Giả Thuyết Giá Trị Trung Bình Smale

Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỒNG NHUNG GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2013 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -1- MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale………………………… 1.2 Một số công thức đánh giá …………………………………………… 1.3 Đa thức chuẩn hóa…………………………………………… 13 1.4 Giả thuyết Smale cho lớp đa thức đặc biệt………………………… 17 1.4.1 Đa thức với tất hệ số số thực…………………… 17 1.4.2 Các đa thức có tất không điểm số thực………… 19 1.4.3 Các đa thức có tất điểm tới hạn số thực………… 20 1.4.4 Các đa thức có điểm tới hạn nằm tia………………… 21 1.4.5 Các đa thức có tất không điểm có môđun nhau……… 30 1.4.6 Các đa thức có tất điểm tới hạn có môđun 33 tất giá trị tới hạn có mô đun nhau………………………… Chương MỘT SỐ GIẢ THUYẾT MỞ RỘNG HOẶC LIÊN QUAN 34 ĐẾN GIẢ THUYẾT SMALE 2.1 Phương pháp lặp Newton, Giả thuyết Smale động học đa thức 34 2.1.1 Phương pháp lặp Newton………………………………………… 34 2.1.2 Bất đẳng thức Smale tính hiệu phương pháp Newton 36 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -2- 2.1.3 Động học đa thức …………………………………………… 39 2.2 Dạng mạnh giả thuyết Smale……………………………………… 41 2.3 Bài toán đối ngẫu Giả thuyết Smale……………………………… 56 2.4 Chứng minh giả thuyết cho đa thức bậc d  …….………… 60 2.5 Tổng quát Giả thuyết Smale ……………………………………… 64 2.6 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale dạng toán cực trị ……………………………………………………………………… 70 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 79 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -3- LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán tính hiệu thuật toán Newton giải phương trình đa thức, S Smale chứng minh Bất đẳng thức Smale (Smale, 1981) Giả sử p ( z ) đa thức phức bậc d  với điểm tới hạn z j , j  1,2, , d  Nếu z điểm tới hạn p ( z ) j 1, , d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  p( z ) Từ ta có Bài toán Tìm hệ số K (d ) nhỏ (không phụ thuộc vào p mà phụ thuộc vào bậc d p ) cho p( z)  p( z j ) j 1, , d 1 (z  z j )  K (d ) p( z ) Và S Smale đưa Giả thuyết giá trị trung bình Smale Giả sử p ( z ) đa thức bậc d  với điểm tới hạn z j Nếu z điểm tới hạn K (d )  p ( z ) j 1, , d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  K (d ) p( z ) , với K (d )  d 1 d Tuy phát biểu cách 30 năm, Giả thuyết giá trị trung bình Smale chứng minh cho trường hợp d  2,3,4 cho số lớp đa thức đặc biệt Mặc dù vậy, Giả thuyết Smale thu hút quan tâm đông đảo nhà nghiên cứu, nhiều vấn đề giả thuyết nảy sinh Có thể kể đến: Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -4- Mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ Giả thuyết Smale với động học phức tập Julia, Quan hệ Giả thuyết Smale với vấn đề toán học tính toán,… Mục đích luận văn trình bày tổng quan kết đạt Giả thuyết Smale Luận văn gồm hai Chương Chương phát biểu dạng khác Giả thuyết Smale, chứng minh chi tiết công thức đánh giá định lí chứng minh Giả thuyết Smale cho lớp đa thức thỏa mãn số tính chất Chương trình bày quan hệ Giả thuyết Smale với số vấn đề khác: Giải tích số, Động học phức mở rộng Giả thuyết