Bài toán bất đẳng thức – GTLN – GTNN của biểu thức

Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC Một số bất đẳng thức thường sử dụng 1.1 Cho a, b  Khi ta có a  b  ab Đẳng thức xảy a  b Bất đẳng thức viết dạng khác tương đương  a  b a b 2 ;  a  b   4ab ; a  b  2ab ; a  b2     ab   1.2 Cho a , b, c  Khi ta có a  b  c  3 abc Đẳng thức xảy a  b  c 2 Bất đẳng thức có số ứng dụng để chứng minh số bất đẳng thức khác phổ biến sau: a  b  c  a  b2  c  ab  bc  ca a  b2  c   a  b  c   3 ab  bc  ca   ab  bc  ca   3abc  a  b  c  a 2b2  b2c2  c2a  abc  a  b  c   a  b3  c    a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  a b c 2 a  b  c   a  b  c   1 1   9 a b c 1.4 Một số đẳng thức đáng nhớ  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x   xy  yz  zx 1.5 Tuy nhiên biểu thức làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: 1 , với ab 2 a b 1 ab 1 , với a, b  ab    2  a  b  ab  (1  a )(1  b)   ab  , a, b  II Bất đẳng thức đối xứng hai biến Phương pháp giải 1) x  y  xy ; x; y Dấu "  " xảy x  y ; x  y x2 y2  x  y     2) x  y  ; x; y Dấu "  " xảy x  y ; 1 11 2 x  y  3) xy  ; x; y Dấu "  " xảy x  y ; 4)  x  y   xy ; x; y Dấu "  " xảy x  y 2 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương  GV Nguyễn Hữu Hiếu Cho số thực x, y thỏa điều kiện x  y Bài 2   xy  Tìm giá trị lớn giá trị x4  y4 nhỏ biểu thức P  xy  Lời giải   Đặt t  xy Ta có: xy    x  y   xy  4 xy  xy     Và xy    x  y   xy  xy  xy  x Suy : P  Do đó: P '  2  y2   x2 y2 2 xy   t  t   2t  1  1 ĐK:   t  7t  2t   2t  1  1  5 1  3 , P '   t  0, t  1( L) P     P      x  0; y   Kết luận MaxP     y  0; x    P    15 2 x y MinP  15 Bài Cho x, y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức: x2 y2   y 1 x 1 x  y  Nhận xét Trong toán ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương xuất ẩn phụ Cụ thể sau: x2 y2 ( x  y )3  xy ( x  y )  ( x  y )  xy     Ta có: P  y 1 x 1 x  y  xy  ( x  y )  ( x  y)  P Đặt: t  x  y  xy   t Khi đó: P  f (t )  t  t  t   4 t 3 Bài Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  3xy Lời giải   Ta có P   x  y  x  y  xy  3xy   x  y 8  xy   3xy t2  Đặt x  y  t Do x  y  nên xy  Suy  t2   t2  t3 P  t 8      t  12t  12  2  2   Do  x  y   xy nên t  t   4  t  Xét f  t    t3  t  12t  12 với t   4;4 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu t  4   4;4 f ' t     t    4;4 f  4  28; f  2  26; f  4  Kết luận MaxP  26  t   x  y  1; MinP  28  t  4  x  y  2 Ta có f '  t    t  3t  12; Bài Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S  x y  xy Lời giải Ta có S  xy ( x  y )  S  ( xy ) ( x  y  xy )  ( xy ) (1  3xy ) Đặt t  xy 2 x  y  xy   ( x  y )   xy   t  1 x  y  xy    3xy  ( x  y )   t  t   1  S  f (t )  t (1  3t ), t   1;  f '(t )  2t  9t    t   3  2 1 f ( 1)  4, f (0)  f    0, f  3 S   x  1, y  2  S   2  S      243 S  2  x  1, y  1 Kết luận MaxS   x  1, y  1; MinS  2  x  1, y  1 x3 y3 Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn     2 Tìm giá trị lớn xy y x x y 16 2 biểu thức P  x y  x  y2  Lời giải 4 Từ giả thiết ta có : xy   x  y  2  2x2 y2  xy xy 1   2t  3t  3t    t   ;2  t 2  16 16 2 P  x2 y2   x y   t  x  y2  2 xy  t 1 20 1  Xét hàm số f  t   t  t 2 x  y  , t   ;2 ta có Max f  t   t 1 2  1  ;2 Đặt t  xy, t  ta có 3t   2t    Kết luận Max f  t   1   ;2 20 t 2 x  y  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x 1  y 