Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đọa Dõng Đà Nẵng – Năm 2012 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Có số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Thị Yến Ly MỤC LỤC Trang phu ̣ bià Lời cam đoan Mu ̣c lu ̣c MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH 1.1 HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC 1.2 HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN 1.3 TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH 12 1.4 HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC 13 1.5 HÀM SONG CỘNG TÍNH 18 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 21 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE 21 2.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 24 2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 32 2.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN 48 2.5 DÁNG ĐIỆU GIỚI HẠN CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 52 2.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 59 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 63 3.1 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU 63 3.2 PHƯƠNG TRÌNH KIỂU STAMATE 65 3.3 MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA KUCZMA 69 3.4 PHƯƠNG TRÌNH XUẤT PHÁT TỪ QUY TẮC SIMPSON 73 3.5 MỘT SỐ SUY RỘNG 81 KẾT LUẬN 94 DANH MỤC TÀ I LIỆU THAM KHẢO .96 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre les égalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle cơng nhận Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques váo năm 1797 Nó nhận thêm công nhận Augustin Louis Cauchy (1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Hầu hết kết sách Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình định lý Rolle cách gián tiếp Do khám phá định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình Lagrange), nhiều báo xuất trực tiếp gián tiếp bàn định lý Rolle Gần đây, nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu định lý giá trị trung bình phương trình hàm, hai vấn đề quan trọng chương trình THPT, đặc biệt dành cho khối chun tốn, định chọn đề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan để tiến hành nghiên cứu Vấn đề mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Các định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan đến chúng trình bày số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phương trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình, đề cập đến phương trình hàm có liên quan ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan đến chúng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan đến chúng Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình phương trình hàm Chứng minh chi tiết làm rõ số định lý, đưa số ví dụ minh họa đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo - Trong Chương 1, chúng tơi bàn phương trình hàm Cauchy chứng tỏ hàm cộng tính liên tục khả tích địa phương tuyến tính Chúng tơi khảo sát thêm dáng điệu hàm cộng tính gián đoạn chứng tỏ chúng thể dáng điệu đặc biệt: đồ thị chúng trù mật mặt phẳng Chúng tơi trình bày ngắn gọn sở Hamel sử dụng cho việc xây dựng hàm cộng tính gián đoạn Hàm cộng tính mặt phẳng thực phức bàn