Các suy rộng của định lý các giá trị trung bình lagrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGỌC TOÀN CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Ngọc Toàn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài 1 Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE 1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 1.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN 23 1.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 29 1.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 33 CHƢƠNG CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 40 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM THỰC 40 2.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ THỰC TRÊN MẶT PHẲNG 46 2.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN ĐƢỜNG THẲNG THỰC 49 2.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG 51 2.5 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI HÀM TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC 55 2.6 MỘT DỰ ĐOÁN CỦA FURI VÀ MARTELLI 64 CHƢƠNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ ĐẠO HÀM SUY RỘNG 66 3.1 VI PHÂN ĐỐI XỨNG CỦA HÀM THỰC 66 3.2 MỘT ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TỰA – TRUNG BÌNH 70 3.3 MỘT ỨNG DỤNG 73 3.4 CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 74 3.5 ĐẠO HÀM DINI CỦA HÀM THỰC 76 3.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM KHÔNG KHẢ VI80 KẾT LUẬN 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, đƣợc chứng minh nhà toán học ngƣời Pháp Michel Rolle (1652-1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre les égalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle đƣợc công nhận Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm đƣợc cơng nhận Augustin Louis Cauchy (1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Gần đây, nhiều phƣơng trình hàm đƣợc nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng phƣơng trình hàm, hai vấn đề quan trọng chƣơng trình THPT, đặc biệt dành cho khối chun tốn, chúng tơi định chọn đề tài với tên gọi: Các suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo đƣợc tài liệu tham khảo tốt cho ngƣời bắt đầu tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng phương trình hàm giới thiệu số ví dụ minh hoạ hay nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực 2 Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phƣơng trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình, nhƣng nội dung đề tài đƣợc tập trung nghiên cứu vấn đề ba chƣơng sau: Trong Chƣơng 1, bàn định lý giá trị trung bình Lagrange hai mở rộng cổ điển định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu với nhiều ví dụ minh họa Trong Chƣơng 2, khảo sát nhiều suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange Đầu tiên, chúng tơi trình bày tất suy rộng định lý giá trị trung bình hàm từ R vào R Chúng xét đến suy rộng Flett, Trahan nhiều nhà toán học khác Tiếp đến định lý giá trị trung bình hàm giá trị thực mặt phẳng đƣợc đề cập trình bày số kết Clarke