Nghiên cứu một số bài toán quang học lượng tử bằng lí thuyết nhiễu loạn

1 Mục lục Trang Mở đầu .2 Chơng I. Tổng quan về nhiễu loạn 4 1.1. Bài toán nhiễu loạn dừng .4 1.1.1. Bài toán nhiễu loạn dừng khi không suy biến 7 1.1.2. Bài toán nhiễu loạn dừng khi có suy biến .9 1.2. Bài toán nhiễu loạn không dừng .12 Chơng II. ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số hiệu ứng lợng tử 2.1. Bài toán dao động tử phi điều hoà 16 2.2. Bài toán về sự tách vạch quang phổ 23 2.2.1. Hiệu ứng Zeemann 23 2.2.2. Hiệu ứng Stark trong nguyên tử hiđro .27 Chơng III. ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số bài toán quang học cơ bản .34 3.1. Nghiên cứu sự tơng tác giữa ánh sáng với vật chất .34 3.2. Bài toán nguyên tử hai mức .43 Kết luận chung 48 Tài liệu tham khảo .50 Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An 2 Mở đầu Nhiễu loạn là một trong những phơng pháp tính gần đúng, đợc sử dụng rộng rãi nh là một công cụ toán học trong các vấn đề vật lý. Đặc biệt trong quang học lợng tử, lý thuyết nhiễu loạn càng tỏ ra hữu hiệu khi nghiên cứu các vấn đề trừu tợng, tổng quát xẩy ra trong quá trình tơng tác giữa ánh sáng và vật chất. Để làm rõ điều đó luận văn đã đặt vấn đề nghiên cứu, tìm hiểu một số hiệu ứng xẩy ra trong quang học lợng tử trên cơ sở sử dụng nhiễu loạn nh một công cụ, một phơng pháp nghiên cứu, từ đó giải thích và làm sáng tỏ bản chất vật lý của các vấn đề đặt ra. Do phạm vi đề tài liên quan đến những vấn đề cập nhật, hiện đại quang học lợng tử mang tính tổng quát cao, nên nội dung nghiên cứu chỉ giới hạn trong một số hiệu ứng, hiện tợng quang học cơ bản và đã chỉ ra đợc sự thành công bớc đầu của lý thuyết nhiễu loạn trong nghiên cứu vật lý nói chung và quang học lợng tử nói riêng. Đề tài mà chúng tôi đặt ra cho luận văn là: "Nghiên cứu một số bài toán quang học lợng tử bằng lý thuyết nhiễu loạn " Với đề tài đó nội dung luận văn đợc trình bày trong ba chơng nh sau: Chơng I. Tổng quan về nhiễu loạn Trong chơng này trình bày hai bài toán: bài toán nhiễu loạn dừng và bài toán nhiễu loạn không dừng. Bài toán nhiễu loạn dừng đợc xét cho hai trờng hợp suy biến và không suy biến. Chơng này là cơ sở lý thuyết của phơng pháp nhiễu loạn, làm công cụ nghiên cứu tìm hiểu một số bài toán quang học cơ bản ở chơng II và III. Chơng II. ứng dụng nhiễu loạn trong một số hiệu ứng lợng tử Nội dung của chơng II là bàn đến những ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn dừng trong các bài toán dao động tử phi điều hoà và bài toán về sự tách vạch Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An 3 quang phổ. Từ đó đa ra lời giải thích và ý nghĩa vật lý về bản chất các quá trình xẩy ra trong các hiện tợng lợng tử. Chơng III. ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số bài toán quang học cơ bản ở đây đã sử dụng lý thuyết nhiễu loạn không dừng để tìm hiểu một số bài toán quang học cơ bản nh sự tơng tác giữa ánh sáng và vật chất, bài toán nguyên tử hai mức, và đa ra lời giải thích, làm rõ bản chất vật lý của các bài toán đặt ra. Do khuôn khổ của luận văn tốt nghiệp nên luận văn chỉ dừng lại nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán quang học lợng tử bằng lý thuyết nhiễu loạn, đây là lĩnh vực hiện đại của vật lý học trong vài thập kỷ gần đây. Vì nhiều lý do khác nhau nên bản luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót. Vậy rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn sinh viên để bản luận văn này ngày càng hoàn thiện hơn. Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An 4 Ch ơng I Tổng quan về nhiễu loạn Nghiệm chính xác của phơng trình Schrodinger chỉ có thể giải đợc một số bài toán đơn giản nh dao động tử điều hòa, nguyên tử Hiđrô. Nhng ngay cả những bài toàn này cũng đòi hỏi một phơng pháp tính toán rất phức tạp. Những bài toán phức tạp hơn trên thực tế ta không giải đợc. Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp các bài toán đó có thể đợc giải một cách gần đúng bằng cách đa chúng về những bài toán đơn giản hơn, có thể giải nghiệm chặt chẽ và chính xác sau đó tìm những số hiệu chỉnh tơng ứng. Việc nghiên cứu các phơng pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách đa chúng về các bài toán tơng ứng đơn giản hơn, kèm theo tính các số hiệu chỉnh cần thiết là nội dung của lý thuyết nhiễu loạn. Lý thuyết nhiễu loạn đợc áp dụng cho hai loại bài toán: Bài toán dừng và bài toán không dừng. Trong loại bài toán dừng ta phân thành hai tuỳ thuộc vào sự suy biến hay không suy biến. Sau đây ta xét cụ thể đối với từng bài toán. 1.1 Bài toán nhiễu loạn dừng Xét hệ lợng tử có toán tử năng lợng ( không phụ thuộc rõ vào thời gian) phơng trình Schrodinger đối với hệ có dạng: =E (1.1) Ta đã giải phơng trình (1.1) trong một số trờng hợp đơn giản và lời giải nhận đợc không phải sử dụng một phơng pháp gần đúng nào. Tuy nhiên khi dạng thế năng của trờng ngoài trong biểu thức toán tử năng lợng trở nên phức tạp hơn Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An 5 thì nói chung là không thể cho lời giải chính xác. Nên ta sử dụng phơng pháp nhiễu loạn. Giả thiết rằng toán tử Hamintơn của hệ lợng có thể đợc tách thành hai số hạng = o + (1.2). Trong đó o là Hamintơn của bài toán đã lý tởng hóa có nghiệm chính xác, còn là một số hạng phụ thuộc nào đó mà ngời ta gọi là toán tử nhiễu loạn, toán tử nhiễu loạn có thể là một phần của toán tử Hamintơn đã không đợc xét đến trong bài toán lý tởng hóa, hay thế năng của tác động bên ngoài Bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là tìm ra các công thức xác định năng l- ợng và các hàm sóng của các trạng thái dừng qua các giá trị năng lợng đã biết E n o và các giá trị của những hàm sóng n của hệ Không nhiễu loạn đợc mô tả bởi Hamintơn o . Khi đó phơng trình (1.1) có dạng: ( o + ) (x) = E (x) (1.3) Để giải (1.3) ban đầu ta giả sử rằng trong bài toán không có nhiễu loạn, không có suy biến, nghĩa là: o n = E n (o) n (1.4) Sau đó xét (1.3) trong E o bd. Khi đó: (x) = . Tập các giá trị {C n } là hàm sóng trong E o bd và phơng trình (1.3) có dạng: C n ( o + ) n (o) = E C n n (o) Nhân hai vế với m (o)* về bên trái và lấy tích phân theo x ta có: C n E n (o) m (o)* n (o) dx + C n m (o)* n (o) dx = E m (o)* n (o) dx Hay C m E m (o) + C n V mn = C m E C m E m (o) + C n V nm + C m V mn = C m E Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An n n n n n mn mn V V V n nn xC )( )0( V V n 6 C m (E m (o) E + V mn ) + C n V mn = 0 (1.5) Trong đó V mn = m (o)* n (o) dx đợc gọi là yếu tố ma trận của nhiễu loạn. Các hàm m (x) đã đợc chuẩn hóa.Giải phơng trình (1.5) ta xác định đợc hàm sóng C n và năng lợng E. Biện luận toán