Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser luận văn thạc sỹ vật lý

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự ra đời của Vật lý học hiện đại đầu thế kỷ XX không những giải quyết được những bế tắc của vật lý cổ điển mà nó còn góp phần giải quyết các bài toán liên quan đến thế giới vi mô như sự khám phá ra tia X, sự bức xạ của vật đen tuyệt đối, cấu trúc phổ của nguyên tử Hiđrô, các định luật quang điện, sự phóng xạ, hiệu ứng Compton Ngày nay việc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử được ứng dụng nhiều trong thực tế cũng như trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại. Một trong những ngành áp dụng rộng rãi quang phổ học đó là thiên văn hiện đại. Vật lý thiên văn hiện đại đang sử dụng các phương pháp quang và quang phổ để nghiên cứu thành phần nguyên tố, đoán nhận quá trình diễn biến của thiên thể hay của bầu khí quyển bao quanh nó. Ngành khảo cổ học cũng sử dụng việc phân tích phổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của mình. Các nhà khoa học đã dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra để tìm tuổi thọ của những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất. Với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà khoa học hiện đã làm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ này, các nguyên tử thể hiện tính chất sóng nhiều hơn tính chất hạt, và có trạng thái lượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose – Einstein (BEC) trạng thái thứ năm của vật chất, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứu phổ nguyên tử của các phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quan trọng như trong suốt cảm ứng điện từ (EIT), các hiệu ứng phi tuyến, máy tính lượng tử, đồng hồ nguyên tử, laser nguyên tử . Các nguyên tử một điện tử hóa trị (một điện tử) có cấu trúc phổ đơn giản nhất nên chúng là đối tượng rất được quan tâm nghiên cứu trên cả hai phương diện - lý thuyết và thực nghiệm. Do có cấu trúc đơn giản nên có thể 1 giải chính xác được bài toán cấu trúc phổ một điện tử theo cơ học lượng tử tương đối tính. Vì vậy, việc kiểm chứng bằng thực nghiệm sẽ đóng vai trò rất lớn trong việc xác định độ tin cậy của lý thuyết. Minh chứng cho điều này là khám phá ra dịch chuyển Lamb trong nguyên tử Hydro năm 1947 đã dẫn đến việc xem xét lại mô tả lý thuyết cơ học lượng tử tương đối tính và sự ra đời của điện động lực học lượng tử (QED – Quantum Electro Dynamics). Như vậy, việc khảo sát cấu trúc phổ của các nguyên tử và tìm hiểu các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực liên quan là rất cần thiết. Để tìm hiểu về lĩnh vực này một cách cụ thể hơn, đồng thời mở rộng vốn hiểu biết về thế giới vi mô, chúng tôi chọn “Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu cách mô tả nguyên tử một điện tử theo lý thuyết lượng tử, nguyên tử khi xét đến các hiệu ứng phi tương đối tính để giải thích được sự tạo thành các dịch chuyển phổ. - Tìm hiểu nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng laser. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày các vấn đề liên quan đến cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế và siêu tinh tế của phổ các nguyên tử một điện tử hóa trị. - Trình bày nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng laser, nguyên lý hoạt động của bẫy quang từ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: các nguyên tử một điện tử hóa trị. - Phạm vi: nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử hóa trị đến cấp độ siêu tinh tế và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser. 2 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lý thuyết: sử dụng lý thuyết cơ học lượng tử cho nguyên tử một điện tử để mô tả cấu trúc phổ của nguyên tử theo các cấp độ khác nhau: bỏ qua spin điện tử và spin hạt nhân, tính đến spin điện tử, tính đến spin hạt nhân. Sử dụng các phép gần đúng để giải phương trình Schrodinger tìm trị riêng của hệ theo các trường hợp nói trên. Sử dụng lý thuyết bán cổ điển để mô tả bài toán tương tác giữa nguyên tử với trường laser trên phương diện động học để minh họa cho vấn đề làm lạnh nguyên tử bằng laser. 6. Giả thuyết khoa học Từ cấu trúc của ngyên tử hiđro, ta có thể đưa ra cấu trúc tương tự cho các nguyên tử có một điện tử ở lớp vỏ như Na, Rb . Từ các quy tắc dịch chuyển phổ trong cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế ta có thể khảo sát được cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử và đưa ra ứng dụng của cấu trúc này trong làm lạnh nguyên tử bằng laser. 7. Bố cục luận văn Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1: Trình bày, mô tả các nguyên tử một điện tử hóa trị theo lý thuyết lượng tử phi tương đối tính. Các khái niệm về mức năng lượng, hàm sóng, phân bố điện tử trong nguyên tử được trình bày trên cơ sở giải phương trình Schrodinger. Đồng thời rút ra quy tắc dịch chuyển phổ. Chương 2. Xét đến spin điện tử, spin hạt nhân, tương tác giữa mômen từ spin hạt nhân và mômen từ quỹ đạo. Những vấn đề này dẫn đến sự tách các mức năng lượng trong cấu trúc tinh tế, siêu tinh tế và các quy tắc lọc lựa. Chương 3. Trình bày cơ sở làm lạnh của nguyên tử bằng laser dựa theo lý thuyết bán cổ điển,nguyên lý làm lạnh Doppler và nguyên lý hoạt động của bẫy quang từ. 3 CHƯƠNG I CẤU TRÚC THÔ CỦA CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ 1.1. Phương trình Schrodinger phi tương đối tính Xét nguyên tử có một điện tử (có điện tích –e và khối lượng m e ) chuyển động xung quanh hạt nhân có điện tích Ze. Thế năng tương tác Coulomb giữa điện tích với hạt nhân: 2 0 ( ) (4 ) Ze V r r πε = − (1.1) với r là khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân. Theo nguyên lý tương ứng, Hamiltonian được xác định bởi: r Ze m p H e )4(2 ˆ ˆ 0 22 πε −=  (1.2) Trong đó, ∇=    ip ˆ 222 ˆ ∇−=→   p (1.3) Khi đó phương trình Schrodinger của hạt có dạng : ( ) ( ) ( ) rEr r Ze m e   ψψ πε =       −∇− 0 2 2 2 42 (1.4) Do tính đối xứng cầu của thế năng V(r) nên để tiện lợi cho việc giải phương trình (1.4) chúng ta chọn hệ tọa độ cầu ( ) ϕθ ,,r . Trong toạ độ cầu :       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ =∆=∇ 2 2 22 2 2 2 sin 1 sin sin 111 ϕθ θ θ θθ r r r r r , ta đặt 2 2 2 sin 1 sin sin 1 ϕθ θ θ θθ θϕ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ =∆ . Khi đó Hamiltonian trong toạ độ cầu trở thành: ( ) 2 2 2 2 1 1 ˆ 2 e H r V r m r r r r θϕ ∂ ∂     = − + ∆ +  ÷   ∂ ∂     h 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ , 1 2 2 e e L r V r m r r r m r θ ϕ ∂ ∂   = − + +  ÷ ∂ ∂   h (1.5) Hàm sóng trong toạ độ cầu được viết như là tích của hai hàm: ( ) ( ) ( ) ϕθϕθψ ,,, m lnlnlm rRr Υ= (1.6) trong đó ( ) rR nl là một hàm của bán kính r, còn ( ) ϕθ , m l Υ là hàm cầu tương ứng với số lượng tử mômen quỹ đạo l và số lượng tử từ m ( ) llllm ,1, .,0, .,1, −+−−= . Phương trình Schrodinger lúc đó trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ 1 , , 2 2 m m nl l n nl l e e L r V r R rΕ R r m r r r m r θ ϕ θ ϕ   ∂ ∂   − + + Υ = Υ    ÷ ∂ ∂     h (1.7) Hai