Phương pháp giải một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử

Với số lượng bài tập tương đối nhiều và khá đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp.. Chính vì vậy mà việc tìm hiểu, tập hợ

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại học đó

là môn Cơ học lượng tử, đây là bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30 của thế kỷ XX Với số lượng bài tập tương đối nhiều và khá đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp Chính vì vậy mà việc tìm hiểu, tập hợp, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực, và trong đó việc giải các bài toán một chiều để nghiên cứu tính chất của hạt chuyển động theo phương Ox là một dạng bài toán rất hay và hữu ích

Từ những đặc điểm nêu trên là lí do mà em lựa chọn đề tài: “Phương pháp giải một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài toán một chiều thuộc các dạng bài tập cơ bản của Cơ học lượng tử,

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài tập Cơ học lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp Vật lý - toán

2Bµi gi¶i

1e2

m

e

chương 2

Giải các bài toán một chiều

2.1.Các tính chất của chuyển động một chiều

2.1.1 Các mức năng lượng của phổ gián đoạn không suy biến

Ta giả sử ngược lại, ứng với mức năng lượng En của phổ gián đoạn có hai hàm sóng, 1 và 2 độc lập tuyến tính, nghĩa là:

''

2 ( ) n

 

2

2 ''( )x m E n U x( ) ( )x 0

Thành thử  ( )x và  ( x) đều mô tả trạng thái ứng với năng lượng En của hạt,

và vì  ( x)    ( )x nên hàm  ( )x phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của toạ độ

2.2 Hạt chuyển động trong “giếng thế” sâu vô hạn

Phương trình Schrodinger cho hạt ở trong giếng thế:

2

2m'' x E x 0, 0 x a (2)

2ma

Năng lượng của hạt trong “giếng thế” bị lượng tử hoá, nó có phổ gián đoạn và

tỉ lệ với bình phương số lượng tử n.Vậy hàm sóng của hạt ứng với số lượng tử n là:

 n

Dïng ®iÒu kiÖn biªn x0, y, z ; x, y  0, z ; x, y, z  0 

Vậy n1 0 bị loại trừ, các giá trị ứng với n  1, 2 thì hàm sóng đổi dấu so với các hàng song tương ứng với n 1,2, Như vậy hai hàm sóng khác dấu cùng mô tả một trạng thái của hạt Vì vậy chỉ cần lấy các giá trị dương và nguyên của n

Vậy nghiệm của (2) là:

 

2 0 2

2 0

II

ik x III

ở điểm x0 và xa thế năng có bước nhảy hữu hạn, do đó cả  x lẫn  

gradient của nó  x  ' x  đều liên tục Đạo hàm của nó trong không gian:

Giải hệ phương trình tìm các giá trị của 4 ẩn A, B, C, D

Gọi RCường độsóng phản xạ Hệsố phản xạ bởi hàng rào thế

Cường độsóng tới

16Q

Bài giải Như vậy ở bên trái và bên phải gốc toạ độ thì hạt chuyển động tự do: Khi đi qua gốc toạ độ từ phải sang trái động năng của hạt tăng thêm U0 ngược lại muốn cho hạt có thể đi qua gốc toạ độ từ trái sang phải thì phải tốn một công bằng U0

Ta xét chuyển động của một hạt có cơ năng toàn phần là E (bằng động năng

T cộng với thế năng U) đi từ trái qua phải

Theo cơ học cổ điển nếu EU0 thì hạt có thể đi qua O Tại điểm này đông năng của hạt giảm: trước khi đi qua O động năng có gía trị bằng EU0 như vậy hạt có thể hoàn toàn đi qua O (không có phản xạ)

Cũng theo cơ học cổ điển nếu EU0 thì hạt không thể đi qua O vì tại miền



x 0 động năng T của hạt có giá trị âm EU0 0 Điều này không thể xảy ra

được Hạt bị phản xạ hoàn toàn tại O

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong cơ học lượng tử:

Phương trình Schrodinger đối với chuyển động của hạtcó dạng:

Ta phân biệt hai trường hợp EU0 và E U0 và xét riêng từng trường hợp:

k k (13) Thay k0 và k1 từ (4) và (5) vào (12) và (13) ta được kết quả cuối cùng của A

