CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10. I.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ƠN THI VÀO LỚP 10
I Một số ví dụ
Ví
dụ : Cho a, b, c số không âm chứng minh
(a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: xy2 4xy
Ta có ab2 4ab; bc2 4bc ; ca2 4ac a b2 b c2 c a2 64a2b2c2 8abc2 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Dấu “=” xảy a = b = c
V
í dụ :
1) Cho a, b, c > a + b + c = CMR:
1 1 c b
a (403-1001)
2) Cho x, y, z > x + y + z = CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z)
3) Cho a > 0, b > 0, c >
CMR:
3
a b
c a c b c b a
4) Cho x0,y0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y
V
í dụ 3: Cho a>b>c>0 2 b c a
Chứng minh
3 3 1
2
a b c
b c a c a b
Giải:
Do a, b, c đối xứng,giả sử abc b a c c a b c b
a a b c
2 2
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a b
c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a 2 2 2 = =2
Vậy
1 3
a b
c c a b c b a
Dấu xảy a=b=c= Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > abcd = 1.Chứng minh :
10
2 2
b c d a b c b c d d c a a
Giải: Ta có a2 b2 2ab
cd d
c2 2
Do abcd =1 nên cd =ab
(2)Ta có ) ( ) ( 2 2 ab ab cd ab c b a (1) Mặt khác: abcbcddca
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
= 2
1 1 bc bc ac ac ab ab
Vậya2 b2 c2 d2 abcbcddca10 Ví dụ 5: Cho số a, b, c, d chứng minh rằng:
2 2 2
2 ( )
)
(ac bd a b c d
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a2 b2 c2 d2
mà ac2 bd2 a2 b2 2acbdc2 d2 a2 b22 a2 b2. c2 d2 c2 d2
(ac)2 (bd)2 a2 b2 c2 d2
II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: b c
a
2
+ a c b
2
+ b a c c b a
Bài giải:
Với a, b, c > ta có: b c a
2
+ c b
a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có: a c b
2
+ c a
b; b a c
2
+ b a
c
b c a
2
+ a c b
2
+ b a c
2
+ c b a
a + b + c
b c
a
2
+ a c b
2
+ b a c c b a
(đpcm)
Vậy b c a
2
+ a c b
2
+ b a c c b a
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = Tìm Min A = 2 x y +
1
xy.Bài giải:
Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab =>
a b ab
4 a b
1 a b
4
a b (a, b > 0)
Mặt khác: x + y xy => xy
2 (x y) =
4(áp dụng bất đẳng thức Cô si)
A = 2
1 x y +
1 2xy+
1
2xy 2
4
x y 2xy +
2xy =
4 (x y) +
1
2xy 4 +
1
4 = + =
Vậy MinA = x = y =
(3)2 2 2
, , :
1 1
:
2 3
Cho a b c abc
CMR
a b b c c a
Hướng dẫn
Ta có: a2 b2 2 ; ab b2 1 2b a2 2b2 3 2ab b 1
2
1
2
a b ab b
Tương tự =>
2 2 2
1 1 1 1
2 3 1
a b b c c a ab b bc c ca a
Mặt khác:
2
1 1
1
1 1
ab b
ab b bc c ca a ab b ab c abc ab bca ab b
=> 2 2 2
1 1
2 3
a b b c c a a b c 1 Bài 4: Cho ba số x,y,z dương xyz = 1.
CMR : Bài giải
Ta có x3y3 1 33 x y3 3xy
3 1 33 3 3
z y z y zy
3
3 1 3 3 3
x z x z xz
Nên vế trái =
3
3 3 1 1
3 3 3
xy zy xz
xy zy xz xy zy xz xy zy xz
Vì xyz = Dấu “ = “ x = y = z
Bài 5: Cho số dương a, b, c chứng minh rằng:
3 3
3 3
a b c a b c
b c a b c a
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:
3
3
3
3
a a 1 (1)a
b
b b
b b b
1 (2) c
c c
3
3
c c c
1 (3) a
a a
(4)3 3
3 3
a b c a b c a b c
2( ) 2( )
b c a b c a b c a
a b c 2( ) 3
b c a
Vậy:
3 3
3 3
a b c a b c
b c a b c a Bài (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: 3x y HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho số dương a, b thỏa mãn
1
a b Tìm giá trị lớn biểu thức
4 2 2
1
2
Q
a b ab b a ba
.