Smale Khi xếp kết quả, cố gắng làm rõ tranh Giả thuyết Smale, chứng minh định lí giải mã làm sáng tỏ Thí dụ, chứng minh Định lí 1.11 tách thành hai trường hợp, d  d  Nhiều tính toán chứng minh trình bày chi tiết tài liệu gốc Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm túc PGS TS Tạ Duy Phượng Xin bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, không hướng dẫn khoa học, mà động viên khích lệ tác giả say mê học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trang bị cho kiến thức toán học thời gian học Cao học Xin cám ơn Trường Trung học Phổ thông Hoàng Su Phì, Hà Giang, nơi công tác, tạo điều kiện để hoàn thành nhiệm vụ Xin cám ơn Gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ, hi sinh tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Cao học viết Luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nhung Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -5- Chương GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale Cho p ( z ) đa thức bậc d với hệ số phức Nếu p ( z0 )  z0 gọi nghiệm không điểm p ( z ) Nếu  nghiệm đa thức đạo hàm, tức p( )  0, điểm  gọi điểm tới hạn hay điểm dừng đa thức p ( z ) Giá trị   p   với  điểm tới hạn gọi giá trị tới hạn Đa thức bậc p ( z )  az  b với a  có p( z )  a  nên p ( z )  az  b điểm tới hạn Vì vậy, từ sau ta giả thiết p ( z ) đa thức có bậc d với d  Giả thuyết giá trị trung bình S Smale xuất phát từ định lí sau Định lí 1.1 (Smale, 1981, [35]) Giả sử p ( z ) đa thức bậc d  với điểm tới hạn z j , j  1,2, , d  Nếu z điểm tới hạn p ( z ) j 1, , d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  p( z ) (1.1) Bất đẳng thức (1.1) thường gọi Bất đẳng thức Smale Bất đẳng thức (1.1) cho đánh giá đạo hàm p( z ) đa thức p ( z ) điểm z thông qua “cát tuyến” nối hai điểm  z, p( z )   z j , p ( z j )  đồ thị p ( z ) Vì vậy, theo nghĩa đó, bất đẳng thức (1.1) phát biểu tương tự Định lí giá trị trung bình Lagrange Tuy nhiên, cần lưu ý là, Định lí Giá trị Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -6- trung bình Lagrange f (a )  f (b) f (a )  f (b)  f ( ) cho đánh giá hệ số góc a b a b cát tuyến thông qua đạo hàm điểm   a, b Từ Định lí 1.1, S Smale đến Bài toán Tìm hệ số K (d ) nhỏ (không phụ thuộc vào p mà phụ thuộc vào bậc d p ) cho với đa thức phức p ( z ) có bậc d ta có p( z)  p( z j ) j 1, , d 1 (z  z j )  K (d ) p( z ) (1.2) Bài toán S Smale đặt (1981, [35]) nghiên cứu độ phức tạp tính toán tính hiệu thuật toán Newton giải gần phương trình đa thức, M Shub S Smale (1986, [34]) nhiều tác giả khác nghiên cứu phát triển (xem Tài liệu tham khảo) Mặc dù không liệt kê danh sách thức 18 toán Mathematical Problems for the Next Century, Bài toán ba toán S Smale liệt kê thêm danh sách thức S Smale coi “ don’t seem important enough to merit a place on our main list, but it would still be nice to solve them.” (xem [36]) Bài toán S Smale phát biểu thành giả thuyết (sau gọi Giả thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale) Giả thuyết (Giả thuyết giá trị trung bình Smale) Giả sử p ( z ) đa thức bậc d  với điểm tới hạn z j Nếu z điểm tới hạn p ( z ) j 