đến chương cuối trình bày ngắn gọn hàm song cộng tính - Trong Chương 2, chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình Lagrange với nhiều ví dụ minh họa Định lý giá trị trung bình động lực cho nhiều phương trình hàm, số chúng bàn đến chương Có nhiều kết phương trình hàm gần đề cập đến Hơn nữa, mô tả ngắn gọn định lý giá trị trung bình tỉ sai phân đưa số ứng dụng việc xác định trung bình hàm Trong chương này, khảo sát dáng điệu giới hạn giá trị trung bình - Trong Chương bàn biến đổi định lý giá trị trung bình Lagrange mang tên Dimitri Pompeiu Định lý giá trị trung bình Pompeiu nguồn động lực cho nhiều phương trình hàm kiểu Stamate Trong chương này, chúng tơi bàn phương trình hàm mang tên Marec Kuczma Chúng tơi khảo sát số phương trình hàm mở rộng phương trình hàm nghiên cứu trước số phương trình hàm có từ quy tắc Simpson CHƯƠNG HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [2] , [5], [6] Mục đích chương trình bày số kết liên quan đến hàm cộng tính song cộng tính Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M Legendre, người nỗ lực xác định nghiệm phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với x, y  ¡ , Cuốn sách Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời hàm cộng tính Hàm cộng tính tìm thấy sách Aczél (1966, 1987), Aczél – Dhombres (1989) Smital (1988) Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến biểu diễn theo hàm cộng tính, nhân tính, logarit hàm mũ Các phương trình mà trình bày liên quan đến hàm cộng tính, song cộng tính biến dạng chúng Nhân tiện, khảo sát nghiệm số phương trình khác có liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính 1.1 HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : ¡  ¡ , ¡ tập số thực, gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) (1.1) với x, y  ¡ Phương trình (1.1) đề cập A M Legendre (1791) C.F Gaus(1809), A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng quát Định nghĩa 1.1.2 Một hàm f : ¡  ¡ gọi hàm tuyến tính có dạng f ( x)  mx x ¡  , m số Đồ thị hàm tuyến tính f ( x)  mx đường thẳng không thẳng đứng qua gốc tọa độ gọi tuyến tính Các ví dụ hàm cộng tính mà dễ dàng nhận thấy hàm tuyến tính Vấn đề đặt có hàm cộng tính khác hay khơng? Chúng ta bắt đầu chứng tỏ hàm cộng tính liên tục hàm tuyến tính Đây kết chứng minh Cauchy vào năm 1821 Định lý 1.1.1 Cho f : ¡  ¡ hàm cộng tính liên tục Khi f tuyến tính, nghĩa là, f(x)=mx với m số tùy ý Chứng minh: Từ (1.1), quy nạp ta có f ( x1  x2   xn )  f ( x1)  f ( x2 )   f ( xn ) ( x1, x2 , , xn ¡ ) Chọn x1  x2   xn  x , ta có f (nx)  nf ( x) (1.2) với số nguyên dương n số thực x Đặt x  (m / n)t , m n số nguyên dương Khi nx  mt Vì m  m f (nx)  f (mt )  nf ( x)  mf (t )  f  t   f (t ), t  ¡ n  n Vì ta chứng minh f (qt )  qf (t ), (1.3) với số thực t số hữu tỉ dương q Ta thấy f ( y )  f ( y  0)  f ( y)  f (0) , nên f (0)  Từ điều này, ta có f (0t )  f (t ) Vì (1.3) với số hữu tỉ không âm q Do  f (0)  f q  (q)  f (q)  f (q) , nên f (q)   f (q) Từ điều này, với số hữu tỉ q  ta có f (qt )  f  (q) t    f (q) t   (q) f (t )  q f (t ) Vì (1.3) với số thực t số hữu tỉ q Thay t=1 vào (1.3) đặt a  f (1) , ta có f (q)  aq với số hữu tỉ q Với x số thực tùy ý, tính trù