Khảo sát sự suy giảm và thăng giáng trong quang học lượng tử

Trang 1 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Huy Công, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu đề tài để tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, Ban chủ nhiệm phòng đào tạo sau Đại học, chủ nhiệm chuyên ngành TS. Nguyễn Huy Bằng, TS. Nguyễn Văn Phú cùng các thầy cô của trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu và Tập thể các thầy cô giáo Trường Đại Học Sài Gòn đã giúp đỡ quý báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân, những đồng nghiệp và tập thể anh chị em học viên lớp cao học 19 quang học đã dành tình cảm, động viên giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn. Sài gòn, tháng 6 năm 2013 Tác giả Trang 2 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mở đầu ……………………………………………………………………… 4 Chương 1: Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển……….6 1.1 Khái niệm về sự suy giảm………………………………………………… 6 1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên………………………………….6 1.3 Các hàm tương quan cổ điển …………………………………………… 7 1.3.1 Hàm tương quan……………………………………………………… 7 1.3.2 Hàm tương quan cổ điển……………………………………………… 9 1.4 Chuyển động Brown……………………………………………………… 9 1.4.1 Khái niệm chuyển động Brown……………………………………… 9 1.4.2 Phương trình Langevin……………………………………………… 11 1.4.3 Mẫu Boltzmann – Lorentz……………………………………………16 1.5 Phương trình Fock-Planck cổ điển……………………………………… 19 Kết luận chương 1…………………………………………………………… 23 Chương 2. Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng lượng tử…… 24 2.1 Khái niệm về các thăng giáng lượng tử……………………………………24 2.1.1 Thăng giáng lượng tử………………………………………………… 24 2.1.2 Các hàm tương quan lượng tử…………………………………………24 2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu trắng…………………….25 2.1.2.2 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu màu (nhiễu telegraph)… 25 2.2 Dạng lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck 27 2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin ……………………………27 2.2.2 Dạng lượng tử của phương trình Fock-Planck……………………… 31 2.3 Ma trận mật độ và phương trình ma trận mật độ đối với trường được lượng tử hoá………………………………………………………………………… 33 2.3.1 Ma trận mật độ…………………………………………………………33 Trang 3 2.3.2 Phương trình ma trận mật độ…………………………………………. 34 2.3.3 Phương trình ma trận mật độ đối với trường đã được lượng tử hoá… 36 Kết luận của chương 2………………………………………………………. 42 Kết luận văn………………………………………………………………… 43 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………44 Trang 4 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, trong quang lượng tử, sự suy giảm đóng một vai trò rất quan trọng. Chẳng hạn như trong sự chuyển của nguyên tử từ trạng thái kích thích về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn hay sự phân rã của trường phát xạ bên trong hộp cộng hưởng với các gương phản xạ không hoàn toàn thì khi đó các thông số của hệ lượng tử có sự tiến hóa, cụ thể là xuất hiện sự suy giảm do quá trình tương tác của hệ với môi trường. Sự thay đổi đó được phản ánh trong các phương trình chuyển động của các thông số của hệ với các thông số xác định của môi trường. Vấn đề mà chúng ta đặt ra là khảo sát sự suy giảm của chuyển động của các phân tử, nguyên tử (hạt vật chất) trong môi trường. Môi trường đó có thể là một môi trường thuần tuý cổ điển cũng có thể là một môi trường đã được lượng tử hoá. Trường hợp môi trường được mô tả thuần túy cổ điển, đã có nhiều nghiên cứu đề cập đến vấn đề suy giảm này. Chẳng hạn như việc nghiên cứu chuyển động của các hạt vật chất trong chất lỏng (chuyển động Brown). Khi xét chuyển động của các hạt vật chất, chúng ta quan tâm đến những lực có tác dụng gây nên sự thay đổi chuyển động của hạt đó. Sự