2kB

Các điều kiện biên không dẫn đến đòi hỏi gì đối với k0 và k1 do đó năng lượng của hạt có thể có giá trị bất kỳ Các hằng số A và B cho ta biên độ của sóng phản xạ và sóng truyền qua Hệ số phản xạ R có giá trị

2 ik x 2 T

U

Ta thấy theo cơ học lượng tử có sự phản xạ ở điểm x0 (khác với cơ học cổ





0 2

0 0

Như vậy là hạt bị phản xạ toàn phần (giống như cơ học cổ điển) Nhưng ở

đây hạt không bị phản tất cả tại điểm x0 Xác suất để cho hạt ở trong miền x0

thì khác không, nhưng xác suất này chỉ đáng kể gần điểm x0 Khi x tăng thì mật

 2 2 kx

2.4 Dao động tử điều hoà

  1 2n vào (5) phương trình trở thành:

y '' 2 y ' 2ny 0 (6) (6) là phương trình Hermite, nghiệm là đa thức Hermite bậc n:

3 3

2 n n

2 0

2Bài giải Dao động tử điều hoà một chiều ở trạng thái:

2 0

2 x

n

k

2k 1 !!

mx

Bài giải Khi hạt điện tích chuyển động trong điện trường không đổi ngoài thế năng

2 4

qx

Chương 3 Dạng bài toán chuyển động ba chiều đưa về dạng

một chiều

3.1 Cơ sở lí thuyết

Xét bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm trong đó thế năng phụ

Hàm riêng chung của 2 toán tử L z và 2

L ứng với các giá trị xác định của

Trùng với phương trình Schrodinger cho chuyển động một chiều trong trường thế:

( )( )

Từ điều kiện liên tục R a1( )R a2( ) và 1 2

2

hay

2 2 0

a ma U

Đặt aka thì giao điểm của đường y sinx và đường

y x trong miền ctg  xác định những giá trị của k tương ứng với các mức 0năng lượng ( biết k ta xác định được

Bài tập 3.2

Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một trường thế

ba chiều (giả thiết các chiều độc lập nhau)

       

 x, y, z   x  y  z và EE1E2 E3 và thế vào phương trình schrodinger trên ta được:

2 2 3 2

2Víi hÑ sè chuÈn ho¸:

2

n 1

2

n 2

2

n 3

n2, n3 khác nhau Cố định n1, n cho n2 thay đổi từ 0 đến nn khi đó n1 3 sẽ thay

đổi từ nn10 các giá trị có thể có của n2 là 0, 1, 2, 3, nn và tất cả có 1

nn11 giá trị 

Số giá trị của n2 có thể ứng với mọi giá trị khác nhau của n1 từ giá trị n1 0

đến giá trị n1 n cho ta bội suy biến gn

Kết luận

Trong quá trình hoàn thành bài khoá luận tốt nghiệp của mình em đã thu

được một số kết quả sau: Phân loại và giải được một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử cơ bản trong giáo trình Cơ học lượng tử mà chúng em đã

được học ở trường Đại học Qua đó giúp em rèn luyện kĩ năng giải bài tập và hiểu

được sâu sắc hơn về tính chất của hạt chuyển động theo phương ox đã được trình bày trong giáo trình Cơ học lượng tử một cách kĩ hơn

Tuy nhiên do thời gian có hạn nên số lượng bài tập đưa ra chưa nhiều.Hơn nữa đây là lần đầu tiên em bắt tay vào việc nghiên cứu môn Vật lý lí thuyết nên trong quá trình viết bài cũng như in ấn không tránh khỏi những thiếu sót và chưa thật đầy đủ Em kính mong quí thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành bài luận văn của mình được tốt hơn

Tài liệu tham khảo

1 Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội, 2005

2 Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên), Bài tập Vật lý lí thuyết tập 2, Nxb Giáo dục

Hà Nội , 1997

3 Phạm Quý Tư, Cơ học lượng tử, Nxb Giáo dục, 1986

4 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học QGHN, 1998

5 A.N Matveev Cơ học lượng tử và cấu trúc hạt nhân (dịch) Tập I, II Hà Nội,

1975