1, , d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  K (d ) p( z ) , với K (d )  chí K (d )  (1.3) d 1 : K (d ) d Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 -7- Nhận xét 1.1 Hằng số K (d )  d 1 tốt d Thật vậy, xét đa thức p( z )  z d   z với d    Ta có p (0)  p( z )  dz d 1   Chọn z  0, ta có p (0)  0, p(0)   p (0)  p ( z j )  z dj   z j z dj 1     (0  z j ) p(0)  z j  Vì z j nghiệm p( z )  dz d 1    nên thay   dz dj 1 vào công thức ta z dj 1   z dj 1  dz dj 1 d  p ( z )  p ( zi )    ( z  z j ) p( z )   dz dj 1 d Do để bất đẳng thức (1.3) với z   đa thức p ( z ) bậc d K (d )  d 1 d Dấu đạt z  cho đa thức p( z )  z d   z nên K ( p)  d 1 d cận tốt Nhận xét 1.2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, ta cần chứng minh bất đẳng thức (1.3) cho đa thức p ( z ) với p (0)  0, p(0)  (hoặc chí p(0)  ) chọn z  Thật vậy, với  i   mà p( i )  0, đặt g ( z )     \ 0 Khi ta có g (0)  g ( z )  p   z   i   p ( i )  p( i ) p  i   p ( i )   p( i )  p   z   i  p   z   i    p( i ) p( i ) Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với Header Page of 126 -8- Suy g (0)  Giả thuyết Smale phát biểu lại sau Giả thuyết 1a Cho p ( z ) đa thức bậc d  thỏa mãn p (0)  p(0)  Khi tồn điểm tới hạn  p ( z ) để K (d )  chí K (d )  p ( )  K (d ),  p(0) d 1 d Với Nhận xét 1.2, ta phát biểu lại Giả thuyết dạng sau Giả thuyết 1b (Giả thuyết chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử p  z  đa thức bậc d  thỏa mãn p    p    Khi tồn điểm tới hạn  p ( z ) cho p    K (d )  Giả thuyết chứng minh cho d  2, 3, (xem [27]) Giả thuyết Marinov Sendov (2007) minh họa tính toán cho lượng lớn ví dụ với d  10 [20] Với d  2, đa thức p  z   a0 z  a1 z  a2 ( a0  ) thỏa mãn điều kiện p    p    có dạng p  z   a0 z  z Đạo hàm p  z   2a0 z  có điểm tới hạn    Do ta có 2a0 p    a0   1   a0   a0 ( ) 1    2a0 2 Vậy Giả thuyết Smale trở thành đẳng thức cho đa thức bậc hai với K (2)  Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 126 -9- Trường hợp d  chứng minh không khó khăn, trường hợp d  chứng minh J.-C Sikorav cải tiến Tischler (1989, [38]) sau nhiều tác giả khác chứng minh theo nhiều cách khác E Crane Preprint (2004, [8]) có lẽ luận án Tiến sĩ (2004, [7]), chứng minh Giả thuyết Smale cho trường hợp d  dựa kết [9] nhờ phương pháp số xác (a rigorous computational method) Tuy nhiên, nay, sau 10 năm, chưa có công bố thức tạp chí G Schmieder trình bày chứng minh Giả thuyết Smale báo công bố arXiv:math (2003, [26]), nhiên, chưa có công bố tạp chí thức chứng minh G Schmieder không công nhận Như vậy, nói, nay, Giả thuyết Smale chứng minh chặt chẽ cho trường hợp d  2,3,4 số lớp đa thức thỏa mãn số tính chất 1.2 Một số công thức đánh giá Vì d 1 d 1  K (d )  đánh giá K (d )  K (d )  chưa chứng d d minh nên hướng nghiên cứu làm giảm hệ số K (d ) Beadon, Minda Ng (2002, [1]) chứng minh, chọn 1 K1 ( d )  Hiển nhiên, d 2 d 1 d 1 4 d 2 d 1 (1.4)  với d  Với d  (là trường hợp bậc nhỏ mà Giả thuyết Smale chưa chứng minh), ta có d 2 d 1   2.8284 Giả sử p ( z ) đa thức bậc d  2, z j , j  1,2, , d  điểm tới hạn p ( z ), tức p( z j )  Để tiện trình bày, với z  z j , j  