Phương pháp lặp Newton

Một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết các hàm đa thức là bài toán

tìm nghiệm của đa thức. Thuật toán quen thuộc để tìm nghiệm của hàm khả vi nói chung, hàm đa thức nói riêng, là phương pháp Newton.

Năm 1669, Newton đã xét việc giải phương trình 3

2 5 0.

x  x  Bắt đầu từ nghiệm gần đúng (xấp xỉ ban đầu) x0 2, Ông tìm nghiệm thực dưới dạng

2 .

x  y Thay vào phương trình, Ông được y36y2 10y 1 0. Bỏ đi các đại lượng bậc cao (phi tuyến, đủ nhỏ), Ông được phương trình tuyến tính 10y 1 0 hay 1 0,1.

10

y  Suy ra x1   2 y 2,1. Giá trị này lại được chọn làm xấp xỉ thứ nhất. Tiếp tục quá trình này Ông tìm được nghiệm thực gần đúng của phương trình đã cho.

Năm 1690, Joseph Raphson đã sử dụng công cụ đạo hàm (mà Newton đã không sử dụng) để giải gần đúng phương trình f x( )0 như sau. Giả sử hàm số

( )

y f x liên tục trên đoạn  a b, và f a f b( ) ( )0. Khi ấy phương trình phi tuyến ( )f x 0 có ít nhất một nghiệm x0. Để thuận tiện trong lập luận, ta có thể coi ( )f a 0, ( )f b 0, f x( )0, f( )x 0 (Hình 1.3.1).

Hình 1.3.1

Phương trình tiếp tuyến với đường cong y f x( ) tại điểm ( , ( ))B b f b có dạng

( ) ( )( ).

y f b  f b x b 

Hoành độ giao điểm x1 của tiếp tuyến với trục hoành chính là nghiệm của phương trình trên khi cho y0.

Suy ra 0 f b( ) f b x b( )(  ) hay 1 ( ). ( ) f b x b f b   

Nghiệm x bây giờ nằm trong khoảng ( , )a x1 (xem Hình 1.3.1).

Thay khoảng ( , )a b bằng khoảng ( , )a x1 , ta đi đến nghiệm 1

2 1 1 ( ) . ( ) f x x x f x   

Tiếp tục quá trình trên, ta đi đến dãy nghiệm xấp xỉ

1 ( ) ( ) . ( ) n n n n f x x x f x     (*) Có thể chứng minh được rằng, công thức trên vẫn đúng trong trường hợp khác. Dưới một số giả thiết thích hợp, ta cũng có thể chứng minh được dãy lặp  xn

xác định bởi công thức (*) hội tụ tới nghiệm x của phương trình f x( )0 (xem, thí dụ, [2]). f(a) a x1 b f(b) x

Thuật toán trên thường được gọi là Thuật toán Newton-Raphson hay Phương pháp Newton giải gần đúng phương trình. Phương pháp Newton thường được áp dụng cho các đa thức thực. Dạng mở rộng cho các đa thức phức đã được nghiên cứu bởi ̈ er vào các năm 1870-1871 và vào năm 1879.

Giả sử là đa thức phức khác hằng số. Ánh xạ Newton (ánh xạ Newton của đa thức ) là ánh xạ được xác định theo công thức

Chọn điểm ban đầu z0 và xác định dãy { } theo công thức

trong đó được xác định khi . Khi thì

hay { } là dãy dừng và là nghiệm của đa thức .

Với cách chọn điểm thích hợp, nói chung dãy { } sẽ hội tụ tới một nghiệm z nào đó của phương trình . Vì vậy phương pháp Newton cho một thuật toán tìm nghiệm của đa thức bằng cách lặp ánh xạ Newton của đa thức .