1 2 P  4  4   x y   x   y  Lời giải Từ giả thiết tốn ta có x  y  x  y  xy  x  y  x  y   x y2  x  y  6 Mặt khác x, y  nên  x  y  xy  x  y Vậy ta có  x  y    Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta chứng minh a  b3   a  b  Ta có 3  x 1  x 1 y 1 x  y  y 1 2 P  4  4     x  y   x   x   y   y 3   x  y 2   x  y    x  y       x  y      t  3t   t Đặt t  x  y, t 2;3 , ta có f  t   P    ; t  2;3   3t  Kết luận Min f  t   64   t   x  y  2;3 Bài Cho x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M  x4  y4  x2 y2 Lời giải 2  1 1  x  y  xy  xy  xy  xy   xy   ( x  y )  xy   xy   Ta có: x  y  xy    Mặt khác, từ x  y  xy   x  y   xy nên M  ( x  y )  3x y  2 x y  xy  Đặt t  xy  M  2t  2t   1  Vậy cần tìm Min Max tam thức bậc hai: f (t )  2t  2t  đoạn  ;1 3    x      x  y  xy    y    1   Ta có: MinM  f ( )  Đạt  1   xy     x         y     Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu  3  x  y  xy   x     Ta có: Max M  f ( )  Đạt khi:  1 2  xy   3  y  2 Bài Cho x, y số thực thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  x y  xy BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu   thức P  x  y  3xy Bài 10 Cho x  0, y  x  y  xy  Tìm GTLN A   3x 3y   ( x2  y2 ) y 1 x 1  Bài 11 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y   x  y  Tìm GTNN  1  1 biểu thức P   x     y   y  x  Bài 12 (B-2009) Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ     biểu thức A  x  y  x y  x  y  Bài 13 (D-2009) Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị    lớn biểu thức S  x  y y  3x  25xy Bài 14 (D-2012) Cho số thực x, y thỏa mãn  x     y    xy  32 Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức A  x3  y  3 xy  1 x  y   Bài 15 (A-2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c2 Tìm giá a  b2 trị nhỏ biểu thức P    3 c  b  3c   a  3c  32a 32b3 Bài 16 Cho x, y  thỏa mãn x y  xy  x  y  3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức Px y 2 1  xy   3 xy Bài 17 Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  xy  y 4 Bài 18 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x  y   Tìm giá trị nhỏ biểu xy xy x 1 y 1   2x  y  x  y2  Bài 19 Cho số thực x, y  thỏa mãn x  y   3xy Tìm giá trị lớn biểu thức 3x 3y 1 P   2 y  x  1 x  y  1 x y thức P  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 20 Cho số thực dương a , b thỏa mãn ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 4b   2ab   3ab b 1 a 1  Bài 21 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x    1  1  y     Tìm giá trị  y x  nhỏ biểu thức P  xy   x   y 2 Bài 22 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  1  1 P  1  x      1  y  1   y x   Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu II Một số toán cần dùng bất đẳng thức phụ Bổ đề: Cho a, b  ta ln có: 1 1) , với ab a b 1 ab 1 2) , với ab    2  a  b  ab (Đề thi HSG 12 Bình Phước 2014) Cho số thực dương a,b thỏa a Bài 1 trị nhỏ biểu thức: Q a b 3 a2 b2 a b 2ab Tìm giá b Nhận xét Trong tốn với giả thiết a b 2ab biểu thức nhẹ nhàng, biểu diễn theo tổng tích Do ẩn phụ tốn phụ thuộc hồn tồn vào biểu thức 1 lại Tuy nhiên biểu thức làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: a b 1 , với ab 2 a b 1 ab Từ giả thiết ta có: 2ab a b ab biểu thức theo tích a b Ta có 3 Q a b2 a b ab Đặt t Bài ab , ta có Q ab ab t3 f (t ) : ab Cho a, b ab Đến ta dự đoán ẩn phụ a b ab 3 4ab 