mật ca s hu t Ô Ă , tn dãy số hữu tỉ  qn n¥ hội tụ x Vì f hàm liên tục, ta có f ( x)  f (lim qn )  lim f (qn )  lim aqn  a (lim qn )  ax n n n n Chú ý 1.1.1 Trong định lý 1.1.1, f khả vi định lý chứng minh sau Đầu tiên, cố định x lấy tích phân hai vế (1.1) biến y 1 x f  x    f ( x) dy   f  x  y   f  y  dy   x 0 1 f (u) du   f ( y) d ( y) , u=x+y Do f khả vi, lấy đạo hàm hai vế theo x, ta có f '  x   f 1  x   f  x  Do f (1  x)  f ( x)  f (1) , nên f '( x)  m , với m  f (1) Do f ( x)  mx  c, với c số tùy ý Thay x = vào đẳng thức này, ta có c = Vì f tuyến tính khẳng định định lý Định nghĩa 1.1.3 Một hàm f : ¡  ¡ gọi khả tích địa phương khả tích khoảng hữu hạn Chú ý 1.1.2 Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương tuyến tính Sau chứng minh Shapiro (1973) Giả sử f hàm cộng tính khả tích địa phương Khi ta có x y y f  x    f ( x) dz    f  x  z   f  z  dz   x 0 y y  x y f (u) du   f ( z) dz y f (u ) du   f (u ) du   f (u) du x y 0 Vế phải đẳng thức không thay đổi thay đổi vai trò x y Từ suy y f  x   x f  y  , với x, y  ¡ Vì với x ≠ 0, ta có f ( x) x  m, m số tùy ý Điều kéo theo f  x   m với x¡ \ 0 Vì f  0  nên f hàm tuyến tính ¡ Định nghĩa 1.1.4 Một hàm f : ¡  ¡ gọi hữu tỉ f  rx   rf  x  , với x  R số hữu tỉ r (1.4) 82 Kế đến, xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.103) mà khơng có giả thiết qui (tính khả vi, tính liên tục, tính đo được, …) gán cho hàm ẩn Hơn nữa, sử dụng nghiệm phương trình này, xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm f ( x)  g ( y)  ( x  y) h(sx  ty)  ( x)   ( y) (3.104) với x, y  ¡ với s t tham số chọn ưu tiên Lưu ý phương trình hàm (3.104) bao gồm phương trình hàm f ( x )  g ( y )  ( x  y ) h( x  y ) mà nghiên cứu Haruki (1979) Aczél (1985) phương trình hàm f ( x)  g ( y)  ( x  y)h( sx  ty) mà nghiệm xác định Kannappan, Sahoo Jacobson (1995) Kết sau Haruki (1979) dung việc xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.103) Bổ đề 3.5.1 Các hàm f , g : ¡  ¡ thỏa mãn phương trình hàm  g ( x)  g ( y )  f ( x)  f ( y )  ( x  y )     (3.105) với x, y  ¡ f ( x)  ax2  bx  c g ( x)  2ax  b (3.106) a, b, c số tùy ý Chứng minh: Cho y  (3.105), ta có f ( x)  f (0)  x  g ( x)  g (0) từ (3.105), ta x  g ( y)  g (0)  y  g ( x)  g (0) Vì g( x)  2ax  b, x  0, (3.107) a b số Lưu ý (3.107) x  , b  g (0) Từ (3.107) suy f ( x)  ax2  bx  c , với c  f (0) Do ta có nghiệm khẳng định Định lý 3.5.1 Cho s t tham số thực Các hàm giá trị thực f , g , h : ¡  ¡ thỏa mãn phương trình hàm (3.103) với x, y  ¡ 83 ax  (b  d ) x  c  ax  (b  d ) x  c ax  (b  d ) x  c  f ( x)   3ax  2bx  cx  (d  2 ) x   2ax3  cx  2 x  A( x)     ax  (b  d ) x  c b  ax   ax  b   b  g ( x)  ax   2ax  bx  cx  A( x)    3ax  cx    b ax   tùy ý ví i h(0)  d d  d   x  x   x h( x )   a    b    A    d t t  t   x t x a    A   , x  x t  t d  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  số tùy ý Chứng minh: Để chứng minh định lý, ta xét nhiều trường hợp phụ thuộc vào tham số s t Trường hợp Giả sử s   t Khi (3.103) thu f ( x)  f ( y)   x  y  d  g ( x)  g ( y), (3.108) 84 d  h(0) Định nghĩa F ( x)  f ( x)  dx, G( x)  2g( x) áp dụng vào (3.108), ta  G ( x)  G ( y )  F ( x)  F ( y )   x  y     (3.109) với