Giả thuyết giá trị trung bình smale và động học phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGA GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGA GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô giáo trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các Thầy Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng đã cho tôi những kiến thức toán học căn bản. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã hướng dẫn nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 7 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Nga ii MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức 3 1.1.1 Số phức 3 1.1.2 Dãy số phức 5 1.1.3 Hàm phức 6 1.1.4 Đa thức phức 7 1.1.5 Hàm phân thức phức 8 1.1.3 Liên hợp phức 9 1.2 Động học phức 11 1.2.1 Dẫn tới khái niệm tập Fatou và tập Julia 11 1.2.2 Tập Fatou và tập Julia 15 1.2.3 Một số ví dụ tập Fatou và tập Julia 16 1.2.4 Định lí cánh hoa 22 1.3 Thuật toán Newton cho đa thức phức 23 1.3.1 Phương pháp lặp Newton 23 1.3.2 Tính hội tụ của phương pháp Newton 25 Chương 2 GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC 29 2.1 Giả thuyết giá trị trung bình Smale 29 2.2 Động học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale 33 2.3 Trường hợp đa thức bậc hai 35 2.4 Trường hợp đa thức bậc ba 36 2.5 Phát triển giả thuyết Smale 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….44 1 LỜI MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải phương trình đa thức phức, Smale đã chứng minh một bất đẳng thức, sau này được gọi là bng thc Smale. Từ bất đẳng thức này, Ông đã đưa ra một giả thuyết, sau này được gọi là gi thuyt giá tr trung bình Smale. Từ giả thuyết giá trị trung bình Smale (ngắn gọn: Giả thuyết Smale), nhiều vấn đề và giả thuyết mới nảy sinh: Chứng minh và mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với động học phức, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với các vấn đề của toán học tính toán,… Động học phức (complex dynamics) nghiên cứu dáng điệu và đặc biệt là tính hội tụ của một dãy giá trị của hàm phức ()fz xuất phát từ một điểm ban đầu 0 z qua phép lặp 1 00 ( ) ( ( )). kk f z f f z   Dãy các điểm   0 () k fz được gọi là o của hàm f xuất phát từ điểm ban đầu 0 .z Xuất phát từ giá trị ban đầu 0 ,z ánh xạ Newton () () () P Pz N z z Pz   với ()Pz là đa thức, cho một dãy các giá trị   0 ( ) , k P Nz trong đó   1 00 ( ) ( ) . kk PP N z N N z   Như vậy, dãy các giá trị   0 () k P Nz tạo thành một quĩ đạo xuất phát từ 0 .z Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Xuất phát từ điểm 0 z nào thì thuật toán Newton hội tụ? Như vậy, ta thấy động học phức liên quan chặt chẽ với thuật toán Newton và có thể giúp soi sáng hơn giả thuyết giá trị trung bình Smale. Nghiên cứu mối quan hệ giữa động học phức với thuật toán Newton và giả thuyết Smale là một vấn đề thời sự và thú vị của toán lý thuyết, giải tích số và toán ứng dụng. Luận văn Gi thuyt giá tr ng hc phc trình bày mối quan hệ giữa động học phức với sự hội tụ của thuật toán Newton và giả thuyết giá trị trung bình của Smale, dựa theo cuốn sách [4] và các bài báo [6], [7]. Nội dung của luận văn gồm 2 chương: 2 Chương 1: Trình bày một số kiến thức của giải tích phức (đa thức phức, ánh xạ phân thức và ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ Mobius và hàm liên hợp,…). Nghiên cứu động lực học trên mặt phẳng phức (tập Fatou và tập Julia), trình bày Thuật toán Newton cho đa thức, Phương pháp lặp Newton, tính hội tụ của phương pháp Newton. Chương 2: Trình bày giả thuyết giá trị trung bình Smale, mối quan hệ giữa động lực học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale và sự phát triển giả thuyết Smale. 