thay đổi này xẩy ra một cách hết sức ngẫu nhiên cả về hướng cũng như cả về độ lớn. Đối với trường hợp các hạt chuyển động theo các quy luật cổ điển, tức là chuyển động theo các quỹ đạo cụ thể, chúng ta đã có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến. Trong lý thuyết cổ điển, người ta đã thiết lập được các phương trình mô tả quy luật thay đổi của các thông số cổ điển dưới tác dụng của các lực cổ điển. Tuy nhiên, hiện tượng suy giảm này xẩy ra như thế nào khi môi trường mà chúng ta khảo sát đã được lượng tử hóa. Trong luận văn này, ngoài việc trình bày về lý thuyết suy giảm cổ điển khi môi trường còn được xem là môi trường cổ điển, tức là chưa được lượng tử hoá, chúng tôi sẽ đề cập đến sự suy giảm khi có mặt môi trường đã được lượng tử hoá Trang 5 và tính toán về những sự thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệ lượng tử khi có mặt của các môi trường này. Đồng thời luận văn tập trung khảo sát ma trận mật độ cũng như phương trình ma trận mật độ cho trường hợp đại lượng vật lý, cụ thể ở đây là cường độ trường điện, được xem xét theo quan điểm lượng tử, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng toán tử. Ngoài ra, luận văn đề cập đến việc giải phương trình ma trận mật độ và tìm ra dạng tường minh của ma trận mật độ ứng với một trạng thái lượng tử cụ thể của trường điện từ. Được thông qua cấu trúc luận văn gồm 2 chương: Chương 1 - đề cập đến những vấn đề chung của sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển. - Khảo sát chuyển động Brown, thiết lập phương trình Langevin đối với chuyển động brown, mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz. - Khảo sát phương trình Fock – Planck cũng như nghiệm của phương trình này đối với trường hợp suy giảm của trường điện khi có sự va chạm với các phần tử của môi trường dẫn. Chương 2 - của luận văn, chúng tôi đề cập đến sự suy giảm của các đại lượng đã được lượng tử. - Trình bày tổng quan về những thăng giáng và các hàm tương quan của các đại lượng lượng tử. - Khảo sát các dạng lượng tử của các phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck. - Trình bày phương pháp giải phương trình ma trận mật độ trong trường hợp trường được lượng tử hoá. - Dẫn dắt ra dạng tường minh của ma trận mật độ khi tính toán cho một trạng thái lượng tử cụ thể của trường. Trang 6 Chương 1 SỰ SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG CỔ ĐIỂN 1.1 Khái niệm về sự suy giảm Như chúng ta đã biết, khi khảo sát các thông số của một đại lượng vật lý nào đó, chúng ta phải xét đại lượng đó nằm trong một mối quan hệ nào đó với các đối tượng xung quanh (tức là đối với một môi trường vật chất nào đó). Không gian chứa đựng các đối tượng xung quanh đó, thông thường, trong nhiệt động học, không gian đó được gọi là bể nhiệt; còn lại nói chung, không gian đó chứa một môi trường vật lý nào đó. Chẳng hạn, đại lượng vật lý đó có thể là một vật có khối lượng chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất (trường hấp dẫn) hay đại lượng vật lý đó có thể là một điện tích chuyển động trong trường điện từ, v.v Dĩ nhiên khi một đại lượng vật lý nào đó, chuyển động trong một môi trường vật chất, nó sẽ tương tác với các hạt vật chất của chính môi trường đó. Kết quả của sự tương tác đó là các thông số của đại lượng đó được thay đổi theo thời gian. Chẳng hạn do va chạm với các phân tử trong chất lỏng mà một hạt vật chất chuyển động trong chất lỏng sẽ bị giảm tốc độ. Thậm chí nếu mật độ phân tử của môi trường khá dầy đặc thì hạt vật chất đó hầu như không thể chuyển động được nữa. Nghĩa là, các thông số đặc trưng cho chuyển động của hạt vật chất bị suy giảm. Sự suy giảm đó là nhiều hay ít, phụ thuộc vào chính môi trường đó, tức là phụ thuộc vào trường vật lý mà trong đó hạt vật