x, y  ¡ Nghiệm tổng quát (3.109) có từ bổ đề 3.5.1 F ( x)  ax2  bx  c G( x)  2ax  b , a, b, c số tùy ý Do ta có  f ( x)  ax  (b  d ) x  c   g ( x)  ax  b2 h( x)  tùy ý ví i h(0)  d  (3.110) a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Giả sử s  0, t  (trường hợp s  t  thực theo cách tương tự) Khi (3.103) thu f ( x)  f ( y)  ( x  y) h(ty)  g ( x)  g ( y) (3.111) Cho y  (3.111), f ( x)  f (0)  x h(0)  g ( x)  g (0) từ (3.111) ta có xg ( x)  yg ( y)  ( x  y) h(ty)  g ( x)  g ( y)  g (0)  h(0) (3.112) Thay đổi vai trò x y (3.112), ta yg ( y)  xg ( x)  ( y  x) h(tx)  g ( y)  g ( x)  g (0)  h(0) (3.113) Cộng (3.112) (3.113), h(tx)  h(ty) với x, y  ¡ mà x  y Do h( x)  d , x ¡ , (3.114) d số tùy ý Thay (3.114) vào (3.111), ta có f ( x)  f ( y)  ( x  y) d  g ( x)  g ( y) (3.115) (3.108) Vì theo trường hợp 1, (3.114) (3.110) ta có  f ( x)  ax  (b  d ) x  c   g ( x)  ax  b2 h( x)  d ,  (3.116) 85 a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Giả sử s  t  Cho y  x  (3.103), ta có f ( x)  f (0)  x h(sx)  g ( x)  g (0), f ( y)  f (0)  y h(ty)  g ( y)  g (0) (3.117) Từ suy h( sx)  h(ty ) với x¡ \ 0 Cho (3.117) vào (3.103) xếp lại số hạng, ta có y h(sx)  g ( x)  g (0)  x h(ty)  g ( y)  g (0)   x  y h(sx  ty)  h(sx)  h(ty) (3.118) với x, y  ¡ Bây ta xét số trường hợp nhỏ 3.1 Giả sử s  t Khi (3.118) cho x ( y)  y ( x)  ( x  y)  ( x  y)  ( x)  ( y), (3.119)  ( x)  h(tx)  g ( x)  g (0)  ( x)  h(tx) Nghiệm phương trình hàm (3.119) có từ Định lý 3.4.2  ( x)  3ax3  2bx  cx  d   ( x)  ax  bx  A( x)  d , (3.120) A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d số Từ (3.120) (3.117), ta có nghiệm khẳng định  f ( x)  3ax  2bx3  cx  (d  2 ) x      g ( x)  2ax  bx  cx  A( x)    x x x  h( x)  a  t   b  t   A  t   d (3.121) A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  số tùy ý 3.2.Giả sử s  t Khi từ h(sx)  h(tx), x  ¡ \ 0 , ta có h(tx)  h(tx), x ¡ \ 0 Nghĩa là, h hàm chẵn Với s  t sử dụng tính chẵn h , từ (3.118), ta có y  h(tx)  g ( x)  g (0)  x  h(ty)  g ( y)  g (0)   x  y   h(tx  ty )  h(tx)  h(ty ) (3.122) 86 với x, y  ¡ Định nghĩa G( x)  h(tx)  g ( x)  g (0) H ( x)  h(tx), ta có từ (3.122) xG( y)  yG( x)  ( x  y)  H ( x  y)  H ( x)  H ( y) (3.123) Lưu ý H hàm chẵn Thay y  y (3.123), ta có xG( y)  yG( x)  ( x  y)  H ( x  y)  H ( x)  H ( y) (3.124) Cho x  y (3.124), ta có G( x)  G( x)  2 H (2x)  2H ( x) (3.125) với x  Từ định nghĩa G ( x) H ( x) , (3.125) với x  Cộng (3.123) (3.124) sử dụng (3.125), ta có ( x  y) H ( x  y)  ( x  y)H ( x  y)  2xH ( x)  2x  H (2 y)  H ( y) (3.126) Thay đổi vai trò x y (3.126), cộng phương trình nhận với (3.126) xếp lại số hạng ta có ( x  y) H ( x  y)  xH ( x)  yH ( y)  y  H (2x)  H ( x)  x  H (2 y)  H ( y) (3.127) Đặt  ( x)  xH ( x)  ( x)  H (2 x)  H ( x) , phương trình (3.127) cho  ( x  y )   ( x)   ( y)  y ( x)  x ( y) (3.128) Lưu ý H hàm chẵn,  hàm lẻ  hàm chẵn Lần lượt thay x x  y y  y (3.128) để có  ( x)   ( x  y)   ( y)  y ( x  y)  ( x  y) ( y)  ( x  y)   ( x)   ( y)   y ( x)  x ( y) (3.129) Cộng hai phương trình sử dụng  hàm lẻ  hàm chẵn, ta có y  ( x  y)  ( x)  ( y)  2x ( y) (3.130) Thay y  y (3.130), y  ( x  y)  ( x)  ( y)  x ( y), nghĩa xy  ( x  y)  ( x)  ( y)  