3 Chương 1 ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON 1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức 1.1.1 Số phức Kí hiệu 1 i được gọi là  o. S phc là các số dạng ,z x iy trong đó x và y là hai số thực. Tập tất cả các số phức được kí hiệu là . Số 22 z x y được gọi là  của số phức .z x iy Mặt phẳng phức Mỗi số phức z x iy cho tương ứng với một điểm M có tọa độ   ,xy trong mặt phẳng Eclid hai chiều và môđun của số phức z chính là độ dài của vectơ ,OM tức là 22 .z x y OM   Ngược lại, mọi điểm   ,M x y trên mặt phẳng Eclid hai chiều tương ứng với số phức .z x iy Do đó ta có tương ứng một-một giữa tập hợp số phức với mặt phẳng Eclid hai chiều. Mặt phẳng này được gọi là mt phng phc. Mặt cầu Riemann Ðể hiểu rõ bản chất của điểm vô cùng trên mặt phẳng phức, cũng như sử dụng trong nghiên cứu dáng điệu của hàm số tại vô cùng, Riemann đã biểu diễn tập hợp các số phức theo cách sau. Định nghĩa 1.1.1 Mt cu Riemann S là mặt cầu trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc 0xy  có tâm là điểm 1 (0,0, ), 2 I bán kính 1 2 r  và phương trình 2 2 2 ,        hay 2 22 11 . 24           Kí hiệu   0,0,1N là điểm cực bắc của mặt cầu, 1 zS là một điểm bất kì nào đó khác N trên mặt cầu. Đường thẳng 1 Nz cắt mặt phẳng 0xy tại .z Ngược lại, lấy 0,z xy nối Nz cắt S tại 1 .z Như vậy, ta có một tương ứng một-một giữa 4 mặt cầu Riemann và mặt phẳng phức. Phép tương ứng trên được gọi là phép chiu ni và 1 z đuợc gọi là m Riemann của số phức .z Khi 1 z dần đến điểm cực bắc ,N tia 1 Nz tiến dần tới tia song song với mặt phẳng 0.xy Do đó, ta có thể xem điểm NS ứng với điểm z  và mặt cầu Riemann tương ứng với mặt phẳng phức mở rộng gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng phức bổ sung thêm điểm .z  Trên đây ta mới thiết lập sự tương ứng giữa các điểm của mặt cầu S với mặt phẳng phức thông qua hình học. Ta cũng có thể thiết lập sự tương ứng giữa chúng bằng các hệ thức đại số. Theo giả thiết ba điểm (0,0,1),N 1 ( , , )z    và ( , ,0)z x y thẳng hàng. Do đó, ta có biểu thức: 1 . 1xy       Suy ra , 1 x     . 1 y     Vậy . 1 i z x iy        Mặt khác, vì 1 ( , , )z    nằm trên mặt cầu S nên 2 2 2 .        Từ đó suy ra 5 2 2 2 2 22 22 . (1 ) (1 ) 1 z x y                  Vậy ta được 2 , 1 x z    2 , 1 y z    2 2 . 1 z z    Công thức trên cho thấy sự tương ứng một-một giữa tập hợp các số phức và tập hợp các điểm trên mặt cầu ,S và điểm N tương ứng với điểm z  của mặt phẳng phức mở rộng . 