chất tồn tại. 1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lượng tử là nghiên cứu tương tác của hệ lượng tử với trường ánh sáng kích thích. Khảo sát sự tương tác này, chúng ta tìm được sự thay đổi theo thời gian của các thông số đặc trưng của hệ lượng tử thông qua việc giải phương trình chuyển động. Phương trình này, dưới dạng ma trận, được biểu diễn như sau: )( )( tMV dt tdV = (1.1) Trang 7 trong đó V là một véc tơ Bloch chứa một số thông số của hệ lượng tử. M là một ma trận có các thành phần là các đại lượng như tần số Rabi ( Ω ), độ lệch tần ( ∆ ) và các hệ số Einstein ( ) A đặc trưng cho sự phân rã ngẫu nhiên. Phương trình này có dạng giống như phương trình Bloch trong cộng hượng thuận từ nên có tên gọi là phương trình quang học Bloch [1]. Như chúng ta đã biết, trong hệ lượng tử có rất nhiều mức năng lượng. Nếu để ý đến tất cả các mức năng lượng, chúng ta sẽ vấp phải khó khăn về mặt toán học và khó có thể giải được một cách giải tích. Để có thể giải được phương trình quang học Bloch một cách giải tích, chúng ta phải sử dụng điều kiện gần đúng, đó là xem hệ nguyên tử chỉ là một hệ nguyên tử hai mức. Với việc sử dụng điều kiện gần đúng hai mức này, chúng ta dễ dàng khảo sát được ảnh hưởng của các thăng giáng của trường kích thích lên các thông số của hệ lượng tử một cách định lượng. Những kết quả thu được từ điều kiện gần đúng này vẫn giúp chúng ta thu được những kết quả thực nghiệm khá phù hợp với thực nghiệm và cho phép chúng ta giải thích và hiểu thêm được nhiều bản chất vật lý liên quan đến các sự kiện thực nghiệm đó. 1.3 Các loại hàm tương quan cổ điển 1.3.1 Hàm tương quan Giả sử x là một biến số ngẫu nhiên. Hàm số f(x) được gọi là một hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phgụ thuộc đơn giá vào biến số x. Nghĩa là ở một giá trị của x, hàm f(x) có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau. Khi đó ta chỉ có thể nói về xác suất để ở giá trị x cho trước, f(x) có giá trị nằm trong khoảng từ f(x) đến f(x) + df(x) là bao nhiêu. Nếu đại lượng ngẫu nhiên x là hàm của thời gian thì khi đó quá trình được mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian (thông thường được gọi một cách ngắn gọn là quá trình ngẫu nhiên). Đại lượng quan trọng nhất, đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên là hàm tương quan của đại lượng ngẫu nhiên. Hàm tương quan K( τ ) được định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàm ngẫu nhiên ở hai thời điểm khác nhau t và t ' (t ' =t+ τ ) [3]: ∫ += ∞→ T T dttftf T K 0 )()( 1 lim)( ττ (1.2) Hay: >+=< )()()( ττ tftfK (1.3) Trang 8 ở đây đại lượng τ có thể nhận giá trị âm hay dương. Như vậy hàm tương quan chính là số đo định lượng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau. Nếu τ đủ lớn để các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t và t τ + không phụ thuộc vào nhau thì: 0)()()()()( >=+><>=<+=< τττ tftftftfK (1.4) Còn khi 0= τ thì: >=< )()0( 2 tfK (1.5) Nghĩa là K ( τ ) trùng với trung bình của bình phương hàm ngẫu nhiên )(tf . Dạng cụ thể của hàm tương quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên. Ta có thể khai triển hàm ngẫu nhiên )(tf qua tích phân Fourier: ∫ ∞+ ∞− = _ )exp()()( ωωω dtiftf (1.6) Khi đó ta biểu diễn >< )( 2 tf dưới dạng: ∫∫ +∞+∞ ∞− =>=< 0 2 )(2)()( ωωωω dIdItf (1.7) Hàm )( ω I được gọi là mật độ phổ với các tính chất: )( ω I 0 ≥ và )()( ωω −= II Thay (1.6) vào (1.7) ta được: [ ] ><+>=< ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− )()()(exp)( '''2 ωωωωωω fftiddtf (1.8) ở đây )( ω f là phép biến đổi Fourier ngược của )(tf ∫ +∞ ∞− −= dttitff )exp()( 2 1 )( ω π ω (1.9) Khi đó: [ ] ><+−>=< ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− )()()(exp 4 1 )()( ''' 2 ' tftftidtdtff ωω π ωω (1.10) Thay τ += ′ tt vào (1.10) và biến đổi ta được: Trang 9 τωωδττω π ωω dKiff )()()exp( 2 1 )()( ''' +−>=< ∫ +∞ ∞− (1.11) Thay (1.11) vào (1.7) và biến đổi ta được: τωτωτ π ddKitf ∫ +∞ ∞− −>=< )()exp( 2 1 )( 2 (1.12) So sánh (1.12) với (1.7) ta rút ra: τωτωτ π ττωτ π ω ddKidKiI ∫∫ +∞+∞ ∞− −=−= 0 )()exp( 1 )()exp( 2 1 )( (1.13) Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace,ta có: ω ω iz zKI = = )(Re2)( (1.14) Như vậy là khi biết hàm tương quan đặc trưng cho một đại lượng thăng giáng, chúng ta có thể tính được mật độ phổ của đại lượng đó. 1.3.2 Hàm tương quan cổ điển Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng cổ điển (vĩ mô) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan cổ điển. Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của cường độ dòng điện ở hai thời điểm gần nhau thì đại lượng ( ) ( ) 'tItI được gọi là hàm tương quan cổ điển. 1.4 Chuyển động Brown 1.4.1 Khái niệm về chuyển động Brown Trong trường hợp khi hạt chuyển động trong chất lỏng, vận tốc của hạt bị giảm đi do một lực cản tỷ lệ với vận tốc của hạt. Khi nghiên cứu kỹ lưỡng chuyển động của hạt như vậy chúng ta thấy rằng hạt đó thực hiện một chuyển động hỗn loạn. Hiện tượng này lần đầu tiên được quan sát bởi nhà sinh vật học R. Brown. Vì thế mà nó có tên gọi là chuyển động Brown.[4] Theo Albert Einstein, nguyên nhân của việc hình thành chuyển động Brown (chuyển động lộn xộn của một hạt nhỏ xíu trong một chất lỏng) là do nhiều “cú sút” nhỏ mà hạt phải nhận lấy là hệ quả của chuyển động nhiệt của chất lỏng. Ban đầu, Einstein và những nhà vật lí khác tin rằng những cú sút này là độc lập với chuyển động của hạt và được đặc trưng bởi sự nhiễu trắng. Tuy nhiên, vào Trang 10 giữa thế kỉ 20, các nhà vật lí bắt đầu nhận ra rằng khi mật độ của hạt và của chất lỏng bằng nhau, thì những cú sút đó không hoàn toàn ngẫu nhiên nữa. Thậy vậy, người ta dự đoán có những “tương quan bền bỉ” giữa chuyển động của chất lỏng và hạt. Những tương quan này phát sinh do các hạt chuyển động trong một chất lỏng sẽ làm cho chất lỏng xung quanh chuyển động, thành ra sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của hạt. Hình 1.1- Ảnh minh họa một quả cầu nhỏ xíu (ở giữa) được giữ bởi những nhíp quang học và chịu những cú sút ngẫu nhiên từ chất lỏng xung quanh. (Ảnh: Alain Doyon và Sylvia Jeney) Thí dụ, một người đang bơi ở một tốc độ không đổi sẽ đẩy một phần nước xung quanh đi cùng với người đó. Nhưng nếu người đó dừng lại đột ngột, thì người đó sẽ chịu một lực đẩy về phía trước từ khối nước đang chuyển động. Các nhà nghiên cứu gọi đây là “bộ nhớ thủy động lực học”, nhưng người ta vẫn khó quan sát thấy nó vì những hạt nhỏ xíu chịu sự chuyển động Brown. [...]... LƯỢNG LƯỢNG TỬ 2.1 Khái niệm về sự thăng giáng lượng tử 2.1.1 Thăng giáng lượng tử Thông thường cho đến nay, trong quang học lượng tử, người ta xem các đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên ở trên là các nhiễu Nếu một sự thăng giáng nào đó xẩy ra ở một đại lượng lượng tử (ở một thông số lượng tử) thì ta nói đó là một thăng giáng lượng tử hay đó là một nhiễu lượng tử Chẳng hạn, trong quang lượng tử, chúng... mặt sự suy giảm gây bởi chuyển động brown và đặt câu hỏi về việc liệu trong cơ học lượng tử thì khi biểu thức mô tả trường điện được biểu diễn dưới dạng toán tử thì nó có thực sự diễn tả đặc trưng cho một đại lượng vật lý thoả mãn quy luật chung của cơ học lượng tử hay không? Vấn đề này sẽ được giải quyết trong chương thứ 2 của luận văn Chương 2 SỰ SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC Trang 24 ĐẠI LƯỢNG LƯỢNG... sát sự thăng giáng của các thông số của trường kích thích khi chúng đã được lượng tử hoá thì sự thăng giáng của các đại lượng đặc trưng cho trường này cũng chính là những