3t 1 Tìm GTNN T a 1 32 b 2a(1 a b a) 2b(1 b) Giải +) Ta có: a b ab ab , Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt tương đương với Lại có: 2 ab ab.1 +) Ta có: a(1 a) b(1 Suy ra: 2a(1 a) 2b(1 b) a b) 2a(1 a) 2b(1 b) ab ab a b Suy ra: ab 1 a 2ab (Đúng) b ab 2 ab b ab ab 2 ab 12 32 2a(1 12 a) 2b(1 32 b) ab 16 ab T +) Đặt t ab 16 ab ab T Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 t 16 t f (t ) Trang Trường THPT Hùng Vương f '(t ) Xét M (t 8t 3)2 (t GV Nguyễn Hữu Hiếu (t 3)2 3) t t(t 3) t (t 3)2 (t 3)2 (t 3) t (t t(t 3) t 3) t t t t2 t t t 6t t 3t (t Suy f '(t ) t f (t ) đồng biến t Từ đó: MinT f (1) t a b t 3) 3t (Đúng t ) t Bài Cho số thực x, y  thỏa mãn x  y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy 1  xy    x  y  x2  y Theo BĐT AM-GM ta có: x  y   x y   x  y   x y   x y  xy   Do đó: xy P   xy  1  x2 y  xy  3   xy  Ta ln có bất đẳng thức phụ sau: Thật ta có: 1   ,  x, y   x  y  xy 1    x  y  xy   xy   x  y   xy  x  y    2x  y  4xy  x2 y  y x   3xy (Điều x2 y  y x   3 x3 y3  3xy ) 1  xy  xy     Vậy P  (theo AM-GM) 2 1 2x 1 y  x  y  xy  xy  2t Đặt t  xy, t  (0;1] Xét f (t )   , t  (0;1]  t  2t Ta có: f '(t )  2 2  t     2t   0, t  (0;1]  f (t ) nghịch biến (0;1] nên P  f (t )  f (1)   x2 y  y x  x  y 1 Vậy P     xy  Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x y trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: S x x 2 y y 2014 2015 2012 Tìm giá 2xy x x y y 1 Nhận xét Phép đặt ẩn phụ cho toán là: t  x  y  Vấn đề đặt với giả thiết phức tạp chặn ẩn phụ t Quan sát vế phải giả thiết ta thầy dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu tổng x  y từ ta có bất đẳng thức chứa ẩn x  y Giải bất phương trình ta thu giới hạn x  y , từ thu điều kiện cho ẩn phụ t Thật vậy: Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương x y x y GV Nguyễn Hữu Hiếu 2014 22 2012 32 x y 2014 2012 13 x y 2012 2012  x  y  2012  13  x  y  2012    x  y  2012   13  x  y  2012     x  y  2012  13  2012  x  y  2015  2013  x  y   2016 Do t   2013; 2016  IV Bất đẳng thức đối xứng ba biến Phương pháp giải Dồn biến t  x  y  z ; t  xy  yz  zx; t  x2  y  z ; t  xyz ; Tìm điều kiện chặt biến t Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN hàm số Chú ý: Đối với toán bất đẳng thức đối xứng ba biến cần ý đến đánh giá, phân tích thường sử dụng sau: 1) x  y  z  xy  yz  zx ; x; y; z Dấu "  " xảy x  y  z ; x  y  z x2 y2 z2  x  y  z      2) x  y  z  ; x; y; z Dấu "  " xảy 1 111 x  y  z ; 2 2  x  y  z xyz  ; x; y; z Dấu "  " xảy x  y  z ; 27 4)  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   xy  yz  zx ; 3) 5) 6) 7)  x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  ; x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  ; x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 121 P 2 14(ab bc ca) a b c Nhận xét Trong toán cần a b c vào P làm xuất ẩn phụ Thật vậy: (a Ta có ab bc Do A Đặt t a2 c)2 b ca a2 b2 (a b2 c2 c2 ) a b2 b 2(ab bc ca) 121 c 7(1 (a c Ta có f (t ) t b2 c )) 121 7(1 t ) Bài Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  zx  x yz Phân tích tìm lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến x  y  z  Quan sát giả thiết yêu cầu toán ta dự đoán ẩn phụ t  x  y  z Từ giả thiết cần lưu ý đánh giá để đưa t  x  y  z Ta có x y z 2  x  y  z  ; xy  yz  zx  x  y  z  Chú ý Bài tốn tìm giá trị lớn biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " Ta có lời giải chi tiết cho tốn sau: Lời giải Ta có  x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z  t2   x2  y2  z2    t  Đặt t  x  y  z , ta có:  xy  yz  zx  2 t 3 5 t3   , f '  t   t    0, t  Khi đó, ta có: P  f  t   t t t 14 Vậy ta có: P  f  t   f  3  Dấu “=” xảy x  y  z  14 Kết luận max P  x  y  z  Bài Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn giá 3 trị nhỏ biểu thức: P   xy  yz  zx   x yz Phân tích tìm lời giải  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến nhau; từ giả thiết ta dự đoán dấu "  " xảy x  y  z  Quan sát giả thiết yêu cầu toán ta dự đoán ẩn phụ t  x  y  z Từ giả thiết cần lưu ý đánh giá: x y z 2  x  y  z  ; xy  yz  zx  x  y  z t   x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z   Chú ý Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nên đánh giá biến t ta cần chặn hai phía Ta có lời giải chi tiết cho toán sau: Lời giải 2   t   Ta có   Đặt x  y  z  t  1 1 4 x  y  z   x  y  z    t   nên P  t     2 t 2 3 2  ;2  Xét hàm số f  t   t   xác định  t   xy  yz  zx  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 10 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải Ta có P  x z 1 1   z  y 1 Trước hết ta chứng minh BĐT (*) ; với a, b  0, ab    2  ab 1 a 1 b 1   Ta có   2  2  1 a 1 b   a2  b2 1 2     a  b   ab  1  với a, b  0, ab  Mặt khác 2 1 a 1 b  ab Suy Bất đẳng thức (*) Đẳng thức xảy a  b  Áp dụng Bất đẳng thức (*) ta có: P  z z 1 1 x x t 2 z   Đạt t  ,  t  , P  x 1 t t 1 1 t t 2 1 t ;  t  , f ' (t )  Xét hàm số f (t )  , f ' (t )   t  t 1 t  t  1  y 1   x   t  f '(t )  f (t ) y z  x  y  x  y  4z Kết luận MaxP   z t    x Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: 5( a  b2  c )  6( ab  bc  ca ) Tìm giá trị lớn biểu thức: M  2(a  b  c)  (a  b2 ) Phân tích tìm lời giải  Đây tốn bất đẳng thức khơng đối xứng ba biến a, b, c lại đối xứng với hai biến a , b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy a  b  u cầu tốn tìm giá trị lớn biểu thức nên ta phải đánh giá biểu thức P theo   chiều "  " Do biểu thức a  b2 đánh giá theo chiều "  " Lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 24 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu ( a  b)  5c  5( a  b2 )  5c  6( ab  bc  ca )  ( a  b)  6c( a  b) a  b  5c  6c(a  b)  (a  b)    c  a  b  a  b  c  2(a  b) 1 Khi : M  2( a  b  c )  ( a  b2 )  2( a  b  c )  ( a  b)  4( a  b)  ( a  b) 2 Đặt t  a  b  t  M  2t  t Xét hàm số: f (t )  2t  t với t  , có f '(t )   2t  f '(t )   t  Ta có Lập bảng biến thiên : t f’(t)    f(t)  3 , t  , dấu "  " t   M  , a, b, c  2 c  a  b   a  b  Kết luận: M max   a  b  2 a  b  c   Bài 10 Cho x, y số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức x 2x P  2 2 ( x  1)( x  y ) ( x  y )  ( xy  1)( x  y ) Từ BBT suy f (t )  Lời giải P x x4  x2 y2  x2  y2 Đặt z  y ta có P  x  2x  ( xy  x  y  1)( x  y )  y x  y 1   x  x  y  z  ( x  1)( y  1)( z  1) 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x  y  z   2  y ( x  1)( y  1)(1  ) x 1 2  x  y    z  1   x  y  z  1 2  x  y  z  3 ( x  1)( y  1)( z  1)      54 54  Suy P  Đặt t  x  y  z   ta có : P   x  y  z   x  y  z  3 t  t  3 54 162  ; f '(t )   t  1; t  1;  ta có : f '(t )    t t  2 t t  2 Lập bảng biến thiên ta có Maxf (t )  f (4)  t1;  Xét hàm f (t )  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 