Định lý về giá trị trung bình flett và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VIẾT HOÀN ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH FLETT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VIẾT HOÀN ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH FLETT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS DƯƠNG VIỆT THƠNG Bình Định - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Dương Việt Thông Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Quy Nhơn, ngày 09 tháng 07 năm 2020 Người cam đoan Nguyễn Viết Hoàn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Tiến sĩ Dương Việt Thông, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khóa Cao học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đọc luận văn cho nhận xét sâu sắc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người ln ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân cịn hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, ngày 09 tháng 07 năm 2020 Người cam đoan Nguyễn Viết Hoàn Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu Định lý Flett 1.1 1.2 Kiến thức chuẩn bị Định lý Flett số hệ 10 1.3 Một số dạng thức khác định lý Flett 15 Ứng dụng 2.1 2.2 Ứng dụng định lý Flett vào việc giải số toán Ứng dụng cho phương trình tốn tử Volterra KẾT LUẬN 20 20 36 41 LỜI NĨI ĐẦU Trong Giải tích tốn học, nhiều nhà nghiên cứu cho việc giảng dạy khái niệm tốn học cho học sinh phổ thơng hay sinh viên năm đại học nên trình bày cách dễ hiểu trực quan dùng đồ thị, ý nghĩa hình học thay khái niệm tốn học trừu tượng Để làm điều cần định lý, công cụ cần thiết cho việc trực quan hóa khái niệm tốn học Một cơng cụ định lý giá trị trung bình Ví dụ điển hình đạo hàm Bên cạnh định nghĩa thống khái niệm trừu tượng giới hạn đạo hàm cịn biểu diễn trực quan qua hệ số góc đường tiếp tuyến Và định lý giá trị trung bình cầu nối việc chứng minh biểu diễn hình học đạo hàm Ngồi ra, định lý giá trị trung bình từ trước đến vốn có tầm quan trọng Giải tích tốn học Các định lý vừa có hình thức biểu diễn đơn giản lại vừa cơng cụ tốn học mạnh mẽ, phù hợp để giải nhiều toán Ví dụ hàm số có đạo hàm dương hàm tăng ngặt hệ suy từ định lý giá trị trung bình Trong chương trình Tốn học nhiều quốc gia giới có Việt Nam, định lý giá trị trung bình đưa vào sách Giải tích toán hoc để giảng dạy cho học sinh, sinh viên Có nhiều định lý giá trị trung gian khác Fermat, Rolle, Lagrange, hay Cauchy, nhiên chúng tơi tập trung vào định lý Flett Luận văn có tên “Định lý giá trị trung bình Flett ứng dụng” Luận văn gồm hai chương: Chương Tác giả nhắc lại số kết hàm số liên tục, hàm số khả vi chứng minh định lý giá trị trung bình Flett hai cách khác Ngoài ra, tác giả đưa số hệ dạng thức khác định lý Flett có nhiều ứng dụng chương Chương Tác giả sử dụng hệ dạng thức khác định lý Flett Chương vào việc giải số toán định lý giá trị trung bình, tồn nghiệm phương trình tốn tử Volterra Quy Nhơn, ngày 09 tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Viết Hoàn Chương Định lý Flett 1.1 Kiến thức chuẩn