sự thăng giáng lượng tử Hiện nay, trong quang học lượng tử, người ta phân ra hai loại nhiễu lượng tử đó là loại nhiễu lượng tử trắng và loại nhiễu lượng tử màu (hay còn được gọi là nhiễu telegraph) Tính chất các loại nhiễu này được... độ trường điện cổ điển còn đại lượng b( t ) trong biểu thức (2.6) lại biểu diễn đại lượng toán tử biên độ trường điện trong cơ học lượng tử Vấn đề đặt ra là khi đưa đại lượng đặc trưng cho mức độ tiêu tán (suy giảm) χ vào trong cơ học lượng tử thì liệu biểu thức (2.6) có thực sự là một toán tử đặc trưng cho một đại lượng vật lý thoả mãn quy luật chung của cơ học lượng tử hay không? Để giải quyết vấn... chúng ta xem véc tơ Bloch quang học chính là các thành phần được trưng cho xác suất tồn tại hạt ở các mức năng lượng σ 11 hay σ 22 cũng như các thành phần đặc trưng cho các xác suất chuyển mức σ 12 hay σ 21 Khi đó, nếu chúng ta khảo sát sự thay đổi sự thăng giáng của các thông số này thì các thăng giáng đó gọi là các thăng giáng lượng tử Đồng thời nếu chúng ta quan sát sự thăng giáng của các thông số... liệu trong cơ học lượng tử, chúng ta có thể có tồn tại các phương trình giống như các phương trình Langevin (1.22) hoặc phương trình Fock – Planck (1.39) hay không 2.2 Dạng lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình FockPlanck 2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin Như ở cuối chương 1, chúng ta đã đặt vấn đề về việc tìm hiểu sự suy giảm của các thông số lượng tử trong cơ học lượng tử Trở... thức (1.53) và (1.54) ở chương sau, khi chúng ta xét đến sự lượng tử hoá của trường điện Kết luận chương 1 Trang 23 Trong chương này, luận văn đã trình bày khái niệm về sự suy giảm cũng như giới thiệu về chuyển động Brown, tức là chuyển động hỗn lạn của các phân tử nguyên tử trong môi trường Kết quả của sự chuyển động đó và cùng với sự va chạm của các phân tử, nguyên tử này với các phần tử của môi trường... đã biết, trong quang lượng tử, khi nghiên cứu về sự lượng tử hoá trường ánh sáng, các toán tử sinh huỷ hạt tương ứng với các toán tử sinh huỷ pho ton Khi đó, dưới tác dụng kích thích của một nhiễu lượng tử nào đó sẽ dẫn đến sự thay đổi số pho ton (do có sự sinh hoặc sự huỷ pho ton xảy ra) Nếu để ý lại các thành phần b( t ) và p( t ) khi chúng ta biểu diễn các thành phần của trường điện từ trong chương... tương quan lượng tử Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng vi mô (lượng tử) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan lượng tử Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của xác suất chuyển hạt giữa hai mức của một hệ lượng tử nào đó thì đại lượng σ 21 ( t )σ 12 ( t ') được gọi là hàm tương quan lượng tử 2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu... phân tử chuyển động trong chất lỏng, chúng ta có nhận xét rằng phương trình diễn tả sự thay đổi của toán tử sinh huỷ số pho ton trong biểu diễn Heisenberg với sự có mặt của một nhiễu (một thăng giáng lượng tử) nào đó sẽ có dạng tương đương, nghĩa là có dạng: db( t ) = ( − iω 0 − χ ) b ( t ) + F ( t ) dt (2.10) Trong phương trình này b( t ) là toán tử số pho ton, F ( t ) đóng vai trò là một lực thăng giáng . lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck 27 2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin ……………………………27 2.2.2 Dạng lượng tử của phương trình Fock-Planck……………………… 31 2.3 Ma. dụng. 1.5 Phương trình Fokker - Planck cổ điển Phương trình Langevin (1.18) mô tả quy luật vận động brown và đóng một vai trò quan trong trong lý thuyết về laser. Quy luật chuyển động brown. sát chuyển động Brown, thiết lập phương trình Langevin đối với chuyển động brown, mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz. - Khảo sát phương trình Fock – Planck cũng như nghiệm của phương trình này