Luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh ------o0o------ nguyễn thị quỳnh hoa luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao Chuyên ngành: Xác suất - Thống kê Mã số: 1.01.04 luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS - TS Nguyễn Văn Quảng Vinh - 2002 Mục lục Trang Lời nói đầu 3 Chơng 1. Luật mạnh số lớn và các bất đẳng thức 1. Các khái niệm. 5 2. Các bất đẳng thức. 8 3. Luật mạnh số lớn. 17 Chơng 2. Luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao 1. Điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao 30 2. Điều kiện cần của luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 2 Lời nói đầu Trong lý thuyết xác suất, luật mạnh số lớn đóng vai trò quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli đợc công bố năm 1713. Về sau kết quả này đợc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới đợc E.Borel phát hiện. Kết quả này của Borel đợc Kolmogorov hoàn thiện năm 1926. Khi nghiên cứu luật mạnh số lớn, các đối tợng đợc xét không ngừng đợc mở rộng. Năm 1990, V.F.Gaposhkin chỉ ra rằng một số tính chất của dãy các đại lợng ngẫu nhiên độc lập (hoặc dãy các đại lợng ngẫu nhiên trực giao) vẫn còn đúng đối với hệ thống khối độc lập (hoặc hệ thống khối trực giao) dạng k = [2 k ; 2 k+1 ) (xem [4]). Về luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập dạng k = [2 k ; 2 k+1 ) trong L p cũng đã đợc F.Moricz nghiên cứu trong [8]. Trên cơ sở những kết quả đã đạt đợc, trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu luật mạnh số lớn cho hệ thống đại lợng ngẫu nhiên độc lập theo khối và hệ thống đại lợng ngẫu nhiên trực giao theo khối. Luận văn gồm lời nói đầu, 2 chơng và tài liệu tham khảo. Chơng 1 gồm 3 tiết. Trong tiết 1, chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến nội dung của chơng 2: khái niệm hệ thống đại lợng ngẫu nhiên độc lập theo khối và khái niệm hệ thống đại lợng ngẫu nhiên trực giao theo khối. Trong tiết 2, chúng tôi sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản cần thiết cho việc nghiên cứu các tiết sau. Đó là bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Hder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Schwartz, bất đẳng thức Radermacher và bất đẳng thức Doob. Tiết 3 dành để nói về luật mạnh số lớn. Sau 3 khi giới thiệu khái niệm luật mạnh số lớn, chúng tôi chỉ nêu lên một số luật mạnh số lớn liên quan đến các định lý sau này. Chơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong tiết 1, chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao. Từ đó có thể rút ra một số hệ quả cho các trờng hợp đặc biệt, trong đó có luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Radermacher. Trong tiết 2, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng các điều kiện đủ đồng thời cũng là điều kiện cần để cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao tuân theo luật mạnh số lớn. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh với sự hớng dẫn của PGS-TS Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới Thầy giáo Nguyễn Văn Quảng vì đã dành nhiều thời gian, công sức hớng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất, trong khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học và các đơn vị liên quan đã thờng xuyên quan tâm và đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 11 năm 2002 Tác giả 4 Chơng I Luật mạnh số lớn và các bất đẳng thức 1. Các khái niệm 1.1 . Tính độc lập Giả sử (, F, P) là không gian xác suất cố định. 1.1.1. Định nghĩa. Họ hữu hạn {F i , i I} các -đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu P( i i A ) = i i A )( đối với A i F i , i I bất kỳ. Họ vô hạn {F i , i I} các -đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các đại lợng ngẫu nhiên X i , i I đợc gọi là độc lập nếu họ các -đại số sinh bởi chúng {F(X i ), i I} là độc lập. Họ các biến cố {A i , i I} F đợc gọi là độc lập nếu họ các đại lợng ngẫu nhiên {I i Ai , } là độc lập. 1.1.2. Hệ thống khối độc lập. Cho 1 = (1) < (2) < . < (n) < . là một dãy các số nguyên dơng, k = [ (k); (k+1)). Ta gọi hệ thống các đại lợng ngẫu nhiên { } = 1i i là hệ thống khối độc lập đối với các k ( k - độc lập) nếu với mỗi k cho trớc, bộ { } k i i là độc lập. 1.2. Hệ thống khối trực giao. Ta gọi hệ thống các đại lợng ngẫu nhiên { } = 1i i là hệ thống khối trực giao đối với các k ( k - trực giao) nếu với mỗi k cho trớc, bộ { } k i i là trực giao . Ký hiệu : m / = [2 m ; 2 m+1 ); 5 k (m) = k m / với m 0, k 1; Gọi : N m = min{N: (N) 2 m }, m = 0, 1, . 1 = N 0 N 1 . N m N m+1 . s m = N m+1 N m + 1; (1.1) (i) = s m , nếu i [2 m ; 2 m+1 ); * (i) = log 2 2 [ (k+1) - (k) + 1], nếu i k , k 1; (i) = max( (i), * (i)). 1.3. Nhận xét: Số các khối khác rỗng trong m / không lớn hơn s m = N m+1 N m + 1. Thật vậy, ta có (N m 1) < 2 m vì nếu (N m 1) 2 m thì N m 1 N m , vô lý. Trong khoảng [ (N m ), (N m+1 )) có không quá N m+1 N m khối. Nếu (N m ) > 2 m có thêm khối [2 m , (N m )). Suy ra với mỗi m cho trớc, số các khối khác rỗng trong m / không lớn hơn s m = N m+1 N m + 1. 1.4. Điều kiện (A). Ta nói các số c k > 0 thoả mãn điều kiện (A) nếu tồn tại một hằng số C 1 sao cho : (1.2) C -1 k k c c / C , k, k / m / , m 0. Ví dụ: Xét dãy = k c k 1 , k = 1, 2, ta thấy c k > 0. Lấy C = 2 , k, k / m / , m 0 ta có : m m 2 1 12 1 1 + k k c c / 12 1 2 1 1 + m m 12 2 1 + m m k k c c / m m 2 12 1 + 6 2 1 k k c c / 2. Vậy, dãy = k c k 1 thoả mãn điều kiện (A). 1.5. Điều kiện (B). Ta nói độ dài của các khối k : k = (k+1) - (k) thoả mãn điều kiện (B), nếu tồn tại hằng số C 1 sao cho với mỗi m 0 và cặp bất kỳ các khối ( k , k / ) nằm trong m / = [2 m , 2 m+1 ) (nếu tồn tại các khối này) thì hệ thức (1.3) C -1 k k / C thoả mãn. Ví dụ: Xét (k) = k. Ta có : k = (k+1) - (k) = k + 1 k = 1. Lấy C = 1 thì C -1 k k / C với các khối k , k / nằm trong m / = [2 m , 2 m+1 ), m 0. +) Ta nói dãy các số c k > 0 thoả mãn điều kiện (A / ) nếu : c k k , c k k khi k , với , nào đó. 1.6. Mệnh đề. Nếu dãy các số c k > 0 thoả mãn điều kiện (A / ) thì thoả mãn điều kiện (A). Chứng minh. Xét > 0, > 0. Giả sử dãy các số c k > 0 thoả mãn điều kiện (A / ). Khi đó, với mọi k, k / / m (m 0), ta có Nếu k < k / thì c k .k > c k / .k / và c k .k < c k / .k / . Do đó = kc kc c c k k k k . . // / . . / / kc kc k k 7 = / k k < m m 2 2 )1( + = 2 và = kc kc c c k k k k . . // / . . / / kc kc k k = / k k > )1( 2 2 + m m = 2 - . Đặt C = max{2 , 2 }. Khi đó C 1 và C c c C k k <<<< 2 2 11 / . Nếu k = k / , với C nh trên thì dễ thấy (1.2) đúng. Nếu k > k / , chứng minh tơng tự ta có : = kc kc c c k k k k . . // / . . / / kc kc k k = / k k < m m 2 2 )1( + = 2 . = kc kc c c k k k k . . // / . . / / kc kc k k = / k k > )1( 2 2 + m m = 2 - . Do đó: C c c C k k << / 1 . Các trờng hợp khác của , chứng minh tơng tự. Vậy, (c k ) thoả mãn điều kiện (A). 2. Các bất đẳng thức 2.1 . Bất đẳng thức Kolmogorov. Định lý. a, Giả sử X 1 , X 2 , , X n là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và EX k = 0 , D(X k ) < , k = 1, 2, , n . Đặt S n = X 1 + X 2 + + X n . Khi đó với > 0 tuỳ ý ta có: 8 (1.4) P [ ] k nk Smax 2 )( n SD b, Nếu có một số c > 0 nào đó mà P [ ] cX k = 1, k = 1, 2, , n thì (1.5) P [ ] )( )( 1max 2 n n nk SD c S + Chứng minh. a, Ký hiệu A = [ ] n nk Smax , A k = { :S 1 < , ,S k-1 < ,S k }, k = 1, 2, , n. Ta có : A = = n k k A 1 và ES 2 n ES 2 n I A = = n k 1 ES 2 n I A k . Mặt khác: ES 2 n I A k = E(S k + S n S k ) 2 I A k = ES 2 k I A k + 2E(S n S k )S k I A k +E(S n S k ) 2 I A k ES 2 k I A k , vì S n S k và S k I A k độc lập, E(S n S k ) = 0 nên E(S n S k )S k I A k = 0. Do đó, ES 2 n = n k 1 ES 2 n I A k 2 = n k 1 P(A k ) = 2 P(A). Đó chính là (1.4). b, Ta có : ES 2 n I A = ES 2 n - ES 2 n I A ES 2 n - 2 P( A ) (1.6) = ES 2 n - 2 + 2 P(A). 9 Trên A k , ta có S k-1 , S k S k-1 +X k + c, nên ES 2 n I A = = n k 1 ES 2 n I A k = = n k 1 ES 2 k I A k + = n k 1 E(S n S k ) 2 I A k (c + ) 2 = n k 1 P(A k ) + D(S n ) = n k 1 P(A k ) (1.7) P(A)[(c + ) 2 + D(S n )] . Từ (1.6) và (1.7) suy ra P(A) 22 2 )()( )( ++ n n SDc SD = 1 - 22 2 )()( )( ++ + n SDc c 1 - )( )( 2 n SD c + . 2.2. Bất đẳng thức Hlder. Định lý. Giả sử p, q (1; + ) sao cho 1 11 =+ qp và X L p p , Y L q q . Khi đó (1.8) E qp YXXY . Chứng minh. Vì hàm f(x) = x p là hàm đồng biến trên khoảng (0; +) nên f(x) f(1) f / (1)(x-1) hay x p 1 p(x-1) với x > 0. Thay x = (a/b) 1/p , (a > 0, b > 0) vào bất đẳng thức sau cùng, ta có bba p b p a pp 1 1 1 , hay 10