Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức ôn vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10. I.[r]

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ƠN THI VÀO LỚP 10

I Một số ví dụ

Ví

dụ : Cho a, b, c số không âm chứng minh

(a+b)(b+c)(c+a)8abc

Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: xy2 4xy

Ta có ab2 4ab; bc2 4bc ; ca2 4ac  a b2 b c2 c a2 64a2b2c2 8abc2  (a+b)(b+c)(c+a)8abc

Dấu “=” xảy a = b = c

V

í dụ :

1) Cho a, b, c > a + b + c = CMR:

1 1    c b

a (403-1001)

2) Cho x, y, z > x + y + z = CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z)

3) Cho a > 0, b > 0, c >

CMR:

3     

 a b

c a c b c b a

4) Cho x0,y0 thỏa mãn 2 x  y 1 ;CMR: x+y 

V

í dụ 3: Cho a>b>c>0 2   b c a

Chứng minh

3 3 1

2

a b c

b c a c a b     

Giải:

Do a, b, c đối xứng,giả sử abc             b a c c a b c b

a a b c

2 2

Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

                 

 a b

c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a 2 2 2 = =2

Vậy

1 3     

 a b

c c a b c b a

Dấu xảy a=b=c= Ví dụ 4:

Cho a, b, c, d > abcd = 1.Chứng minh :

      10

2 2         

b c d a b c b c d d c a a

Giải: Ta có a2 b2 2ab

 

cd d

c2 2  

Do abcd =1 nên cd =ab

Ta có ) ( ) ( 2 2        ab ab cd ab c b a (1) Mặt khác: abcbcddca

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

= 2

1 1                           bc bc ac ac ab ab

Vậya2 b2 c2 d2 abcbcddca10 Ví dụ 5: Cho số a, b, c, d chứng minh rằng:

2 2 2

2 ( )

)

(ac  bd  a b  c d

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a2 b2 c2 d2

mà ac2 bd2 a2 b2 2acbdc2 d2 a2 b22 a2 b2. c2 d2 c2 d2



 (ac)2 (bd)2  a2 b2  c2 d2

II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: b c

a 

2

+ a c b



2

+ b a c   c b a 

Bài giải:

Với a, b, c > ta có: b c a



2

+ c b 

 a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Tương tự ta có: a c b



2

+ c a 

 b; b a c



2

+ b a 

 c

 b c a



2

+ a c b



2

+ b a c



2

+ c b a 

 a + b + c

b c

a 

2

+ a c b



2

+ b a c   c b a 

(đpcm)

Vậy b c a



2

+ a c b



2

+ b a c   c b a 

Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = Tìm Min A = 2 x y +

1

xy.Bài giải:

Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab =>

a b ab

 

4 a b 

1 a b 

4

a b (a, b > 0)

Mặt khác: x + y  xy => xy 

2 (x y)  =

4(áp dụng bất đẳng thức Cô si)

A = 2

1 x y +

1 2xy+

1

2xy  2

4

x y 2xy +

2xy =

4 (x y) +

1

2xy 4 +

1

4 = + =

Vậy MinA = x = y =

2 2 2

, , :

1 1

:

2 3

Cho a b c abc

CMR

a b b c c a

 

  

     

Hướng dẫn

Ta có: a2 b2 2 ; ab b2  1 2b a2 2b2  3 2ab b 1

 

2

1

2

a b ab b

 

   

Tương tự =>

2 2 2

1 1 1 1

2 3 1

a b b c c a ab b bc c ca a

 

      

             

Mặt khác:

2

1 1

1

1 1

ab b

ab b  bc c  ca a  ab b   ab c abc ab bca ab b     

=> 2 2 2

1 1

2 3

a  b  b  c  c  a    a b c  1 Bài 4: Cho ba số x,y,z dương xyz = 1.

CMR : Bài giải

Ta có x3y3 1 33 x y3 3xy

3 1 33 3 3

z y   z y  zy

3

3 1 3 3 3

x z   x z  xz

Nên vế trái =

3

3 3 1 1

3 3 3

xy zy xz

xy zy xz xy zy xz xy zy xz

 

       

 

Vì xyz = Dấu “ = “ x = y = z

Bài 5: Cho số dương a, b, c chứng minh rằng:

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a b c a 

Giải

Vận dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:

  

  

3

3

3

3

a a 1 (1)a

b

b b

b b b

1 (2) c

c c

  

3

3

c c c

1 (3) a

a a

3 3

3 3

a b c a b c a b c

2( ) 2( )

b c a b c a b c a

a b c 2( ) 3

b c a

        

   

Vậy:

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a b c a  Bài (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)

Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: 3x y  HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z  9/(x + y + z)

Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)

Cho số dương a, b thỏa mãn

1

a b  Tìm giá trị lớn biểu thức

4 2 2

1

2

Q

a b ab b a ba

 

    .

Hướng dẫn

Với a0;b0ta có: (a2 b)2  0 a4 2a b b2   0 a4b2 2a b2

4 2 2 2

a b ab a b ab

     2  

1

(1)

2

a b ab ab a b

 

  

Tương tự có 2  

1

(2)

2

b a  a b ab a b Từ (1) (2)   Q

ab a b

 



Vì

1

2 a b 2ab

a b     mà a b 2 ab ab1

1

2( ) Q

ab

  

Khi a = b =

1 Q

 

Vậy giá trị lớn biểu thức

1

Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị

nhỏ biểu thức:

2

x y M

xy   Hướng dẫn

Ta có M =

2 2 3

( )

4

x y x y x y x y x

xy xy xy y x y x y



      

Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho số dương ;

x y

y x ta có 4

x y x y

y x  y x  ,

dấu “=” xảy  x = 2y

Vì x ≥ 2y 

3

2

4

x x

y   y   , dấu “=” xảy  x = 2y

Từ ta có M ≥ +

3 2=

5

2 , dấu “=” xảy  x = 2y

Vậy GTNN M

5

Bài 9:

Hướng dẫn:

Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)

Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9  

Tìm giá trị lớn biểu thức:

bc a ca b ab c P

abc

    

 Hướng dẫn:

Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)

Chứng minh

1 1 xyxz 

HD    

1 1 1 4

4

 

     

 

 

xy xz x y z x y z x x Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)

Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 8 a2+b

4 a +b

2

Hướng dẫn

a = b = 0,5

Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)

Cho x0,y 0 thỏa mãn x2 y2 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

xy A

xy  

 . Hướng dẫn: Với x0, y0 ta có

2 1 3 1 2 2 4

1

2 2 3

x y

xy xy xy

xy xy



         

 

Do

2

2

1 3

xy A

xy xy



     

  .

Dấu “=” xảy xy

Từ 2

0,

2

x y

x y x y

x y

  



   

 

 



Vậy

2

3 A 

2 x y

Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh :

2 a 2b a 2b

 

 

 

Hướng dẫn:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

1

1a1 2 b7

Ta có:

1

1 a  b =

1 1

2

1

( 1)( )

2 2

a b

a b

 

 

 

(1) (bđt Côsi)

1

1 2

( 1)( )

2

  

   

a b

a b

(bđt Cô si)



2

7 ( 1)( )

2 

 

a b

(2)

Từ (1) (2) suy ra:

1

1a1 2 b7

Dấu “=” xảy : a + = b +

1

2 a + b =  a =

4 b = Bài 15: Chun lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vịng 01)

Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết P=ab

√ab+2 c+ bc

√bc +2 a+ ca √ac+2b Hướng dẫn

* Vì a + b+ c = ⇒ 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) a ; b ; c > nên a+c1 >0

b+c>0 áp dụng cosi ta có a+c+¿

1

b+c √(a+c )(b+c)1 dấu (=) 

1 a+c=¿

1

b+c ⇒ a + c = b + c ⇒ a = b

hay

√(c +a)(c +b)≤ 2(

1 c +a+

1 c+b) ⇒ ab

√2 c +ab= ab

√(c+ a)( c+b)≤ 2(

ab c +a+

ab

c +b) (1) dấu  a = b

Tương tự: bc

√bc+2 a≤ 2(

cb a+b+

bc

a+c) (2) dấu  b = c ac

√2 b+ca≤ 2(

ca c +b+

ca

b+a) (3) dấu  a = c

cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có

⇒ : P= ab

√ab+2 c+ bc

√bc+2 a+ ca

√ca+2 b (

ab c+a+

ab c +b +

cb b+a+

cb c+a + ac

b+a+ ac

c+b ) ⇒ P 12

cb a+b+

ac a+b (ab

c+a+ cb c +a)+(

ab b+c+

= 12 [(a+c ) b

c+ a +

a (b+c) b+c +

c (b+a) a+b ] ¿

1

2(a+b+ c )= 2.2=1 ⇒ P= ab

√ab+2 c+ bc

√bc+2 a+ ca

√ca+2 b ≤ dấu  a = b = c = Vậy P = a = b = c = 32

Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)

Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn

nhất biểu thức: P =

ab bc ca

c ab  a bc  b ca .

Hướng dẫn: Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)

Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)

Do ( )( )

a b

ab ab a c b c

c ab b c c a



 

 

   (Cô – si)

Tương tự:

b c

bc b c c a a bc



 



 ;

c a

ca c a a b b ca



 

 

Vậy

3

2

a c b c a b a c b c a b P

  

 

  

 

Do đó: MinP = 3/2, xảy a = b= c = 1/2

Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)

Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

M 4x 3x 2011

4x

   

Hướng dẫn

2

2

1

4 2011 4 2010

4

1

(2 1) ( ) 2010

M x x x x x

x x

x x

x

         

    

Vì (2x 1)2 0 x >

0 4x

 

, Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x +

1 4x

1

2

4

x x

  

 M =

2

(2 1) ( ) 2010

x x

x

   

 + + 2010 = 2011

 M  2011 ; Dấu “=” xảy 

2

1

2 2

1 1

4

0

0

2 x x

x

x x x

x

x x

x x 

 

 

   

 



 

  

    

  

  

 

  

 

 

 

 

  x =

Vậy Mmin = 2011 đạt x =

1 Bài 18 (Hải Dương 11 – 12)

Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:

1

3   

     

x y z

x x yz y y zx z z xy .

Hướng dẫn

Từ  

2

2

x yz  0 x yz 2x yz

(*) Dấu “=” x2 = yz

Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz 

Suy 3x yz  x(y z) 2x yz   x ( y z) (Áp dụng (*))

x x

x 3x yz x ( x y z)

x 3x yz x y z

      

    (1)

Tương tự ta có:

y y

y 3y zx  x y z (2),

z z

z 3z xy  x y z (3)

Từ (1), (2), (3) ta có

x y z

1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy 

Dấu “=” xảy x = y = z =

Bài 19: Cho số a, b, c lớn 25

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 5

a b c

Q

b c a

  

   .

Do a, b, c >

25

4 (*) nên suy ra: 2 a  5 0, 2 b  5 0, 2 c  5 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có:

2

2

a

b a

b     (1)

2

2

b

c b

c    (2)

2

2

c

a c

a    (3)

Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy  a b c  25 (thỏa mãn điều kiện (*))