1,2, , d  1, ta kí hiệu Footer Page 10 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 70 of 126 - 69 - x y f1 (u , v)2  d y  d x   2d 2cxy  4dby  4dax, y2 f (u , v)  d y  d  x  2d 2by  4dcxy  dax, 2 x x2 f (u , v)  d x  d  y  2d ax  4dcxy  4dby y Lấy tổng đẳng thức ta có chứng minh Bổ đề 2.5 Với d  4, từ Bổ đề 2.5 ta có y2 x2 x y f1 (u , v)  f (u , v)  f (u , v )2  36( x  y  1) x y 2 (2.25) Khử a , b c theo cách làm với d  Đẳng thức (2.25) cho ta khả để chứng minh Giả thuyết 1, dựa vào ta chưa chứng minh Giả thuyết Điều chứng tỏ Giả thuyết tổng quát Giả thuyết Smale tổng quát không tầm thường Chứng minh giả thuyết với d  Từ Bổ đề 2.4 ta có  4,1  p     k 4,1  p :  k  1,2,3 Để chứng minh trường hợp ta phải chứng minh Giả sử ngược lại  k  p : 4,1   p  k 4,1 k  1,2,3   với k  1, 2,3 k Vì 4! 4,1  p   f k  u, v  , nên f k (u, v)2  36 với k  1, 2,3 Theo (2.25) ta có  x2 y  36( x  y  1)  36  x y    y x   hay x y  x y  x y  x y  x  y với x, y  0,1 , Footer Page 70 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 71 of 126 - 70 - Điều xảy Thật vậy, dễ thấy với x, y   0,1 x y  x  y  x y  x2 y  x2 y Vậy Giả thuyết Smale cho d  chứng minh Nhận xét Giả thuyết với s  d  Giả thuyết Smale với d  Từ Bổ đề 2.4 ta có  d , d 3  p     d  !  k d ,3  p :  k  1,2,3 Để chứng minh Giả thuyết trường hợp s  d  ta phải chứng minh  k  p : d ,d 3  k  1,2,3  d 2 Như biết, điều với d  4, d! không áp dụng phương pháp cho d  Nó cho đánh giá yếu hơn:  d , d 3   1 1    d  3!  d   2.6 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale dạng toán cực trị Bojanov (2011, [2]), Sendov Nikolov (2003, [32], [33]), xét Bài toán Smale toán cực trị đa thức sau Cho  tập gồm tất đa thức phức S d tập  gồm đa thức dạng p  z   z d  ad 1 z d 1   a1 z    z  z1   z  zd  , z1.z2 zd  (1) d Với đa thức p  có bậc d mà p    0, tồn hai số phức a , b đa thức q  S d cho p  z   aq  bz  Thật vậy, giả sử đa thức p( z )  a0 z d   ad 1 z  ad bậc d ( a0  ) ad  p    0, tức a0 ad  Footer Page 71 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 72 of 126 - 71 - Gọi q( z )  z d  b1 z d 1   bd 1 z  đa thức với hệ số b1 , , bd 1 cần tìm Đẳng thức p  z   aq  bz  tương đương với  d a0 z d   ad 1 z  ad  a  bz   b1  bz  Suy ra, a  ad  a0  ab d hay b  d d 1    bd 1  bz   z  a0 ad Các hệ số b1 , , bd 1 q ( z ) tính cách nhờ so sánh hệ số tương ứng đồng thức Do đó, với khẳng định cho đa thức S d phát biểu cho đa thức  Cho Q tập  L : toán tử  Đặt   p, L    p   : L  p     0;   Q, L   sup   p, L  : p  Q (2.26)     L, p   L  p  z   : p  z   ;   L, Q   sup   p, L  : p  Q (2.27) Bài toán tìm cận   p, L  (tương ứng, cho   L, p  ) p  Q gọi  Q, L  (tương ứng,  L, Q  ) toán giá trị nhỏ Bài toán  L, Q  giá trị nhỏ (2.27) toán đảo toán  Q, L  giá trị nhỏ (2.26) Với p , ta định nghĩa toán tử D s  p  z   : s s z p  z   , s  1, 2,; D  D1  s! Footer Page 72 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 73 of 126 - 72 - Thí dụ, với s  ta có D  p  z    D1  p  z     zp  z    p ( z )  zp( z ) Với s  : Vì  z p  z    2zp ( z )  z p( z ) nên D2  p  z   : 1 z p  z    (2zp( z )  z p( z))  p( z)  2zp( z)  z p( z)  2! 