Ledyaev Định lý giá trị trung bình hàm giá trị vectơ đƣợc bàn đến chƣơng bao gồm kết McLeod Sanderson Một kết gần Furi Martelli đƣợc đề cập trình bày định lý giá trị trung bình hàm giá trị phức mặt phẳng phức Chƣơng bàn định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini Ở đây, giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini đƣợc giới thiệu với số ví dụ đặc sắc Cuối cùng, chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình hàm không khả vi 3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phƣơng trình hàm liên quan đến chúng Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng - Tham gia buổi seminar thầy hƣớng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng Đóng góp đề tài - Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng với phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình phương trình hàm - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, nhƣ đƣa số ví dụ minh hoạ hay hợp lý nhằm làm cho ngƣời đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có chƣơng nhƣ sau : - Chƣơng 1: Các mở rộng cổ điển định lý giá trị trung bình Lagrange - Chƣơng 2: Các suy rộng định lý giá trị trung bình - Chƣơng 3:Các định lý giá trị trung bình số đạo hàm suy rộng CHƢƠNG CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Chƣơng trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân số ứng dụng Hơn bàn đến nhiều phƣơng trình hàm đƣợc phát triển cách sử dụng định lý giá trị trung bình Tất phƣơng trình hàm đề cập chƣơng đƣợc sử dụng theo đa thức đặc trƣng Chƣơng khảo sát định lý giá trị trung bình tỷ sai phân đƣa số ứng dụng việc xác định trung bình hàm Cuối chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy chứng minh định lý giá trị trung bình Pomeiu phƣơng trình hàm khác động lực sử dụng định lý nói chung 1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý đƣợc phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhƣng ý tƣởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đƣợc đƣa Bonnet Ossian (18191892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực cổ điển hệ định lý giá trị trung bình Chứng minh định lý Rolle đƣợc dựa hai kết sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f :   đạt cực trị điểm c khoảng mở (a,b) f’(c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm liên tục f:  bị chặn [a,b]  đạt cực trị khoảng đóng Chúng ta bắt đầu với định lý Rolle nhƣ sau: Định lý 1.1.1 Nếu f liên tục [x1,x2] khả vi (x1,x2)với f(x1)=f(x2) tồn điểm (x1,x2) cho f’( )=0 Chứng minh: Vì f liên tục [x1,x2] khoảng đóng bị chặn nên theo Mệnh đề 1.1.2, f đạt giá trị cực đại cực tiểu khoảng Nếu hai xảy hai đầu mút x1, x2 giá trị cực đại cực tiểu hàm hàm hằng, f’( )=0 với cực trị xảy điểm (x1,x2) Ngƣợc lại, (x1,x2) theo Mệnh đề 1.1.1 ta có f’( )=0 Nhƣ định lý Rolle giải thích mặt hình học nhƣ sau có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f’) Định lý Rolle đƣợc tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.1.2 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 x2 I, tồn điểm phụ thuộc vào x1 x2 cho f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 (1.1) f '( ( x1 , x2 )) Chứng minh: Xét hàm h( x) f ( x2 ) f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1 f ( x1 ) Đây phƣơng trình đƣờng thẳng cắt đồ thị f (x 1,f(x1)) (x2,f(x2)) Nếu ta đặt g(x) = f(x) – h(x), f h liên tục [x1,x2] khả vi (x1,x2), nên g ta có g(x1) = g(x2) = 0, g thỏa mãn giả thiết định lý Rolle Khi tồn (x1,x2) cho g '( ) f '( ) f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 f '( ) Chú ý 1.1.1 Mục khép lại với chứng minh khác định lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh Tucker (1997) Velleman(1998) Bắt đầu với khoảng khác rỗng [x1,x2] với f khả vi xác định m x2 f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x1 Khi y chia khoảng [x1,x2] thành hai khoảng có độ dài h= x2 x1 Nhận thấy min{m1,m2} m max{m1,m2}, m1 f ( y) f ( x1 ) h Theo định lý giá trị trung gian, hàm g ( x) [a1,b1] cho f (b1 ) f (a1 ) b1 a1 f ( x2 ) m2 f ( y) h f ( x h) h f ( x) nhận giá trị m m Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng chuỗi khoảng lồng [x1,x2] [a1,b1] [a2,b2] … [an,bn] … cho f (bn ) f (an ) bn an bn an ) Gọi với n = 1,2,… lim( n khoảng Nếu = aN với N m điểm giao = an với n > N, nên 73 năm 1875, Darboux chứng tỏ niềm tin không hợp lý Có thể chứng tỏ hàm có tính chất Darboux gián đoạn khắp nơi Định lý 3.2.3 Cho f liên tục [a, b] khả vi đối xứng (a, b) Nếu đạo hàm đối xứng f có tính chất Darboux, tồn s cho f ( ) f ( b) f ( a) b a Chứng minh: Theo định lý trên, ta có f s( ) (a, b) f ( b) f ( a) b a (a, b) cho f s ( ) Vì f s ( x) có đặc tính Darboux, có tồn s (a, b) cho f ( ) f ( b) f ( a) b a 3.3 MỘT ỨNG DỤNG Vì hàm khả vi đối xứng khơng thiết phải khả vi, câu hỏi đặt điều kiện bổ sung cần áp dụng hàm để làm khả vi Ta thấy liên tục hàm với khả vi đối xứng không kéo theo khả vi Trong mục này, ta chứng tỏ định lý giá trị tựa - trung bình f(x) f s ( x) liên tục, f khả vi Kết dƣới Aull (1967) Định lý 3.3.1 Cho f(x) liên tục khả vi đối xứng (a, b) Nếu đạo hàm đối xứng f liên tục (a, b) f’(x) tồn f’(x) = f s ( x) Chứng minh: Chọn h đủ nhỏ để a < x + h < b Vì f s ( x) liên tục, có tính chất Darboux Áp dụng định lý giá trị trung bình f [x, x + h], ta có f s( ) h f ( x h) h f ( x) với (x, x + h) Lấy giới hạn hai vế biết giới hạn vế trái tồn tại, có đƣợc f’(x) = f s ( x) Định lý 3.3.2 Cho f s ( x) liên tục điểm x = a cho f(x) liên tục s lân cận a Khi f’(a) tồn f’(a) = f (a) 74 Điều chứng tỏ tính liên tục f s ( x) điểm a liên tục f(x) vùng lân cận a đủ cho tồn f’(a) 3.4 CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Kết dƣới đƣợc chứng minh Reich (1969), phiên đạo hàm đối xứng kết đƣợc thiết lập Trahan (1966) Kết suy rộng định lý giá trị tựa – trung bình cho hàm với đạo hàm đối xứng Với f s khả vi [a, b], ta áp dụng qui ƣớc f’(b) = f (b) Định lý 3.4.1 Cho f liên tục [a, b] khả vi đối xứng khoảng mở (a, b) Giả sử f khả vi bên phải điểm cuối b [a, b] [f(b) – f(a)]f’(b) Khi tồn điểm , (a, b] cho f s ( ) f s( ) Chứng