Phương pháp giải một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử

Mở đầu Lý chọn đề tài Trong trình học tập lĩnh hội kiến thức Vật lý việc giải tập giữ vai trò quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững hiểu sâu sắc phần lý thuyết học, lẽ giải tập tìm hiểu cặn kẽ phần kiến thức lý thuyết Một học phần chuyên ngành Vật lý học Đại học môn Cơ học lượng tử, môn hình thành vào đầu năm 30 kỷ XX Với số lượng tập tương đối nhiều đa dạng, nhiên phần kiến thức toán học dùng để giải tập chúng lại phức tạp Chính mà việc tìm hiểu, tập hợp, phân loại tập phạm vi kiến thức học cần thiết có tính chất tích cực, việc giải toán chiều để nghiên cứu tính chất hạt chuyển động theo phương Ox dạng toán hay hữu ích Từ đặc điểm nêu lí mà em lựa chọn đề tài: Phương pháp giải số dạng toán chiều Cơ học lượng tử Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số dạng toán chiều Cơ học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại giải số toán chiều thuộc dạng tập Cơ học lượng tử, Đối tượng nghiên cứu Bài tập Cơ học lượng tử Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lý lý thuyết phương pháp Vật lý - toán chương tìm xác suất để đo giá trị xung lượng dao động tử 1.1 Cơ sở lí thuyết Phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử F F q, t fn n q, t Với n C n C n *n dq n , n C n xác suất để hệ lượng tử chuyển nằm trạng thái n * Fdq , F F C *n C n fn * Fdq , F n , *dq Khi chuẩn hoá Khi chưa chuẩn hoá 1.2 Bài tập: Bài tập 1.1 Tìm xác suất để đo giá trị px xung lượng dao động tử trạng thái n : 1/4 m m x exp x Bài giải i p x x e Ta có: px 1/4 m m x x e C px px * x dx e m 3 m m 3 m exp x i p x x 1/4 m e m x dx i p x x dx m ip x p 2x ip x exp x m x m 2m dx m ip x p 2x exp x m exp 2m dx m p 2x ip x m 3 exp exp x m 2m áp dụng tích phân poisson ax e a m ip x exp x dx m m P x p 2x m m C px 3 exp e m m 2m Xác suất để đo giá trị px xung lượng dao động tử trạng thái là: Wp x C p x p 2x Wpx exp m m chương Giải toán chiều 2.1.Các tính chất chuyển động chiều 2.1.1 Các mức lượng phổ gián đoạn không suy biến Ta giả sử ngược lại, ứng với mức lượng En phổ gián đoạn có hai hàm sóng, độc lập tuyến tính, nghĩa là: 1'' 2m U ( x ) En (1) 2'' 2m U ( x ) En 2 (2) Vì , , chia vế tương ứng (1) (2) cho 1'' 2'' Hay 1'' 2'' ( 1' 2' )' Từ suy 1' 2' const (3) Vì phổ lượng gián đoạn, nên vô , , const Vậy 1' 2' ln(c ) ln c 1 Trái với giả thiết hệ , độc lập tuyến tính Do mức En không suy biến 2.1.2 Nếu hàm chẵn toạ độ nghiệm phương trình Schrodinger hàm chẵn (hoặc lẻ) toạ độ Giả sử U ( x ) U ( x ) ( x ) hàm sóng ứng với lượng En Hàm ( x ) phải thoả mãn phương trình Schrodinger ''( x ) 2m En U ( x ) ( x ) vế trái phương trình thay x x ý ( x ) ' '( x ), ( x ) '' '( x ) ' ''( x ) Cho nên ''( x ) 2m 2m E U ( x ) ( x ) ''( x ) En U ( x ) ( x ) n (4) Nếu ( x ) ( x ) (4) trở thành 2m ''( x ) En U ( x ) ( x ) Thành thử ( x ) ( x ) mô tả trạng thái ứng với lượng En hạt, ( x ) ( x ) nên hàm ( x ) phải hàm chẵn (hoặc lẻ) toạ độ 2.2 Hạt chuyển động giếng sâu vô hạn 2.2.1 Cơ sở lý thuyết Xét hạt chuyển động trục Ox, trường có dạng giếng sâu vô hạn: x a U x x 0, x a (1) Hạt chuyển động tự khoảng x a khoảng hạt nên x Phương trình Schrodinger cho hạt giếng thế: '' x Đặt k 2m E x 0, x a (2) 2mE nghiệm (2) viết dạng: x Asin kx Tại x x a có bước nhảy vô hạn Ta có: Asin nên a Asin ka nên ka n ( k ta lấy n 1,2,3 ) Ta có: lượng hạt ứng với số lượng tử n n 2 E En 2ma Năng lượng hạt giếng bị lượng tử hoá, có phổ gián đoạn tỉ lệ với bình phương số lượng tử n.Vậy hàm sóng hạt ứng với số lượng tử n là: nx sin n 1,2,3 a a n x Trong hệ số chuẩn hoá A tìm từ điều kiện a a n x dx 2.2.2 Bài tập Bài tập 2.1 Tìm hàm sóng hạt biểu diễn lượng hạt giếng chiều có thành cao vô hạn có bề rộng d trạng thái: x 4d x d x d, x 0 Bài giải Trong biểu diễn tạo độ hàm sóng hạt lượng hạt giếng chiều cao vô hạn bề rộng d là: n x n sin( x) d d n 2 En (n 1,2,3 ) 2m d Hàm sóng E biểu diễn có dạng: d E n n *n x x dx d n sin( x)(x 4d )dx d0 d d d 2 n n x sin( x)dx 4d sin( x)dx tính d0 d d0 d d I1 x sin( (1) n x)dx d Tích phân phần: d n d d d n I1 x cos( x) 2xcos( x)dx d n n d I1 d d 2d cos n I2 n n d Với I xcos( (2) n x)dx d d d n d n I2 xsin( x) 0d 2sin( x)dx n d n d d d n I sin( )dx n d (3) Thay (3) vào (2) ta có: d d3 2d n n I1 2 sin( x)dx n n d Thay I1 vào (1) ta được: d d d3 2d n n n n sin( x)dx 4d sin( x)dx d d n n 2 d d3 2d3 4d3 n n n 3 2 d n n n n 1,2,3 n hàm sóng hạt hố chiều biểu diễn lượng Bài tập 2.2 Tìm lượng hàm sóng hạt khối lượng m chuyển động hộp chữ nhật x a u 0 y a z a u hộp Bài giải Phương trình Schrodinger hạt giếng có dạng: 2 x, y, z E x, y, z 2m x y z Vì E const nên ta viết: E E1 E E Đặt: x, y, z x y z Phương trình (1) trở thành: 2 x y z E1 E E x y z 2m x y z Chia hai vế phương trình cho x y z ta được: 2 2 x y z E1 E E 2m x x y y z z d x 2m x E1 E x 2m x x dx (2) d y 2m y E2 E y 2m y y dy (3) d z 2m z E3 E z 2m z z dz (4) Ta giải phương trình (2), phương trình (3) (4) cho nghiệm hoàn toàn tương tự Giải phương trình (2) ta có phương trình đặc trưng: q q i 2m E1 2mE1 2mE1 ik ; k Vậy nghiệm tổng quát phương trình (2) là: x C1 sin kx C cos kx Do C1 , C số tích phân tuỳ ý nên ta đặt: C1 Acos, C Asin x Asin kx Dùng điều kiện biên x 0, y, z ; x, y 0,z ; x,y, z Ta có: 0, y, z x, 0, z x,y,0 x A sin Tại x a a A sin ka ka n1 k n1 a n1k n12 x A sin ; E1 n 0, 1, a 2m a áp dụng điều kiện chuẩn hoá: A a Các giá trị n1 , dẫn đến xác suất tìm thấy hạt điểm giếng 0, điều mâu thuẫn với toán cho hạt giếng Vậy n1 bị loại trừ, giá trị ứng với n 1, hàm sóng đổi dấu so với hàng song tương ứng với n 1,2, Như hai hàm sóng khác dấu mô tả trạng thái hạt Vì cần lấy giá trị dương nguyên n Vậy nghiệm (2) là: n1x n12 x sin ;E1 a a 2m a với n 1,2,3 Giải tương tự với (3) (4) ta có: y n y n 22 sin ;E với n 1,2,3 a a 2m a 2 n 3z n 32 z sin ;E với n 1,2,3 a a 2m a 2.3 Hạt truyền qua hàng rào 2.3.1 Cơ sở lí thuyết Ta