25 Trường THPT Hùng Vương Kết luận MaxP  GV Nguyễn Hữu Hiếu x  y  Bài 11 Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn xy yz x3 y3  y3z3   biểu thức P   z2  x2 24 x z Phân tích tìm lời giải  Đây tốn bất đẳng thức khơng đối xứng ba biến, nhiên đối xứng với hai biến x, y nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  Đây tốn tìm giá trị lớn nên ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức theo chiều "  " Lưu phân thức cuối đồng bậc nên ta đồng bậc hóa hai phân thức đầu bậc cách thay số từ giải thiết hai phân thức đầu đánh giá theo chiều "  " phân thức thứ ba đánh giá theo chiều "  " Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có xy yz xy yz    2 1 z 1 x  z  x2    z2  y2   x2  y    x2  z2  xy  z  x  z  y  yz  x  y  x  z   x2 y2 y2 z2        z  x z  y x  y x  z  1 y2 y2   1    4 z  y x  y  1 y2 y2   y y  1 y y     1            yz xy   z x   z x  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt , ta có x y  y z  ( xy  yz )3 nên 3 3 3 x y y z ( xy  yz ) 1 y y      3 3 z x 4z x 4 z x  1 y y   y y  Suy P           z x  96  z x  1 y y Đặt t   , t  P   t  t  96 z x 1 Xét hàm số f (t )   t  t  với t  96 1 Ta có f '(t )   t  ; f '(t )   t  2, t  32 Suy bảng biến thiên t + Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 – Trang 26 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Dựa vào bảng biến thiên ta có P  xyz , dấu đẳng thức xảy t  hay 12 Kết luận MaxP  , đạt x  y  z  12   Bài 12 Cho x, y,z ba số thực dương thỏa mãn x  y  z x  y  3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y 2z   yz zx x y Phân tích tìm lời giải  Đây tốn bất đẳng thức không đối xứng ba biến, nhiên đối xứng với hai biến x, y nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  Đây tốn tìm giá trị nhỏ nên ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức theo chiều "  " Lưu phân thức thứ ba khác biệt so với hai phân thức đầu nên ta nghĩ đến đánh giá hai phân thức đầu theo phân thức cuối Lưu ý đến bất đẳng thức Cauchy  Schwarzt dạng cộng mẫu số Ta có lời giải chi tiết cho toán sau: Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Cauchy  Schwarzt ta có  x  y 3z  3z  xy   x  y  z  x  y  z Ta có x  y  x  y 2  x  y  z x y x  y  z 2 2z 2 x y x  y x  y 2z 2z P    2 xy  z  x  y  x  y  x  y  x y  zx  y 2 2 x  y 2z 2z    2z x  y  2z x  y x y 1 x y Dấu “=” xảy x  y; z  x  y  t; t  ta có Xét hàm số f  t   1 t f ' t      0, t  , f  t  hàm đồng biến t  Vậy t    8 Min f  t   f    t  hay MinP  x  y; z  x  y 3  BÀI TẬP RÈN LUYỆN a  b Bài 13 Cho ba số thực a, b, c  1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  c   ab  bc  ca  Bài 14 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 a b 2c    b  c c  a a  b  c Trang 27 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 15 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  xy  3 x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  23  xz 2 23 y2 Bài 16 Cho a, b, c ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức P ab  a  2c  b  2c   16 a  b2  c  Bài 17 Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1  ab  7c  ca a  b  c Bài 18 Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z   y  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  x  y  z 1 Bài 19 Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 a  2b  5c   ab  bc  ca  1  Bài 20 Cho a , b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  ab  abc abc Bài 21 Cho a  b; a  c & a, b, c 1;4 Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P   2a  3b b  c c  a HD: Khảo sát biến c, b, a x y   Bài 22 Cho x, y, z  : x  y  z  Tìm Max P  x  yz y  zx z  2 Bài 23 Cho a, b, c dương thỏa a  b  c  2ab  3 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu 2014 2014  thức P   a  b   c  ac b2 Bài 24 Cho a, b, c dương thỏa a  b2  c2  2ab   a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu 40 40 2  thức P  a  b  2c  b  c 1 a3 x y z3    Bài 25 Cho x; y; z  thoả mãn xy  1; z  Tìm Min P  y  x   xy  1 P HD: P  ( x  y )2  xy  x  y xy  Bài 26 Cho x, y, z  Tìm Min P  y  2x2 z  y2 x  2z2    2x  2y 1 2z  x  y  z   Bài 27 Cho số thực dương x, y, z thoả điều kiện x  y  biểu thức P  y  x  z   Tài liệu bồi dưỡng HSG 12  z  Tìm giá trị lớn x  y  z2  2 Trang 28 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 28 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c   a  b  c   2ab Tìm giá trị nhỏ 2   biểu thức Q  a  b  c  48  3  b  c   a  10 Bài 29 Cho số thực x, y, z 1;3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 25 y 12x z 2012 xy yz zx Bài 30 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab biểu thức P a b b c c a 4a b 2bc 3ca Tìm giá trị nhỏ c Bài 31 Cho số thực a, b  (0; 1) thỏa mãn (a3  b3 )(a  b)  ab(a  1)(b  1)  Tìm giá trị lớn 1   ab  (a  b) biểu thức sau F = 2 1 a 1 b xy Tìm giá trị lớn Bài 32 Cho số thực dương x , y thỏa mãn x y xy 2xy x y Bài 33 Cho a, b, c thỏa mãn a b c biểu thức P P b 2 a2 b2 2 c 5bc c a a 5ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức b Bài 34 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a biểu thức P a abc 2b b P a b thoả mãn điều kiện b c c 2c c a2 b2 a a2 b b2 a Tìm giá trị nhỏ a 3a a b b b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2c c2 b Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 a c a c b2 a2 b3 a b a c Đặt x a c c c2 b2 a c Bài 37 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm Min P HD: P 2a c c ;1 Tìm GTNN P Bài 35 Cho số thực dương a, b Bài 36 Cho a, b, c b b ca c b a b ;y a c ;z b ca b a a c c xyz ca c a Khi Trang 29 Trường THPT Hùng Vương x P y y x y xy 5z x 5z z GV Nguyễn Hữu Hiếu z x z z x xy xy z z y y z 5z xy x 5z y z z z z z 5z z 5z z z 2 1 z z z z z Bài 38 Ví dụ (Đề dự bị kỳ thi THPT Quốc gia 2015, sử dụng cho 29 thí sinh gặp cố Đà lạt) 1  Cho số thực a, b thỏa mãn a, b   ;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  P  a5b  ab5   3(a  b) a  b2 Nhận xét Trong toán phép đặt ẩn phụ phù hợp t  a  b 1  a 1      a  b  Do điều kiện ẩn phụ t t  1;2  Vì a, b   ;1   2  1  b    3t Bằng số đánh giá ta thu P  f (t )   t  1 t  t   t  1 Công việc lại khảo sát hàm số f (t )   3t , t 1;2  t  1 t  t   t  1 Bài 39 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 5(x Tìm giá trị lớn biểu thức P Phân tích tốn:  Chiều đánh giá tốn là: P  Xác định ẩn phụ: x y z y x y z z) 19x (y z) 19x y z z )2 2(y Mặt khác ta có (y Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 28yz x y z2) z y (x 2(y z ) (y z )2 z Do ta có ẩn phụ cho tốn là: t y Trình bày lời giải chi tiết: Theo giả thiết ta có: 5(x y z ) 9(xy 2yz zx ) 5(x y 5(x z2) z )3 9(xy 2yz zx ) f (t ) Bí mật tốn đánh giá P 2 y2 z )2 19x (y z) 2(y z) 9(xy x 2(y y2 z2 (y y zx ) z 10(xy y z yz 27(y z )3 zx ) 7(y 2yz z) z) z )2 Trang 30 Trường THPT Hùng Vương Vì P Đặt t y 2(y (y z z) z )2 GV Nguyễn Hữu Hiếu P 2(y z) t 27t y 16 ; dấu đạt y y Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 (6t x Vậy P z y z 27(y 1)2 (2t 27t 1) z) x y z 2(y z z 1 16 z )3 16 12 Trang 31 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu BẤT ĐẲNG THỨC-LÊ HỒNH PHỊ Bài Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ A   x  y  x y    x  y   Hướng dẫn giải Kết hợp  x  y   xy  với  x  y   xy suy ra:  x  y   x  y   x  y  A  3 x4  y  x2 y    x2  y   3 x  y    x4  y    x2  y    2 2 3   x2  y    x2  y    x2  y     A x  y    x  y   Đặt t  x  y , ta có  x y 2 Xét f  t    x  y  2  1  t  , A  t  2t  2 9 t  2t  1; f '  t   t   với t  2 1  f  t   f    Do A  dấu = xảy x  y  1  16   16 t ;    Vậy giá trị nhỏ A Bài 16 Cho x  y tùy ý Tìm GTLN, GTNN M x  xy  y  x  x  12 y  Hướng dẫn giải Xét y  M  Xét y  thì:   12 y 1 xy x  12 y  x x M  2  12 y  x  y 12 y   3   x   Đặt t  2 1 12 y 1 t 1 , t  M  f  t   x 3t  4 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 32 Trường THPT Hùng Vương Ta có f '  t   GV Nguyễn Hữu Hiếu  t  1 t t  4  t , f 't    t  BBT x  f' + f + 1/18 Do đó:  M  Vậy max M  Bài 1 Kết hợp  M  18 18 x  y , M  y  18 Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x  y  z   3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Hướng dẫn giải Từ giả thiết x  y  z   3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   2 3   x  y  z    x2  y  z    x  y  z    2 2  2 Đặt t  x  y  z Khi t  x  y  z  Xét hàm f  t   t2  3t t2   0; 3t t  2 4 , f 't    t  Ta có f '  t   t   3t 3t Lập BBT f  t   f t 0;   2  3 , đạt t  Ta có P  x2  y  z  Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  Vậy P  , đạt x  2, y  z  Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  x   y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x2  y   x  1 y  1   x  y Hướng dẫn giải Điều kiện x  y  Suy x  y  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 33 Trường THPT Hùng Vương   GV Nguyễn Hữu Hiếu  Áp dụng bất đẳng thức  au  bv   a  b u  v ta có:  x  y   x 1  y     x   y    x  y   Suy  x  y  Đặt t  x  y t  0;3 P   x  y    x  y     x  y    t  2t   t  2 Xét hàm f  t   t  2t   t   0;3 f '  t   2t   ; f ''  t    4t  4t   với t  0;3 Suy f '  t  đồng biến  0;3 Do f '  t   f '  0  với t  0;3 Suy f  t  đồng biến  0;3 Vậy max P  max f  t   f  3  25 , đạt t   x  2, y  0;3 P  f  t   f    18 , đạt t   x  1, y  0;3 Bài Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x  y  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy Hướng dẫn giải Ta có  a  b  a2  b2   ab  với a, b Áp dụng: x  y2  x2   y y   x2 , y  x2  2 Suy  x  y  y  x  Do dấu đẳng thức xảy nên x   y y   x2 Suy x, y  x  y    Đặt t  x  y Khi  t  x  y    Đặt t  x  y Khi t  x  y  2 2 Mặt khác t   x  y   x  y  Suy t  Do t   2;  Ta có xy  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12  x  y 2   x2  y   t2 1 Trang 34 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu Suy P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  t2  t2   x  y   12  x  y   12   1  12  1 2  t2 1  t  6t  12t  t2 Xét hàm f  t   t  6t  12t    2;  Ta có: t f '  t   3t  12t  12  t    1 2   , với t   2;2  nên f  t  đồng biến  2;  Vậy max f  t   f  2  ; f  t   f  2;2   Bài  2;2       14  12 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ab  a  2c  b  2c   16  a  b2  c2 Hướng dẫn giải Ta có:  a  b  c  Suy ra: 1 2 1  a    b  c   1  a  b  c  2 1  a  b2  c  1 a  b  c Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: ab  a  2c  b  2c    a  b a  2c  b  2c 2 1  a  b  a  b  4c    a  b  a  b  4c  12 a  b  c 3  a  b    a  b  4c      12 Suy nên P  ab  a  2c  b  2c  27 a  b  c   a  b  c 32 1 a  b  c Đặt t  a  b  c t  P  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 27 32  t2 t 1 Trang 35 Trường THPT Hùng Vương Xét hàm f  t   GV Nguyễn Hữu Hiếu 27 32 54 32   0;   , f '  t     2 t t 1 t  t  1 f '  t     t  3 16t  21t     t  Lập BBT f  t   f  3  5  0;  Do P  5 , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a  b  c  Bài   Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b2  c  ab  bc  ca  12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  a  b2  c2  ab  bc  ca abc Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn:  a  b2  c   ab  bc  ca  12 ta có a  b  c  24   a  b2  c2    Và 12  a  b  c  a  b  c  12   a  b2  c   a  b2  c  a  b2  c  Suy a2  b2  c2  3;4   Đặt t  24  a2  b2  c2 t   2;3 Do P  a  b2  c 24   a  b  c 2   12   a  b2  c  24  t   24  t  24  12 5  12    3t  t    t 5 t  Xét hàm f  t   3t  t  f '  t   6t   24  2;3 t 24 24     t  1   5t    với t   2;3 t t   nên f đồng biến đoạn  2;3 Do max f  t   f  3  32;min f  t   f    22 nên  P   2;3  2;3 Vậy max P  , đạt a  b  c  Min P  , đạt a  2, b  c  hoán vị Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 36 Trường THPT Hùng Vương  x  y  z   3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P GV Nguyễn Hữu Hiếu 1    x  yz  y  zx  z  xy Hướng dẫn giải Ta có: 3xyz   x  y  z   4.3 xyz nên xyz  Và:  x  yz  2 x  yz  2 x yz  2 xyz yz  4 yz Suy 1 1 11        x  yz 4 yz  yz  1 1  1           yz   yz  Tương tự: 1  1     ,      x  yz  zx   x  yz  xy  1 1  1 3         xy yz zx   4  Do P   Vậy max P  Bài , x  y  z  Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a3  b  3c   32b3  a  3c   a  b2 c  a  b   1  1   c  c  Ta có  a  c  b  c   4c   Đặt x  a b ; y   x  1 y  1  c c  S  P   P   S Do  x 3  y 3  2 P  32      x  y  y    x     x y  2  8    x y  y 3 x 3  S  3S    S    S  3S  P  S S  8   8    2  3S  P    3S    S    Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 37 Trường THPT Hùng Vương GV Nguyễn Hữu Hiếu  S  5S   S S  S 1   8  8     2    2S  12    S  1  3 S ,S  2 0, S  2 P '   S  1  Dấu “=” xảy chẳng hạn x  y  Vậy P  P     Bài 10 Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn    giá trị nhỏ biểu thức S  x3  y y  3x  25 xy Hướng dẫn S  16 x y  12  x3  y   xy  25 xy  16 x2 y  12  x  y   3xy  x  y   34 xy  16 x y  xy  12   Đặt t  xy , ta S  16t  2t  12  x  y  xy    1  t  0;   4  1   Xét hàm f  t   16t  2t  12 đoạn 0;  Kết max S  25 191 , S  16 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 38 ... t  x  y  z  Chú ý Bài toán tìm giá trị nhỏ biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " Quan sát biểu thức A ta xử lý theo cách: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt dạng... nhỏ biểu a  b2  c  1    thức P  b c a abc Kết luận MaxP  Phân tích tìm lời giải  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến a  b  c  Quan sát biểu thức. .. lớn biểu thức P abc 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Phân tích tìm lời giải  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến a  b  c  Quan sát biểu thức