minh: Nếu f’(b) = cho = b =b, ta có f s ( ) f s ( ) s sử dụng qui ƣớc f’(b) = f (b) Nếu f(b) = f(a), áp đụng Định lý 3.2.2 f [a, b], ta đƣợc f s ( ) f s ( ) với (a, b) Giả sử [f(b) – f(a)]f’(b) < Điều kéo theo f’(b) < f(b) > f(a) f’(b) > f(b) < f(a) Trong trƣờng hợp đầu tiên, f liên tục [a, b] f(b) > f(a) với f giảm b, tồn điểm y (a, b) cho f(y) > f(b) > f(a) Do áp dụng Bổ đề 3.2.1 f [y, b], ta đƣợc f s ( ) với (y, b) Tƣơng tự áp dụng Bổ đề 3.2.1 f [a, b], ta đƣợc f s ( ) với (a, b) Trƣờng hợp f’(b) > f(b) < f(a) chứng minh tƣơng tự Trong định lý tiếp theo, ta trình bày phiên định lý giá trị trung bình Flett cho hàm khả vi đối xứng 75 Định lý 3.4.2 Cho f liên tục [a, b] khả vi đối xứng khoảng mở (a,b) Giả sử f khả vi đầu mút a b [a,b] f (b) f (a) b a f '(b) Khi có điểm a) f s ( ) ( , f '(a) f (b) f (a) b a (a,b] cho ( a) f s ( ) f ( ) f (a) f ( ) f (a) Chứng minh: Định nghĩa h: [a,b]  h( x ) f ( x ) f ( a) nÕu x (a,b] x a f '(a) nÕu x = a Rõ ràng, h liên tục [a,b] khả vi đối xứng (a, b] Hơn nữa, ta có h( x ) x a s h ( x) f s (x) với x (a, b] Bởi x a f (b) f (a) b a f '(b) ta thấy [h(b) – h(a)]h’(b) với ( , f '(a) f (b) f (a) b a Theo định lý trên, ta đƣợc hs ( ) hs ( ) (a,b] Theo định nghĩa h, ta có ( a) f s ( ) 0, a) f s ( ) f ( ) f (a) f ( ) f (a) Định lý đƣợc cải tiến để có định lý giá trị trung bình kiểu Cauchy cho hàm với đạo hàm đối xứng Định lý 3.4.3 Cho f g liên tục [a, b] khả vi đối xứng khoảng mở (a, b) Hơn nữa, cho f g hai khả vi đầu mút a b [a, b] với g '(a) g '(b) Giả sử g( x ) g(a) với x (a,b] f '(b) g '(b) Tồn điểm , f (b) f (a) g(b) g(a) f '(a) g '(a) f (b) f (a) g(b) g(a) (a,b] cho [g( ) g(a)]f s ( ) [f ( ) f (a)]g s ( ) [g( ) g(a)]f s ( ) [f ( ) f (a)]g s ( ) 76 Chứng minh: Định nghĩa h: [a,b]  f ( x ) f ( a) nÕu x (a,b] g ( x ) g ( a) f '(a) nÕu x = a g '(a) h( x ) tiến hành bƣớc tƣơng tự nhƣ chứng minh Định lý 3.4.2 3.5 ĐẠO HÀM DINI CỦA HÀM THỰC Tầm quan trọng đạo hàm Dini đƣợc nhận thấy vài thập kỉ qua toán tối ƣu hóa khơng trơn xuất kinh tế kĩ thuật Các đặc điểm đạo hàm Dini chúng luôn tồn thừa nhận qui tắc tính tốn thơng dụng Mục đƣợc đề cập đến đạo hàm Dini hàm giá trị thực biến Ta trình bày số tính chất chúng, tài liệu tổng quát đạo hàm tìm thấy báo xuất sắc Giorgi Komlosi (1992) Ta bắt đầu mục với định nghĩa đạo hàm Dini sau cung cấp số ví dụ minh họa Định nghĩa 3.5.1 Cho f : (a, b)  hàm giá trị thực cho c (a, b) điểm tùy ý Bốn đạo hàm Dini f c đƣợc định nghĩa nhƣ sau: f (c) sup inf 0 x c f (c) inf sup 00 x c f ( x ) f (c ) , x c f (c) sup inf x c f ( x ) f (c ) , f (c) inf0 sup x c x c f ( x ) f (c ) , x c f ( x ) f (c ) , x c số thực dƣơng cho lân cận |x – c| < chứa (a, b) Các số f (c) f (c) đƣợc gọi đạo hàm Dini phải dƣới f c f (c) f (c) đƣợc gọi đạo hàm Dini trái dƣới f c Ví dụ 3.5.1 Xét hàm f:   xác định 77 x sin f ( x) x nÕu x > 0 nÕu x = x[3 sin ] nÕu x < x Đạo hàm Dini f đƣợc cho f (0) = -1, f (0) = 2, f (0) =1, f (0) =4 Từ định nghĩa đạo hàm Dini, ta có: f ( x ) f (0) x f (0) sup inf 0 x f (0) sup inf x f ( x ) f (0) x f (0) inf sup 00 x f (0) inf sup x sup inf sin 0 x sup inf f ( x ) f (0) x f ( x ) f (0) x x 0 x sin sup inf sin 0 x sup inf x 0 1, x x sin 2, 1, x Bây mô tả số qui tắc đạo hàm Dini cách sử dụng qui tắc tƣơng ứng cho limsup liminf Từ định nghĩa đạo hàm Dini, dễ dàng lƣu ý f (c) f (c) f (c) f (c) Một hàm f khả vi c bốn đạo hàm Dini nhau, nghĩa f’(c) = f (c) f (c) = f (c) f (c) Hàm không khả vi với đạo hàm hữu hạn Dini có liên quan chặt chẽ với hàm khả vi vì: chúng liên tục khả vi hầu khắp nơi Định lý 3.5.1 Cho f: [a, b]  c điểm (a, b) Nếu bốn đạo hàm Dini c hữu hạn thương f liên tục c f ( x ) f (c ) bị chặn quanh c, x c 78 Chứng minh: Giả sử f khơng liên tục c Khi tồn chuỗi {cn} hội tụ tới c cho |f(cn) – f(c)| > cn Do > f ( cn ) f ( c ) cn c c Điều kéo theo bốn đạo hàm Dini khơng hữu hạn, mâu thuẫn Định lý 3.5.2 Cho f hàm giá trị thực xác định [a, b] Nếu bốn đạo hàm Dini hữu hạn điểm [a, b], f khả vi hầu khắp nơi Ví dụ dƣới chứng tỏ bốn đạo hàm Dini khơng hữu hạn, tính liên tục nói chung khơng đảm bảo Ví dụ 3.5.2 Xét hàm f:   xác x2 định f ( x ) nÕu x x nÕu x f(c) với c < x < c + < Hai kết dƣới công cụ việc thiết lập định lý Rolle định lý giá trị trung bình cho hàm không khả vi 79 Định lý 3.5.3 Cho f: [a, b]  hàm giá trị thực xác định khoảng [a, b] c điểm (a, b) Nếu f (c) f (c) f tăng chặt địa phương c Chứng minh: Giả sử f (c) f (c) Khi tồn x1, x2 x1 < c < x2 cho f ( x ) f (c ) x c [a, b] với với x (x1, x2), x c Do đó, ta có f(x) < f(c) x1 < x < c f(x) > f(c) c < x < x2 Điều chứng tỏ f tăng chặt địa phƣơng c Tƣơng tự, f (c) f (c) , f tăng chặt địa phƣơng điểm c Định lý 3.5.4 Cho f: [a, b]  hàm giá trị thực xác định khoảng [a,b] Nếu f tăng chặt địa phương điểm [a, b] f tăng chặt [a, b] Chứng minh: Cho f tăng chặt địa phƣơng điểm [a, b] Ta muốn chứng minh f tăng chặt [a, b] Giả sử, f không tăng chặt [a, b] Khi tồn x1, x2 [a, b], cho x1 < x2 f(x1) tập T với T = {x (x1, x2)| f(x1) x1 x2, T f(x2) Ta định nghĩa f(x2)} Vì f tăng chặt địa phƣơng Gọi x0 = supT Khi rõ ràng x1 < x0 < x2, f tăng chặt địa phƣơng x1 x2 Một lần sử dụng việc f tăng chặt địa phƣơng x0, ta có (3.6) f(x) < f(x0) với x0 - < x < x0 (3.7) với f(x) > f(x0) với x0 < x < x0 + >0 Theo định nghĩa x0, x0 < x < x2 x T (3.8) f(x) < f(x1) Sử dụng (3.7) (3.8), ta thấy f(x0) < f(x) < f(x1) với x0< x < x0+ , f(x0) < f(x1) 80 Mặt khác tồn x’ x0 - < x’ < x0 cho x’ T Do theo (3.6) định nghĩa T, ta có f(x1) f(x’) < f(x0) Điều mâu thuẫn với thực tế f(x1) > f(x0) Mâu thuẫn chứng tỏ f tăng chặt [a, b] 3.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM KHƠNG KHẢ VI Trong mục này, ta nghiên cứu định lý giá trị trung bình suy rộng khác cho hàm không khả vi sử dụng đạo hàm Dini Định lý Castagnoli (1983) Trong định lý khơng có thêm điều kiện đƣa vào hàm Định lý 3.6.1 Cho f: [a, b] ,  hàm giá trị thực với f(a) = f(b) Khi tồn [a, b] cho (3.9) f ( ) f ( ) (3.10) f ( ) f ( ) Chứng minh: Ta chứng minh (3.9), (3.10) thực tƣơng tự Giả sử không tồn [a, b] cho f ( ) f ( ) Điều kéo theo f ( ) f ( ) với