bị Ở phần nhắc lại số định nghĩa, tính chất giới hạn hàm số, hàm số liên tục định lý giá trị trung bình cho hàm số khả vi liên tục Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) , ta nói hàm số f có giới hạn L x → x0 , viết lim f (x) = L, dãy {xn } ⊂ (a, b) x→x0 mà xn → x0 lim f (xn ) = L n→∞ Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 ∈ (a; b) lim f (xn ) = f (x0 ) với dãy n→∞ {xn } ⊂ (a, b) xn → x0 n → ∞ Hàm số f gọi liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm x0 ∈ (a; b) Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f xác định khoảng (a, b) Hàm số f gọi liên tục khoảng (a, b) nếu: ∀ε > 0, ∃δ cho ∀x1 , x2 ∈ (a; b), |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 ) | < ε Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số f xác định đoạn [a; b] Hàm số f gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục điểm x0 ∈ (a, b) hàm số f liên tục phải a, liên tục trái b Tập hợp tất hàm số liên đoạn [a; b] ký hiệu C([a; b]) Định lý 1.1.1 (Định lý Weierstrass) Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a; b] Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 tồn hữu hạn giá trị giới hạn gọi đạo hàm hàm số f lim x0 ký hiệu f (x0 ) Nếu hàm số f khả vi điểm x0 ∈ (a; b) nói f khả vi khoảng (a; b) Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm số f xác định đoạn [a; b] Hàm số f gọi khả vi đoạn [a; b] khả vi điểm x0 ∈ (a, b) hàm số f có đạo hàm phải a, có đạo hàm trái b Tập hợp tất hàm số khả vi có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] ký hiệu C ([a; b]) Định lý 1.1.2 (Định lý Fermat) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] đạt cực trị điểm c ∈ (a; b) Nếu f (c) tồn f (c) = Định lý 1.1.3 (Định lý Darboux) Giả sử hàm số f khả vi (a; b) Khi f có tính chất giá trị trung bình (a; b) Định lý 1.1.4 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f (a) = f (b) tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = Định lý 1.1.5 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Khi tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a Định lý 1.1.6 (Tính khả vi hàm cận trên) Nếu f hàm liên tục [a; b] hàm số F (x) xác định x F (x) = f (t)dt a Hình 1.1: Ý nghĩa hình học định lý giá trị trung bình Rolle Hình 1.2: Ý nghĩa hình học định lý giá trị trung bình Lagrange khả vi x ∈ [a; b] F (x) = f (x) Định nghĩa 1.1.7 (Khơng gian hàm bình phương khả tích) |f (x)|2 dx < +∞} L [0, 1] := {f : [0, 1] → R đo cho 28 Do tính liên tục t xh(x)dx, nên khơng tính tổng qt ta giả sử t xh(x)dx > 0 Đặt t h(x)dx H(t) = Bằng cách lấy tích phân phần ta có t t xh(x)dx = tH(t) − 0< H(x)dx, ∀t ∈ (0; 1) 0 Cho t → ta ≤ H(1) − H(x)dx Suy H(x)dx ≤ Xét hàm µ : [0; 1] → R cho  t   H(x)dx, t = t µ(t) =   0, t = Ta thấy µ (t) = tH(t) − t t H(x)dx , t hay t µ (t) = tH(t) − H(x)dx > t2 Do µ tăng (0; 1), suy µ tăng [0; 1] Từ ta µ(1) > µ(0) hay H(x)dx > 0 Điều mâu thuẫn, ta có điều phải chứng minh 29 Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục thỏa mãn h(x)dx = 0 Chứng minh tồn c1 ∈ (0; 1) cho c1 c1 h(c1 ) = xh(x)dx Chứng minh Xét hàm t h(t) = e−t xh(x)dx Ta dễ thấy h(0) = ta có t h (t) = e−t th(t) − e−t xh(x)dx t = e−t th(t) − xh(x)dx Theo Bài tập tồn c ∈ (0; 1) cho h(c) = Do ta đươc h(0) = h(c) = Theo định lý Rolle tồn c1 ∈ (0; c) cho h (c1 ) = 0, nghĩa h (c1 ) = e −c1 c1 c1 h(c1 ) − xh(x)dx điều tương đương với c1 c1 h(c1 ) − xh(x)dx = 0 Do c1 c1 h(c1 ) = xh(x)dx Bài toán chứng minh = 0, 30 Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số khả vi liên tục thỏa mãn h(x)dx = 0 Chứng minh tồn c1 ∈ (0; 1) cho c1 c1 h(c1 ) = h (c1 ) xh(x)dx Chứng minh Ta xét hàm số t h(t) = e−h(t) xh(x)dx Ta có t −h(t) h (t) = e th(t) − e −f (t) h (t) xh(x)dx t = e−h(t) th(t) − h (t) xh(x)dx Nhận xét h(0) = Do theo Bài tập tồn c ∈ (0; 1) cho h(c) = Khi đó, theo định lý Rolle tồn c1 ∈ (0; c) cho h (c1 ) = 0, nghĩa h (c1 ) = e c1 −h(c1 ) c1 h(c1 ) − h (c1 ) xh(x)dx = 0, hay c1 c1 h(c1 ) − h (c1 ) xh(x)dx = 0 Do c1 c1 h(c1 ) = h (c1 ) xh(x)dx Bài toán chứng minh Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục thỏa mãn 1 h(x)dx = xh(x)dx 31 Chứng minh tồn c ∈ (0; 1) cho c h(x)dx = 0 Chứng minh Xét hàm g : [0; 1] → R cho t t h(x)dx − g(t) = t xh(x)dx 0 Khi ta có t g (t) = h(x)dx Hơn 0 h(x)dx − g(0) = xh(x)dx = 0, 1 h(x)dx − g(1) = xh(x)dx = 0 Do theo định lý Rolle, tồn c ∈ (0; 1) cho g (c) = 0, nghĩa c h(x)dx = 0 Vậy toán chứng minh Bài toán 10 Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục cho 1 h(x)dx = xh(x)dx Chứng minh tồn c ∈ (0; 1) cho c xh(x)dx = 0 Chứng minh Cách 1: Xét hàm số t t h(x)dx − h(t) = t xh(x)dx 32 Ta có t h(x)dx h (t) = Theo Bài tập tồn c1 ∈ (0; 1) cho h (c1 ) = Do đó, ta h (0) = h (c1 ) = Nhờ định lý Flett, tồn c ∈ (0; c1 ) cho h(c) − h(0) , c−0 h (c) = nghĩa c xh(x)dx = 0 Cách 2: Xét hàm số H : [0; 1] → R cho t g(x)dx, H(t) =  s      xh(x)dx, s ∈ (0; 1] s g(s) =   h(0)    , s = Vì g(s) liên tục H(0) = nên ta có s H(1) = lim+ →0 s = − lim+ →0 s xh(x)dx d(− ) s 1 xh(x)dx| + lim+ →0 = − sh(s)ds s xh(x)dx + h(x)dx = 0 Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (0; 1) cho H (c) = Điều có nghĩa c xh(x)dx = 0 Bài toán chứng minh 33 Bài toán 11 Giả sử h : [0; 1] → R hàm số liên tục cho 1 h(x)dx = xh(x)dx 0 Chứng minh tồn c1 , c2 ∈ (0; 1) cho c1 h(c1 ) = h(x)dx, c2 c2 h(c2 ) = xh(x)dx Chứng minh Xét hàm g1 , g2 : [0; 1] → R cho t g1 (t) = e−t h(x)dx, t g2 (t) = e −t xh(x)dx Khi t −t −t g1 (t) = e h(t) − e h(x)dx t = e−t h(t) − h(x)dx t −t g2 (t) = e th(t) − e −t xh(x)dx t = e−t th(t) − xh(x)dx Theo Bài tốn Bài tốn 10 tồn c, c ∈ (0; 1) cho c c h(x)dx = xh(x)dx = 0 34 Vậy g1 (0) = g1 (c) = 0, g2 (0) = g2 (c ) = Theo định lý Rolle, tồn c1 ∈ (0; c), c2 ∈ (0; c ) cho g1 (c1 ) = g2 (c2 ) = Điều có nghĩa c1 h(c1 ) = h(x)dx, c2 c2 h(c2 ) = xh(x)dx Bài toán chứng minh Bài toán 12 Cho h : [0; 1] → R hàm số khả vi liên tục (0; 1) h liên tục [0; 1] cho 1 h(x)dx = xh(x)dx Chứng minh tồn c1 , c2 ∈ (0; 1) cho c1 h(c1 ) = h (c1 ) h(x)dx, c2 xh(x)dx h(c2 ) = h (c2 ) Chứng minh Xét hàm g1 , g2 : [0; 1] → R cho t g1 (t) = e −h(t) h(x)dx, t −h(t) g2 (t) = e xh(x)dx