1.1.2 Dãy số phức Định nghĩa 1.1.2 Dãy số   n z được gọi là hi t đến điểm z  nếu với mỗi 0   tồn tại một số tự nhiên N sao cho n zz   với mọi n mà .nN Nếu   n z hội tụ đến z thì ta viết: lim n n zz   hay 0 . n zz 1.1.3 Hàm phức Một ánh xạ :f  cho tương ứng mỗi số phức một giá trị phức được gọi là hàm s ca bin s phc, hay hàm phc. Định nghĩa 1.1.3 Điểm   được gọi là nghim (hoặc m) của hàm ()fz nếu ( ) 0.f   Điểm z  được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu ta có ( ) .f z z Nhận xét rằng điểm bất động của hàm f cũng chính là nghiệm của phương trình ( ) ( ) 0.F z f z z   Giả sử ,,D U V là các tập nào đó trong mặt phẳng phức . Hai hàm :,f D U :g U V cho trước. Hàm hp của hai hàm và là hàm :DV   được xác định bởi công thức sau      ( ) ( ) .z f g z f g z   Đôi khi ta cũng viết .fg   Nói chung .fg gf 6 Giả sử D là một tập mở trong tập số phức . Định nghĩa 1.1.4 Hàm số :fD được gọi là có gii hn M khi z tiến tới điểm 0 zD nếu với mỗi dãy 0n zz ta có dãy   . n f z M Định nghĩa trên tương đương với: Hàm số :fD được gọi là có gii hn M khi z tiến tới điểm 0 zD nếu với mỗi 0   tồn tại một số 0   sao cho ()f z M   với mọi zD mà 0 .zz   Khi hàm số có giới hạn ,M ta viết 0 lim ( ) . zz f z M   Định nghĩa 1.1.5 Hàm số :fD được gọi là liên tc tại điểm 0 xD nếu với mỗi 0   tồn tại một số 0   sao cho 0 ( ) ( )f z f z   với mọi zD mà 0 .zz   Nếu f liên tục tại mọi điểm của D thì f được gọi là liên tc trên .D Định nghĩa 1.1.6 Hàm số :fD được gọi là kh vi phc tại điểm 0 zD nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính :   sao cho 0 00 ( ) ( ) ( ) lim 0. zz f z z f z z z       Định nghĩa trên tương đương với: Nếu 0 00 ( ) ( ) lim zz f z z f z z   tồn tại thì ta nói hàm số :fD được gọi là kh vi (o hàm) tại điểm 0 .zD Kí hiệu đạo hàm của hàm số :fD tại điểm 0 zD là 0 ( ).fz  Ta có 0 00 0 ( ) ( ) ( ) lim . zz f z z f z fz z     Định nghĩa 1.1.7 Điểm   được gọi là m ti hn của ()fz nếu ( ) 0f    . Giá trị ()f   với ξ là điểm tới hạn của ,f được gọi là giá tr ti hn của .f Trong nhiều trường hợp, hàm khả vi tại một điểm 0 zD là chưa đủ để nghiên cứu các tính chất của hàm phức. Vì vậy ta cần định nghĩa sau. [...]... dưới ánh sáng của động học phức nghiên cứu dáng điệu biến đổi của một ánh xạ bất kì dưới phép lặp xuất phát từ một điểm cho trước Do đó có thể sử dụng các kết quả của Động học phức để nghiên cứu các vấn đề của dãy lặp Newton: độ hội tụ, tốc độ hội tụ, tính chất ổn định của thuật toán,… 29 Chương 2 GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC 2.1 Giả thuyết giá trị trung bình Smale Khi nghiên... trí trong danh sách chính của chúng tôi, nhưng nó vẫn rất đáng được quan tâm ” Bài toán 1 được S Smale phát biểu thành giả thuyết (sau này được gọi là Giả thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale, Smale' s Mean Value Conjecture (SMVC)) dưới đây Giả thuyết 2.1 (Giả thuyết giá trị trung bình Smale) Giả sử P( z ) là một đa thức bậc d  2 có các điểm tới hạn là z j Nếu z không phải là điểm tới... thể phát biểu lại Giả thuyết 2.1 dưới dạng sau Giả thuyết 2.1b (Giả thuyết Smale cho đa thức đã được chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử P  z  là một đa thức bậc d  2 thỏa mãn P  0   0 và P  0   1 Khi đó tồn tại một điểm tới hạn  của P( z ) sao cho P     K (d ) Giả thuyết 2.1 mới chỉ được chứng minh cho d  2, 3, 4 Marinov và Sendov (2007, [8]) đã minh họa Giả thuyết 2.1 bằng... của Viện Hàn lâm Khoa học Paris năm 1918 cho những đóng góp của Ông Gần đây, nhờ khả năng đồ họa của máy tính (mà thời Fatou và