Hướng dẫn
Với a0;b0ta có: (a2 b)2 0 a4 2a b b2 0 a4b2 2a b2
4 2 2 2
a b ab a b ab
2
1
(1)
2
a b ab ab a b
Tương tự có 2
1
(2)
2
b a a b ab a b Từ (1) (2) Q
ab a b
Vì
1
2 a b 2ab
a b mà a b 2 ab ab1
1
2( ) Q
ab
Khi a = b =
1 Q
Vậy giá trị lớn biểu thức
1
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị
nhỏ biểu thức:
2
x y M
xy Hướng dẫn
Ta có M =
2 2 3
( )
4
x y x y x y x y x
xy xy xy y x y x y
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho số dương ;
x y
y x ta có 4
x y x y
y x y x ,
dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥ +
3 2=
5
2 , dấu “=” xảy x = 2y
Vậy GTNN M
5
(5)Bài 9:
Hướng dẫn:
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9
Tìm giá trị lớn biểu thức:
bc a ca b ab c P
abc
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
(6)Chứng minh
1 1 xyxz
HD
1 1 1 4
4
xy xz x y z x y z x x Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 8 a2+b
4 a +b
2
Hướng dẫn
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
Cho x0,y 0 thỏa mãn x2 y2 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
xy A
xy
. Hướng dẫn: Với x0, y0 ta có
2 1 3 1 2 2 4
1
2 2 3
x y
xy xy xy
xy xy
Do
2
2
1 3
xy A
xy xy
.
Dấu “=” xảy xy
Từ 2
0,
2
x y
x y x y
x y
Vậy
2
3 A
2 x y
(7)
Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh :
2 a 2b a 2b
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
1
1a1 2 b7
Ta có:
1
1 a b =
1 1
2
1
( 1)( )
2 2
a b
a b
(1) (bđt Côsi)
1
1 2
( 1)( )
2
a b
a b
(bđt Cô si)
2
7 ( 1)( )
2
a b
(2)
Từ (1) (2) suy ra:
1
1a1 2 b7
Dấu “=” xảy : a + = b +
1
2 a + b = a =
4 b = Bài 15: Chun lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vịng 01)
Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết P=ab
√ab+2 c+ bc
√bc +2 a+ ca √ac+2b Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = ⇒ 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) a ; b ; c > nên a+c1 >0
b+c>0 áp dụng cosi ta có a+c+¿
1
b+c √(a+c )(b+c)1 dấu (=)
1 a+c=¿
1
b+c ⇒ a + c = b + c ⇒ a = b
hay
√(c +a)(c +b)≤ 2(
1 c +a+
1 c+b) ⇒ ab
√2 c +ab= ab
√(c+ a)( c+b)≤ 2(
ab c +a+
ab
c +b) (1) dấu a = b
Tương tự: bc
√bc+2 a≤ 2(
cb a+b+
bc
a+c) (2) dấu b = c ac
√2 b+ca≤ 2(
ca c +b+
ca
b+a) (3) dấu a = c
cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có
⇒ : P= ab
√ab+2 c+ bc
√bc+2 a+ ca
√ca+2 b (
ab c+a+
ab c +b +
cb b+a+
cb c+a + ac
b+a+ ac
c+b ) ⇒ P 12
cb a+b+
ac a+b (ab
c+a+ cb c +a)+(
ab b+c+
(8)= 12 [(a+c ) b
c+ a +
a (b+c) b+c +
c (b+a) a+b ] ¿
1
2(a+b+ c )= 2.2=1 ⇒ P= ab
√ab+2 c+ bc
√bc+2 a+ ca
√ca+2 b ≤ dấu a = b = c = Vậy P = a = b = c = 32
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca .
Hướng dẫn: Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
Do ( )( )
a b
ab ab a c b c
c ab b c c a
(Cô – si)
Tương tự:
b c
bc b c c a a bc
;
c a
ca c a a b b ca
Vậy
3
2
a c b c a b a c b c a b P
Do đó: MinP = 3/2, xảy a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
M 4x 3x 2011
4x
Hướng dẫn
2
2
1
4 2011 4 2010
4
1
(2 1) ( ) 2010
M x x x x x
x x
x x
x
Vì (2x 1)2 0 x >
0 4x
, Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x +
1 4x
1
2
4
x x
M =
2
(2 1) ( ) 2010
x x
x
+ + 2010 = 2011
M 2011 ; Dấu “=” xảy
2
1
2 2
1 1
4
0
0
2 x x
x
x x x
x
x x
x x
x =
(9)Vậy Mmin = 2011 đạt x =
1 Bài 18 (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:
1
3
x y z
x x yz y y zx z z xy .
Hướng dẫn
Từ
2
2
x yz 0 x yz 2x yz
(*) Dấu “=” x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz
Suy 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (Áp dụng (*))
x x
x 3x yz x ( x y z)
x 3x yz x y z
(1)
Tương tự ta có:
y y
y 3y zx x y z (2),
z z
z 3z xy x y z (3)
Từ (1), (2), (3) ta có
x y z
1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy
Dấu “=” xảy x = y = z =
Bài 19: Cho số a, b, c lớn 25
4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 5
a b c
Q
b c a
.
Do a, b, c >
25
4 (*) nên suy ra: 2 a 5 0, 2 b 5 0, 2 c 5 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có:
2
2
a
b a
b (1)
2
2
b
c b
c (2)
2
2
c
a c
a (3)
Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))