Khi t g1 (t) = e −h(t) h(t) − e −h(t) h (t) h(x)dx t =e −h(t) h(t) − h (t) h(x)dx 35 t g2 (t) = e−h(t) th(t) − e−h(t) h (t) xh(x)dx t = e−h(t) th(t) − h (t) xh(x)dx Lập luận tương tự Bài tập 11, tồn c1 ∈ (0; 1) cho c1 g1 (c1 ) = e−h(c1 ) h(c1 ) − h (c1 ) h(x)dx =0 hay c1 h(c1 ) − h (c1 ) h(x)dx = 0, tức c1 h(c1 ) = h (c1 ) h(x)dx Tương tự tồn c2 ∈ (0; 1) cho −h(c2 ) g2 (c2 ) = e c2 h(c2 ) − h (c2 ) h(x)dx =0 hay c2 h(c2 ) − h (c2 ) h(x)dx = 0, tức c2 h(c2 ) = h (c2 ) h(x)dx Từ suy điều phải chứng minh Bình luận: Qua tốn ta nhận thấy định lý Flett thực định lý mạnh nhiên việc áp dụng đòi hỏi phải xây dựng hàm đặc trưng, điều thực không dễ chút Với thời gian tiếp xúc nhiều với toán định lý giá trị trung bình cho tích phân định lý Flett hy vọng làm bạn khắc phục điều 36 2.2 Ứng dụng cho phương trình toán tử Volterra Trong phần này, ứng dụng cho phương trình tốn tử Volterra đề cập Chúng bắt đầu bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1 Cho u, v : [a; b] → R hàm số khả vi [a; b] cho v (x) = với x ∈ [a; b] u (a) u (b) = v (a) v (b) Khi tồn c ∈ (a; b) cho u(c) − u(a) u (c) = v(c) − v(a) v (c) Chứng minh Xét hàm w : [a; b] → R cho   u(x) − u(a)   x = a,  v(x) − v(a) w(x) = u (a)    x = a  v (a) Dễ thấy w liên tục [a; b] Khi w có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a, b] Nếu giá trị khác w(a) w(b) theo định lý Fermat tồn x0 cho w (x0 ) = 0, tức u(x0 ) − u(a) u (x0 ) = v(x0 ) − v(a) v (x0 ) Ngược lại ta có w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] w(b) ≤ w(x) ≤ w(a), ∀x ∈ [a; b] Nếu w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] Ta giả sử v (x) > 0, ∀x ∈ [a; b] (vì ngược lại ta xét đến xét hàm số −u, −v thay u, v), v(x) > v(a) từ định nghĩa hàm số w có: u(x) ≤ u(a) + w(b)(v(x) − v(a)), ∀x ∈ [a; b] 37 Suy u(b) − u(a) − w(b)(v(x) − v(a)) u(b) − u(x) ≥ v(b) − v(x) v(b) − v(x) u(b) − u(a) = = w(b) v(b) − v(a) Cho x tiến đến b từ bên trái ta có u (a) u (b) = v (a) v (b) u(b) − u(x) ≥ w(b) = lim− x→b v(b) − v(x) w(a) = Khi w hàm [a; b] w = Nếu w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] việc chứng minh hoàn toàn tương tự Vậy bổ đề chứng minh Cho hàm số Ψ φ : [0; 1] → R hàm số khả vi φ(x) = với t ∈ (0; 1) Đặt V ánh xạ cho t V Ψ(t) = Ψ(x)dx đồng thời định nghĩa t Vφ Ψ(t) = φ(x)Ψ(x)dx Đặt C˜ ([a; b]) := {φ : [a; b] → R : φ ∈ C ([a; b]); φ (x) = 0, x ∈ [a; b], φ(a) = 0} Định nghĩa Cnull ([a; b]) không gian hàm số liên tục có tích phân không [a; b] Bây ta phát biểu kết quan trọng sau 38 Định lý 2.2.1 Cho f ∈ Cnull ([a; b]) g ∈ C ([a; b]), với g (x) = với x ∈ [a; b] Khi tồn c ∈ (a; b) cho Vg f (c) = g(a).V f (c) Chứng minh Điều cần chứng minh tương đương với việc chứng minh tồn c ∈ (a; b) cho c c f (x)dx f (x)g(x)dx = g(a) a a Chúng ta xét hàm u, v : [a; b] → R cho t t f (x)g(x)dx − g(t) u(t) = a f (x)dx, a v(t) = g(t), ∀t ∈ [a; b] Dễ dàng thấy t u (t) = g (t) f (x)dx a Theo bổ đề tồn c ∈ (a, b) cho u(c) − u(a) u (c) = , v(c) − v(a) v (c) điều tương đương với c a f (x)g(x)dx − g(c) g(c) − g(a) c a f (x)dx c −g (c) a