Phân dạng và bài tập Đại số và Giải tích 11 học kỳ I Lư Sĩ Pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III TẬP DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, biên soạn giải toán trọng tâm lớp 11 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao môn Toán Bộ Giáo dục Đào tạo quy định Nội dung gồm phần Phần Kiến thức cần nắm Phần Dạng tập có hướng dẫn giải tập đề nghị Phần Phần trắc nghiệm có đáp án Cuốn tài liệu xây dựng có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh Mọi góp ý xin gọi số 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp0207@yahoo.com.vn lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Tác giả Lư Sĩ Pháp Gv_Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trang §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trang 11 §3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP Trang 18 ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 27 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 44 ĐÁP ÁN Trang 59 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Trang 60 §2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Trang 66 §3 NHỊ THỨC NIU-TƠN Trang 77 §4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83 §5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Trang 86 ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 93 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 103 ĐÁP ÁN Trang 116 Chương III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Trang 118 §2 DÃY SỐ Trang 125 §3 CẤP SỐ CỘNG Trang 134 §4 CẤP SỐ NHÂN Trang 141 ÔN TẬP CHƯƠNG III Trang 150 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Trang 155 ĐÁP ÁN Trang 160 Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC -0O0 - ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hằng đẳng thức lượng giác sin α π ;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ cos α kπ tan α cot α = 1;α ≠ ,k ∈ℤ 1 + cot α = ; α ≠ kπ , k ∈ ℤ sin α sin α + cos2 α = tan α = cos α ;α ≠ kπ , k ∈ ℤ sin α π + tan α = ;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 cos α Các công thức lượng giác 2.1 Công thức cộng cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β cot α = sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β tan α ± tan β , với α , β làm cho biểu thức có nghĩa ∓ tan α tan β 2.2 Công thức nhân đôi sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α tan α π tan 2α = ; α ,2α ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 − tan α 2.3 Công thức nhân ba cos3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin3 α 2.4 Công thức hạ bậc + cos 2α − cos 2α cos2 α = sin α = 2 − cos 2α tan α = , với α làm cho biểu thức có nghĩa + cos 2α 2.6 Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β α +β α −β cos α + cos β = cos cos cos α − cos β = −2sin sin 2 2 α +β α −β α +β α −β sin α + sin β = sin cos sin α − sin β = cos sin 2 2 , với α , β làm cho biểu thức có nghĩa 2.7 Công thức biến đổi tích thành tổng cos α cos β =  cos (α + β ) + cos (α − β )  sin α sin β = −  cos (α + β ) − cos (α − β )  sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  tan (α ± β ) = Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp 2.8 Công thức rút gọn   π π sin α + cos α = sin  α +  = cos  α −  4 4     π π sin α − cos α = sin  α −  = − cos  α +  4 4   , với α làm cho biểu thức có nghĩa sin 2α Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặt biệt 3.1 Hai góc đối ( cung đối) ( α làm cho biểu thức có nghĩa) cos(−α ) = cos α sin(−α ) = − sin α tan(−α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α 3.2 Hai góc bù nhau( cung bù)( α làm cho biểu thức có nghĩa) sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α cot(π − α ) = − cot α 3.3 Hai góc phụ ( cung phụ)( α làm cho biểu thức có nghĩa) π  π  sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α 2  2  tan α + cot α = π  π  tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  3.4 Hai góc π (cung π ),( α làm cho biểu thức có nghĩa) sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cos α tan(π + α ) = tan α cot(π + α ) = cot α 3.5 Hai góc π (cung π ),( α làm cho biểu thức có nghĩa) π  π  sin  + α  = cos α cos  + α  = − sin α 2  2  π  π  tan  + α  = − cot α cot  + α  = − tan α 2  2  3.6 Cung bội ( k ∈ ℤ , α làm cho biểu thức có nghĩa) sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α Bảng giá trị lượng giác góc (cung) đặt biệt α HSLG 00 300 450 600 900 π π π π 2 2 2 2 3 sin α cos α tan α cot α || 1 || 3 1200 2π 1350 3π 1500 5π − 2 2 − − 3 − 2 -1 π − -1 − 3 − -1 1800 || || : Không xác định Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NẮM • • • • • • • • • • • • Hàm số y = sin x Có tập xác định ℝ Có tập giá trị  −1;1 • • • • Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến khoảng  π  π  − + k 2π ; + k 2π  nghịch biến   • • π  Có tập xác định D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  Có tập giá trị ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π Đồng biến khoảng  π  π  − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ   Có đồ thị nhân đường thẳng π Là hàm số chẵn Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) nghịch biến khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ π  3π + k 2π  , k ∈ ℤ khoảng  + k 2π ; 2  Có đồ thị đường hình sin Hàm số y = tan x x= Hàm số y = cos x Có tập xác định ℝ Có tập giá trị  −1;1 Có đồ thị đường hình sin Hàm số y = cot x • Có tập xác định D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} • • • • Có tập giá trị ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π Nghịch biến khoảng ( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ • Có đồ thị nhân đường thẳng x = kπ ; k ∈ ℤ làm đường tiệm cận + kπ ; k ∈ ℤ làm đường tiệm cận B BÀI TẬP Dạng Tập xác định hàm số - Hàm số xác định với điều kiện - Hàm số xác định hai hay nhiều điều kiện - Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định ℝ - Hàm số y = tan x xác định cos x ≠ ; Hàm số y = cot x xác định sin x ≠ Lưu ý: π π sin u = ⇔ u = + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π sin u = ⇔ u = kπ 2 π cos u = ⇔ u = + kπ cos u = ⇔ u = k 2π cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π π π tan u = ⇔ u = + kπ tan u = −1 ⇔ u = − + kπ tan u = ⇔ u = kπ 4 π π π cot u = ⇔ u = + kπ cot u = −1 ⇔ u = − + kπ cot u = ⇔ u = + kπ 4 - Hàm số y = xác định A ≠ A - Hàm số y = A xác định A ≥ Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp xác định A > A Bài 1.1 Tìm tập xác định hàm số sau: - Hàm số y = a) y = + cos x sin x b) y = + sin x cos x c) y = + cos x − cos x d) y = − sin x HD Giải a) Hàm số xác định sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} b) Hàm số xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ π π  + kπ , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  + cos x ≥ Vì + cos x ≥ nên điều kiện − cos x > hay − cos x − cos x ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} c) Hàm số xác định d) Vì −1 ≤ sin x ≤ nên − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy D = ℝ Bài 1.2 Tìm tập xác định hàm số sau:    π π π a) y = tan  x −  b) y = cot  x +  c) y = tan  x +  3 6 3    d) y = tan x + cot x HD Giải  π π π 5π a) Hàm số xác định cos  x −  ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ℤ 3   5π  Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ     π π π b) Hàm số xác định sin  x +  ≠ ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ 6 6   π  Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ     π π π π kπ c) Hàm số xác định cos  x +  ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ ,k ∈ℤ + 3 12   π kπ  Vậ y D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 12  cos x ≠ kπ d) Hàm số xác định  ,k ∈ℤ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ sin x ≠  kπ  Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ    Bài 1.3 Tìm tập xác định hàm số sau: 2x x a) y = cos b) y = tan x −1 d) y = sin e) y = cos x + x −1 sin x − cos2 x c) y = cot2x f) y = cos x − cos3x − sin x 3sin x − i) y = + cos x cos x − HD Giải 2x 2x a) Ta có y = cos xác định ℝ ∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ ⇔ x ≠ x −1 x −1 g) y = Đại số giải tích 11 h) y = Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp 2x D = ℝ \ {1} x −1 x x π 3π x b) Hàm số y = tan xác định cos ≠ ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k 3π , k ∈ ℤ 3 2  3π  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ  2  Vậy tập xác định hàm số y = cos  kπ  c) Tập xác định hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ    d) Tập xác định hàm số D = ℝ \ {−1;1} e) Ta có cos x + ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ f) Ta có cos x − cos3 x = −2 sin x sin(− x ) = sin x cos x  kπ  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ     π kπ  g) Ta có sin x − cos2 x = − cos x Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 4  h) Ta có − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ Do hàm số xác định ∀x ∈ ℝ cos x ≠ −1 Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ} i) Ta có 3sin x − < 0, cos x − < nên 3sin x − > 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ cos x − Bài 1.4 