2x2 ( y) (3.131) với x  Thay đổi vai trò x y (3.131), phương trình nhận (3.131) cho ta 2x2 ( y)  y2 ( x) với x, y ¡ \ 0 Vì ta có 87  ( x)  3ax2 , x ¡ \ 0, (3.132) a số Theo định nghĩa   , (3.132) với x  Cho (3.132) vào (3.128),  ( x  y)   ( x)   ( y)  3ax2 y  3axy (3.133) với x, y ¡ \ 0 Điều cho phương trình Cauchy  ( x  y)  a( x  y)3   ( x)  ax3   ( y)  ay3 ,  ( x)  ax3  A( x) (3.134) A : ¡  ¡ hàm cộng tính Từ suy xH ( x)  ax3  A( x) Sử dụng điều (3.123), ta có   A( y) x G( y)   2ay   y   A( x)   y G( x)   2ax2  x   (3.135) với x, y ¡ \ 0 mà x  y Vì G( x)  2ax2  cx  A( x) , x  0, x (3.136) c số Từ suy nghiệm khẳng định  f ( x)  2ax3  cx  2 x  A( x)     g ( x)  3ax  cx    x t x h( x)  a  t   x A( t ), x  (3.137) A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  số tùy ý s t 3.3 Giả sử s  t , nghĩa det    Lưu ý x y độc lập t s   tuyến tính u  sx  ty v  sy  tx Trở lại phương trình (3.118), ta có y  h(sx)  g ( x)  g (0)  x  h(ty)  g ( y )  g (0)   x  y   h(sx  ty)  h(sx)  h(ty) (3.138) với x, y  ¡ Thay đổi vai trò x y (3.138), cộng phương trình nhận với (3.138), h( sx  ty )  h( sy  tx), với x, y ¡ \ 0 mà x  y Do 88 h( x)  d , x ¡ \ 0, (3.139) d số Sử dụng (3.139) (3.116), ta có f ( x)  f ( y)  ( x  y) d  g ( x)  g ( y) (3.140) Do lập luận tương tự trường hợp 1, ta có nghiệm khẳng định  f ( x)  ax  (b  d ) x  c   g ( x)  ax  b2 h( x)  d ,  (3.141) a, b, c, d số tùy ý Bổ đề 3.5.2 Cho  số thực khác không Các hàm f , g : ¡  ¡ thỏa mãn phương trình hàm f ( x)  f ( y)   x  y  xy  g ( x)  g ( y) ( 3.142) với x, y  ¡  f ( x)  ax3   x  2 x     g ( x)   x   x   , (3.143)  ,  ,  số tùy ý Chứng minh : Dễ dàng kiểm tra (3.143) thỏa mãn (3.142) Để chứng minh phần đảo, cho y  (3.142) ta có f ( x)    x  g ( x)   , (3.144)   f (0)   g (0) Cho (3.144) (3.142) đơn giản, ta có y  g( x)   x2     x  g ( y)   y2    với x, y  ¡ Vì g ( x)   x2   x   (3.145) Theo (3.145) (3.144), ta có f ( x)  ax3   x2  2 x   (3.146) Định lý 3.5.2 Cho s t tham số thực Các hàm giá trị thực f , g , h, , : ¡  ¡ thỏa mãn phương trình hàm (3.104) với x, y  ¡ g ( x)  f ( x) 89 ax  (b  d ) x  c  ax  bx  c ax  bx  c  f ( x)   3ax  2bx  cx  (d  2 ) x   2ax3  cx  (2  d ) x  A( x)       2bstx   x  (2    d ) x   ax  b2  b  ax  ax  b2   ( x)    2ax  bx  cx  A( x)    3ax  cx  A ( x)     bs( s  2t ) x   x  A( sx)     ax  b2  b  ax   h(tx) ax  b2  h( sx)   ( x)    2ax  bx  cx  A( x)    3ax  cx  A ( x)       bs(t  2s) x   x  A(tx)   tùy ý ví i h(0)  d tùy ý  tùy ý  h( x )   x a  t   b  xt   A  xt   d  a  x 2  t A  x   A  x  , x  t x t t   bx  A( x)  d nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  nÕu s   t nÕu s  0, t  nÕu s  0, t  nÕu s  t  nÕu s   t  nÕu  s  t  A0 , A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  ,  ,  số tùy ý Chứng minh: Cho x  y (3.104), ta thấy f ( x)  g ( x) với x  ¡ Thay vào (3.104) cho 90 f ( x)  f ( y)  ( x  y) h(sx  ty)   ( x)  ( y) (3.147) Thay đổi vai trò x y (3.147) cộng phương trình nhận với (3.147): h( sx  ty )   ( x)  ( y )  h(sy  tx)   ( y )  ( x) (3.148) với x, y  ¡ mà x  y Nhưng (3.148) x  y Trường hợp Giả sử s   t Khi (3.148) cho  ( x)   ( x)   , (3.149)  số Cho (3.149) vào (3.147), ta có f ( x)  f ( y)  ( x  