2 Trước tiên ta phát biểu lại giả thuyết Smale gọi Giả thuyết SS Giả thuyết 1’ (Giả thuyết SS ) Nếu p ( z ) đa thức bậc d với p (0)  p(0)   p      : p        d   p    Đẳng thức xảy p  z   z  a0  ad 1 z d 1  a0 an1  Ta phát biểu Giả thuyết Smale SS toán  p, D  giá trị nhỏ sau Giả thuyết (Giả thuyết SS  ) Nếu p  S d     p, D   p   : D  p       d 1 Đẳng thức xảy p  z    z d Chú ý rằng, vế phải bất đẳng thức  , đa thức p  z  giả d 1 thuyết Smale thay đa thức zp  z  có bậc d  Giả thuyết Smale chứng minh cho trường hợp d  3,4 ( d  2,3 Giả thuyết SS  ) số trường hợp đặc biệt, thí dụ, đa thức có tất nghiệm nằm đường tròn đơn vị Giả thuyết Smale hiển nhiên d  ( d  cho Giả thuyết SS’) Footer Page 73 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 74 of 126 - 73 - Dạng đảo giả thuyết SS’ Lời giải Bài toán đảo giả thuyết Smale cho định lí sau Định lí 2.8 Nếu p  S d   D, p    zp  z  : p  z   0  d (2.28) Dấu xảy p  z    z d Chứng minh Để chứng minh ta cần xét đa thức có không điểm phân biệt, ngược lại giả thuyết tầm thường Đầu tiên, ta chứng tỏ p  S d có không điểm đơn, d  z p  z   1 k 1 k (2.29) k Giả sử W  det  zkl 1  d k ,l 1    zk  zl  k l định thức Vandermon không điểm z1 , z2 , , zd Wk định thức Verdermon không điểm z1 , z2 , , zk 1 , zk 1 , , zd Rõ ràng, W d k  ( zk  z1 )( zk  z2 ) ( zk  zk 1 )( zk  zk 1 ) ( zk  zd )   1 p( zk ) Wk và, khai triển theo cột thứ W, ta d W   (1) k 1 k 1 z1 z2  zd Wk zk Chia đẳng thức cuối cho W để ý z1 z2 zd  (1)d , ta nhận đẳng thức (2.29) Từ (2.29) ta có 1  với k  1,2, , d  Từ suy (2.28) zk p( zk ) d Footer Page 74 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 75 of 126 - 74 - Nếu ta có đẳng thức (2.28) (2.28) ta thu zk p( zk )  d 1  với k  1, 2, , d từ zk p( zk ) d với k  1,2, , d Vì vậy, đa thức zp( z )  dp ( z )  d có bậc d  triệt tiêu d điểm phân biệt zp( z )  dp ( z )  d Dễ thấy có đa thức p( z )  z d  từ S d thỏa mãn điều kiện Tổng quát hóa giả thuyết SS’ Giả thuyết giá trị trung bình Smale tổng quát hóa cho toán tử D s , s  sau Giả thuyết 10 (Giả thuyết SSG ) Nếu p  S d   p, D s    p   : D s  p     0   Cds  s Đa thức cực trị p  z    z d Với d  giả thuyết SSG tầm thường với d  2,3 (xem Sendov, 2002, [28]) Dạng đảo giả thuyết SSG Giả thuyết 11 (Giả thuyết SSGI ) Nếu p  S d     D s , p   D s  p  z   : p  z    Cds  s  Dấu xảy p  z    z d Với d  giả thuyết SSGI tầm thường Sendov Nikolov (2003, [32]) chứng minh giả thuyết với d  2,3 Footer Page 75 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 76 of 126 - 75 - Chứng minh giả thuyết SSGI với d  d  Trường hợp d  Ta có D s ( p ( z ))  (s  1)( s  2) z  2( s  1)( z1  z2 ) z    Do z1 z2  nên s s ( s  3)  ( D s ; p )  ( s  1) z12  ; ( s  1) z12    Cs22 1  2   Hơn nữa, dễ thấy đẳng thức xảy với p( z )  z  Trường hợp d  Nếu p  S3 D s ( p ( z1 ))  s ( s  1)( s  2) z13  3( s  1)( z2  z3 ) z12   ,  z1 z2 z3  1 Ta phải chứng minh giá trị nhỏ số ( s  1)( s  2) z13  3( s  1)( z2  z3 ) z12  , ( s  1)( s  2) z23  3( s  1)( z3  z1 ) z22  , ( s  1)( s  2) z33  3( s  1)( z1  z2 ) z32  không vượt s  s  11, s s  s  11  Cs33   Hơn nữa, giá trị nhỏ s  s  