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = cos x d) y = cot x cos x − 1+ x 1− x b) y = sin e) y = − cos x + cos2 x tan x + cot x f) y = − sin x c) y = − cos x  π + tan  x −  3  HD Giải a) Ta có y = cos x xác định ℝ Vậy tập xác định hàm số D = [0; +∞) x ∈ℝ ⇔ x ≥ 1+ x xác định ℝ 1− x Vậy tập xác định hàm số D = [−1;1) b) Ta có y = sin 1+ x 1+ x ∈ℝ ⇔ ≥ ⇔ −1 ≤ x < 1− x 1− x c) Ta có − cos x ≥ 0,1 + cos2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ sin x ≠  x ≠ kπ cot x d) Hàm số y = xác định ⇔  ⇔ ⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ cos x − cos x ≠  x ≠ k 2π Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}   π  5π cos  x −  ≠ x≠ + kπ  − cos x     e) Hàm số y = xác định ⇔  ;k ∈ℤ ⇔  π π   π tan x − x ≠ + tan  x −  + kπ  ≠0    12        5π   π  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ   12    Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp  kπ cos x ≠ x≠  tan x + cot x   xác định ⇔ sin x ≠ ⇔  f) Hàm số y = ;k ∈ℤ − sin x π sin x ≠  x ≠ + kπ     kπ   π   Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ       Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) Tìm tập xác định D hàm số, kiểm chứng D tập đối xứng hay không, tức ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1) Tính f (− x ) so sánh f (− x ) với f ( x ) : Nếu f (− x ) = f ( x ) f ( x ) hàm số chẵn (2) (3) Nếu f (− x ) = − f ( x ) f ( x ) hàm số lẻ Do Nếu điều kiện (1) không nghiệm f ( x ) hàm số không chẵn, không lẻ D Nếu điều kiện (2) (3) không nghiệm f ( x ) hàm số không chẵn, không lẻ D Để kết luận f ( x ) hàm số không chẵn, không lẻ D, ta cần tìm điểm x0 cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) f (− x0 ) ≠ − f ( x0 ) Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối HSLG Bài 1.5 Xác định tính chẵn, lẻ hàm số sau: cos x a) y = b) y = x – sinx x  3π  d) y = + cos x.sin  − 2x  e) y = sinx.cos2x + tanx   g) y = sin x − tan x h) y = c) y = − cos x f) y = sinx – cosx tan x + cot x sin x HD Giải cos x có tập xác định D = ℝ \ {0} Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D x cos(− x ) cos x cos x =− = − f ( x ) Vậy hàm số y = f ( x ) = hàm số lẻ f (− x ) = (− x ) x x b) Hàm số lẻ c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ a) Hàm số y = f ( x ) = π  π   π  π ta có : f   = − ; f −  = − − Suy f   ≠ f  −  2 6 2  6 6  6 Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ h) Là hàm số lẻ Lấy x = π Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D hai số M m Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M ∃x cho f ( x0 ) = M M gọi GTLN hàm số y = f ( x ) D kí hiệu Max y = M D Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m ∃x cho f ( x0 ) = m m gọi GTNN hàm số y = f ( x ) D kí Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp có cấp số nhân 8, 4, 2, 1, Bài 4.15 Một cấp số cộng cấp số nhân dãy số tăng Các số hạng thứ 3, số hạng thứ hai Tỉ số số hạng thứ ba cấp số nhân cấp số cộng Tìm hai cấp số HD Giải 9u + u3 Nếu cấp số cộng 3, u2, u3 thí cấp số nhân 3, u2, Theo tính chất cấp số, ta có u2 = 9u u22 = 3 hay Với u1= 8, q =  + u3  27u3 ⇔ 5u32 − 78u3 + 45 = ⇔ u3 = 15(do u3 > 3)   =   Vậy hai cấp số cần tìm: CSC: 3,9,15 CSN: 3,9,27 Bài 4.16 Cho dãy số (un) xác định u1 = un + = 2un + với n ≥ a) Chứng minh dãy số (vn) với = un + cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân b) Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) HD Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có un + + = 2(un + 5) với n ≥ hay + = 2vn với n ≥ Suy (vn) cấp số nhân với v1 = u1 + = + = công bội q = Từ đó, số hạng tổng quát cấp số nhân (vn) là: = 6.2n – = 3.2n b) Từ kết câu a), ta có un = – = 3.2n – Bài 4.17 a) Chứng minh dãy số (un) với un = 3n−1 cấp số nhân b) Viết ba số xen số để cấp số nhân gồm năm số hạng HD Giải n un +1 a) Lập tỉ số: = = Suy un + = 3un với n ∈ ℕ* n −1 un Vậy dãy (un) cấp số nhân với công bội q = b) Giả sử cấp số nhân cần tìm là: u1 = , u2, u3, u4, u5 = Gọi q công bội Ta có: u5 = = q ⇔ q = 16 ⇔ q = ±2 1 Vậy, ta có hai cấp số nhân: , 1, 3, 4, , –1, 2, – 4, 2 Bài 4.18.Cho dãy số (un) mà tổng n số hạng ( kí hiệu Sn) tính theo công thức sau: 3n − Sn = n −1 a) Hãy tính u1, u2, u3 b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un) Đại số giải tích 11 146 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp c) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Hãy xác định công bội CSN HD Giải a) Ta có u1 = S1 = 2, u2 = (u1 + u2) – u1 = S2 – S1 = − = , 3 26 u3 = (u1 + u2 + u3) – u1 – u2 = S3 – S2 = − = 9 3n − 3n −1 − b) Đặt S0 = 0, ta có un = Sn − Sn −1 = n −1 − n − = n −1 , ∀n ≥ 3 2 c) Ta có un +1 = n = n −1 = un , với n ≥ 3 3 Vì thế, dãy số (un) cấp số nhân với công bội n +1 Bài 4.19 Cho dãy số (un) xác định u1 = un +1 = u với n ≥ 3n n u a) Chứng minh dãy số (vn), mà = n với n ≥ , cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu n cống bội cấp số nhân b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un) u u u c) Tính tổng S = u1 + + + + 11 11 HD Giải u u a) Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy với n ≥ : n +1 = n hay +1 = n +1 n 1 Do đó, dãy số (vn) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 = công bội q = 3 1 n b) Ta có = n−1 = n với n ≥ Suy un = n với n ≥ 3 3 1 − 11 u u u 311 − 88573 c) Ta có S = u1 + + + + 11 = v1 + v2 + v3 + + v11 = = = 11 2.311 177147 1− Bài 4.20 Cho dãy số (un) xác định u1 = un +1 = 6un − với n ≥ a) Chứng minh dãy số (vn), mà = un − với n ≥ , cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội CSN b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un) c) Tính tổng 10 số hạng dãy số (un) HD Giải  1 a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có un +1 − =  un −  , với n ≥ hay +1 = 6vn , ∀n ≥ Vì 5  = công bội q = 5 4.6 n −1 4.6 n −1 + ; un = + = b) Từ kết phần a) suy với n ≥ : = v1 q n −1 = 5 c) Kí hiệu T10 tổng 10 số hạng dãy số (un) S10 tổng 10 số hạng cấp số dãy số (vn) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 − Đại số giải tích 11 147 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp − 610 nhân (vn) Ta có T10 = S10 + 10 = + = 9674590 5 1− Bài 4.21 a) Cho cấp số nhân (un) có 8u2 − 5.u5 = u13 + u33 = 189 Hãy tính tổng 12 số hạng cấp số nhân b) Cho cấp số nhân (un) có 3.u2 + u5 = u32 + u62 = 63 Hãy tính tổng S = u1 + u2 + u3 + + u15 c) Cho cấp số nhân với công bội q ∈ (0;1) Hãy tính tổng 25 số hạng cấp số nhân đó, biết u1 − u3 = u12 − u32 = HD Giải a) Kí hiệu q công bội cấp số nhân cho Dễ thấy u1 q ≠ Do đó, ta có ( )   8u2 − 5.u5 = u1q − 5.q = q = ⇔ ⇔  3 u1 + u3 = 189 u13 (1 − q6 ) = 189 u =  12   1−   57645 + 23058 5  Từ kí hiệu S tổng cần tính, ta S = = 3125 1− b) Kí hiệu q công bội cấp số nhân cho Dễ thấy u1 q ≠ Do đó, ta có ( ) q = − u q 3 + q3 = 3 3.u + u =   ⇔ ⇔  2 u3 + u6 = 63 u12 q + q6 = 63  u1 =   ( ) ( ) Vì dãy số (un) cấp số nhân vớii công bội q nên dãy số un cấp số nhân với công bội q Vì thế, ( ) 1− kí hiệu S tổng cần tính, ta S = 1− 15   1−  u1 = 2   u − q = u1 − u3 =   2  c) Ta có  ⇔ ⇔ (do q ∈ (0;1) ) Khi đó: S = 2 u1 − u3 = u1 − q = q = −  Bài 4.22 a) Biết + + + …+ un = 17161 Tìm n n −1 1 b) Cho cấp số cộng (un) có số hạng khác CMR: + + + = u1 u2 u2 u3 un −1 un a1 an ( ( ) ) c) CMR cấp số nhân ta có: Sn (S3 n − S2 n ) = (S2 n − Sn )2 HD Giải a) Các số hạng 1, 3, 5, …, n lập thành cấp số cộng với u1 = công sai d = Nên ta có, Sn = n2 = 17161 Suy n = 131 b) Nếu công sai d = có u1 = u2 = u3 = … = un ⇒ Đẳng thức hiển nhiên Nếu d ≠ , ta có 1 1 1  1 1  = =  − =  −  u1 u2 u1 (u1 + d ) d  u1 u1 + d  d  u1 u2  Đại số giải tích 11 148 Chương III Dãy số - CSC & CSN 25 Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp 1 1 1  1 1  = =  − =  −  u2 u3 u2 (u2 + d ) d  u2 u2 + d  d  u2 u3  1 1 1  1 1 = =  − −   =  un −1 un un −1 (un + d ) d  un −1 un −1 + d  d  un −1 un  Khi n −1 1 1 1 1 1   1  u −u + + + =  − + − + + −  =  −  = n = u1 u2 u2 u3 un −1 un d  u1 u2 u2 u3 un −1 un  d  u1 un  d u1un a1 an c) Ta có u1 − q n  u1 − q3n u1 − q2 n    Sn ( S3n − S2 n ) = − 1− q  1− q 1− q    ( = u12 (1 − q ) (1 − q )( q n ( ) ( 2n −q 3n ) )= ) u12 (1 − q ) ( ) ( q 2n ) (1 − q ) n  u qn  =  − qn   1 − q ( ) 2  u − q2 n u1 − q n   u q n  n ( S2n − Sn ) =  − q − − q  = 11− q − q      Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 4.23 Chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân (a )( ) + b2 b + c = ( ab + bc ) ( ) HD Giải Ta có (a )( ) + b2 b2 + c = ( ab + bc ) ⇔ a2 b2 + a2 c + b + b2 c2 = a2 b + 2b2 ac + b2 c2 ( ⇔ a2 c − 2b2 ac + b = ⇔ ac − b2 ) =0 ⇔ b2 = ac ⇔ a, b, c lập thành cấp số nhân C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 4.24 Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số hạng sau 62.(ĐS: q = 2, u1 = Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32) Bài 4.25 Cho cấp số nhân ( un ) có 6u2 + u5 = 1, u3 + 2u4 = −1 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân (ĐS: q = −2, u1 = 1 ⇒ un = (−2)n −1 ) 4 Bài 4.26 Cho cấp số nhân ( un ) có 8u2 − 5.u5 = u13 + u33 = 189 Hãy tìm tổng 12 số hạng đầu 12   1−   5  tiên cấp số nhân đó.(ĐS: q = , u1 = ⇒ S = 1− Bài 4.27 Tính u9 , S9 cấp số nhân (un), biết: u + u = 18 a)  u3 + u4 = 36 Đại số giải tích 11 ) u − u + u = 10 u = 8u17 b)  c)  20 u3 − u5 + u6 = 20 u3 + u5 = 272 149 6u + u = d)  3u3 + 2u4 = −1 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN A KIẾN THỨC Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với n ∈ ℕ* phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau: B1 Kiểm tra mệnh đề với n = B2 Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ( k ≥ ) (giả thiết quy nạp) B3 Chứng minh mệnh đề với n = k + Dãy số a) Định nghĩa dãy số - Một hàm số u xác định tập số nguyên dương ℕ* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : ℕ* → ℝ n ֏ u(n) Đặt u(n) = un gọi số hạng tổng quát dãy số (un) Đôi người ta gọi số hạng tổng quát dãy số (un) - Mỗi hàm u xác định tập M = {1,2,3, , m} , m ∈ ℕ* gọi dãy số hữu hạn b) Dãy số tăng, dãy số giảm - Dãy số (un) gọi dãy số tăng un + > un, với n ∈ ℕ* - Dãy số (un) gọi dãy số giảm un + < un, với n ∈ ℕ* - Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy số đơn điệu Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số PP1: Xét hiệu H = un + – un - Nếu H > với n ∈ ℕ* dãy số cho dãy số tăng - Nếu H < với n ∈ ℕ* dãy số cho dãy số giảm u PP2 Nếu un > với n ∈ ℕ* ta lập tỉ số n +1 , so sánh với un - Nếu un +1 > với n ∈ ℕ* dãy số cho dãy số tăng un un +1 < với n ∈ ℕ* dãy số cho dãy số giảm un c) Dãy số bị chặn - Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃M ∈ ℝ : un ≤ M , ∀n ∈ ℕ* - Nếu - Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃m ∈ ℝ : un ≥ m, ∀n ∈ ℕ* - Dãy số (un) gọi dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức là: ∃M , m ∈ ℝ : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ* Cấp số cộng, cấp số nhân Định nghĩa Số hạng tổng quát Tính chất Đại số giải tích 11 Cấp số cộng un + = un + d với n ∈ ℕ* un = u1 + (n – 1)d, với n ≥ u +u uk = k −1 k +1 , k ≥ 2 150 Cấp số nhân un + = un.q với n ∈ ℕ* un = u1.qn - 1, với n ≥ uk2 = uk −1 uk +1 , k ≥ hay uk = uk −1 uk +1 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ Tổng n số hạng đầu Trong thực hành GV Lư Sĩ Pháp n(u1 + un ) , ∀n ∈ ℕ* n(n − 1) Hay Sn = nu1 + d Ba số a, b, c lập thành CSC 2b = a + c a − b = b − c = (a + c ) Sn = Sn = u1 (1 − q n ) ,q ≠ 1− q Ba số a, b, c lập thành CSN b2 = ac B BÀI TẬP Bài Dùng phương pháp qui nạp chứng minh rằng: Sn = + + + + (4n − 3) = n(2n − 1), n ∈ ℕ* HD Giải Sn = + + + + (4n − 3) = n(2n − 1) (1), n ∈ ℕ* Với n = 1, dễ thấy (1) Giả sử (1) với n = k ( k ≥ ), tức Sk = + + + + (4k − 3) = k (2k − 1), k ≥ Ta chứng minh (1) với n = k + 1, nghĩa Sk +1 = (k + 1)(2k + 1) Thật vậy, theo giả thiết qui nạp ta có Sk +1 = + + + + (4 k − 3) + (4 k + 1)  1 = Sk + 4k + = k (2k − 1) + 4k + = 2k + 3k + = 2(k + 1)  k +  = (k + 1)(2k + 1) 2  Vậy (1) chứng minh Bài Cho dãy số ( un ) với un = (n − 1).2 n + u = Chứng minh công thức truy hồi dãy số ( un ) là:  n un +1 = un + (n + 1).2 , n ≥ HD Giải Dể thấy, với n = 1, ta có u1 = Từ côn thức un , ta có un +1 = ( (n + 1) − 1) 2n +1 + = (n − 1).2 n +1 + n +1 + = (n − 1).2 n + + (n − 1).2 n + n +1 = un + (n − + 2).2 n = un + (n + 1).2 n (đpcm) Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un = un – – với n ≥ a) Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số (un) b) Hãy tính tổng 100 số hạng dãy số (un) HD Giải Để ý thấy (un) cấp số cộng có số hạng đầu u1 = công sai d = – 2, ta a) un = – 2n b) S100 = – 9400 Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un +1 = un + với n ≥ Chứng minh (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân HD Giải Trước hết, phương pháp qui nạp, ta chứng minh un = (1), với n ≥ Hiển nhiên ta có (1) n = Đại số giải tích 11 151 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp Giả sử có (1) n = k, k ∈ ℕ* Khi uk +1 = uk + = + = , nghĩa ta có (1) n = k + Vậy (1) với n ∈ ℕ* Từ suy dãy số (un) cấp số cộng công sai d = 0, đồng thời cấp số nhân với công bội q = Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un +1 = 3un2 − 10 với n ≥ Chứng minh (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân HD Giải Tương tự Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh un = với n ≥ Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un + = 3un – 11 với n ≥ 3n−1 11 Chứng minh với n ≥ , ta có un = + 2 HD Giải n −1 11 Ta chứng minh un = (1) với n ≥ phương pháp qui nạp + 2 31−1 11 Với n = 1, ta có u1 = = + Như (1) với n = 2 Giả sử (1) với n = k , k ≥ (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh với n = k +  3k −1 11  3k 11 Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy giả thiết quy nạp, ta có uk +1 = 3uk − 11 =  +  − 11 = + 2 2  Vậy (1) với n ≥ Bài Tìm cấp số cộng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , biết u1 + u3 + u5 = −12 u1 u3 u5 = 80 HD Giải Kí hiệu công sai cấp số cộng d Theo giả thiết ta có: u1 + u3 + u5 = −12 u + 2d = −4 u = −2d − ⇔ ⇔  u1 (u1 + d ).(u1 + d ) = 80 16(d + 2).(d − 2) = 80 u1 u3 u5 = 80 Giải ta d = ±3 Vậy cấp số cộng phải tìm 2, -1, -4, -7, -10 -10, -7, -4, -1, Bài Tìm số hạng đầu u1 công bội q số nhân ( un ) , biết rằng: u4 − u2 = −1 u6 − u4 = − 13 32 45 512 HD Giải   13 45 u4 − u2 = −1 32 u1q − u1q = − 32 1 Ta có:  ⇔ ⇒ q2 = ⇔q=± 16 u − u = − 45 u q5 − u q3 = − 45 1 512 512   1 Vậy q = ⇒ u1 = q = − ⇒ u1 = −6 4 Bài Tìm m để phương trình x − (3m + 5) x + (m + 1)2 = có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng HD Giải Đặt x = y, y ≥ Ta có phương trình y − (3m + 5)y + (m + 1)2 = (1) Để phương trình có nghiệm phương trình (1) phải có hai nghiệm dương y1 , y2 ( y1 < y2 ) Bốn nghiệm 2 − y2 , − y1 , y2 , y1 Đại số giải tích 11 152 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng GV Lư Sĩ Pháp y2 − y1 = y1 hay y2 = y1  b  y1 + y2 = − a = 3m + 25 Mặt khác, kết hợp với định lí Vi-ét:  Tìm m = 5; m = − 19  y y = c = (m + 1)2  a Bài 10 Bốn số lập thành cấp số cộng Tổng bốn số 22 tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số HD Giải Kí hiệu d công sai cấp số cộng Do bốn số lập thành cấp số cộng nên ta kí hiệu bốn số a − d , a, a + d , a + 2d Khi theo giả thiết ta có: (a − d ) + a + (a + d ) + (a + 2d ) = 4a + 2d = 22 (a − d )2 + a + (a + d )2 + (a + d )2 = 4a2 + ad + 6d = 166 Giải d = ±3 Vậy bốn số cần tìm là: 10, 7, 4, 1, 4, 7, 10 148 Bài 11 Ba số có tổng lập thành cấp số nhân Theo thứ tự đó, ba số đồng thời số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tìm ba số HD Giải Nếu cấp số cộng có số hạng đầu a , công sai d ba số cần tìm theo thứ tự a, a + 3d , a + 7d Theo giả thiết ta có: 148 a + (a + 3d ) + (a + 7d ) = 3a + 10d = (1) a(a + 7d ) = (a + 3d )2 (2) Giải (1) (2) Tìm d = 0; d = 148 148 148 16 64 Vậy ba số cần tìm là: , , 4, , 27 27 27 C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 12 Một cấp số cộng cấp số nhân có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai cấp số cộng lớn số hạng thứ hai cấp số nhân 10, số hạng thứ ba Tìm cấp số (ĐS: CSC: 5, 25, 45 CSN: 5, 15, 45) Bài 13 Ba số có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để có tổng chúng 820 ?(ĐS: n = 20) Bài 14 Ba số x , y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; ba số x , y − 4, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời, số x , y − 4, z − theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm x , y, z (ĐS: ( x , y, z ) = (1,2, ) ( x , y, z ) = ( 4,2,1) ) Bài 15 Ba số x , y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời, chúng số hạng đầu, số hạng thứ thứ cấp số cộng Hãy tìm ba số đó, biết tổng chúng 13  13 13 13  (ĐS: ( x , y, z ) = (1,3,9 ) ( x , y, z ) =  , ,  )  3 3 Bài 16 Tính u20 , S20 cấp số cộng ( un ) , biết: 4u − 3u4 + 2u6 = 20 2u − 3u4 + 4u6 = 43 a)  b)  S5 = 25 S7 − 63 = Bài 17 Tính u25 , S25 cấp số cộng ( un ) , biết: Đại số giải tích 11 153 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp 2u − 3u4 + 4u6 = 43 4u − 2u3 + 3u6 − 13 = a)  b)  S7 = 63 S7 = 21 Bài 18 Tính S30 tìm un cấp số cộng ( un ) , biết: u + u − u = 10 u + u − u = 10 a)  b)  u4 + u6 = 26 u3 + u7 = 26 Bài 19 Tính u50 S93 cấp số cộng ( un ) , biết: 4u − 2u4 + u6 = −3 2u + 3u4 − u5 = 19 a)  b)  u2 + u99 = 289 S9 = 90 Bài 20 Tính u99 S101 cấp số cộng ( un ) , biết: 3u + u + u = 10 a)  S4 = 16 Đại số giải tích 11 2u − 3u4 + 4u5 = b)  S6 = 21 154 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho dãy số (un ), biết un = 3n Tìm số hạng u2 n −1 A un+1 = 32( n−1) B un +1 = 32 n − C un +1 = 9.3n − D un−1 = 3n.3n −1 Câu 2: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + + un Mệnh đề sai ?  (n − 1)d  A Sn = n u1 +   n[2u1 + (n − 1)d ] C Sn = B Sn = nu1 + un D Sn = n(u1 + un ) Câu 3: Cho dãy số (un ), biết công thức số hạng tổng quát Tìm dãy số tăng A un = (−1)2 n (5n + 1) B un = n +1 + n C un = (−1)n+1 sin Câu 4: Tìm công bội q số nhân ( un ) , biết rằng: u4 − u2 = −1 π n D un = n n +1 13 45 u6 − u4 = − 32 512 1 A q = ± B q = ±4 C q = ± D q = 4; q = 2 Câu 5: Biết viết sáu số xen hai số 24 ta cấp số cộng có tám số hạng Tính tổng S số hạng cấp số A S = 10 B S = 201 C S = 100 D S = 108 Câu 6: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un = an + dãy số giảm 2n + 3 B a < C a ≤ D a < 3 Câu 7: Biết ba số khác a, b, c có tổng số 30 Đọc theo thứ tự a, b, c ta cấp số cộng; đọc