d D a  c2  b2  d Cho số a, b, c khơng âm Bất đẳng thức sau sai? A  a  b  c    a  b2  c  B C ab  bc  ca  a  b2  c TN1.62 2 B 2a  b2  c2 D Cả đáp án sau sai? A a  c  b  d C ac  bd TN1.61 D 4ab  a  b    a  b2  Cho a, b, c với a  b a  c Câu sau đúng? A a  bc C 2a  b  c TN1.60  a b   ab D  a  b  ab  1  4ab Xét mệnh đề sau đây: I a3  b3   a  b   a  b  II a  b  ab III  a  b  c    ab  bc  ca  Mệnh đề đúng? A I II B II III C I III D I, II III Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN1.63 Bất đẳng thức sau sai? a2  A C TN1.64 56 a2  2 a6  1  a6  B ab  ab  D Cả đáp án Cho a, b, c cạnh tam giác Xét bất đẳng thức sau đây: I a2  b2  c2  ab  bc  ca II a  b2  c2  2(ab  bc  ca) III a  b  c   b  c  a   c  a  b   a3  b3  c3 2 Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I B Chỉ II TN1.65  a b   ab   ab B a3  b3   a  b  ab C a2  b2  c2  ab  bc  ca C x  x 2 y y B x  y   x  y  xy D Cả A B Cho a, b, c dương Bất đẳng thức đúng? ab bc ca    c a b ab bc ca    C c a b A TN1.68 D Cả A C Câu 10 Câu sau với số x y ? 1  1  A  x     x   x  x  TN1.67 D I III Cho a, b, c số khơng âm Xét bất đẳng thức sau đúng? A TN1.66 C Chỉ III B ab bc ca   6 c a b D Cả A C Cho a, b, c dương Câu sau sai ? Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) A a3  b3  ab  a  b  C a  b2  TN1.69  a  b 57 B  a  b  b  c  c  a   8abc D 1   a b ab Cho a, b, c dương Bất đẳng thức đúng? A a  b2  c    6 a b c 1 1 B (a  b  c)      a b c 1    C   a   b   c   D Cả A C b  c  a  TN1.70 TN1.71 TN1.72 TN1.73 Cho x  y  Câu sau sai ? A |12 x  y | 13 B |12 x  y | 17 C |12 x  y | 169 D |12 x  y | 289 Cho bốn số a, b, x, y thỏa mãn x2  y  2, a  3x, b  y Tìm bất đẳng thức A | ax  by | B | ax  by | C | a( x  y)  b( x  y) | D | a( x  y)  b( x  y) | 54 5  Tìm giá trị lớn hàm số y  2 x2  15x  25  ;5 2  25 25 A B C D 4 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  A  TN1.74 C 2  x  1 D 2  Tìm giá trị lớn hàm số y   x8  32 x  0; 2 A 64 TN1.75 B  x 1 B C 32 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  a  D 16 với a  a Tốn 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình A 16 TN1.76 B 58 C D Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A   x  x  với 2  x  A 18 B 18 C D ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN TN1.32 TN1.33 TN1.34 TN1.35 TN1.56 C B C D D A B C A 10 C 11 B 12 B 13 D 14 B 15 D 16 A 17 A 18 D 19 A 20 D 21 D 22 D 23 C 24 B 25 C 26 A 27 D 28 A 29 B 30 D 31 C 32 33 34 35 36 D 37 D 38 A 39 D 40 D 41 C 42 A 43 B 44 B 45 C 46 A 47 A 48 D 49 C 50 D 51 D 52 B 53 A 54 D 55 C 56 57 B 58 C 59 C 60 B 61 A 62 C 63 D 64 D 65 A 66 D 67 B 68 B 69 D 70 A 71 72 73 74 75 76 C B D A B D A  ; B  ; C  A sai; B đúng; C A  ; B  ; C  ; D  A sai; B đúng; C sai; D 17 x  2 x  ;  [...]... 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 30 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức  TN1.1 Nếu a  b và c  d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A ac  bd B a  c  b  d C a  d  b  c D ac  bd TN1.2 Nếu m  0 , n  0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A m  n B n – m  0 C –m  –n D m – n  0 TN1.3 Nếu a, b và c là các số bất kì và a  b thì bất đẳng nào sau đây...  HD: Đặt b  x  2 y  z  0 c  x  y  2 z  0  16 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 17 Dạng 3 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacôpski mà ở đây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số 1 Cho a, b  và x, y  0 Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ hai  a b  số:... 