xét hàng rào chiều xác định: x miền I U x U 0 x a miền II miền III x a Theo học cổ điển, hạt truyền từ phía trái sang phải có lượng E U o truyền qua hàng rào thế, không bị phản xạ trở lại Nếu lượng hạt E U hạt bị phản xạ toàn phần hàng rào Phương trình Schrodinger mô tả chuyển động hạt miền có dạng: 10 2.4 Dao động tử điều hoà 2.4.1 Cơ sở lí thuyết Xét toán chuyển động hạt quanh vị trí cân tác dụng lực đàn hồi Fx kx Thế lực đàn hồi: x x kx m2 x U Fx dx kxdx 2 0 Trong tần số góc dao động k m 2m m2 x Giải phương trình Schrodinger: '' E x Đặt x m 2E ; phương trình (1) có dạng: '' (2) Khi đủ lớn, kéo qua số hạng vế trái (2) '' Nghiệm (3) là: (3) exp Đặt y exp (4) Thay (4) vào (2) phương trình cho hàm y : y'' 2y' y Ta tìm nghiệm (5) dạng chuỗi luỹ thừa: 17 (5) (1) y a kk k k y' ka k a k k k k k k y'' k ka k k k a k k k Thay vào (5) ta được: k k a 2k a k k k k Hệ thức truỵ toán: a k 2k a k k k a n 2n n 2En Biểu thức lượng: E n n n 0,1,2, Năng lượng dao động tử bị lượng tử hoá, phụ thuộc vào số lượng tử n Trạng thái ứng với n gọi trạng thái dao động tử lượng tử Thay 2n vào (5) phương trình trở thành: y'' 2y' 2ny (6) (6) phương trình Hermite, nghiệm đa thức Hermite bậc n: d n H n e e d n n Một số đa thức Hermite đầu tiên: H0 H1 H H 83 12 18 Ta có nghiệm: A n exp H n Đổi từ biến biến x hàm sóng dao động tử điều hoà hàm: m m m x exp x H n x n n! 2.4.2 Bài tập Bài tập: 4.1: Tính giá trị trung bình đại lượng x n n 1,2,3 px p 2x dao động tử điều hoà chiều trạng thái: m m x exp x Bài giải Dao động tử điều hoà chiều trạng thái: m m x exp x Ta có: p x x p x dx * x px x i x dx x p x i x '0 x dx Vì x hàm chẵn nên x '0 x hàm lẻ p x i x '0 x dx 19 x x p x dx * p x 2 p x x dx x x m m m m p 2x exp x x dx exp x m m m m p 2x exp x x exp x dx x m m m m m 2 m p x x exp x x exp x dx exp m33 m m p exp x x dx x m33 m m m p x x exp exp x dx x áp dụng tích phân poisson: ax2 2n x e dx 2n 1!! n n a n m x dx m exp m x exp x dx m33 m2 p x m 3 m m 20 m m p 2x m p 2x m n x x x dx x x dx * x n n 0 m m xn xn x dx exp m m n xn x dx x exp m m k x exp x dx Nếu n 2k x n Theo tích phân poisson: 2n 1!! x n ax e dx n a n 1 m 2k 1!! xn 2k m x n 2k 1!! 2k m 2k k m m 2k x exp x dx + Nếu n 2k x n m x hàm lẻ Vì x k exp 21 nếu=2k+1 Vậy: x n x n 20 x dx 2k 1!! k nếun 2k 2k m Bài tập 4.2 Tìm mức lượng hàm sóng hạt khối lượng m, điện tích q dao động chiều tác dụng điện trường cường độ không đối đặt dọc theo phương dao động Ox Bài giải Khi hạt điện tích chuyển động điện trường không đổi m2 x F q Ta có: F gradu U Fdx q x Phương trình Schrodinger dao động tử chiều tác dụng điện trường không đổi : d 2 H x x m x xq r E x 2 2m dx 2 2q q x d x 2 m x x E x 2m dx 2 m2 m2 2 q q d x x m x x E 2m dx 2 m 2m q q (1) trở thành ;E' E Đặt X x m2 2m2 2 d x m2 X x E' x 2m dx 22 (1) d2 x 2m m2 E' x x dx 2 Đặt X m 2E' ; '' (2) 2/ Thì phương trình (2) có nghiệm là: n A n e H n Sau chuẩn hoá hàm đơn vị ta có: An n n! E 'n n n 0,1,2 X2 m n x exp H n