Julia chưa có) đã được rất nhiều nhà toán học quan tâm và phát hiện nhiều điều thú vị trong động học phức cũng như quan hệ của động học phức với các bài toán khác 1.2.2 Tập Fatou và tập Julia Để xây dựng tập Fatou và tập Julia, trước tiên ta nhắc lại và phát triển khái niệm... chia các điểm vào các tập F và f một lần nữa Như vậy, phân chia mặt phẳng thành các tập F và J là một việc làm quan trọng khi nghiên cứu động học phức Các tư tưởng cơ bản làm cơ sở cho các nghiên cứu động học phức đã được các nhà toán học Pháp Pierre Fatou và Gaston Julia phát biểu vào khoảng năm 1918 Đặc biệt, Julia đã công bố khá nhiều công trình về vấn đề này Julia đã được trao 15 giải thưởng của... một phát biểu tương tự của Định lí giá trị trung bình Lagrange Tuy nhiên, cũng cần lưu ý là, Định lí giá trị trung bình Lagrange f (a)  f (b) f (a)  f (b)  f ( ) cho đánh giá hệ số góc của cát a b a b tuyến đi qua hai điểm  a, f (a)  và  b, f (b)  thông qua đạo hàm tại một điểm    a, b  nào đó, chứ không phải tại điểm z chọn trước Từ Định lí 2.1.1, S .Smale đã đi đến 30 Bài toán 1 Tìm... n1 Giả sử c là điểm tới hạn của đa thức P( z ), tức là P(c)  1  2a2c   nanc n1  0 Vì 1 1 Q( z )  1  2 a2 z   nan n1 z n1   nên Q( x)  Q( c)  1  2  1  2a2c   nanc 1  n 1 a2 c   nan 1  n 1  c  n 1  P(c)  0 hay x   c là điểm tới hạn của Q( z ) 1.2 Động học phức Một trong những bài toán của động học phức là nghiên cứu dáng điệu của dãy giá trị của hàm phức. .. dáng điệu của dãy giá trị của hàm phức dưới phép lặp Động học phức đặc biệt quan tâm tới một số điểm đặc biệt trong mặt phẳng phức hội tụ tới gốc hoặc vô cực 1.2.1 Dẫn đến khái niệm tập Fatou và tập Julia Trước tiên chúng ta xét một số thí dụ đơn giản, nhằm mô tả các tư tưởng cơ bản nhất của động học phức Cho ánh xạ f :  Chọn điểm xuất phát z0  và lặp ánh xạ f , ta được dãy các điểm z0 , z1  f (... phụ thuộc vào đa thức P( z ) mà chỉ phụ thuộc vào bậc d của P( z ) ) sao cho với mọi đa thức phức P( z ) có bậc d ta có min P( z )  P( z j ) j 1, ,d 1 (z  z j )  K (d ) P( z ) Bài toán này đã được S Smale đặt ra (1981, [11]) khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải gần đúng phương trình đa thức Nó được M Shub và S Smale (1986, [13]) cùng nhiều tác giả khác... và mọi số nguyên dương p, ta có F ( R p )  F ( R) và J ( R p )  J ( R) 1.2.3 Một số ví dụ tập Fatou và tập Julia Tập Fatou và tập Julia của ánh xạ phân thức có cấu trúc khá phức tạp, nhưng có thể phân loại được (xem [4]) Động học phức, trong đó có tập Fatou và tập Julia, liên quan tới nhiều vấn đề thú vị của toán học, ví dụ: Fractal, tập Mandelbrot và số chiều Hausdorf (Hausdorf dimension), tập Cantor, . Newton. Chương 2: Trình bày giả thuyết giá trị trung bình Smale, mối quan hệ giữa động lực học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale và sự phát triển giả thuyết Smale. . đã đưa ra một giả thuyết, sau này được gọi là gi thuyt giá tr trung bình Smale. Từ giả thuyết giá trị trung bình Smale (ngắn gọn: Giả thuyết Smale) , nhiều vấn đề và giả thuyết mới nảy sinh:. thức phức 23 1.3.1 Phương pháp lặp Newton 23 1.3.2 Tính hội tụ của phương pháp Newton 25 Chương 2 GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC 29 2.1 Giả thuyết giá trị trung bình Smale