toán tử H ˆ và 2 ˆ L giao hoán với nhau nên chúng có chung hàm riêng ( ) ϕθ ,,r nlm Ψ Cho 2 ˆ L tác dụng lên ( ) ϕθ , m l Υ , sau đó đơn giản ( ) ϕθ , m l Υ ở hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 (4 ) nl n nl e e l l Ze r R rΕ R r m r r r m r r πε   + ∂ ∂   − + − =    ÷ ∂ ∂     h h (1.8) Phương trình (1.8) gọi là phương trình Schrodinger theo bán kính. Giải phương trình (1.8) ta tìm được ( ) rR nl , từ đó tìm được hàm sóng ( ) ϕθ ,,r nlm Ψ của trạng thái có năng lượng E n . Ba số lượng tử mln ,, gọi là ba số lượng tử đặc trưng cho trạng thái mà ta xét. 1.2. Giải phương trình Schrodinger bán kính Để giải phương trình (1.8), ta thực hiện phép biến đổi: r ru rR nl nl )( )( = → ( ) ( ) rrRru nlnl = (1.9) Thay (1.9) vào (1.8) và biến đổi ta được: ( ) [ ] 0. 2 22 2 =−+ nleffn enl urVE m dr ud  (1.10) trong đó 5 2 2 0 2 2 )1( )4( )( rm ll r Ze rV e eff  + +−= πε (1.11) được gọi là thế năng hiệu dụng, bao gồm thế Coulomb cộng với thế li tâm. Ta giả thiết rằng khi 0 → r thì ( ) ∞→ rV chậm hơn 2 1 r (để điện tử không rơi vào hạt nhân), nghĩa là ( ) 0 2 → rVr khi 0 → r . Khi đó hàm sóng ( ) rR nl hữu hạn trong toàn bộ không gian kể cả điểm 0 = r . Do đó hàm sóng ( ) rrRu nlnl = phải bằng 0 khi 0 = r . ( ) 00 = nl u (1.12) Như vậy bài toán giải phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường thế đã được đơn giản về bài toán chuyển động một chiều trên nửa đường thẳng với thế năng hiệu dụng eff V và điều kiện biên ( 1.12). * Trường hợp r nhỏ: Khi đó phương trình (1.10) sẽ trở thành: ( ) ( ) 0)1( 2 =+−       rRll r rdR r dr d nl nl (1.13) Ta tìm nghiệm dưới dạng ( ) constrrR s nl . = (1.14) Thay (1.14) vào (1.13) ta được: ( ) ( ) 0 1 1 =+−+ constrllconstrss ss hay ( ) ( ) 11 +=+ llss (1.15) Có hai giá trị của s thoả mãn phương trình trên đó là (s = l và s = - l -1), tuy nhiên giá trị thứ hai không thoả mãn điều kiện biên vì nó dẫn tới nghiệm ( ) ∞→ rR nl khi 0 → r . Vậy ta có ( ) constrrR l nl . ≈ khi 0 → r . * Đối với trường hợp r lớn, ta xét chuyển động của điện tử lúc chưa bị iôn 6 hoá trong nguyên tử hiđrô (và trong các iôn tương tự), tức là xét trạng thái liên kết có năng lượng âm E n < 0. Ta đưa vào biến số mới ρ và hằng số mới n λ : 1/ 2 2 8 e n m r Ε ρ   = −  ÷   h (1.16) và 1/ 2 2 0 (4 ) 2 e n n Ze m λ πε Ε   = −  ÷   h (1.17) Khi đó phương trình (1.10) trở thành: ( ) ( ) 0 4 11 22 2 =       −+ + − ρ ρ λ ρρ nl n u ll d d (1.18) Do r lớn, tức là ρ lớn, nên phương trình (1.18) gần đúng là: ( ) 2 2 1 0. 4 nl d u d ρ ρ   − =     (1.19) Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm độc lập ( ) 2/ ρ ρ eu nl ≈ ( ) 2/ ρ ρ − ≈ eu nl Nghiệm ( ) 2/ ρ ρ eu nl ≈ không thoả mãn điều kiện biên vì nó tiến tới vô cùng khi ∞→ ρ , vậy ta chỉ dùng được nghiệm ( ) 2/ ρ ρ − ≈ eu nl . Kết hợp với phần trên khi 0 → r thì ( ) constR l nl . ρρ ≈ , ta có thể tìm nghiệm khi r hữu hạn dưới dạng : ( ) ( ) ρρρ ρ nl l nl veR 2/ − = (1.20) trong đó ( ) ρ nl v là hàm Laguerre liên kết. Hàm này phải hữu hạn khi 0 → r , và khi ∞→ r thì dẫn tới vô cực không nhanh hơn một đa thức của ρ . Thay (1.20) vào (1.18) và biến đổi ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0122 2 2 =−−+−++ ρλ ρ ρ ρ ρ ρ ρ nln nlnl vl d dv l d vd (1.21) 7 Nghiệm của phương trình (1.21) được tìm dưới dạng chuỗi : ( ) ∑ ∞ = = 0k k knl cv ρρ , 0 0 ≠ c (1.22) Thay (1.22) vào (1.21) ta được : ( ) ( ) ( ) [ ] ∑ ∞ = −− =−−+−++− 0 11 01221 k k kn k k k k clkclckk ρλρρρ hay ( ) ( )( ) [ ] ( ){ } 0.1.1221 0 1 =−−−+++++ ∑ ∞ = + k k knk cklcklkk ρλ (1.23) Các hệ số của k ρ phải bằng không, từ đó ta suy ra công thức truy toán đối với các hệ số c k của chuỗi (1.22). ( )( ) k n k c lkk lk c 221 1 1 +++ −++ = + λ (1.24) Để thoả mãn điều kiện giới nội đối với ( ) ρ nl v thì chuỗi phải ngắt lại ở số hạng bậc ρ nào đó, tức là các hệ số từ 1 + ρ c trở đi đều bằng không : 01 =−++ n lp λ , trong đó p là một số nguyên dương hoặc bằng không. Như vậy n λ phải là một số dương, ta kí hiệu là n : 11 +≥++== lpln n λ (1.25) đối với một giá trị l đã cho. Từ đó ta có năng lượng của điện tử trong nguyên tử hiđrô: 222 0 42 )4(2 n eZm E e n  πε −= (1.26) trong đó n là số nguyên dương : .3,2,1 = n Theo công thức (1.26) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn của năng lượng chính là hệ quả của yêu cầu về hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. 1.3. Các mức năng lượng Năng lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân : 8 -3,4 - 2 2 222 0 42 )4(2 n Z R n eZm E e n −=−=  πε với 22 0 4 )4(2  πε em R e = (1.27) Chúng ta biết rằng các trạng thái có cùng một giá trị của n nhưng có l và m khác nhau thì có chung giá trị năng lượng (sự suy biến). Xét cho nguyên tử hiđrô ( có Z = 1) Ta có eVR 6,13 = eV n E n 2 6,13 −=→ Ứng với 1 = n năng lượng có giá trị thấp nhất eVE n 6,13 −= Hình 1.1. Sơ đồ các mức năng lượng của nguyên tử hiđrô. Khi n càng tăng thì các mức năng lượng liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi ∞→ n thì 0 → n E , ta nói hệ ở trạng thái bị iôn hoá (điện tử bị bứt ra khỏi hạt nhân). 9 -13,6 - spin hạt nhân (cấu trúc siêu tinh tế) -1,51 - - 0,85 - 0 - E(eV) 1s 1 2s 2p 3s 3p 3d 2 4 n ∞ 0 1 2 3 4 Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng thấp nhất cho ta biết năng lượng iôn hoá của nguyên tử hiđrô. Năng lượng này bằng công cần thiết để đưa điện tử từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp 1 E ra ngoài nguyên tử (hình 1.1). Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng E n về trạng thái có năng lượng E n' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần số góc ω thoả mãn hệ thức: '' n n nn EE −= ω  ⇔ ' 2 2 1 1 ' nn R n n ω   = −  ÷   h , ( nn < ' ). (1.28) hoặc dưới dạng tần số v của bức xạ: 2 2 1 1 2 2 ' R v n n ω π π   = = −  ÷   h (1.29) trong đó 115 10.288051,3 2 ' − === s h RR R  π được gọi là hằng số Rydberg. * Dãy Lyman ứng với sự chuyển từ các mức có 2 ≥ n về mức có 1' = n . * Dãy Balmer ứng với sự chuyển từ các mức có 3 ≥ n về mức có 2' = n . * Dãy Paschen ứng với sự chuyển từ các mức có 4 ≥ n về mức có 3' = n . Tiếp theo là dãy Bracket )4, .;6,5( = ′ = nn … Với các nguyên tử một điện tử hoặc iôn tương tự hyđrô, các mức năng lượng cũng sắp xếp như đối với Hyđrô nhưng các vạch phổ dịch chuyển sẽ bị dịch về miền có bước sóng ngắn hơn (vì có năng lượng gấp Z 2 lần so với H). 1.4. Hàm sóng Hàm sóng của hệ: ( ) ( ) ( ) ϕθϕθψ ,,, m lnlnlm rRr Υ= (1.30) trong đó thành phần xuyên tâm ( ) rR nl được xác định bởi công thức (1.20): ( ) ( ) ρρρ ρ nl l nl veR 2/ − = Nghiệm nl v là hàm số liên kết Laguerre, nó có dạng: ( ) ( ) ρρ 12 + + = l lnnlnl LNv (1.32) Với ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) !!12! ! 1 2 1 0 12 kklkn ln L k r k n k l ln r ρ ρ ++− + −= + = + + ∑ (1.33) trong đó 1 −−= lnn r , nl N là hệ số chuẩn hóa. 10 . tôi chọn Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình TRÚC TINH TẾ VÀ SIÊU TINH TẾ CỦA CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ 2.1. Cấu trúc tinh tế của các mức năng lượng của nguyên tử một điện tử 15 2.1.1. Spin điện tử