x [a, b] Theo Định lý 3.5.3, f tăng chặt địa phƣơng điểm x [a, b] Theo Định lý 3.5.4, f tăng chặt [a, b] Nhƣng điều mâu thuẫn với thực tế f(a) = f(b) Vậy (3.9) Định lý 3.6.2 Cho f: [a, b]  hàm giá trị thực với f(a) = f(b).Giả sử f nhận giá trị cực tiểu m giá trị cực đại M [a, b] Nếu m < f(a) = f(b) tồn tồn (a, b) cho f ( ) (a, b) cho f ( ) f ( ) f ( ) Nếu M > f(a) = f(b) 81 Chứng minh: Cho [a, b] cho f( ) = m Giả sử m < f(a) = f(b), (a, b) Vì trƣờng hợp ta có f(x) f ( ) f( ) với x [a, b], f ( ) Trƣờng hợp cịn lại tƣơng tự Định lý 3.6.3 Cho f: [a, b] hàm liên tục giá trị thực với f(a) =  f(b) Khi tồn giá trị trung gian , , , (a, b) cho f ( ) , f ( ) 0, f ( 3) , f ( ) Chứng minh: Vì f liên tục, ảnh [a, b] khoảng đóng: {f(x)|x [a, b]} = [m, M] Giả sử m = M Trong trƣờng hợp f [a, b] tất đạo hàm Dini với x (a, b) định lý Giả sử M > f(a) Khi tồn d (a, b) cho f(d) = M Cho f(a) < y < M Vì f liên tục nên có hai điểm d1 (a, d) d2 (d, b) cho f nhận giá trị y Nghĩa f(d1) = y = f(d2) Đặt = d1, = d, = d, = d2 Bất đẳng thức với lựa chọn Giả sử m < f(a) Ta chứng minh tƣơng tự Định lý dƣới suy từ định lý Định lý 3.6.4 Cho f: [a, b] giá trị trung gian ,  hàm liên tục giá trị thực Khi tồn , , f ( )  , f ( )  ,  (a, b) cho f ( )  , f ( ) , f ( b) f ( a) b a Tiếp theo, ta trình bày mở rộng định lý giá trị trung bình kiểu Flett Lakshminarasimhan (1966) Định lý 3.6.5 Cho f: [a, b]  liên tục [a, b] khả vi x = a x = b Hơn nữa, cho bốn đạo hàm Dini f hữu hạn (a, b) Khi 82 f’(a) = f’(b) tồn điểm điểm (a, b) cho f ( ) f( ) (a, b), cho f ( ) f ( a) a f( ) f ( a) a f ( ) f ( ) Chứng minh: Không tính tổng quát, ta giả sử f’(a) = f’(b) = Vì khơng ta xét f(x) – xf’(a) Định nghĩa g:[a, b]  f ( x ) f ( a) nÕu x (a,b] x a f '(a) nÕu x = a g( x ) Rõ Ràng, hàm g liên tục [a, b] Hơn g '(b) g ( b) Ta thấy b a g(b) > g’(b) < Do g hàm giảm b, g(a) = Vì g liên tục [a, b], đạt cực đại điểm g ( ) Nhƣng g ( ) f ( ) f ( a) ( a)2 Do ta có bất đẳng thức f ( ) f( ) (a, b).Do g ( ) f ( ) g ( ) a f ( a) a f ( ) f (a) ( a )2 f ( ) a f ( ) Mặt khác, g(b) < g’(b) > 0, g tăng b g(a) = Do đó, g đạt cực tiểu điểm (a, b); g ( ) g ( ) ta có đƣợc bất đẳng thức khác Cuối cùng, g(b) = g liên tục khoảng đóng [a, b] g(a) = 0, g đạt cực đại điểm cực tiểu điểm a b Do đó, nhƣ trƣớc g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) Những bất đẳng thức đem lại bất đẳng thức nhƣ khẳng định định lý 83 Kết sau đƣợc thiết lập Reich (1969), tƣơng tự nhƣ kết chứng minh Trahan (1966) Định lý 3.6.6 Cho f: [a, b]  liên tục [a, b] khả vi điểm bi Hơn , cho bốn đạo hàm Dini f hữu hạn (a, b) cho [f(b) – f(a)]f’(b) Khi tồn điểm , (a, b] cho f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Chứng minh: Nếu f’(b) = đặt = b =b, ta khẳng định đƣợc bất đẳng thức định lý Nếu f(b) = f(a), f không tính liên tục, f đạt cực đại đạt cực tiểu (a, b) Vì vậy, ta có đƣợc bất đẳng thức nhƣ khẳng định định lý Tiếp theo, giả sử [f(b) – f(a)]f’(b) < Điều kéo theo f’(b) < f(b) > f(a) f’(b) > f(b) < f(a) Trong trƣờng hợp đầu, f liên tục [a, b] f(b) > f(a) với f giảm b, hàm f có giá trị cực đại (a, b) Do đó, ta có đƣợc tập bất đẳng thức định lý Tƣơng tự, trƣờng hợp thứ hai f có giá trị cực tiểu điểm (a, b) ta có tập bất đẳng thức thứ hai định lý Định lý 3.6.7 Cho f liên tục [a, b] khả vi điểm a b Hơn nữa, giả sử bốn đạo hàm Dini hữu hạn (a, b) f '(b) Khi tồn điểm , f ( ) f( ) f ( a) a f (b) f (a) b a f '(a) f (b) f (a) b a (a, b] cho f ( ) f ( ) Chứng minh: Định nghĩa h: [a, b]  f( ) f ( a) a f ( ) 84 h( x ) f ( x ) f ( a) nÕu x (a,b] x a f '(a) nÕu x = a Khi rõ ràng, h đáp ứng đƣợc định lý trƣớc định lý đƣợc kéo theo 85 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng, luận văn hoàn thành đạt đƣợc mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống đầy đủ định lý giá trị trung bình Lagrange ba mở rộng cổ điển định lý giá trị trung bình tỉ sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu với ứng dụng việc nghiên cứu phƣơng trình hàm Trình bày cách đầy đủ chi tiết nhiều suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange Đầu tiên suy rộng định lý giá trị trung bình hàm từ  vào  Tiếp đến suy rộng Flett, Trahan nhiều nhà tốn học khác Sau định lý giá trị trung bình hàm giá trị thực mặt phẳng đƣợc đề cập trình bày số kết Clarke Ledyaev, định lý giá trị trung bình hàm giá trị vectơ bao gồm kết McLeod Sanderson Cuối kết gần Furi Martelli định lý giá trị trung bình hàm giá trị phức mặt phẳng phức Khảo sát cách chi tiết có hệ thống định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini Khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình hàm khả vi đối xứng đƣợc giới thiệu cách chi tiết Khái niệm đạo hàm Dini đƣợc đề cập với số ví dụ đặc sắc Cuối định lý giá trị trung bình hàm khơng khả vi Với khảo sát đƣợc, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng 86 nguồn tƣ liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chƣa nghiên cứu định lý giá trị trung bình tích phân suy rộng chúng Đó nhƣ hƣớng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn, có nhiều cố gắng, song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Trần Thị Yến Ly (2012), Định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan, Luận văn Thạc sĩ Khoa học, Đại học Đà Nẵng [2] Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo dục, Quảng Nam [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH [4] P.K Sahoo, T Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [5] C.G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science+Business Media, New York ... điển định lý giá trị trung bình Lagrange - Chƣơng 2: Các suy rộng định lý giá trị trung bình - Chƣơng 3 :Các định lý giá trị trung bình số đạo hàm suy rộng 4 CHƢƠNG CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ... CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 40 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM THỰC 40 2.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ THỰC TRÊN MẶT PHẲNG 46 2.3 ĐỊNH LÝ GIÁ... nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phƣơng trình