GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC
2.2 Động học phức và giả thuyết giá trị trung bình Smale
Dựa theo [6] và [7], Mục này chỉ ra mối quan hệ giữa giả thuyết giá trị trung bình Smale và động học phức. Ta thấy rằng, giả thuyết Smale không nói gì về
điểm tới hạn hoặc những điểm thỏa mãn đánh giá trong bất đẳng thức Smale, mà chỉ nói rằng tồn tại một điểm như vậy. Mặt khác, động học phức nói rằng, với mỗi đa thức P z( ) z a z2 2 ... a zn n bao giờ cũng tồn tại điểm tới hạn tiến tới gốc tọa độ sau một số phép lặp. Hơn nữa, dưới đây ta sẽ chứng minh rằng, tính đúng đắn của giả thuyết Smale được bảo toàn dưới phép biến đổi liên hợp. Như vậy, có thể hi vọng rằng từ đây ta sẽ có mối quan hệ giữa động học phức và giả thuyết Smale. Ta có định lí quan trọng sau đây.
Định lí 2.2.1 (xem [7]) Với mọi đa thức bậc ba dạngP z( ) z a z2 2 a z3 3,
đều tồn tại một điểm tới hạn thỏa mãn cận của giả thuyết giá trị trung bình Smale và hội tụ về gốc.
Trước tiên chúng ta chứng minh Bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1 Nếu P z( ) z a z2 2 ... a zn n thỏa mãn Giả thuyết giá trị trung bình Smale và nếu Q P 1 với ( )z z (α khác 0), thì Q cũng thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale.
Chứng minh Giả sử c là một điểm tới hạn của P z( ) v à t h ỏ a m ã n g i ả
t h u y ế t S m a l e , t ứ c l à P c( ) 1
c . Từ Q P 1 ta có Q P hay ( )
P z và ( )Q z là liên hợp bởi phép biến đổi ( ) z z và điểm xc là một điểm tới hạn của Q (xem chứng minh trong Ví dụ 1.2 Chương 1).
Vì Q Q 1 nên ta có thể thấy rằng: ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1. ( ) c P Q x Q c P c x c c c
Vì vậy, nếu P z( ) thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale và nếu
1
Q P với ( ) z z với 0, thì Q z( ) cũng thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale.
Mệnh đề 2.2.1 Tồn tại một điểm tới hạn c sao cho quỹ đạo của c hội tụ về gốc.
Áp dụng các kiến thức của giải tích phức và động học phức, dưới đây ta sẽ trình bày chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết Smale trong trường hợp đa thức bậc hai và bậc ba.