x n n! m n x q x m H x q n 0,1,2 exp n m n n! 23 Chương Dạng toán chuyển động ba chiều đưa dạng chiều 3.1 Cơ sở lí thuyết Xét toán chuyển động trường xuyên tâm phụ thuộc vào khoảng cách r x y z2 đến điểm cố định Toán tử Hamilton hạt: H L2 ( r ) U (r ) 2mr r r 2mr Ta có: Toán tử bình phương momen xung lượng 2 L , (sin ) sin sin Khi đó, toán tử hình chiếu momen xung lượng lên phương chẳng hạn phương oz: Lz i Thì chứng minh toán tử H , L2 , Lz giao hoán với Hàm riêng chung toán tử Lz L2 ứng với giá trị xác định L2 l(l 1) (l 0,1, 2, ) Và Lz m (m 0, 1, 2, , l) hàm c ầu: m m Ylm ( , ) (1) 2l (l m )! m Pl (cos )eim (l m )! Nghiệm phương trình Schrodinger: Elm (r, , ) fEl (r )Ylm ( , ) Với phép đặt (*) dạng H cho H L2 ( r ) U (r ) 2mr r r 2mr Và L2Ylm l(l 1)2Ylm phương trình Schrodinger H (r, , ) E (r, , ) Sẽ biến đổi phương trình vi phân cho hàm f (r ) d df mr l(l 1)2 (r ) E U (r ) f (r ) dr dr mr Đặt f R (r ) r Phương trình cho R (r ) : d R 2m l(l 1) E U ( r ) R dr mr 24 (*) Trùng với phương trình Schrodinger cho chuyển động chiều trường thế: l (l 1)2 U1 ( r ) U ( r ) 2mr Bài tập 3.1 Xác định mức lượng hạt trạng thái s (l=0) giếng đối xứng xuyên tâm: U r a U (r ) r a Phương trình schrodinger hàm bán kính R(r) l=0, có dạng: d R dR 2m E U (r ) R dr r dr f (r ) Đặt R(r ) ta có phương trình: r d f 2m E U (r ) f dr 2m 2m(U ), Đặt E 0, k Ta có: d2 f k f (r ) r a dr d2 f f (r ) r a dr Nghiệm f1 (r ) f (r ) có dạng: f1 (r ) A sin kr B cos kr f (r ) Ce r Der f (r ) Để hàm R(r ) hữu hạn r không r ta phải r có B = 0, D = Khi ta có: f (r ) A sin kr R1 (r ) r a r r f (r ) er R2 (r ) C r a r r 25 dR dR Từ điều kiện liên tục R1 (a ) R2 (a ) ta tìm được: dr r a dr r a 2mU k cot g ka k2 hay sin(ka ) ka ka 2ma 2U Đặt a ka giao điểm đường y s inx đường a ma 2U y x miền c tg xác định giá trị k tương ứng với mức lượng ( biết k ta xác định Bài tập 3.2 Tìm lượng hàm sóng hạt chuyển động trường ba chiều (giả thiết chiều độc lập nhau) m2i U x1 ,x ,x x i x i x, y,z i Tìm bội suy biến mức lượng trường hợp: Bài giải m1x m2 y m3z Ta có U x1 ,x ,x U x, y, z 2 Với , , số Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà ba chiều có dạng: 2 m 2 H x,y,z x 22 y 32 z y z 2m x E x,y, z Vì chuyển động theo chiều độc lập với nhau, nên đặt 26 x, y, z x, y, z x y z E E1 E E vào phương trình schrodinger ta được: 2 m 2 x 22 y 32 z y z 2m x E x y z x y z Chia hai vế cho x y z được: 2 x 1 y 2 2 m x x m y y 2 x 2m x 2 y 2m y z 2 m z z z 2m z 2 Từ suy 2 x m12 x x E1 x 2m x 2 y m22 y y E y 2m y 2 z m32 z z E z 2m z Với cách đặt x x (1) (2) (3) m1 2E ; x (1) có nghiệm 2x x A n1 exp H n1 x E n1 n1 ; n 0,1,2,3 Tương tư đặt: y y m2 2E ; y (2) có nghiệm: 27 2y y A n2 exp H n2 y E n2 n ; n 0,1,2,3 m3 2E ; z (3) có nghiệm: Tương tư đặt: z z 2z z A n3 exp H n3 z E n3 n ; n 0,1,2,3 Với hẹ số chuẩn hoá: A n1 1 ;A ;A n n n1 n1 ! 2 n2 n ! n3 n ! 