Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhHoàng Thị Minh Tuấn Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát Luận văn thạc sĩ t

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Hoàng Thị Minh Tuấn

Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Hoàng Thị Minh Tuấn

Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2014

Mục lục

1.1 Biến cố và xác suất 5

1.2 ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên 9

1.3 Các dạng hội tụ 16

2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát 20 2.1 Các bổ đề 20

2.1.1 Bổ đề 20

2.1.2 Bổ đề 22

2.1.3 Bổ đề 23

2.1.4 Bổ đề 24

2.1.5 Bổ đề 24

2.1.6 Bổ đề 25

2.1.7 Bổ đề 26

2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát 26

2.2.1 Định lí 27

2.2.2 Định lí 30

2.2.3 §Þnh lÝ 32

2.2.4 §Þnh lÝ 34

2.2.5 §Þnh lÝ 36

2.2.6 HÖ qu¶ 37

KÕt luËn 40

Mở đầu

Luật số lớn là một trong ba định lí quan trọng trong lí thuyết xác suất.Luật số lớn được Bernoulli phát hiện đầu tiên vào năm 1713 và viện sĩ Kolmogorovphát triển, hoàn thiện vào những năm 30 của thế kỉ XX

Ngày nay Luật số lớn vẫn còn là một vấn đề mang tính thời sự của Lí thuyếtxác suất thống kê, được nhiều nhà khoa học quan tâm và có ảnh hưởng to lớn

đến sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kê toán học và các ứng dụng củachúng Điều kiện độc lập, khả tích, cùng phân phối là nền tảng trong các luật sốlớn của Bernoulli, Borel và N.Kolmogorov từ trước đến nay, các điều kiện trênkhông ngừng được giảm nhẹ Đi theo hướng đó, trên cơ sở đọc hiểu và tìm tòi tàiliệu tham khảo chúng tôi nghiên cứu đề tài: Luật mạnh số lớn cho dãy biếnngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối với các điều kiện momenttổng quát

tiết 2.2 Tiết 2.2 trình bày về một số định lí và hệ quả về luật mạnh số lớn và sựhội tụ đầy đủ cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối vớicác điều kiện moment tổng quát.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trựctiếp của thầy giáo GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc, kính trọng tới thầy đã tận tình chỉ dạy những kiến thức, những bàihọc và các nghiên cứu khoa học đầy bổ ích Tác giả cũng xin gửi lời tri ân tớicác thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô giáotrong Khoa Toán đã truyền đạt kiến thức và động viên tinh thần cho tác giả hoànthành tốt khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Rất mong được sự góp ý chân thành và kịp thời của bạn đọc để luận văn đượchoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày 23 tháng 10 năm 2014

Tác giả

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi là

độ đo xác suất trên F nếu

(i) P(A) > 0với ∀A ∈ F (tính không âm);

(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá);

Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất Bộ ba

(Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất

TậpΩ được gọi là không gian biến cố sơ cấp

σ- đại số F được gọi là σ- đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.

Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến

cố A

NếuA ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.Không gian xác suất (Ω, F , P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếumọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố Để đơn giản, từ nay

về sau, khi nói đến không gian xác suất (Ω, F , P), ta luôn xem đó là không gianxác suất đầy đủ

Chú ý Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cố chắc chắn cóxác suất bằng 1 Tuy nhiên, có những biến cố có xác suất bằng 1 nhưng chưachắc đã là biến cố chắc chắn Những biến cố như vậy gọi là biến cố hầu chắcchắn

1.1.2 Các tính chất của xác suất

Giả sử A, B, C, là những biến cố Khi đó, xác suất của chúng có cáctính chất sau:

1.P(∅) = 0

2 NếuAB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

3.P(A) = 1 − P(A)

4 NếuA ⊂ B thì P(B\A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) 6 P(B)

5.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)

16k<l<m6n

P(AkAlAm) − ã ã ã + (−1)n−1P(A1A2 An)

7.P(S∞n=1An) 6P∞

n=1P(An)

8 (Tính liên tục của xác suất)

(i) Nếu(An, n > 1)là dãy đơn điệu tăng,A1 ⊂ A2 ⊂ ã ã ã ⊂ An ⊂ ,thì tồn tại

(ii) Nếu (An, n > 1) là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A2 ⊃ ã ã ã ⊃ An ⊃ ., thì tồn tại

1.1.3 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất và A, B ∈ F, P(A) > 0.Khi đó số

2.Nếu B ⊃ A thì P(B/A) = 1, đặc biệt P(Ω/A) = 1

3.Nếu (Bn, n > 1) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì

cũng là xác suất trênF Do đó PA có đầy đủ các tính chất của độ đo xác suất

4 ( Quy tắc nhân) Giả sử A1, A2, , An (n > 2), là n biến cố bất kì sao choP(A1A2 An−1) > 0 Khi đó

P(A1A2 An) = P(A1)P(A2/A1) P(An/A1 An−1) (1.2)

1.1.4 Tính độc lập của các biến cố

Giả sử(Ω, F , P) là không gian xác suất

Định nghĩa 1.Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Tính chất

1 Giả sử A và B là hai biến cố thoả mãn P(A) > 0 và P(B) > 0 Khi đó A

và B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B)

2 Hai biến cốA vàB độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sauthoả mãn

(i) A, B độc lập;

(ii) A, B độc lập;

(iii)A, B độc lập

Dưới đây sẽ trình bày khái niệm độc lập của một họ biến cố

Định nghĩa 2 Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu haibiến cố bất kỳ của họ đều độc lập

Họ các biến cố(Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độclập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cốAi1, Ai2, , Ain của họ đó, ta đềucó

P(Ai 1Ai2 Ain) = P(Ai 1)P(Ai 2) P(Ai n)

Một họ độc lập thì độc lập đôi một Tuy nhiên điều ngược lại nói chungkhông đúng

Đối với dãy độc lập các biến cố, ta có tính chất quan trọng sau đây, gọi là

Bổ đề Borel-Cantelli

1.1.5 Bổ đề Borel-Cantelli

Định lý (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử (An, n > 1) là dãy các biến cố Khi đó

Từ định lý trên, có thể suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả (Luật 0 − 1 Borel-Cantelli) Nếu (An, n > 1) là dãy biến cố độc lập

đôi một, thì P(lim sup An) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 tùytheo chuỗi P∞

n=1P(An) hội tụ hay phân kỳ

1.2 ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

3 Giả sử F2 = σ(C) Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1/F2 đo được khi

và chỉ khiX−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C

Hệ quả.Giả sử(Ω1, τ1), (Ω2, τ2),là các không gian tôpô, ánh xạX : Ω1 →

Ω2 liên tục Khi đó X là ánh xạ B(Ω1)/B(Ω2) đo được

1.2.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa.Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ- đại số con của σ

-đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G- đo được

nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G)

Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biếnngẫu nhiên đơn giản

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X

được gọi một cách đơn giản làbiến ngẫu nhiên

Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G- đo được là biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễthấy rằng nếuX là biến ngẫu nhiên thì họ

σ(X) =X−1

(B) : B ∈ B(R)

lập thành một σ- đại số con củaσ- đại số F, σ- đại số này gọi là σ- đại số sinhbởi X Đó làσ- đại số bé nhất màX đo được Từ đó suy ra rằng X là biến ngẫunhiênG- đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Biến ngẫu nhiên còn được gọi làđại lượng ngẫu nhiên

Tính chất

Định lý 1 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiệnsau đây thoả mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R

(ii) (X 6 a) := (ω : X(ω) 6 a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iv) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

Định lý 2 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác địnhtrên (Ω, F , P), f : Rn −→ R là hàm đo được (tức f là B(Rn

)/B(R) đo

được) Khi đó

Y = f (X1, , Xn) : Ω −→ R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ),

f : R −→ R là hàm liên tục a ∈ R Khi đó aX, X ± Y, XY, |X|, f (X), X+ =

max(X, 0), X− = max(−X, 0), X

Y , (Y 6= 0)đều là các biến ngẫu nhiên

Định lý 3 Giả sử (Xn, n > 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P) Khi đó, nếu inf

n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 4 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên

đơn giản, không âm (Xn, n > 1) sao cho Xn ↑ X (khi n → ∞)

Trước khi kết thúc mục này, cần chú ý rằng các tính chất trên của biếnngẫu nhiên có thể mở rộng cho biến ngẫu nhiênG- đo được bất kỳ

biến ngẫu nhiên X nào đó.

Chú ý.Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng khôngphải là tương ứng 1-1 Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất đượcgọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối

x↑a F (x) = F (a) và lim

x↓a F (x) = P(X 6 a) Do đó F (x) liên tục trái tạimọi điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P(a) = 0

1.2.5 Kỳ vọng

Định nghĩa Giả sửX : (Ω, F , P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên Khi đó tíchphân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và

ký hiệu là EX

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX.

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

−∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

Tổng quát:Nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f(X) thì

−∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

7 (Định lý B Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) vàtồn tại n để EX−

ElimXn > limEXn

Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1 và EY < ∞ thì

ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn

9 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1,

Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp(Ω, F , P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X(xác định trên (Ω, F , P)) sao cho E|X|p < ∞ Khi X ∈ Lp, p > 1, ta ký hiệu

kXkp = (E|X|p)1/p

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X

Trong lý thuyết xác suất, các bất đẳng thức sau thường được sử dụng

1 Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakowski

Giả sử X, Y ∈ L2 Khi đó

E|XY | 6 kXk2kY k2 (1.3)

E|X + Y |r 6 cr(E|X|r + E|Y |r), (1.6)

trong đó cr = max(1, 2r−1) chỉ phụ thuộc vào r

Rõ ràng, kXkp chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương Do đó, nếu đồng nhất cácbiến ngẫu nhiên tương đương trongLp, p > 1, thì từ các tính chất trên suy ra rằng

Lp

, p > 1 là không gian định chuẩn Hơn nữa, người ta chỉ ra được rằng Lp làkhông gian Banach

1.3.3 Dãy cơ bản

Định nghĩa.Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) là dãy cơ bản

• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( limm,n→∞|Xm − Xn| = 0) = 1

• Theo xác suất nếu lim

Từ hai định lý trên, suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả Nếu dãy (Xn, n > 1) hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con(Xnk; k > 1) ⊂ (Xn, n > 1) sao cho (Xnk; k > 1) hội tụ h.c.c

Định lý 5 Dãy (Xn, n > 1) hội tụ theo trung bình cấp p (p > 1) khi và chỉkhi dãy (Xn, n > 1) cơ bản theo trung bình cấp p Do đó Lp (p > 1) là khônggian Banach

1.3.4 Tính độc lập của các lớp và các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa.Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất Họ các lớp biến cố(Ci)i∈I

(Ci ⊂ F) được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci, họ cácbiến cố (Ai)i∈I độc lập (độc lập đôi một)

Họ các biến ngẫu nhiên(Xi)i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu

họ σ-đại số (σ(Xi))i∈I độc lập (độc lập đôi một)

4.Giả sử (Xi)i∈I là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) là hàm

đo được Khi đó họ fi(Xi)
i∈I độc lập

5.Giả sử (Xi)i∈I là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, I1 ⊂ I, I2 ⊂ I, I1∩I2 = ∅.Khi đó σ (Xi)i∈I1
và σ (Xi)i∈I2
độc lập (trong đó σ (Xi)i∈I1
và σ (Xi)i∈I2
tương ứng là các σ- đại số bé nhất chứa Si∈I 1σ(Xi) và Si∈I 2 σ(Xi))

6.Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) độc lập khi và chỉ khi, với mọi n > 1,σ(Xk, 1 6 k 6 n) và σ(Xk, k > n + 1) độc lập

7.Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

9.Nếu (Xn, n > 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và Xn

Định nghĩa.Cho dãyX1, X2, Xn là các biến ngẫu nhiên bất kì có kì vọng

Chương 2

Luật mạnh số lớn cho dãy

biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các

điều kiện moment tổng quát

(i)(an, n > 1) tăng nghiêm ngặt và an % ∞

n=1P (X > an) < ∞ khi vµ chØ khi P∞

n=1P (X > 2an) < ∞ (iii)P∞

KÕt hîp (2.1) vµ (2.2) ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh

(iii).¸p dông kÕt qu¶ (ii) víi an ®­îc thay thÕ bëi 2an th×

Sử dụng cách này k − 2 lần nữa ta được

2.1.2 Bổ đề

Giả sử(Xn, n > 1) là dãy biến ngẫu nhiên Với mỗi ε > 0, đặt

An = {|Xn| > ε}, khi đó Xn → 0 h.c.c khi và chỉ khi

P (lim sup {|Xn|/an > ε}) = 0.

Từ bổ đề Borel-Cantelli cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và Bổ đề2.1.1 ta có:

P (lim sup {|Xn|/an > ε}) = 0 ⇔

Nhận xét Nếu điều kiện 0 < an

n % trong Bổ đề 2.1.4 được thay bởi điềukiện mạnh hơn là 0 < an

n % ∞ thì ta được kết luận sau đây

Cho {an, n > 1} là dãy các hằng số dương với a n

n % và biến ngẫu nhiên

Chứng minh Thậy vậy, giả sử an

n % M < ∞ Suy ra an 6 (M + 1)n với mọi

n > n0

Đặt

Y = X

M + 1.

(Xem [7], Hệ quả 1) Cho {Xn, n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

đôi một vớiDXn < ∞, n > 1,{an, n > 1} là dãy số dương, an % ∞ Giả sử

Khi đó [S(n) − E(S(n))]/an → 0 h.c.c khi n → ∞, với Sn = X1 + ã ã ã + Xn

2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc

lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát

Trong tiết này chúng tôi trình bày chi tiết hơn các định lí trong [8] nhằmthiết lập luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy {X, Xn, n > 1} với điềukiện moment tổng quát P∞

n=1P (|X| > an) < ∞, (an %)

> anε



< ∞ víi mäi ε > 0.Chøng minh Tõ ®iÒu kiÖn a n

n)

6 1

i2 + 1i

> anε

,ta sÏ chøng

> anε

!.Thật vậy, đặt

A :=

> anε

!,

Bi = (|Xi| > an) ,

C :=

... cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi mộtcùng phân phối với điều kiện moment tổng qt thu kết chínhsau

1) Trình bày hệ thống kiến thức Lý thuyết xác suất, biến ngẫunhiên,... cho dãy biến ngẫu nhiên

độc lập đôi một, phân phối với điều kiện moment tổng quát

Hướng phát triển luận văn

Nếu có điều kiện, chúng tơi tìm cách mở rộng kết cho trường hợpcác... class="page_container" data-page="31">

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho biến ngẫu nhiên độc lập đơi một, cùngphân phối ta có

n6

n6