11, p( z )  z  Chú ý (s  1)( s  2) z13  3( s  1)( z2  z3 ) z12   ( s  1)( s  5) z12 ( z1  am)  6, a  z z z m  s5 Vì (s  1)( s  5)   s  6s  11 nên ta cần chứng minh Footer Page 76 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.30) Header Page 77 of 126 - 76 -   z12 ( z1  am) , z22 ( z2  am) , z32 ( z3  am)  ( 2.31) Ta chứng minh: 2 z1  am  z2  am  z3  am  z2 z3 z1 2 z3 z1  z2 z1 z2  z3 (2.32) Từ (2.32) suy ra, với k đó, k  1,2,3 , thí dụ, k  1, ta có z1  am  Do đó, z1 z1  am  Điều suy (2.31) Để chứng minh (2.31), ta tính 2 z1  am  z2  am  z3  am   zk  am zk  am k 1 3 2 2   zk  3a m  2am  zk  z1  z2  z3  3(a  2) m k 1 k 1 Vì a  2, ta có 2 2 2 z1  am  z2  am  z3  am  z1  z2  z3 Còn lại cần sử dụng bất đẳng thức 2 z1  z2  z3  z2 z3 z1 2  z3 z1 z2 2  z1 z2 z3 2 , tức x1  x2  x3  2 x2 x3 x3 x1 x1 x2   , x1 x2 x3 x1  z1 , x2  z2 , x3  z3 Bất đẳng thức cuối thỏa mãn tương đương với x1 x2 x3 ( x1  x2  x3 )  x12 ( x 22  x32 )  x22 ( x32  x12 )  x32 ( x12  x 22 ), tức Footer Page 77 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z3 z2 z1 Header Page 78 of 126 - 77 -  x12 ( x2  x3 )2  x22 ( x3  x1 )  x32 ( x1  x ) (2.33) Bất đẳng thức hiển nhiên Do (2.32) chứng minh Đẳng thức (2.33) xảy x1  x2  x3 Vì vậy, giá trị nhỏ số (2.30) s  s  11 Do z1  z2  z3  m  Từ dễ thấy có đa thức cực trị, p( z )  z  Kết luận Chương Chương trình bày số vấn đề liên quan tới Giả thuyết Smale: Các mở rộng cách nhìn khác (đối ngẫu, toán cực trị) Giả thuyết Smale Quan hệ Giả thuyết Smale với động học đa thức phức tính hiệu thuật toán Newton giải phương trình đa thức trình bày tương đối chi tiết Footer Page 78 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 79 of 126 - 78 - KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan giả thuyết Smale vấn đề liên quan Nhiều giả thuyết trình bày Nhiều kết chứng minh đầy đủ tương đối chi tiết Luận văn trình bày nhiều giả thuyết liên quan đến Giả thuyết Smale, Hy vọng luận văn vẽ lên tranh toàn cảnh, tương đối đầy đủ kết đạt vấn đề liên quan đến Giả thuyết Smale Theo chủ quan tác giả, Luận văn thống kê tương đối đầy đủ Tài liệu có Giả thuyết Smale Nhằm mục đích cung cấp tương đối đầy đủ thống kê tài liệu Giả thuyết Smale, liệt kê tài liệu chưa sử dụng luận văn Những Tài liệu có dấu *, thí dụ, [1]*, tài liệu tác giả thu thập Hy vọng Luận văn góp phần thu hút quan tâm đông đảo bạn sinh viên học viên Cao học tới Giả thuyết giá trị trung bình Smale Footer Page 79 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 80 of 126 - 79 - TÀI LIỆU VỀ GIẢ THUYẾT SMALE [1]* A F Beardon, D Minda and T W Ng, Smale’s mean value conjecture and the hyperbolic metric, Mathematische Annalen, 322:4 (2002), 623– 632 [2] Borislav Bojanov, Extremal Problems for Polynomials in the Complex plane, in Approximation and Computation, in Honor of Gradimir V Milovanovic, Springer, Optimization and Its Applications, 42 (2011) [3]* Cheung Pak Leong, Smale’s inequalities for polynomials and mean value conjecture, Master thesis of Philosophy, the University of Hong Kong, 2011 [4]* Y Y Choi, Residual Julia sets of Newton’s maps and Smale’s problems on