theo b, a, c ta cấp số nhân Tìm công sai d công bội q hai cấp số B d = 30, q = −2 C d = 20, q = D d = −20, q = A d = 40, q = A a > Câu 8: Biết Cn1 , Cn2 , Cn3 lập thành cấp số cộng với n ∈ ℕ, n > Tìm n A n = B n = C n = 11 D n = Câu 9: Biết độ dài c, b, a cạnh tam giác ABC vuông A theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm công bội q cấp số nhân A q = 1+ B q = 1+ C q = 1+ D q = 1+ Câu 10: Tìm giá trị tham số m để phương trình x − (3m + 5) x + (m + 1)2 = có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 25 25 A m = 2; m = − B m = 5; m = −3 C m = 1; m = − D m = 5; m = − 19 19 Câu 11: Cho cấp số cộng −2, x ,6, y Tìm x , y A x = 2, y = B x = 2, y = 10 C x = 1, y = D x = −6, y = −2 Câu 12: Cho cấp số cộng (un), có u4 + u97 = 101 Hãy tình tổng S 100 số hạng cấp số cộng A S = 50 B S = 5050 C S = 505 D S = 101 Câu 13: Cho cấp số cộng (un), biết u1 − u3 + u5 = 10 u1 + u6 = 17 Tìm số hạng u1 công bội d Đại số giải tích 11 155 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ A u1 = 1; d = GV Lư Sĩ Pháp B u1 = 9; d = −3 C u1 = 16; d = −3 D u1 = 16; d = Câu 14: Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ≠ Đặt Sn = u1 + u2 + + un Mệnh đề ? u1 − q n −1 u1 + q n u1 − q n − qn A Sn = B Sn = C Sn = D Sn = 1− q 1− q 1− q 1− q ( ) ( ) ( ) Câu 15: Một hội trường có 10 dãy ghế Biết dãy ghế sau nhiều dãy ghế trước 20 ghế dãy sau có 280 ghế Hỏi hội trường có ghế ngồi ? B 3000 ghế ngồi A 1100 ghế ngồi C 1000 ghế ngồi D 1900 ghế ngồi na + dãy số giảm n +1 B a > C a ≥ D a < A a ≤ Câu 17: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Mệnh đề ? Câu 16: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un = A b = ac B c2 = ab C b = ac D 2b = a + c Câu 18: Tìm công sai d số cộng (un ) , biết u1 + u3 + u5 = −12 u1 u3 u5 = 80 A d = 3; d = −2 B d = 3; d = C d = ±3 D d = ±5 Câu 19: Cho cấp số cộng (un ) , biết u2 = 2001 u5 = 1995 Tìm số hạng u1001 A u1001 = 4005 B u1001 = 4003 C u1001 = D u1001 = Câu 20: Cho dãy số (un ), biết un = 3n Tìm số hạng un −1 C un −1 = 3n D un+1 = 3n − Câu 21: Biết số đo bốn góc tứ giác lồi lập thành cấp số nhân Hãy tìm số đo góc nhỏ công bội q(q > 1) , biết số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ A un +1 = 3n − B un +1 = 3n − A 240 , q = B 480 , q = C 260 , q = D 240 , q = Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định u1 = −1 un = 2n.un −1 với n ≥ Tính u11 A u11 = 210.1110 B u11 = −210.1110 C u11 = −210.11! D u11 = 210.11! Câu 23: Cho dãy số (un ), biết công thức số hạng tổng quát Tìm dãy số giảm A un = n − n − B un = n2 + n C un = (−1)n (2n + 1) D un = sin n Câu 24: Cấp số nhân (un ) , biết u1 + u5 = 51 u2 + u6 = 102 Số 12288 số hạng thứ ? A Số hạng thứ 13 B Số hạng thứ C Số hạng thứ 21 D Số hạng thứ 15 Câu 25: Biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng, góc lớn gấp năm lần góc nhỏ Tìm công sai d ( d > 0) cấp số cộng B d = 100 C d = 400 D d = 300 A d = 20 Câu 26: Cho cấp số nhân −4, x ,9 Tìm x A x = 36 B x = −36 C x = D x = −6,5 Câu 27: Cho dãy số (un ) xác định u1 = 150 un = un −1 − với n ≥ Tính tổng S 100 số hạng A S = 59700 B S = 150 C S = 300 D S = 29850 Câu 28: Cho dãy số (un ) , biết un = cos(3n + 1) π un = un + với n ≥ TÍnh tổng S 27 số hạng dãy số cho Đại số giải tích 11 156 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ A S = − B S = − GV Lư Sĩ Pháp C S = D S = −1 na + dãy số tăng Là dãy số giảm ? n +1 A a ≥ B a < C a > D a < Câu 30: Cho ba số a, b, c(a < b < c) theo thứ tự lập thành cấp số nhân, biết tổng chúng 63 tích chúng 1728 Tìm công bội q cấp số nhân 1 B q = C q = D q = A q = Câu 31: Tính tổng S = + 11 + 111 + 1111 + … + 11…1 (n số) Câu 29: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un = A S = C S = ( ) − n ( ) 10 10n − 10 10n − − n B S = D S = ( ) 10 10n − − 9n 81 10 n − 9n − 81 Câu 32: Cho dãy số (un ), biết un = 3n Tìm số hạng un +1 A un+1 = + 3n B un +1 = + 3n C un+1 = 3.3n D un +1 = 3(n + 1) Câu 33: Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 = 3, q = −2 Hỏi số 192 số hạng thứ ? A Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Số hạng thứ 1 Câu 34: Tính tổng S = + + + + n 3 n +1 n +1 n +1 n +1 1  1  3 1  1 1       A S = +   D S = −    B S = −   C S = −    3   3   3          Câu 35: Biết bốn số lập thành cấp số cộng Tổng bốn số 22 tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số A 10, 9, 8, 7, 8, 9, 10 B 10, 8, 6, 4, 6, 8, 10 C 10, 6, 2, -2 -2, 2, 6, 10 D 10, 7, 4, 1, 4, 7, 10 Câu 36: Cho dãy số (un ) với un = 3n Mệnh đề ? B u1 + u2 + + u100 = A u1u2 u100 = u5050 C u1 + u9 = u5 Câu 37: Cho cấp số cộng 6, x , −2, y Tìm x , y A x = 2, y = −6 B x = 4, y = −6 D u100 − u2 u4 = u3 C x = 2, y = D x = 4, y = Câu 38: Cho dãy số (un ), biết công thức số hạng tổng quát Tìm dãy số bị chặn A un = n n +1 B un = n2 + C un = 2n + 1 D un = n + n Câu 39: Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân (un ) , biết u3 = −5, u6 = 135 A un = −5(−3)n −3 B un = 5(−3)n−3 C un = 5.3n −3 D un = −3(−5)n −3 Câu 40: Cho dãy số (un ), biết un = 3n Tìm số hạng u2 n A u2 n = 9n B un+1 = + 3n C un +1 = 6n D un+1 = 2.3n Câu 41: Biết viết năm số xen số 729 theo thứ tự tăng dần ta cấp số nhân có Đại số giải tích 11 157 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp bảy số hạng Tính tổng S số hạng cấp số B S = 657 C S = 1020 A S = 547 D S = 1093 Câu 42: Cho cấp số cộng (un ) Mệnh đề ? u10 + u20 = u5 + u10 B u10 u30 = u20 Câu 43: Tính tổng S = + + + + 200 A S = 10200 B S = 11000 A C u10 u30 = u20 C S = 10100 D u90 + u210 = 2u150 D S = 12000 Câu 44: Trong dãy số (un ) đây, dãy số cấp số cộng ? u = u = u = u = −1 A  B  C  D  un +1 = un + n un +1 = 2un + un +1 − un = un +1 = un − Câu 45: Viết sáu số xen số – 256 để cấp số nhân có tám số hạng Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 ? A u15 = −32768 B u15 = −327 C u15 = 30786 D u15 = 2768 Câu 46: Biết ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời, số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y B x = 3; y = −2 C x = 6; y = D x = 2; y = −5 A x = −6; y = −2 Câu 47: Chu vi đa giác 158, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d = 3cm Biết cạnh lớn 44cm, tính số cạnh đa giác A B C D un = un −1 + 2n với n ≥ Tính u50 B u50 = 1274,5 C u50 = 2550,5 D u50 = 5096,5 Câu 48: Cho dãy số (un ) xác định u1 = A u50 = 2548,5 Câu 49: Tính tổng S = + + 22 + 23 + + 264 A S = 265 − B S = 263 − C S = 264 − D S = 264 + C u1 = −1; q = D u1 = 2; q = Câu 50: Cho số nhân ( un ) , biết u2 − u4 + u5 = 10 u3 − u5 + u6 = 20 Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân A u1 = 1; q = B u1 = 2; q = Câu 51: Cho cấp số nhân (un ) , biết u2 = −2 u5 = 54 Tính tổng S1000 − 31000 − 31000 31000 − 31000 − B S1000 = C S1000 = D S1000 = 6 Câu 52: Cho a, b, c theo thứ tự cấp số cộng Mệnh đề sai ? 1 A b = ac B a − b = ( a + c ) C a + c = 2b D b − c = ( a + c ) 2 A S1000 = Câu 53: Cho cấp số cộng (un ) , biết u1 = 123 u3 − u15 = 84 Tìm số hạng u17 A u17 = B u17 = 11 Câu 54: Cho cấp số nhân −2, x , −18, y Tìm x , y A x = 6, y = −54 B x = −6, y = 54 C u17 = 235 D u17 = 242 C x = −6, y = −54 D x = −10, y = −26 Câu 55: Biết bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lần lượt trừ số cho 2, 6, 7, ta cấp số nhân Tìm số B 5;12;19; 26 C 4;12; 20;28 D 5; −2; −7; −14 A 3;10;17; 24 Câu 56: Biết viết năm số hạng xen hai số 25 ta cấp số cộng có bảy số hạng Số hạng u50 cấp số ? Đại số giải tích 11 158 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ A u50 = −211 B u50 = −171 GV Lư Sĩ Pháp C u50 = 102 D u50 = 171 Câu 57: Cấp số nhân (un ) , biết u1 + u5 = 51 u2 + u6 = 102 Hỏi tổng số hạng 3069 ? B 20 C 12 D 10 A an + Câu 58: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un = dãy số tăng 2n + 3 B a ≥ C a < D a > A a < 3 Câu 59: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho Công ty 4,5 triệu đồng/quý kề từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý Hãy tính tổng số tiên lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho Công ty? B 80,5 (triệu đồng) C 53, (triệu đồng) D 73,8 (triệu đồng) A 75,8 (triệu đồng) Câu 60: Cấp số nhân (un ) , biết u1 + u5 = 51 u2 + u6 = 102 Tìm số hạng u1 công bội q cấp số nhân A u1 = 3; q = B u1 = 2; q = −3 C u1 = 5; q = D u1 = −3; q = −2 Câu 61: Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 = u2 = −6 Mệnh đề ? A u5 = 24 Đại số giải tích 11 B u5 = −48 C u5 = −24 159 D u5 = 48 Chương III Dãy số - CSC & CSN Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D A B C D A B C D 61 A B C D Đại số giải tích 11 160 Chương III Dãy số - CSC & CSN ... cos3 x sin x d) sin x + sin x = sin x c) 3sin x + cos x = Đ i số gi i tích 11 22 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV Lư Sĩ Pháp HD Gi i 1 a) sin x sin 5x = sin x sin x ⇔... c) i u kiện sin x ≠  1 1  sin x − = sin x − ⇔ sin x − sin x +  − =0 sin x sin x  sin x sin x  ( Đ i số gi i tích 11 ) 24 Chương I HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ ⇔ sin x... cos3x+2sin2x.cosx−8sin2x−cosx+sin =1 3x sin 13 cos2 3x +cos2 5x = sin2 4x +sin2 6x Đ i số gi i tích 11 GV Lư Sĩ Pháp 1 sin4x + cos x = 2 sin2x + 4sin2 x +2sin x(1−cos x) =0 2cos x − cos2 2x + 6sin2