4: Bất đẳng thức Bất phương trình C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.23 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a 2  4b2  6a  9  a 2  4b2  2a  12b  10  5 ,với a, b, c  ② a 2  ab  b2  a 2  ac  c 2  b2  cb  c 2 , với a, b, c  ③ (a  b)2  c 2  (a  b)2  c 2  2 a 2  c 2 , với a, b, c  ④ 1  x2  x  1  x2  x  1  1 , với x  ⑤ c(a  c)  c(b  c)  ab , với a  c  0, b  c 22 Gv: Trần Quốc. .. b và c  d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? a b A  B a  c  b  d c d C ac  bd D a  c  b  d TN1.5 Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? A 6a  3a B 3a  6a C 6  3a  3  6a D 6  a  3  a TN1.6 Nếu a, b, c là các số bất kì và a  b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A 3a  2c  3b  2c B a 2  b2 C ac  bc D ac  bc TN1.7 Nếu a  b  0 , c  d  0 thì bất. .. C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại: 1.8 Cho a, b, c  0 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a 2  b2  2ab 1 1 1 ③ ( a  b  c)      9 a b c ② (a  b)(1  ab)  4ab 1 1 ④ ( a  b)     4 a b Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  a  b  c  ⑤ 1  1  1... cặp nghịch đảo 1.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a ③ 1 9  a2 4 x 8 6 x 1  a  2   x  1 a2  2  2  a   a2  1 1  3  a  b  0  ④ a a ( a  b) ② Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 15 Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1.12 Cho a, b  0 Chứng minh 1 1 4 (1) Áp dụng bất đẳng   a b ab thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c  0 :... Cauchy (AM-GM): Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Dạng 1: 12 1 1 1 1 4    4 hay   (1) x y x y x y  x  y Dấu “=” xảy ra khi x = y Dạng 2: 1 1 1 1 1 1 9     9 hay    (2) x y z x yz x y z  x  y  z Dấu “=” xảy ra khi x = y = z VD 1.4 Cho a, b  0 Chứng minh 1 1 4 (1) Áp dụng bất đẳng   a b ab thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 1 1   1 ...  b  a  b Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực x ? A x  x TN1.28 33 B x   x C x  x 2 2 D x  x Nếu a, b là những số thực và a  b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 với ab  0  a b A a 2  b2 B C b  a  b D a  b TN1.29 Cho a  0 Nếu x  a thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 A x  a B  x  x C x  a D  x a TN1.30 Nếu x  a thì bất đẳng thức nào... B 1 1  x a C  x  a D x  a Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN1.31 TN1.32 34 Cho a  1, b  1 Bất đẳng thức nào sau đây không đúng ? A a  2 a  1 B ab  2a b  1 C ab  2b a  1 D 2 b  1  b Điền dấu  , , ,   thích hợp vào ô trống để được một bất đẳng thức đúng A Nếu a, b dương thì  ab ab ab 4 B Với a, b bất kỳ 2 a 2  ab  b2 C Nếu a, b, c dương thì TN1.33... 5 1.22 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① Nếu x2  y 2  1 thì x  2 y  5 ② Nếu 3x  4 y  1 thì x 2  y 2  1 25 ③ Nếu 4 x  3 y  15 thì x2  y 2  9 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 21 Dạng 5 Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 a  ( x; y)  a  x 2  y 2 2 AB   xB  xA    yB  yA  2 2 3 AB  BC  AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C 4 u  v  u  v ... qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều  Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương  Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi Bất đẳng thức cạnh tam giác: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm &... Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức Hướng Biến đổi vế trái vế phải...  14  24 x2  x  x2 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 30 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức  TN1.1 Nếu a  b c  d bất đẳng thức sau đúng? A ac  bd B a  c 