the effeciency of Newton’s method, Mphil thesis, the University of Hong Kong, 2006 http://hdl.handle.net/10722/51861/ [5]* A Conte, E Fujikawa and N Lakic, Smale’s mean value conjecture and the coefficients of univalent functions, Proceeding of the American Mathematical Society, 135 (2007), 3295–3300 [6]* E Crane, Mean value conjectures for rational maps, arXiv:math/0411604v1 [math.CV] 26 Nov 2004 [7] E T Crane, Topics in conformal geometry and dynamics, PhD thesis, University of Cambridge, 2004 [8] E T Crane, A computational proof of the degree case of Smale’s mean value conjecture, preprint, 2004 [9]* Crane, E T., Extremal polynomials in Smale’s mean value conjecture, Computational Methods Function Theory, Vol (2006), No1, 145–163 Footer Page 80 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 81 of 126 - 80 - [10]* E T Crane, A bound for Smale’s mean value conjecture for complex polynomials, Bull London Math Soc., 39 (2007), 781–791 [11]* Dimitar K Dimitrov, Smale’s Conjecture on mean values of polynomials and electrostatics, 1–9 [12]* Dubinin, V N., Inequalities for critical values of polynomials, Mathematicheskii Sbornik, Tom 197 (2006), No 8, 63–72 (in Russian, English Translation in Sb Math., 197 (2006), No 8, 1167–1176) [13]* Dubinin, V N., On the Finite-Increment Theorem for complex polynomials, Mathematicheskie Zametki, Vol 88 (2010), No.5, 673-682 (in Russian, English Translation in Mathematical Notes, Vol 88 (2010), No.5, 647-654) [14]* Vladimir Dubinin and Toshiyuki Sugawa, Dual mean value problem for complex polynomials, Proc Japan Acad., 85, Ser A (2009), 135-137 [15]* E Fujikawa and T Sugawa, Geometric function theory and Smale’s mean value conjecture, Proc Japan Acad Ser A Math Sci., 82 (2006), 97–100 [16]* Aimo Hinkkanen and Ilgiz Kayumov, On critical value of polynomial with real critical points, Constructive Approximation, 32 (2) (2010): 385392 [17]* Aimo Hinkkanen and Ilgiz Kayumov, Smale’s Problem for critical points on certain two rays, J Aust Math Soc., 88 (2) (2010): 183–191 [18]* Hayley Miles-Leighton, The Links Between Smale's Mean Value Conjecture and Complex Dynamics, 1–12 Footer Page 81 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 82 of 126 - 81 - [19]* Hayley Miles-Leighton and Kevin M Pilgrim, Smale's Mean Value Conjecture and complex dynamics, Computational Methods and Function Theory, Vol 00 (0000), No., 1–5 [20] P Marinov and Bl Sendov, Verification of the Smale’s Mean Value Conjecture for n  10, Comptes rendus de l’Academie Bulgare des Sciences, 60:11 (2007), 1151–1156 [21]* Ng, T W., Smale’s mean value conjecture for odd polynomials, J Aust Math Soc 75 (2003), 409–411 MR2015325 (2004j:30013) [22] Patrick Ng, Smale’s mean value conjecture and amoebae, preprint, 2007 [23]* F Pakovich, Arithmetics of conservative polynomials and yet another action of Gal  ,   on plane trees, arXiv:math/0404478v1 [math.NT], 27 Apr 2004 [24] Q I Rahman and G Schmeisser, Analytic theory of polynomials, London Math Soc Monographs, New Series, Tom 26, Oxford Univ Press, Oxford, 2002 [25] G Schmeisser, The