SKKN những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một số bài toán theo bất đẳng thức cauchy (toán 10)

Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chương trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề.

I/ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quantrọng Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toánnhư: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình,giải bất phương trình, hệ phương trình…

Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10

ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chươngtrình THPT Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPTcũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cảmột vấn đề

Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôithấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp nhữngsai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề

Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bấtđẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm haymắc phải cũng như định hướng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thứcCauchy

NỘI DUNG BÀI VIẾT GỒM:

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ II/NỘI DUNG III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

IV/KẾT QUẢ V/KẾT LUẬN

Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót Tácgiả mong được sự góp ý chân thành của đọc giả!

Thạch Thành, ngày 20/04/2008

Giáo viên

Đỗ Duy Thành.

II/NỘI DUNG Bài 1: Cho a 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a + 1

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

1 11

1 12







1 30







30 1 30

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến

dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽnói rằng

3 đạt tại “Điểm rơi: a = 3”

Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia

phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức

Cauchy trực tiếp cho 2 số a và 1 vì 3 1 Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất

Bình luận và lời giải

Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = 9

4 là đáp án đúngnhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:

Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao chokhi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.



Bình luận và lời giải

Min S = 3  a a 12  1 mâu thuẫn với giat thiết 0 a1

6

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S.

10

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

5

2 9

1 4

2 7

1 3

2 5

1 2

1 2

Bình luận và lời giải

Biểu thức của S chứa biến số a, b nhưng nếu đặt t = ab hoặc t = 1

Bình luận và lời giải

Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhưng nếu đặt t = abc hoặc t = 1

3 nên biến đổi trực tiếp S nhưsau:





 2. a b ab 2

a b ab

dự đoán Min S đạt tại a = b >0

 Sơ đồ điểm rơi:

2 1

a b a

a ab

a b c

     trái với giả thiết

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán

 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 39

a b c

nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = 1

Bình luận và lời giải

a    b c     trái với giả thiết

nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c =1

Ý nghĩa: Chuyển đổi một biểu thức toán học ở trong căn bậc hai thành

một biểu thức khác ở ngoài căn để nhận được một biểu thức linh động hơn

Xét đánh giá giả định với các số   ,

Kết hợp với biến đổi theo “Điểm rơi” trong Cauchy ta có lời giải sau:

Bài 11: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = sinA + sinB + sinC + 1 1 1

sinAsinBsinC

Bình luận và lời giải

sinA + sinB + sinC + 1 1 1

sinAsinBsinC 6

sin sin sin

Min T = 6 sin sin sin 1 1 1 1



Bổ đề: sinA + sinB + sinC 3 3

T = 4sin 4sin 4sin 1 1 1 1sin sin sin 

Bài 12: Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bình luận và lời giải

Để tìm Min S ta cần lưu ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đóMin S (hoặc Max S) nếu có thường đạt tại “Điểm rơi tự do” : a = b = c = d > 0.Vậy ta cho trước a = b= c= d > 0 và dự đoán Min S = 4 12 131

a b c d b c d S

Điểm rơi tự do: a = b = c = d > 0, khi đó

2

5 5

2

5 5

III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

-Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút

-Dạy trong các tiết bài tập

-Thông qua báo bảng với chuyên mục “Sai lầm ở đâu?”

-Ngoại khóa

-Dạy vào tiết tự chọn

IV/KẾT QUẢ

Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở 2 lớp 10C3 và

10C4 Đối với lớp 10C4 tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh

hay mắc phải và tìm chỗ sai và cách khắc phục như thế nào Kêt quả 90% học

sinh lớp 10C4 có thể định hướng và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy một cách có hiệu quả Trong khi đó ở lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ này chỉ đạt 45%

V/KẾT LUẬN

Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầmthường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bảnthân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất

Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu

1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan Huy Khải.

2/Tuyển tập đề thi từ 1990-2005- TS: Trần Phương.

3/Đại số 10.