Bài viết đưa ra một chứng minh đơn giản về sự không tồn tại nghiệm dương của bất đẳng thức parabolic ut −∆u ≥ u p trong không gian R n ×R. Chứng minh của chúng tôi dựa trên một lập luận mới về nguyên lý cực đại.
04(41) (2020) 94-96 Về không tồn nghiệm bất đẳng thức parabolic On the nonexistence of solutions of a parabolic inequality Nguyễn Trung Hiếua,b , Phan Quốc Hưnga,b , Mai Ti Naa,b,∗ Hieu Nguyena,b , Quoc Hung Phana,b , Tina Maia,b,∗ a Viện Nghiên cứu Phát triển Công nghệ Cao, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam b Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam a Institute of Research and Development, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam b Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam (Ngày nhận bài: 01/07/2020, ngày phản biện xong: 20/07/2020, ngày chấp nhận đăng: 20/08/2020) Tóm tắt Chúng đưa chứng minh đơn giản không tồn nghiệm dương bất đẳng thức parabolic u t − ∆u ≥ u p không gian Rn × R Chứng minh chúng tơi dựa lập luận nguyên lý cực đại Từ khóa: Kết Fujita; định lý kiểu Liouville; bất đẳng thức parabolic Abstract We put forward a simple proof of the nonexistence of positive solutions of a parabolic inequality u t − ∆u ≥ u p in Rn × R Our proof is based on a new argument of maximum principle Keywords: Fujita result, Liouville-type theorem; parabolic inequality Mở đầu Chúng nghiên cứu định lý kiểu Liouville cho nghiệm cổ điển bất đẳng thức parabolic u t − ∆u ≥ u p , (1) không gian RN ×R Số mũ p xét số mũ thực tùy ý Bất đẳng thức (1) nghiên cứu rộng rãi xem tốn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, xem [1, 2, 3, 4] Định lý kiểu Liouville cho toán parabolic khơng tồn nghiệm khơng tầm thường ∗ tồn khơng gian RN ×R nửa khơng gian RN × R+ Trong năm gần đây, định lý kiểu Liouville trở thành công cụ quan trọng để nghiên cứu toán biên tốn giá trị ban đầu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, nhiều tính chất định tính nghiệm hệ định lý kiểu Liouville (xem [5]) Đối với toán (1), kết Fujita khẳng định không tồn nghiệm không tầm thường nửa khơng gian RN ×R+ với điều kiện số mũ < p ≤ NN+2 , xem [1] [2, 6, 7, 8] Kết Corresponding Author: Tina Mai; Institute of Research and Development, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam; Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam Email: maitina@duytan.edu.vn Hieu Nguyen, Quoc Hung Phan, Tina Mai / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 04(41) (2020) 94-96 chứng minh không tồn nghiệm không âm không tầm thường tốn (1) tồn khơng gian RN × R với điều kiện < p ≤ NN+2 Khi p > NN+2 , kết [9, Example 1] hàm số u(x, t ) = kt − p−1 exp(−γ 1+|x| ) t t > 0, x ∈ RN , t ≤ 0, x ∈ RN (2) nghiệm không âm khơng tầm thường (1) RN × R, với k γ số chọn cho 2N (p−1) < γ ≤ 14 , 0 < k ≤ 2N γ − p−1 p−1 dương toán (1) RN ×R với điều kiện số mũ p ∈ (−∞, 1) ∪ (1, (N + 2)/N ] Sau ta vào chứng minh Định lý Chứng minh Định lý Giả sử phản chứng tốn (1) có nghiệm dương u RN × R Đặt z := u −1 , toán (1) trở thành −z t + ∆z − u(x, t ) = t > 0, t ≤ |∇z|2 ≥ z 2−p z (4) Chọn φ ∈ C c∞ (RN × R) hàm cut-off thỏa mãn φ = tập (x, t ) : |x|2 + |t | ≤ φ = (x, t ) : |x|2 + |t | > Với R > 0, ta đặt Khi p = 1, dễ thấy hàm số u(x, t ) = e t nghiệm dương (1) RN × R Ngồi ra, < p < 1, hàm số t 1−p 95 φR (x, t ) = φm x/R, t /R , z R (x, t ) = z(x, t )φR (x, t ), với m > chọn phù hợp Dễ thấy (3) |∂t φR | ≤ C m−1 C m−2 m φ |∆φ | ≤ φ m R R2 R R2 R (5) nghiệm không âm không tầm thường (1) RN × R Từ đây, ta có định lý Liouville tối ưu cho nghiệm khơng âm tốn (1) sau Do giá hàm z R compact, nên tồn (x R , t