GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC
2.5Phát triển giả thuyết Smale
Chứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale trong Mục trên dẫn đến một giả thuyết sau đây, mạnh hơn Giả thuyết Smale.
Giả thuyết 2.3 (Miles-Leighton và Pilgrim, [7]) Cho
22 2
d d
P z z a z a z
là một đa thức bậc d. Khi đó tồn tại một điểm tới hạn của P sao cho
1
P
và hơn nữa, hội tụ về gốc dưới phép lặp P, tức là lim n 0,
n P trong đó 1 . n n P P P
Định lí 2.5.1 (Miles-Leighton và Pilgrim, [7]) Giả thuyết 2.3 đúng với d 2,3.
Trong [7] cũng phát biểu một phiên bản khác, tinh tế hơn, của Giả thuyết 1, sử dụng định lí cánh hoa Parabol (Parabolic Flower Theorem), mô tả động học của P z( ) ở gần không điểm.
Theo ngôn ngữ của hệ động lực, các điểm tới hạn tận cùng bên phải là điểm gần gốc nhất. Đây chính là các điểm nghi ngờ là điểm tới hạn mà sự tồn tại của nó được nói đến trong giả thuyết giá trị trung bình của Smale. Ta có
Giả thuyết 2.4 Cho 2 2
d d
P z z a z a z là một đa thức phi tuyến.Pilà một cánh hoa hút với điểm cố định Parabol tại gốc và là một điểm tới
hạn tận cùng bên phải của P trong P. Khi đó
1.
P
Định lí cánh hoa Parabol (Định lí 1.2.4, trang 22) suy ra rằng, điểm tới hạn tận cùng bên phải hội tụ về gốc dưới phép lặp P. Do đó đối với mỗi đa thức P như vậy, có một số nguyên M 0 sao cho với mỗi mM, giả thuyết là đúng với đa thức Pm.
Như vậy chúng ta đã chỉ ra rằng động học phức có thể giúp ta giải quyết giả thuyết giá trị trung bình, theo đó các điểm tới hạn thỏa mãn giả thuyết giá trị trung bình Smale thỏa mãn với các đa thức bậc hai, bậc ba và dạng tổng quát của đa thức phức.
Kết luận Chương
Chương 2 giới thiệu Giả thuyết giá trị trung bình Smale. Chứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale cho trư ờng hợp đa thức bậc hai và b ậc ba dựa trên các k ết quả của Động học phức. Động học phức cũng cho phép phát bi ểu các gi ả thuyết mở rộng và sâu hơn giả thuyết giá trị trung bình Smale.
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày các vấn đề sau:
1. Động học phức.
2. Ánh xạ Newton dưới góc nhìn của động học phức.
3. Quan hệ giữa giả thuyết giá trị trung bình Smale và động lực học phức. Chứng minh giả thuyết giá trị trung bình Smale cho đa thức bậc hai và bậc ba nhờ công cụ của động học phức.