Như ở cuối chương 1, chúng ta đã đặt vấn đề về việc tìm hiểu sự suy giảm của các thông số lượng tử trong cơ học lượng tử.
Trở lại với phương trình vận tốc diễn tả quy luật vận động của hạt trong chất lỏng là: ( ) K( )t
dt t dv
được phương trình Langevin ( ) v( )t F( )t
dt t
dv =−γ + ; trong đó F( )t là một lực thăng giáng ngẫu nhiên. Vì là một lực ngẫu nhiên, có phương chiều thay đổi liên tục nên lực này có tính chất: F( )t =0 và F( ) ( )t F t' =Qδ(t −t') ở đây Q đặc trưng cho độ lớn của thăng giáng, từ là đóng vai trò của một nhiễu trắng.
Như chúng ta đã biết, trong quang lượng tử, khi nghiên cứu về sự lượng tử hoá trường ánh sáng, các toán tử sinh huỷ hạt tương ứng với các toán tử sinh huỷ pho ton. Khi đó, dưới tác dụng kích thích của một nhiễu lượng tử nào đó sẽ dẫn đến sự thay đổi số pho ton (do có sự sinh hoặc sự huỷ pho ton xảy ra).
Nếu để ý lại các thành phần b( )t và p( )t khi chúng ta biểu diễn các thành
phần của trường điện từ trong chương 4 của [3], chúng ta thấy rằng biểu thức (1.53) đóng vai trò biên độ trường điện.
Khi khảo sát trường điện từ đã được lượng tử hoá, tức là khi các véc tơ trường
E và B đã được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, huỷ pho ton b+( )t và b( )t . Tương tự như việc giải phương trình đối với vận tốc của hạt chất lỏng trong chuyền động Brown, ta có thể biểu diễn sự thay đổi của toán tử b( )t theo thời
gian trong biểu diễn Heisenberg [8] bằng phương trình: ( ) i b( )t dt t db ω − = (2.5) Biểu diễn một cách tường minh tần số góc ω qua ω0 và một sự thay đổi nhỏ
χ, chúng ta suy ra: ( ) ( i ) ( )b t dt t db χ ω − − = 0 Nghiệm của phương trình này có dạng:
b( ) ( ) (t =b 0 exp −iω −0t χt) (2.6)
So với (2.5), ta thấy rằng trong (2.6) đã xuất hiện thêm số hạng suy giảm theo thời gian χ.
Cần chú ý rằng để đồng nhất đại lượng b( )t từ (1.53) với đại lượng b( )t ở phương trình (2.6), chúng ta cần phải thực hiện một bước thay đổi rất căn bản.
Phương trình (1.53) mô tả biên độ trường điện cổ điển còn đại lượng b( )t
trong biểu thức (2.6) lại biểu diễn đại lượng toán tử biên độ trường điện trong cơ học lượng tử. Vấn đề đặt ra là khi đưa đại lượng đặc trưng cho mức độ tiêu tán (suy giảm) χ vào trong cơ học lượng tử thì liệu biểu thức (2.6) có thực sự là một toán tử đặc trưng cho một đại lượng vật lý thoả mãn quy luật chung của cơ học lượng tử hay không?
Để giải quyết vấn đề này, tức là trả lời câu hỏi, nếu toán tử b( )t tuân theo (2.6) thì giao hoán tử giữa nó với toán tử liên hợp của nó b+( )t có còn thoả mãn điều kiện giao hoán hay không, chúng ta xét giao hoán tử của chúng:
Từ (2.6), ta có:
b+( )t =b+( ) (iω −t χt)
0 exp
0 (2.7) Khi đó, giao hoán tử của chúng có dạng:
[b( ) ( )t ,b+ t ]=b( ) ( )t b+ t −b+( ) ( )t b t =(bb+ −b+b)0exp(−2χt)
(2.8) Dấu ngoặc ở bên phải chính là hệ thức giao hoán ở thời điểm t=0, đồng thời khi đó b(t =0)=b, tức là bằng đúng giá trị của toán tử b không phụ thuộc thời gian.
Trong biểu diễn Schrodinger, chúng ta đã biết rằng các toán tử b và b+ là không phụ thuộc thời gian và thoả mãn điều kiện chuẩn hoá:
bb+ −b+b=(bb+ −b+b)0 =1, nghĩa là:
[b( ) ( )t ,b+ t ]=b( ) ( )t b+ t −b+( ) ( )t bt =exp(−2χt)
(2.9) Điều này có nghĩa là khi t→∞ thì vế trái của (2.9) sẽ bằng 0. Như vậy khi đưa đặc trưng tiêu tán vào cơ học lượng tử theo dạng (2.6) thì hệ thức giao hoá không còn thoả mãn, tức là toán tử phụ thuộc thời gian (2.6) không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử.
Rất may là ví dụ về chuyển động Brown trong vật lý cổ điển đã được trình bày trong chương 1 lại có thể giúp chúng ta giải quyết được vấn đề này một cách trọn vẹn.
Thực vậy, từ phương trình diễn tả sự thay đổi của vận tốc theo thời gian của hạt phân tử chuyển động trong chất lỏng, chúng ta có nhận xét rằng phương trình diễn tả sự thay đổi của toán tử sinh huỷ số pho ton trong biểu diễn Heisenberg với sự có mặt của một nhiễu (một thăng giáng lượng tử) nào đó sẽ có dạng tương đương, nghĩa là có dạng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( ) ( i ) ( )bt F( )t dt
t
db = − ω0 −χ + (2.10) Trong phương trình này b( )t là toán tử số pho ton, F( )t đóng vai trò là một lực
thăng giáng (tức là một nhiễu lượng tử).
Đây là phương trình đối với toán tử b( )t và được gọi là phương trình
Langevin lượng tử.
Lực thăng giáng F( )t này, cũng giống như trong trường hợp của chuyển
động Brown, đóng vai trò một nhiễu trắng, có các tính chất:
F( )t =0, F+( )t =0; (2.11) và các hàm tương quan:
F( ) ( )t F t' = F+( ) ( )t F+ t' =0 (2.12) F+( ) ( )t F t' =2χnδ(t −t'); F( ) ( )t F+ t' =2χ(n +1) (δ t−t') (2.13) Đại lượng n trong các biểu thức trên chính là số pho ton trung bình trong trạng thái lượng tử đang khảo sát.
Từ phương trình (2.13) chúng ta thấy rằng hàm tương quan đối với F( )t và
( )t
F+ phụ thuộc vào thứ tự của chúng, tức là phản ánh bản chất toán tử của chúng.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng lực thăng giáng có các tính chất trên sẽ cho phép chúng ta tìm được lời giải của phương trình (2.10).
Nghiệm của (2.10) có dạng hoàn toán giống như nghiệm của vận tốc v trong phương trình Langevin cổ điển (1.24).