Các bất đẳng thức về giá trị trung bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ BÍCH HUY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày . tháng . năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong chương trình toán ở bậc phổ thông trung học thì phần kiến thức về bất đẳng thức cũng chiếm một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường các học sinh đều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức. Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề tài để làm luận văn tốt nghiệp của mình là: Các bất đẳng thức về giá trị trung bình. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về giá trị trung bình và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc phổ thông trung học. Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để chứng tỏ lĩnh vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. 2.2. Phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về một số bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng tôi đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học. 3. Mục đích nghiên cứu Nội dung của đề tài này là nghiên cứu một số bất đẳng thức về giá trị trung bình. Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc mà chúng ta đã biết đó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, đề tài còn trình bày về hai bất đẳng thức hiện đại mà việc ứng dụng nó trong việc giải toán là khá rộng là bất đẳng thức Schur và bất đẳng thức Muirhead. 2 4. Tên đề tài Đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình". 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dựa vào sự ứng dụng sau này của đề tài nên chúng tôi sử dụng các phương pháp giải quyết vấn đề thiên về cách chứng minh của toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tình huống đặc biệt chúng tôi cũng mạnh dạn mở rộng vấn đề theo hướng toán học hiện đại. Phương pháp chủ yếu được sử dụng trong luận văn này là kết hợp các kết quả đã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài và sự liên hệ đến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ thông. 6. Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về những bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng tôi có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học. 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức đại cương về bất đẳng thức và các đại lượng trung bình mà các chương sau đề cập đến. Chương 2: Luận văn trình bày một số bất đẳng thức về giá trị trung bình có nhiều ứng dụng khi giải toán ở trường phổ thông như: bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa; bất đẳng thức Schur và các hệ quả; đặc biệt luận văn trình bày bất đẳng thức Muirhead, qua đó cho ta thấy được mối quan hệ giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức Schur. Chương 3: Trong phần này, luận văn trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức về giá trị trung bình trong việc giải toán phổ thông. 3 Chương 1 Đại cương về bất đẳng thức 1.1 Quan hệ thứ tự trên một tập hợp 1.1.1 Tích Descartes Định nghĩa 1.1.[1] Cho các tập X 1 , X 2 , . . . , X n . Ta gọi tập hợp{(x 1 , x 2 , . . . , x n ) : x i ∈ X i , i = 1, n} là tích Descartes của các tập X 1 , X 2 , . . . , X n và kí hiệu X 1 × X 2 × ··· × X n hay n  i=1 X i . 1.1.2 Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự 1.1.2.1. Quan hệ Cho tập X = ∅. Một tập con R của tích Descartes R× R được gọi là một quan hệ hai ngôi trên tập X nếu (x, y) ∈ R thì ta viết xRy. Tính chất 1.1. [1] (Các tính chất của quan hệ) * Tính chất phản xạ Một quan hệ R trên X được gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi x ∈ X thì xRx. * Tính chất đối xứng Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi a, b ∈ X sao cho aRb kéo theo bRa. * Tính chất phản đối xứng Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính phản đối xứng nếu với mọi a, b ∈ X sao cho aRb và bRa kéo theo a = b. * Tính chất bắc cầu Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi a, b, c ∈ X sao cho aRb và bRc kéo theo aRc. 1.1.2.2. Quan hệ tương đương. Định nghĩa 1.2.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Định nghĩa 1.3.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A và a ∈ A. Tập hợp {x ∈ A | xRa} được gọi là lớp tương đương của phần tử 4 a, kí hiệu a hoặc [a] hoặc C(a). Mệnh đề 1.1. [7] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A và a, b ∈ A. Khi đó ta có: 1. a = ∅. 2. a = b khi và chỉ khi aRb. 3. a = b hoặc a∩ b = ∅. Định nghĩa 1.4.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi đó A được chia thành các lớp tương đương khác rỗng, rời nhau đôi một. Tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương của A theo quan hệ tương đương R và kí hiệu là A/R. Như vậy A/R = {a | a ∈ A}. Định nghĩa 1.5.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Người ta thường kí hiệu một quan hệ thứ tự bởi kí hiệu ≤. Nếu tập hợp A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói A là một tập hợp được sắp thứ tự. Với hai phần tử a, b ∈ A (trong đó A được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự ≤), nếu ta có a ≤ b thì ta còn viết b ≥ a. Khi có quan hệ thứ tự ≤ trên A ta có thể xác định quan hệ < như sau: ∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b và a = b. Nếu a < b, ta còn viết b > a. Định nghĩa 1.6.[1] Cho A là tập hợp sắp thứ tự (bởi quan hệ ≤). Với hai phần tử a, b ∈ A, nếu ta có a ≤ b hoặc b ≤ a thì ta nói a và b so sánh được với nhau, còn nếu không có cả a ≤ b lẫn b ≤ a thì ta nói a và b không so sánh được với nhau. Tập hợp được sắp thứ tự A gọi là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nếu hai phần tử a , b bất kì luôn có thể so sánh được với nhau. Khi đó quan hệ thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong trường hợp ngược lại, nếu tồn tại hai phần tử a và b không so sánh được với nhau thì ta gọi A là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và quan hệ thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận. 5 Định nghĩa 1.7.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con khác rỗng của A. Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ a (tương ứng x ≥ a). Nhận xét 1.1. Phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu tồn tại là duy nhất. Định nghĩa 1.8.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là tập con khác rỗng của A. Phần tử c ∈ A được gọi là một chặn trên (tương ứng chặn dưới) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ c (tương ứng x ≥ c). Nếu X có ít nhất một chặn trên (tương ứng chặn dưới) thì ta gọi X là tập con bị chặn trên (tương ứng chặn dưới). Nhận xét 1.2. 1. Một tập con X của tập được sắp thứ tự A có thể không có chặn trên (tương ứng chặn dưới), cũng có thể có một hay nhiều chặn trên (tương ứng chặn dưới). 2. Với X là tập hợp con của tập được sắp thứ tự A và a ∈ A. Phần tử a là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là một chặn trên (tương ứng chặn dưới). Định nghĩa 1.9.[1] Một tập hợp A được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ và X ⊂ A, X = ∅. Phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất) của tập hợp các chặn trên (tương ứng chặn dưới) của X gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của X trong A, kí hiệu sup A X (tương ứng inf A X). Nhận xét 1.3. 1. Phần tử a ∈ A là một cận trên (tương ứng cận dưới)của tập con X của A khi và chỉ khi a là một chặn trên (tương ứng chặn dưới) của A và a ≤ c (tương ứng a ≥ c) với mọi chặn trên (tương ứng chặn dưới) c của X. 2. Cận trên (tương ứng cận dưới) của mỗi tập con X của tập hợp được sắp thứ tự A nếu tồn tại là duy nhất. Ngoài ra, cận trên (tương ứng cận dưới) của X là thuộc X khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X. Định nghĩa 1.10.[7] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con khác rỗng của A. Phần tử m ∈ X được gọi là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X nếu ∀x ∈ X, ta có m ≤ x ⇒ x = m 6 (tương ứng x ≤ m ⇒ x = m) tức là không tồn tại phần tử x nào của X sao cho x > m (tương ứng x < m). Rõ ràng rằng phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) m của A sao cho m ∈ X cũng là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X. Tuy nhiên, nếu m là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X thì chưa chắc m là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của A. Phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của một tập hợp có thể không có và nếu tồn tại có thể có hơn 1. Mệnh đề 1.2. [1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con khác rỗng của A. Khi đó: 1. Nếu X có phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) là a thì a là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) duy nhất của X. 2. Nếu X được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ ≤ thì phần tử a ∈ X là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X. Định nghĩa 1.11.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤. Ta nói A được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ này nếu mọi tập con khác rỗng của A đều có phần tử nhỏ nhất. Hệ quả 1.1. [1] Nếu một tập hợp được sắp thứ tự tốt bởi một quan hệ nào đó thì nó được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ đó. Định nghĩa 1.12.[1] Tập hợp được sắp thứ tự A được gọi là một dàn nếu với 2 phần tử bất kỳ a, b ∈ A, tập hợp {a, b} luôn có cận trên, cận dưới. Cận trên và cận dưới của {a, b} được ký hiệu lần lượt là a ∨ b và a∧ b. Tính chất 1.2. [1] Cho A là một dàn. Khi đó ∀a, b, c ∈ A, ta có: 1. Luật lũy đẵng: a ∨ a = a, a ∧ a = a. 2. Luật giao hoán: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a. 3. Luật kết hợp: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c). 4. Luật hấp thụ: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a. 7 1.2 Bất đẳng thức trên tập số thực 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.13.[1] Một bất đẳng thức trên tập số thực là một mệnh đề toán học dạng f(x 1 , x 2 , ., x n ) R g(x 1 , x 2 , ., x n ) trong đó R là một quan hệ trên R và f, g là các hàm thực n biến. Định nghĩa 1.14.[1] */ Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a > b, nếu a − b là một số dương, tức là a − b > 0. Khi đó ta cũng viết b < a. Ta có: a > b ⇔ a − b > 0. */ Nếu a > b hoặc a = b, ta viết a ≥ b. Ta có: a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0. Định nghĩa 1.15.[1] Các quan hệ thứ tự a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b với a, b ∈ R được gọi là các bất đẳng thức trên tập số thực. */ Trong các bất đẳng thức trên, a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức. */ Các bất đẳng thức a > b và c > d (hoặc a < b và c < d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức a > b và c < d được gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. */ Xét hai bất đẳng thức a > b và c > d Nếu ta có a > b ⇒ c > d, ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a > b. Nếu ta có a > b ⇔ c > d, ta nói hai bất đẳng thức a > b và c > d là hai bất đẳng thức tương đương. 1.2.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức Trong mục này, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức dạng a > b. Các dạng bất đẳng thức khác (a < b, a ≥ b, a ≤ b) cũng có tính chất tương tự. Các số a, b, c, d dưới đây là các số thực bất kỳ. 8 Tính chất 1.3. [4] (a > b và b > c) ⇒ a > c (tính chất bắc cầu) . Tính chất 1.4. [4] a > b ⇔ a + c > b + c. Hệ quả 1.2. [4] a > b + c ⇔ a − c > b (quy tắc chuyển vế). Tính chất 1.5. [4]  a > b c > d ⇒ a + c > b + d Tính chất 1.6. [4]  ac > bc nếu c > 0 ac < bc nếu c < 0 Tính chất 1.7. [4]  a > b > 0 c > d > 0 ⇒ ac > bd. Tính chất 1.8. [4] a > b > 0 ⇒ a n > b n (n nguyên dương). Tính chất 1.9. [4] a > b > 0 ⇒ n √ a > n √ b (n nguyên dương.) Trong trường hợp n là số chẵn, kết hợp tính chất 1.8. và 1.9. ta có: Hệ quả 1.3. [4] Nếu a, b là hai số dương thì a > b ⇔ a n > b n . Tổng quát hơn ta có: Nếu a, b là hai số không âm thì: a ≥ b ⇔ a n ≥ b n . 1.3 Chứng minh bất đẳng thức Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta có thể sử dụng một trong các nguyên lý sau: 1.3.1 Chứng minh bằng định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chứng minh bất đẳng thức a−b > 0.