f (x)dx = g (c) Từ suy c c f (x)g(x)dx − g(c) a c = − g(c) f (x)dx a c f (x)dx + g(a) a Vậy ta có điều phải chứng minh f (x)dx a 39 Hệ 2.2.1 Nếu f ∈ Cnull ([a; b]) g ∈ C˜ ([a; b]) tồn c ∈ (a; b) cho c f (x)g(x)dx = a Chứng minh Do g ∈ C˜ ([a; b]) nên g(a) = Áp dụng định lý ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2.2 Nếu f, g : [0; 1] → R liên tục [0; 1] tồn x0 ∈ (0; 1) cho Vφ f (x0 ) g(x)dx−Vφ g(x0 ) f (x)dx 0 1 g(x)dx − V g(x0 ) = φ(0) V f (x0 ) f (x)dx Chứng minh Xét hàm số u, v : [0; 1] → R, 1 g(x)dx − φ(t)V g(t) − Vφ g(t) u(t) = φ(t)V f (t) − Vφ f (t) f (x)dx, 0 v(t) = φ(t) Khi tồn x0 ∈ (0; 1) cho u(x0 ) − u(0) u (x0 ) = , v(x0 ) − v(0) v (x0 ) điều tương đương với x0 0 φ(x)g(x)dx x0 g(x)dx − f (x)dx 0 tức f (x)dx x0 = φ(0) x0 g(x)dx − φ(x)f (x)dx g(x) 0 1 g(x)dx − Vφ g(x0 ) Vφ f (x0 ) f (x)dx , f (x)dx 1 g(x)dx − V g(x0 ) = φ(0) V f (x0 ) f (x)dx 40 Hệ 2.2.2 Nếu φ(0) = tồn x0 ∈ (0; 1) cho 1 f (x)dx.Vφ g(x0 ) = g(x)dx.Vφ f (x0 ) Hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.3 Nếu f, g : [0; 1] → R hai hàm số liên tục tồn x1 ∈ (0; 1) cho x1 f (x)dx xg(x)dx = x1 g(x)dx xf (x)dx Hệ suy trực tiếp từ Hệ 2.2.2 với φ(x) = x 41 KẾT LUẬN Trong luận văn "Định lý giá trị trung bình Flett ứng dụng", chúng tơi trình bày số vấn đề sau: ❼ Nhắc lại số kết hàm số liên tục, hàm số khả vi chứng minh định lý giá trị trung bình Flett hai cách khác ❼ Đưa số hệ dạng thức khác định lý Flett có nhiều ứng dụng kết ❼ Sử dụng hệ dạng thức khác định lý Flett vào việc giải số toán định lý giá trị trung bình, tồn nghiệm phương trình toán tử Volterra ❼ Các vấn đề luận văn cịn mẻ học viên chúng tơi Một số chứng minh luận văn đòi hỏi biến đổi kỹ thuật phức tạp Những báo mà tham khảo viết vắn tắt đọng Chúng tơi trình bày lại cách hệ thống chi tiết chứng minh 42 Tài liệu tham khảo [1] Flett, T.M (1958), "A mean value theorem", The Mathematical Gazette, 42, 38-39 [2] Hutník, O., Molnárová, J (2015), "On Flett’s mean value theorem", Aequationes Mathematicae, 89, 1133-1165 [3] Lupu, C (2013), "Mean value problems of Flett type for a Volterra operator", Electronic Journal of Differential Equations, 53, pp 1-7 [4] Lupu C., Lupu, T (2009), "Mean value theorems for some linear integral operators", Electronic Journal of Differential Equations, 117, 1-15 [5] Rˇadulescu, T.L., Rˇadulescu, V.D., Andreescu, T (2009), Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer, Berlin, xx+452 pp ... Chương Ứng dụng 2.1 Ứng dụng định lý Flett vào việc giải số toán Trong phần trình bày số vận dụng định lý Flett toán định lý giá trị trung bình Nhận thấy việc xây dựng hàm để sử dụng định lý Flett. .. bày định lý Flett, định lý Flett chứng minh đưa ý nghĩa hình học vào năm 1958 [1] Có thể nói định lý Flett định lý Lagrange với điều kiện định lý Rolle Sau chứng minh lại định lý hai cách khác Định. .. sinh viên Có nhiều định lý giá trị trung gian khác Fermat, Rolle, Lagrange, hay Cauchy, nhiên tập trung vào định lý Flett Luận văn có tên ? ?Định lý giá trị trung bình Flett ứng dụng? ?? Luận văn gồm