tử nhiễu loạn . Do bé nên có thể đặt: = (1.6) là một hằng số nhỏ không có thứ nguyên. Vậy khi = 0 thì không có nhiễu loạn o , còn khi 0 thì phơng trình (1.5) có dạng: C m (E m (o) - E + V mn ) + C n V nm = 0. C m (E m (o) E + v mn ) + C n v nm = 0 (1.7) Trong đó v mn cũng là yếu tố ma trận xác định nh V mn Khi = 0 phơng trình (1.5) có dạng C m (E m (o) E ) = 0 (1.8) Đó là phơng trình (1.4) trong bd mới E m (o) = E (o) (m = 1, 2 .) (1.9) Do C m là hàm sóng trong E.bd nên từ hệ thức: (x) = C n n o (x) Ta suy ra rằng khi = m (o) thì: C n (o) = 0 n m C n (o) = C m (o) = 1 n = m Hay C n (o) = nm (1.10) Khi nhỏ, ta coi rằng nghiệm của phơng trình (1.7) và (1.8) khác nhau rất ít, vì vậy có thể biẻu diễn C m và E dới dạng chuỗi sau: C m = C m (o) + C m (1) + 2 C m (2) + (1.11) Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An mn mn V V V V V 7 E = E (o) + E (1) + 2 E (2) + (1.12) 1.1.1. Bài toán nhiễu loạn dừng khi không có suy biến Xét trờng hợp khi không có suy biến, phơng trình ( o + ) (x) = E(x) ứng với một trị riêng chỉ có một hàm riêng n 0 và do đó chỉ có một hệ số C n (o) thay các giá rị E, C m từ phơng trình (1.11) và phơng trình (1.12) vào phơng trình (1.7) và nhóm các hệ số cùng bậc , ta có: [E m (o) + v mn (E (o) + E (1) + 2 E (2) + .)](C m (o) + C m (1) + .) + v mn C n = 0 (E m (o) E (o) )C m (o) + [(v mn E (1) )C m (o) + (E m (0) E (o) ) C m (1) + v mn C m (0) ] + 2 [(v mn E (1) )C m (1) + (E m (o) E (o) )C m (2) - E (2) C m (o) + v mn C n (1) ] + . = 0 (1.13) Giải bằng phơng pháp gần đúng liên tiếp. Trong gần đúng bậc không bỏ qua , có nghĩa = 0. Ta có (E m (o) E (o) )C m = 0. (1.14) Đây là phơng trình của hệ không có nhiễu loạn. Nếu nh chú ý đến E k (o) và hàm riêng k (o) dới tác dụng của nhiễu loạn thì ta viết. E (o) = E k (o) k (o) = C n (o) n (o) (x) (1.15) Trong đó mọi hệ số của chuỗi. C n (o) = 0 n k C n (o) = 1 n = k Hay C m (o) = mk (1.16) Trong gần đúng bậc một, ta thay các giá trị E (o) và C m (o) ở trên vào phơng trình (1.13) và bỏ qua các số hạng luỹ thừa bậc 2 trở lên ta thu đợc phơng trình gần đúng bậc một: Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An mn mn mn k n V 8 [(v mn E (1) ) mk + (E m (o) E k (o) )C m (1) + v mn nk ] = 0 (1.17) Do = 0 nên thành phần trong dấu ngoặc vuông bằng không. [(v mn E (1) ) mk + (E m (o) E k (o) )C m (1) + v mn nk ] = 0 (1.18) Khi m = k thì (v mm E (1) ) kk = 0 V kk = E (1) (1.19) Khi m k thì (E m (o) E k (o) )C m (1) + v mn = 0 Do mk = 0 nk = 1 C m (1) = (m k) (1.20) Trong gần đúng bậc hai, ta thay (1.19) và (1.20) vào (1.13), bỏ qua số hạng từ bậc ba của ta có: [(v mn E (1) )C m (1) E (2) C m (o) + (E m (o) E (o) )C m (2) + v mn C n (1) ] = 0 [(v mn - v kk ) - E (2) C m (0) + (E m (0) E k (0) )C m (2) + v mn C n (1) ] = 0 (1.21) Khi k = m ta có (v mn - v kk ) = C m (1) = mk = 1; E m (0) - E k (0) = 0. Vậy E (2) = (1.22) C m (2) = + Với (m k,n k) (1.23) Quá trình cứ tiếp tục ta sẽ tính đợc nghiệm gần đúng bậc cao hơn. Trở lại bài toán ban đầu, và tính đến gần đúng bậc nhất, thay (1.19) vào (1.11); (1.12) ta có: E k = E k (0) + v kk = E k (0) + E k (1) (1.24) k = C n n (0) = C k (0) k (0) + C k (1) k (0) Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An mn mn V mk E k (o) - E m (o) mn V mk E k (o) - E m (o) mn V mk E k (o) - E m (o) v kn v nk E k (o) - E m (o) nk v kk v mk E m (o) - E k (o) v mn v nk (E m (o) - E k (o) )(E k (0) - E m (0) ) n 9 = k (0) + k (0) (1.25) Để phép tính có nghĩa thì lợng bổ chính phải rất nhỏ, hay C m (1) = = << 1. Hay V mk << E k (0) E m (0) (m k) (1.26) Nhận xét: Khi ứng dụng thực tiễn phơng pháp nhiễu loạn, ngời ta thờng dùng phép gần đúng cấp một cho hàm sóng, và phép gần đúng cấp hai cho năng lợng, tuy nhiên trong một số trờng hợp cần phải dùng gần đúng cấp cao hơn. Phơng pháp nêu trên của lý thuyết nhiễu loạn chỉ đúng trong trờng hợp nếu nh các phép gần đúng kế tiếp hội tụ. Điều kiện để cho điều đó xảy ra là số hiệu chỉnh sau phải nhỏ so với số hiệu chỉnh trớc. Nh vậy điều kiện để ứng dụng đợc lý thuyết nhiễu loạn có thể đợc viết dới dạng biểu thức (1.26). Do đó, điều kiện để ứng dụng đợc lý thuyết nhiễu loạn quy về việc đòi hỏi các phần tử ma trận không chéo của toán tử nhiễu loạn phải nhỏ hơn so với giá trị tuyệt đối của hiệu các giá trị tơng ứng của năng lợng không nhiễu loạn 1.1.2. Bài toán nhiễu loạn dừng khi có suy biến Phơng pháp của lý thuyết nhiễu loạn đã trình bày ở trên cho phép ta tính số hiệu chỉnh cho các năng lợng và hàm sóng. n n = E n n (1.27) n = n (0) + n (0) (1.28) Trong công thức (1.28) nếu ta đặt E k (0) - E n (0) 0 gọi trờng hợp này là chuẩn dừng suy biến. Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An V mk E k (o) - E m (o) km V mk E k (o) - E m (o) V mk E k (o) - E m (o) V nk E k (o) - E n (o) V 10 Còn khi E k (0 E n (0) = 0 thì công thức (1.28) trở thành vô nghĩa và phơng pháp trình bày trên không áp dụng đợc cho hai trờng hợp kể trên. Ta cần phải có một phơng pháp nhiễu loạn khác, mà sẽ đợc trình bày dới đây. Với phơng trình của hệ không nhiễu loạn: n n (0) = E n (0) n (0) (1.29) Có tập hợp các hàm riêng 1 (0) , 2 (0) , 3 (0) ., g (0) , ở đây mỗi hàm riêng cùng ứng với một trị riêng, có nghĩa trị riêng này suy biến bội g, còn tập hợp các hàm riêng g+1 (0) , g+2 (0) ở đây mỗi hàm riêng ứng với một trị riêng. Tìm nghiệm của phơng trình n (0) = E trong gần đúng bậc một theo năng lợng bằng cách sau: = C m m (0) + C (0) (1.30) Trong đó C là đại lợng bé bậc nhất. C m là đại lợng lớn vì các mức năng lợng là sát nhau. Thay (1.30) vào phơng trình = E, ta có : C m ( - E) m (0) + C ( - E) (0) = 0 (1.31) Trong đó - E = ( 0 - E) + = ( 0 - E 0 ) + ( E 1 ) (1.32) Với E = E 0 + E 1 Trong phép gần đúng bậc nhất ta coi U E 1 = 0, có nghĩa là ta chỉ xét đến mức năng lợng nào đó là đáng kể, còn các mức năng lợng khác ta xem là không đổi, phơng trình có thể viết lại. C m ( - E) m (0) + C ( 0 - E 0 ) (0) = 0 (1.33) Nhân hai vế phơng trình (1.33) với l (0)* trong đó l = 1, 2, 3, .,g, chú ý tính trực giao chuẩn hoá của các hàm sóng gần đúng bậc không và các hệ số C m ở công thức (1.30), kết quả ta nhận đợc. C m < l (0)* |( - E) | m (0) > = 0. (1.34) Hay C m ( lm - E lm ) = 0 (1.35) Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An = g m 1 += g g 1 = g m 1 += g g 1 = g m 1 += g g 1 = g m 1 = g m 1 . Tổng quan về nhiễu loạn Trong chơng này trình bày hai bài toán: bài toán nhiễu loạn dừng và bài toán nhiễu loạn không dừng. Bài toán nhiễu loạn dừng đợc. lợng tử. Chơng III. ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số bài toán quang học cơ bản ở đây đã sử dụng lý thuyết nhiễu loạn không dừng để tìm hiểu một số