1 m1 m1 m1 x exp x H x n n n1 ! m2 m2 exp x H n x n2 n2 ! m3 m3 m3 z exp x H x n n n ! m2 y 1 1 Còn E E1 E E n1 n n 2 1n1 n n Và n1n2 n3 x,y,z n1 x n2 y n3 z ; n 0,1,2 Khi ta có: 28 3 E n1n2 n3 E n1 E n2 E n3 n1 n n n E n 2 Với n n1 n n3 ứng với giá trị n có gn hàm sóng n1n2 n3 x, y, z phân biệt hệ số n1, n2, n3 khác Cố định n1, n cho n2 thay đổi từ đến n n1 n3 thay đổi từ n n1 giá trị có n2 0, 1, 2, 3, n n1 tất có n n1 giá trị Số giá trị n ứng với giá trị khác n1 từ giá trị n1 đến giá trị n1 n cho ta bội suy biến gn n g n n n1 n1 n n Mức không suy biến ứng với 29 Kết luận Trong trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em thu số kết sau: Phân loại giải số dạng toán chiều học lượng tử giáo trình Cơ học lượng tử mà chúng em học trường Đại học Qua giúp em rèn luyện kĩ giải tập hiểu sâu sắc tính chất hạt chuyển động theo phương ox trình bày giáo trình Cơ học lượng tử cách kĩ Tuy nhiên thời gian có hạn nên số lượng tập đưa chưa nhiều.Hơn lần em bắt tay vào việc nghiên cứu môn Vật lý lí thuyết nên trình viết in ấn không tránh khỏi thiếu sót chưa thật đầy đủ Em kính mong quí thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành luận văn tốt 30 Tài liệu tham khảo Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên), Bài tập Vật lý lí thuyết tập 2, Nxb Giáo dục Hà Nội , 1997 Phạm Quý Tư, Cơ học lượng tử, Nxb Giáo dục, 1986 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học QGHN, 1998 A.N Matveev Cơ học lượng tử cấu trúc hạt nhân (dịch) Tập I, II Hà Nội, 1975 31 [...]... luận Trong quá trình hoàn thành bài khoá luận tốt nghiệp của mình em đã thu được một số kết quả sau: Phân loại và giải được một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử cơ bản trong giáo trình Cơ học lượng tử mà chúng em đã được học ở trường Đại học Qua đó giúp em rèn luyện kĩ năng giải bài tập và hiểu được sâu sắc hơn về tính chất của hạt chuyển động theo phương ox đã được trình bày trong. .. văn của mình được tốt hơn 30 Tài liệu tham khảo 1 Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 2 Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên), Bài tập Vật lý lí thuyết tập 2, Nxb Giáo dục Hà Nội , 1997 3 Phạm Quý Tư, Cơ học lượng tử, Nxb Giáo dục, 1986 4 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học QGHN, 1998 5 A.N Matveev Cơ học lượng tử và cấu trúc hạt nhân (dịch) Tập I, II Hà Nội, 1975 31 ... k k 0 k 2 k 0 Hệ thức truỵ toán: a k 2 2k 1 a k 2 k 1 k a n 2 0 và 2n 1 n 2En 1 Biểu thức của năng lượng: E n n n 0,1,2, 2 Năng lượng của dao động tử bị lượng tử hoá, nó phụ thuộc vào số lượng tử n Trạng thái ứng với n 0 gọi là trạng thái cơ bản của dao động tử lượng tử Thay 1 2n vào (5) phương trình trở thành: y'' 2y' 2ny 0 (6) (6) là phương trình Hermite, nghiệm... xuyên tâm trong đó thế năng phụ thuộc vào khoảng cách r x 2 y 2 z2 đến 1 điểm cố định nào đó Toán tử Hamilton của hạt: H 2 2 L2 ( r ) U (r ) 2mr 2 r r 2mr 2 Ta có: Toán tử bình phương momen xung lượng 2 2 L , 1 1 2 (sin ) sin 2 2 sin 2 Khi đó, toán tử hình chiếu momen xung lượng lên một phương nào đó chẳng hạn phương oz: Lz i Thì có thể chứng minh được rằng các toán tử H ,... 