Conjecture of Sendov and Smale, in “Approximation Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov” (B Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia, 2002, 353–369 (Marin Drinov Ed.), Academic Publishing House, 2004 [26]* Gerald Schmieder, A proof of Smale’s mean value conjecture, arXiv:math/0206174v8 [math.CV] Jul 2003 [27] T Sheil-Small, Complex polynomials, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 75, Cambridge, 2002 Footer Page 82 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 83 of 126 - 82 - [28]* Bl Sendov, Generalization of the Smale’s mean value conjecture, Comptes rendus de l’Academie Bulgare des Sciences, Tom 55, No11, 2002, 5–10 [29]* Bl Kh Sendov, Geometry of Polynomials and Numerical Analysis, in Numerical Methods and Applications, Dinov et al (Eds.), Lecture Note in Computer Science, Vol 2542, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 61–69 [30] Bl Kh Sendov, Extremal problems for algebraic polynomials, Uspekhi Mat Nauk, 2005, 60:6(366), 175–186 [31] Bl Sendov and P Marinov, On the mean value conjectures of Smale and Tischler, East J Approx 12 (2006), 353–366 [32]* Bl Sendov and N Nikolov, Variations of Smale’s mean value conjecture, Comptes rendus de l’Academie Bulgare des Sciences, Tom 56, No11, 2003, 9–14 [33]* Bl Sendov and N Nikolov, Min value problems for complex polynomials, Comptes rendus de l’Academie Bulgare des Sciences, Tom 56, No12, 2003, 5–10 [34] M Shub and S Smale, Computational complexity: on the geometry of polynomials and the theory of cost II, SIAM J Comput., 15 (1986), 145– 161 [35]* S Smale, The fundamental theorem of algebra and complexity theory, Bull Amer Math Soc (N.S.), (1981), 1–36 Footer Page 83 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 84 of 126 - 83 - [36]* Smale, S., Mathematical Problems for the Next Century, In Mathematics: frontiers and perspectives, eds Arnold, V., Atiyah, M., Lax, P and Mazur, B., Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2000, 271–294, MR1754783 (2001i:00003) [37]* D Tischler, Critical points and values of complex polynomials, Jour of Complexity, (1989) 438–456 [38] D Tischler, Pertubations of critical fixed points of analytic maps, In Complex analytic methods in dynamical systems (Rio d Janeiro, 1992) Asterisque, 222 (1994) 407–422 [39]* J T Tyson, Counterexamples to Tischler's strong form of Smale's mean value conjecture, Bull London Math Soc., 37 (2005), No.1, 95–100 Footer Page 84 ofSố126 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Bài toán S Smale phát biểu thành giả thuyết (sau gọi Giả thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale) Giả thuyết (Giả thuyết giá trị trung bình Smale) Giả sử p ( z ) đa thức bậc d  với... GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale ……………………… 1.2 Một số công thức đánh giá …………………………………………… 1.3 Đa thức chuẩn hóa…………………………………………… 13 1.4 Giả. .. năm, Giả thuyết giá trị trung bình Smale chứng minh cho trường hợp d  2,3,4 cho số lớp đa thức đặc biệt Mặc dù vậy, Giả thuyết Smale thu hút quan tâm đông đảo nhà nghiên cứu, nhiều vấn đề giả thuyết