y) h(sx  ty)  ( x)  ( y)    (3.150) Do theo Định lý 3.5.1, f  g (3.149), ta có nghiệm khẳng định  f ( x)  ax  (b  d ) x  c   g ( x)  f ( x)   ( x)  ax  b2  ( x)  ax  b   h( x)  tùy ý ví i h(0)  d a, b, c, d ,  số tùy ý Trường hợp Giả sử s  0, t  (trường hợp s  t  thực theo cách tương tự) Khi trường hợp này, từ (3.148), ta có h(ty)  ( y)   ( y  h(tx)  ( x)   ( x) (3.151) với x, y  ¡ Vì  ( x)   ( x)  h(tx)   ,  số Thay vào (3.147) với s  , ta thấy f ( x)  f ( y)   x  y   ( x)   ( y)    Từ ta có nghiệm khẳng định  f ( x)  ax  bx  c   g ( x)  f ( x)   ( x)  ax  b2  ( x)  ax  b  h(tx)   h( x)  tùy ý (3.152) 91 a, b, c, d ,  số tùy ý Trường hợp Giả sử s  t  Ta xét số trường hợp nhỏ 3.1 Giả sử s  t Khi từ (3.148), ta có h(tx  ty)   ( x)  ( y)  h(ty  tx)   ( y)  ( x) (3.153) Do ta có  ( x)   ( x)   , với  số Thay vào (3.147), ta f ( x)  f ( y)  ( x  y) h(tx  ty)  ( x)  ( y)    (3.154) Từ Định lý 3.5.1, f  g  ( x)   ( x)   , ta có  f ( x)  3ax  2bx3  cx  (d  2 ) x     g ( x)  f ( x)   ( x)  2ax  bx  cx  A( x)    2    ( x)  2ax  bx  cx  A( x)    h( x)  a x  b x  A x  d , t t t  A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  ,  số tùy ý 3.2 Giả sử s  t Từ (3.148), ta có h(ty  tx)   ( x)  ( y)  h(tx  ty)   ( x)   ( y) (3.155) với x, y  ¡ Đặt H ( x)   ( x)  ( x) , ta có h(tx  ty)  h(ty  tx)  H ( x)  H ( y) (3.156) Cho x  (3.156), h(ty)  h(ty)  d  H ( y) , với d  H (0) Thay vào (3.156), ta có H ( x  y )  d  H ( x)  d  H ( y )  d , nghĩa H ( x)  d cộng tính ¡ Do  ( x)  ( x)  A0 ( x)  d , (3.157) A0 : ¡  ¡ hàm cộng tính Thay (3.157) vào (3.147), ta có f ( x)  f ( y)  ( x  y) h(ty  tx)   ( x)   ( y)  A0 ( y)  d  Đặt F ( x)  f ( x)  dx, K ( x)  h(tx)  12 A0  xt  , (x)  (x)  F ( x)  F ( y)  ( x  y)  K (tx  ty)  ( x)  ( y) Từ đây, (3.157) Định lý 3.5.1, ta có nghiệm khẳng định (3.158) A0 ( x) , ta có (3.159) 92  f ( x)  2ax3  cx  (2  d ) x  A( x)     g ( x )  f ( x)   ( x)  3ax  cx  12 A0 ( x)     ( x)  3ax  cx  A0 ( x)    d h( x)  a x  t A x  A x , x  t  x t  0t   A0 , A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d , ,  số tùy ý 3.3 Giả sử s  t Cho y  (3.148), ta có h( sx)   ( x)   (0)  h(tx)   (0)   ( x) (3.160) Cho (3.160) vào (3.148) đơn giản, ta có h( sx  ty)  h( sx)  h(ty)  h( sy  tx)  h(tx)  h( sy ) x s Thay x , y y t (3.147) đặt F ( x)  f  xs  , ( x)   (3.161)  xs  , Ψ(y)=   yt  , ta có  sy  F ( x)  F    ( xt  ys)  h( x  y )  ( x)  ( y)   t  (3.162) Lần lượt thay y  x  vào (3.162), ta nhận biểu thức F ( x) F   , thay chúng vào (3.162), ta có ( sau số đơn giản hóa) sy t xt  (0)  ( y)  h( y)  ys (0)  ( x)  h( x)  ( xt  ys)  h( x  y)  h( x)  h( y) (3.163) Thay đổi vai trò x y (3.163), trừ phương trình nhận cho (3.163), ta có xP( y)  yP( x)  ( x  y)(s  t ) h( x  y)  h( x)  h( y), (3.164) P( x)  t (0)  ( x)  h( x)  s (0)  ( x)  h( x) Nghiệm tổng quát (3.164) nhận từ Định lý 3.4.2 P( x)  3ax3  2bx2  cx  d , (s  t )h( x)  ax3  bx2  A( x)  d , (3.165) 93 A : ¡  ¡ hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Đưa dạng h( x) (3.165) vào (3.161), ta có 3astxy ( s  t )( x  y )  0, với x, y  ¡ Do a   s  t  Vì ta có (s  t )h( x)  bx2  A( x)  d (3.166) Sử dụng (3.166) (3.160), ta có  ( x)   ( x)  b(s  t ) x2  A(sx  