2k m Bài tập 4.2 Tìm các mức năng lượng và hàm sóng của một hạt khối lượng m, điện tích q dao động một chiều dưới tác dụng của điện trường cường độ không đối đặt dọc theo phương dao động Ox Bài giải Khi hạt điện tích chuyển động trong điện trường không đổi ngoài thế năng m2 x 2 còn có thế năng F q 2 Ta có: F gradu U Fdx q x Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều dưới... phản xạ hoàn toàn tại O Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong cơ học lượng tử: Phương trình Schrodinger đối với chuyển động của hạt có dạng: 2 d2 2m dx 2 x E x (1) Trong miền x 0 thì U x 0 phương trình có dạng: 2 d 2 x E x 2m dx 2 Hay là: d2 x dx 2 2mE 0 2 x (2) Trong miền x 0 thì U x U 0 phương trình có dạng: 2 2 d x U 0 x E x 2m dx 2 Hay: d2 x dx 2 2m... Thì phương trình (2) có nghiệm là: n A n e H n Sau khi chuẩn hoá hàm về đơn vị ta có: An 1 2 n n! 1 E 'n n n 0,1,2 2 1 X2 1 m 4 n x exp H n x 2 n n! 2 m n x 1 4 2 q x 2 m 1 H x q n 0,1,2 exp n 2 2 m 2 n n! 23 Chương 3 Dạng bài toán chuyển động ba chiều đưa về dạng một chiều 3.1 Cơ sở lí thuyết Xét bài toán chuyển động trong. .. trong đó Đặt a ka thì giao điểm của đường y s inx và đường a ma 2U 0 y x trong miền c tg 0 xác định những giá trị của k tương ứng với các mức năng lượng ( biết k ta xác định được Bài tập 3.2 Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một trường thế ba chiều (giả thiết các chiều độc lập nhau) m2i U x1 ,x 2 ,x 3 x i x i x, y,z 2 i 1 3 Tìm bội suy biến của các mức năng lượng. .. U 20 8EU 0 8E E E U 0 8E 2 4U 0 E E U 0 U 20 15 Ta thấy theo cơ học lượng tử có sự phản xạ ở điểm x 0 (khác với cơ học cổ điển) 2 Trường hợp E U 0 : Đặt k 20 Và k 2mE 2 2m U 0 E 2 (14) Trong miền x 0 hàm sóng có dạng (6), còn trong miền x 0 thì hàm sóng thoả mãn phương trình: d2 x dx 2 k 2 x 0 và nghiệm có dạng x Ce kx De kx Khi x thì hàm sóng phải hữu hãn, điều đó đòi... trong giáo trình Cơ học lượng tử một cách kĩ hơn Tuy nhiên do thời gian có hạn nên số lượng bài tập đưa ra chưa nhiều.Hơn nữa đây là lần đầu tiên em bắt tay vào việc nghiên cứu môn Vật lý lí thuyết nên trong quá trình viết bài cũng như in ấn không tránh khỏi những thiếu sót và chưa thật đầy đủ Em kính mong quí thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành bài luận văn của ... 29 Kết luận Trong trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em thu số kết sau: Phân loại giải số dạng toán chiều học lượng tử giáo trình Cơ học lượng tử mà chúng em học trường Đại học Qua giúp em... ) Ta có: lượng hạt ứng với số lượng tử n n 2 E En 2ma Năng lượng hạt giếng bị lượng tử hoá, có phổ gián đoạn tỉ lệ với bình phương số lượng tử n.Vậy hàm sóng hạt ứng với số lượng tử n là: nx... có: Toán tử bình phương momen xung lượng 2 L , (sin ) sin sin Khi đó, toán tử hình chiếu momen xung lượng lên phương chẳng hạn phương oz: Lz i Thì chứng minh toán tử H