R ) ∈ RN × R cho Định lý A Giả sử p > 0, tốn (1) khơng có nghiệm khơng âm khơng tầm thường RN × R < p ≤ NN+2 Theo tính chất cực trị địa phương, điểm (x R , t R ) ta có Chú ý kết Liouville cho nghiệm dương khác biệt so với nghiệm không âm Ta thấy nghiệm xây dựng (3) (tương ứng (2)) cho trường hợp p ∈ (0, 1) (tương ứng p > NN+2 ) có không điểm t ≤ Một câu hỏi tự nhiên đặt có tồn hay khơng nghiệm dương toán (1) trường hợp p ∈ (−∞, 1) p > NN+2 Trong báo đưa câu trả lời cho trường hợp p ∈ (−∞, 1) Kết chúng tơi sau Định lý Bài tốn (1) khơng có nghiệm dương RN × R p < Dựa vào kết Định lý Định lý A, ta thu kết không tồn nghiệm z R (x R , t R ) = max z R (x, t ) RN ×R ∂t z R = 0, ∇z R = 0, ∆z ≤ R Ta suy z∂t φR z∇φR , ∇z = − φR φR (6) (2∇z.∇φR + z∆φR ) ≥ ∆z φR (7) zt = − − (x R , t R ) Bằng cách thay (6) (7) vào (4), điểm (x R , t R ) ta có z∂t φR (2∇z.∇φR + z∆φR ) ∇z z∇φR − +2 ≥ z 2−p φR φR z φR 96 Hieu Nguyen, Quoc Hung Phan, Tina Mai / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Duy Tân 04(41) (2020) 94-96 Tài liệu tham khảo Điều tương đương với z∂t φR − z∆φR ≥ z 2−p φR (8) (x R , t R ) Kết hợp (5) với (8), ta suy điểm (x R , t R ) z 2−p φR ≤ m−1 m−2 m−2 C C z φRm + φRm ≤ zφRm (9) R R Chọn m = 1−p , (9) trở thành 2−p z 2−p φR ≤ C zφR R2 (10) C R2 (11) (x R , t R ) Do đó, 1−p zR (x R , t R ) ≤ Cho R → ∞ (11) ý − p > 0, ta có z R (x R , t R ) → R → ∞ Vì z R (x R , t R ) → sup z R → ∞, ta suy RN ×R sup z = RN ×R Điều mâu thuẫn với z > Định lý chứng minh [1] Hiroshi Fujita On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for u t = ∆u +u 1+α J Fac Sci Univ Tokyo Sect I, 13:109–124 (1966), 1966 [2] Vasilii V Kurta A Liouville comparison principle for solutions of semilinear parabolic inequalities in the whole space Adv Nonlinear Anal., 3(2):125–131, 2014 [3] Pavol Quittner and Philippe Souplet Superlinear parabolic problems: Blow-up, global existence and steady states Basler Lehrbăucher Birkhăauser Verlag, Basel, 2007 [4] Steven D Taliaferro Blow-up of solutions of nonlinear parabolic inequalities Trans Amer Math Soc., 361(6):3289–3302, 2009 [5] Peter Poláˇcik, Pavol Quittner, and Philippe Souplet Singularity and decay estimates in superlinear problems via Liouville-type theorems II Parabolic equations Indiana Univ Math J., 56(2):879–908, 2007 [6] Pierre Baras and Michel Pierre Critère d’existence de solutions positives pour des équations semi-linéaires non monotones Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire, 2(3):185–212, 1985 [7] Enzo Mitidieri and Stanislav I Pohozaev A priori estimates and the absence of solutions of nonlinear partial differential equations and inequalities Tr Mat Inst Steklova, 234:1–384, 2001 [8] Ross G Pinsky Existence and nonexistence of global solutions for u t = ∆u + a(x)u p in Rd J Differential Equations, 133(1):152–177, 1997 [9] Vasilii V Kurta A Liouville comparison principle for solutions of quasilinear singular parabolic inequalities Adv Nonlinear Anal., 4(1):1–11, 2015 ... ≤ φ m R R2 R R2 R (5) nghiệm không âm không tầm thường (1) RN × R Từ đây, ta có định lý Liouville tối ưu cho nghiệm khơng âm toán (1) sau Do giá hàm z R compact, nên tồn (x R , t R ) ∈ RN ×... có nghiệm khơng âm khơng tầm thường RN × R < p ≤ NN+2 Theo tính chất cực trị địa phương, điểm (x R , t R ) ta có Chú ý kết Liouville cho nghiệm dương khác biệt so với nghiệm không âm Ta thấy nghiệm. .. chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 04(41) (2020) 94-96 chứng minh không tồn nghiệm khơng âm khơng tầm thường tốn (1) tồn khơng gian RN × R với điều kiện < p ≤ NN+2 Khi p > NN+2 , kết [9,