tx)  , s t (3.167)    (0)  (0) Cho (3.166) (3.167) vào (3.147), ta có k ( x)  k ( y)  ( x  y) 0 xy  ( x)  ( y), k ( x)  f ( x)   sdt    x, ( x)   ( x)  A( t x ) s t (3.168)  bts xt ,    2sbst t 2 Sử dụng Bổ đề 3.5.2, ta k ( x)  0 x3   x2  2 x   ( x)  0 x2   x   (3.169)  ,  ,  số tùy ý Do từ (3.169), (3.167) (3.166) đặt tên lại số b s t b, d s t d hàm cộng tính A( x ) s t A( x) , ta có nghệm khẳng định  f ( x)  2bstx3   x  (2    d ) x     g ( x)  f ( x)   ( x)  bs(s  2t ) x   x  A(sx)      ( x)  bs(t  2s) x   x  A(tx)     h( x)  bx  A( x)  d 94 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau Tổng quan hệ thống cách đầy đủ hàm cộng tính liên tục, gián đoạn, hàm cộng tính mặt phẳng thực phức, hàm song cộng tính Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M Legendre, người có nỡ lực xác định nghiệm phương trình hàm Cauchy Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm hai nhiều biến biểu diễn theo hàm cộng tính, nhân tính, logarit hàm mũ Trình bày cách đầy đủ chi tiết  Định lý giá trị trung bình Lagrange kết dẫn xuất ứng dụng chúng qua ví dụ minh họa đặc sắc ;  Khảo sát định lý giá trị trung bình tỉ sai phân đưa số ứng dụng việc xác định trung bình hàm, đồng thời giới thiệu số phương trình hàm dẫn xuất tìm nghiệm chúng ;  Định lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm khác động lực sử dụng định lý suy rộng Khảo sát cách chi tiết có hệ thống  Định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm kiểu Stamate nghiệm chúng ;  Suy rộng Boggio định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm nghiên cứu Kuczma ;  Các phương trình hàm liên quan xuất từ quy tắc Simpson nghiên cứu nghiệm tổng quát chúng Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư 95 liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu phương trình hàm ứng dụng đinh lý giá trị trung bình Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa nghiên cứu sâu định lý giá trị trung bình theo nhiều biến phương trình hàm liên quan Đó hướng phát triển luận văn 96 DANH MỤC TÀ I LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Đinh Thế Lục , Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng (2002), Giải tích hàm nhiều biến, nguyên lý tính tốn thực hành, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Văn Mâ ̣u (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo Du ̣c, Quảng Nam Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH M Kuczma (1986), Functional Equation in a single Variable, Polish Scientific Publishers, Warszawa P.K Sahoo, T.Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd C G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science + Business Media, New York ... 52 2.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 59 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 63 3.1 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU... xác định trung bình hàm Cuối cùng, chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm khác động lực sử dụng định lý tổng quát 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Một định lý quan. .. nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phương trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình,